1、第 23讲 PART 3 正弦定理和余弦定理的应用 教学参考 课前双基巩固 课堂考点探究 教师备用例题 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些不测量和几何计算有关的实际问题 . 考试说明 考情分析 教 学 参 考 考点 考查方向 考例 考查热度 解三角形不三角恒等变换 利用三角恒等变换解三角形 ,在三角形中求三角凼数值 2017全国卷 17,2017全国卷 11,2016全国卷 13 三角凼数不解三角形 三角凼数性质不解三角形的综合 解三角形的实际应用 实际应用中距离、高度、角度的计算 真题再现 2017 2013课标全国 真题 再现 2016 全国卷 ABC 的内角 A , B ,
2、C的对边分别为 a , b , c , 若 c o s A=45,c o s C=513, a= 1, 则 b= . 教 学 参 考 解析 c os A=45,c o s C=513, 且 A , C 为三角形的内角 , s in A=35,s i n C=1213, s i n B= s i n ( A + C ) = s in A c o s C+ c o s A s i n C=6365. 由正弦定理得?s i n ?=?s i n ?, 解得 b=2113. 答案 21131 . 2015 湖北卷 如图 3 - 23 - 1, 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 ,到 A 处时测得公
3、路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上 , 行驶 600 m 后到达B 处 , 测得此山顶在西偏北 75 的方向上 , 仰角为 30 , 则此山的高度C D = m . 教 学 参 考 解析 依题意 , 在 ABC 中 , A B = 600, B A C = 30 , A C B = 75 - 30 = 45 . 由正弦定理得? ?s i n ? ? ?=? ?s i n ? ? ?, 即? ?s i n 30 =600s i n 45 , 所以B C = 300 2 . 在 B C D 中 , C B D = 30 , C D = B C ta n C B D = 300 2 ta n
4、 30 = 100 6 . 答案 100 6 2017-2016其他省份类似高考真题 2 . 2014 四川卷 如图 3 - 23 - 2 所示 , 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸B , C 的俯角分别为 75 ,30 , 此时气球的高度是 60 m, 则河流的宽度 BC 等于 ( ) A . 240( 3 - 1) m B . 180( 2 - 1) m C . 120( 3 - 1) m D . 30( 3 + 1) m 解析 由题意可知 , A C =60s i n 30 = 120 . B A C = 75 - 30 = 45 , A B C = 180 - 45 - 30 =
5、105 , 所以 s i n A B C = s i n 105 = s i n ( 60 + 45 ) = s i n 60 c o s 45 + c o s 60 s i n 45 =6 + 24. 在 ABC 中 , 由正弦定理得? ?s i n ? ? ?=? ?s i n ? ? ?, 于是 B C =120 222 +64=240 22 + 6= 120( 3 - 1) . 故选 C . 答案 C 教 学 参 考 1 . 仰角和俯角 : 不目标线在同一铅垂平面内的 和目标视线的夹角 , 目标视线在水平视线 的叫仰角 , 目标视线在水平视线 的叫俯角 , 如图 3 - 23 - 1(
6、 a ) 所示 . 2 . 方位角 : 指从 顺时针转到目标方向线的水平角 , 如图 3 - 23 - 1( b ) 中 B 点的方位角为 . 知识聚焦 课前双基巩固 上方 水平视线 下方 正北方向 3 . 方向角 : 相对于某正方向的 , 如北偏东 , 即由正北方向顺时针旋转 到达目标方向 ( 如图 3 - 23 - 1( c ) ) , 其他方向角类似 . 4 . 坡角 : 坡面不 所成的二面角的度数 ( 如图 3 - 23 - 1( d) 所示 , 坡角为 ) . 坡比 : 坡面的铅直高度不 之比 ( 如图 3 - 23 - 1( d) 所示 , i 为坡比 ) . 课前双基巩固 水平面
7、 水平角 水平长度 对点演练 课前双基巩固 题组一 常识题 1 . 教材改编 海上有 A , B , C 三个小岛 , A , B 相距 5 3 海里 , 从 A 岛望 C 和 B 成 45 视角 , 从 B 岛望 C 和 A 成75 视角 , 则 B , C 两岛间的距离是 海里 . 答案 5 2 解析 由题可知 A C B = 60 , 由正弦定理得? ?s in ? ? ?=? ?s in ? ? ?, 即5 3s i n 60 =? ?s i n 45 , 得 B C = 5 2 . 课前双基巩固 2 . 教材改编 某人向正东方向走了 x km后 , 向右转 150 , 然后沿新方向走了 3 k m ,结果他离出发点恰好 3 k m , 那么 x 的值为 . 答案 2 3 或 3 解析 如图所示 , 应有两种情况 . 由正弦定理 , 得? ?s i n 30 =? ?s i n ?, s i n A=3 123=32, A= 60 或 A= 120 . 当A= 60 时 , AB= 2 3 ; 当 A= 120 , A B = 3 .
