1、1灰色系统建模灰色系统建模2灰色系统建模灰色系统建模(Grey System Theory)q一，一，灰色系统灰色系统理论理论q二，灰色关联分析二，灰色关联分析q三，三，GM(1,1)模型模型3一、一、灰色系统灰色系统理论理论 由由我国我国邓聚龙教授于邓聚龙教授于1982年提出。年提出。灰色系统理论是研究灰色系统分析、建模、灰色系统理论是研究灰色系统分析、建模、预测、决策和控制的理论。它把一般系统预测、决策和控制的理论。它把一般系统论、信息论及控制论的观点和方法延伸到论、信息论及控制论的观点和方法延伸到社会、经济和生态等抽象系统，并结合数社会、经济和生态等抽象系统，并结合数学方法，发展出一套解
2、决信息不完全系统学方法，发展出一套解决信息不完全系统（灰色系统）的理论和方法。（灰色系统）的理论和方法。4 白色系统白色系统是指一个系统的内部特征是完全是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。已知的，即系统的信息是完全充分的。黑色系统黑色系统是指一个系统的内部信息对外界是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。联系来加以观测研究。灰色系统灰色系统内的一部分信息是已知的，另一内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。确定的关系。
3、什么是灰色系统？什么是灰色系统？5 自然界对人类社会来讲不是白色的自然界对人类社会来讲不是白色的(全部都全部都知道知道)，也不是黑色的，也不是黑色的(一无所知一无所知)，而是灰，而是灰色的色的(半知半解半知半解)。人类的思考、行为也是灰色的，人类其实人类的思考、行为也是灰色的，人类其实是生存在一个高度的灰色信息关系空间之是生存在一个高度的灰色信息关系空间之中，例如：人体系统、粮食生产系统等。中，例如：人体系统、粮食生产系统等。部分信息已知，部分信息未知的系统，称部分信息已知，部分信息未知的系统，称为灰色系统。为灰色系统。6 灰色系统理论分析具有沟通社会科学及自灰色系统理论分析具有沟通社会科学及
4、自然科学的作用，可将抽象的系统加以实体然科学的作用，可将抽象的系统加以实体化、量化、模型化及做最佳化。化、量化、模型化及做最佳化。该理论主要是针对系统模型该理论主要是针对系统模型的的不明确性，不明确性，信息信息不完整性不完整性时时，进行关于系统的关联分，进行关于系统的关联分析（析（Relational Analysis）、模型建构）、模型建构（Constructing A Model）、预测）、预测（Prediction）及决策（）及决策（Decision）。）。7二、灰色关联分析二、灰色关联分析 灰色灰色关联分析关联分析根据因素间发展态势的相似根据因素间发展态势的相似或相异程度，来衡量因素之
5、间的关联程度或相异程度，来衡量因素之间的关联程度的一种系统分析方法。的一种系统分析方法。其其基本思想是根据序列曲线几何形状的相基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间的关联度就越大，反之近，相应序列之间的关联度就越大，反之就越小。就越小。89 灰色灰色关联分析关联分析通过计算通过计算系统系统内内各因素各因素间的间的关联度关联度进进行系统分析行系统分析，在计算关联度之前需先计算关联系数。，在计算关联度之前需先计算关联系数。（1）关联系数）关联系数设设 nXXXkX0000,.,2,1 nXXXkX0000,.,2,
6、1则关联系数定义为：则关联系数定义为：00000000minminmaxmax()maxmaxXkXkXkXkkXkXkXkXk关联度关联度10式中：式中：kXkX00 kXkX00minmin kXkX00maxmax为第为第k个点个点 称为分辨率，称为分辨率，00.950.800.700.65勉强合格勉强合格0.700.65不合格不合格41（5）按预测模型计算累加数据值）按预测模型计算累加数据值 1,Xtt模型计算值模型计算值实际值实际值12.8742.87426.1066.15239.4619.489412.94212.879516.55616.558 10.037185.2782.4t
7、Xte（6）模型预测数据进行累减运算，还原为原始数）模型预测数据进行累减运算，还原为原始数据列据列 ，计算绝对误差及相对误差。，计算绝对误差及相对误差。0Xtt模型计算值模型计算值 模型计算值模型计算值实际值实际值绝对误差绝对误差 相对误差相对误差q12.8742.8742.8740026.1063.2363.2780.042 1.281%39.4613.3553.337-0.018-0.539%412.9423.4823.39-0.092-2.714%516.5563.6143.6790.065 1.767%0111XtXtXt 0Xt 1Xt 0Xt43（7）后验差检验：）后验差检验：a.
8、计算原始序列标准差计算原始序列标准差:S0=0.29b.计算绝对误差序列的标准差：计算绝对误差序列的标准差：S1=0.061c.计算方差比：计算方差比：C=S1/S0=0.21d.计算小误差概率：计算小误差概率：0000.67450.196PPiS 00123450.0004;0.04;0.017;0.09;0.06ieieeeee0.1961iPP e44（8）预测）预测：tX(1)(t)X(0)(t)516.5583.679620.3053.75724.23.89828.2344.04932.434.191036.784.35例例2：年份年份城市化水平城市化水平%累加生成列累加生成列199
9、935.0735.0735.0735.07200037.7937.7972.8672.86200138.5138.51111.37111.37200240.3440.34151.71151.71200341.8341.83193.54193.54某城市某城市1999-2003年城市化水平值如下表所示，建立年城市化水平值如下表所示，建立GM(1,1)模型，预测模型，预测2010年该城市的城市化水平：年该城市的城市化水平：46年份年份城市化城市化水平水平%累加生累加生成列成列199935.0735.0735.0735.07200037.7937.7972.8672.86200138.5138.51
10、111.37111.37200240.3440.34151.71151.71200341.8341.83193.54193.54解：解：（2）构造矩阵）构造矩阵B和向量和向量Y：135.0772.861253.9651172.86 111.37192.115121131.541111.37 151.7112172.62511151.71 193.5412B(0)(0)(0)(0)37.79(2)38.51(3)40.34(4)41.83(5)xxYxx47（3）求解系数向量）求解系数向量：153.965153.96592.115131.54172.62592.11511111131.54117
11、2.625158499.5567450.245450.24540.000130.014418113.9134();0.01441.87033158.470B BB BB Y10.035335.6397TTnaB BB Y48 1010.035310.0353111008.5021135.07 1008.50211008.502111043.57211008.5021akkkXkXeaaaXkeXke10.035335.6397TTnaB BB Y（4）建立模型）建立模型：（5）计算数据模型值，计算残差）计算数据模型值，计算残差：10.035311043.57211008.5021kXke序序号
12、号累加数据累加数据模型值模型值累加数据累加数据实际值实际值原始数据原始数据模型值模型值原始数据原始数据实际值实际值残差残差相对误差相对误差135.0735.0735.0735.07000.0414272.566072.8637.496037.790.29400.778%0.25263111.4093111.3738.843338.51-0.3333-0.8654%0.37474151.6482151.7140.238940.340.10110.2506%0.05975193.3329193.5441.687441.830.14530.3473%0.1039|50（6）后验差检验）后验差检验：原
13、始序列标准差原始序列标准差:S0=2.5752残差序列标准差：残差序列标准差：S1=0.2346计算方差比：计算方差比：C=S1/S0=0.0911 C0.35，模型精度好模型精度好计算小误差概率：计算小误差概率：0000.67451.7371.7371SPPi51（7）预测）预测：序号序号 年份年份 累加数据模型值累加数据模型值还原原始数据还原原始数据52003193.332941.687462004236.515343.182572005281.249444.734082006327.590746.3413 92007375.597148.0064 102008425.328449.7313 112009476.846651.5182 122010530.215853.3692 52GM(1,1)模型模型习题习题某城市连续某城市连续5年的人口数如表所示，根据此数据建立年的人口数如表所示，根据此数据建立该城市人口预测的该城市人口预测的GM(1，1)模型，并预测第六个年模型，并预测第六个年份的人口数份的人口数序号序号12345总人口总人口(万人万人)720.6725.2737.72750.5760.7
