1、1 1、突出数学思想方法。、突出数学思想方法。（1 1）什么是数学思想方法？）什么是数学思想方法？数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂。是数学的灵魂。数学方法数学方法数学方法是指在数学中提出问题、分析问题、处理问数学方法是指在数学中提出问题、分析问题、处理问题和解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等题和解决问题过程中所采用的各种方式、手段、途径等策略，如分析、综合、抽象、概括、观察、试验、联想、策略，如分析、综合、抽象、概括、观察、试验、联想、猜想、归纳、演绎等。猜想、归纳、演绎等。数学思想数学思想数学思想就是人们对
2、数学知识和方法形成的规律性的数学思想就是人们对数学知识和方法形成的规律性的理性认识和基本看法。理性认识和基本看法。2 2、小学中常用的数学思想方法、小学中常用的数学思想方法数形结合思想方法数形结合思想方法数形结合思想是指将数（量）与（图）形结数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。是将抽象的数学语言与直观的图形维策略。是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使得抽象的数学概念或复杂的数结合起来，使得抽象的数学概念或复杂的数量关系直观化、形象化、简单化，是探索解量关系直观化、形象化、简单化，是探索解题思维途径的重要
3、的基本数学思想。题思维途径的重要的基本数学思想。“数无形时不直观，形无数时难入微。数无形时不直观，形无数时难入微。”这句话形象简练地指出了形和数的互相依这句话形象简练地指出了形和数的互相依赖、互相制约的辩证关系。赖、互相制约的辩证关系。16882例如：比较分数大小例如：比较分数大小 转化思想方法转化思想方法转化就是将有待解决或难以解决的问题，转化就是将有待解决或难以解决的问题，化归为另一个相对比较容易解决的或者已化归为另一个相对比较容易解决的或者已经有解决程序的问题。也就是化未知为已经有解决程序的问题。也就是化未知为已知知,化难为易化难为易,化繁为简、化整为零、化曲化繁为简、化整为零、化曲为直
4、，从而达到知识迁移使问题获得解决。为直，从而达到知识迁移使问题获得解决。六年级下册第六年级下册第1111单元：例单元：例2 2三人围成一圈，每人心中想一个数，并把这三人围成一圈，每人心中想一个数，并把这个数告诉左右相邻的人，然后每个人把两个个数告诉左右相邻的人，然后每个人把两个人告诉自己的数求和并亮出，如图所示，亮人告诉自己的数求和并亮出，如图所示，亮出出1111的人原来想的数是几？的人原来想的数是几？11149转化成简单问题转化成简单问题（甲（甲+乙）乙）+（乙（乙+丙）丙）+（甲（甲+丙）丙）=14+11+9=14+11+92 2（甲（甲+乙乙+丙）丙）=34=34加加+乙乙+丙丙=17=
5、17亮出亮出1111的人想的是的人想的是17-11=617-11=6不规则图形转化成规则图形不规则图形转化成规则图形 等量代换的方法等量代换的方法用水位下降的体积替代圆锥用水位下降的体积替代圆锥的体积，圆锥的体积等于圆的体积，圆锥的体积等于圆柱的底面积乘下水降低的高柱的底面积乘下水降低的高度。度。等底等高的三角等底等高的三角形面积相等，每形面积相等，每个三角形的面积个三角形的面积等于平行四边形等于平行四边形面积的一半，蓝面积的一半，蓝色三角形面积等色三角形面积等于平行四边形面于平行四边形面积的一半，在等积的一半，在等积的情况下三角积的情况下三角形之间可以进行形之间可以进行替换。替换。还原就是把
6、问题倒过来或从问题的反面思考或逆用某还原就是把问题倒过来或从问题的反面思考或逆用某些数学公式、法则解决问题。些数学公式、法则解决问题。还原方法还原方法一筐苹果第一次吃了一半，第二次吃了剩余的一半，一筐苹果第一次吃了一半，第二次吃了剩余的一半，第三次吃了再剩余的一半，还剩余第三次吃了再剩余的一半，还剩余3个，这筐苹果有个，这筐苹果有多少个？多少个？还剩还剩3 3个个3222=24（个）（个）用实验的方法解决问题用实验的方法解决问题甲、乙两个修路队共同修一条路，甲队甲、乙两个修路队共同修一条路，甲队单独工作用单独工作用15天完成任务，乙队单独工天完成任务，乙队单独工作用作用12天，为了减少工作疲劳
7、，甲队工天，为了减少工作疲劳，甲队工作一天之后，乙队工作一天，接着甲队作一天之后，乙队工作一天，接着甲队工作一天，这样排下去最后完成的是甲工作一天，这样排下去最后完成的是甲队还是乙队？队还是乙队？1151121（）天数天数【】预估合作的天数预估合作的天数1151121（）7【】1151121（）6【】算出由谁最后完成任务算出由谁最后完成任务引进数学文化，开拓学生视野引进数学文化，开拓学生视野数学是一门学科知识数学是一门学科知识数学是一门多彩艺术数学是一门多彩艺术数学是一个通往无限遐想的隧道数学是一个通往无限遐想的隧道数学是美和奇的化身数学是美和奇的化身数学是打开思维的天窗数学是打开思维的天窗数
8、学是一部人类进步史数学是一部人类进步史数学是创造财富的宝库数学是创造财富的宝库 我国是世界上最早认识和使用小数的国家。公元3世纪，我国数学家刘徽在注释九章算术中处理平方根问题时就提出了十进小数。到了元朝，刘瑾在律吕成书（1300年左右）一书中，用算筹把小数部分降低一格来表示小数。如：这是世界上最早的小数表示法。比欧洲早采用了三百多年。表示3.12。欧洲数学家直到16世纪才开始考虑小数，其中较突出的是荷兰人斯蒂文，他在论十进制(1583年)一书中明确了小数的表示法。如：把5.714记为：5714 或5,714 这种表示方法，使小数的形 式复杂化，并且给小数的运算带 来很大的麻烦。1592年，瑞士
9、数学家布尔基 （Jobst Burgi）对此作出较大 的改进。他用一空心小圆圈把 整数部分和小数部分隔开。比如：把 36.548 表示为 36。548 这与现代的表示法已极为接近。大约过了一年，德国的克拉维斯(15371612)，首先用黑点代替了小圆圈。他在星盘(1593年)一书中开始使用小数点作为整数部分与小数部分之间的分界符。1617年英国数学家纳皮尔在小数计算法一书中，用逗号作为小数符号。现在世界上一部分国家用小圆点“”表示小数点，像中国、英国、美国等，还有一部分国家用逗号“，”表示小数点，像德国、法国、俄国等国家。.古希腊的毕达格拉斯学派提出古希腊的毕达格拉斯学派提出”一切平面图形中一
10、切平面图形中最美的图形是圆形最美的图形是圆形”.1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 11 5 10 10 5 1 杨辉三角最本质的杨辉三角最本质的特征是特征是:它的两条斜它的两条斜边都是由数字边都是由数字1组组成的成的.而其余的数则而其余的数则是等于它肩上的两是等于它肩上的两个数之和个数之和.在国外在国外,这也叫做这也叫做”帕斯卡帕斯卡三角形三角形”.a+b=b+aa b=b aa+(b+c)=(a+b)+c观察下面的图形，你知道下一个会是什么图形吗？从运算关系角度看：从运算关系角度看：+与与-、与与、乘方与开方、指数与、乘方与开方、指数与对数、微分与积分、矩阵与逆对数、微
11、分与积分、矩阵与逆矩阵、矩阵、这些互逆运算也可这些互逆运算也可视为视为“对称对称”关系关系美和对称紧密相连魏尔义务教育课程标准实验教科书义务教育课程标准实验教科书（人教版）五年级下册（人教版）五年级下册1 1不等号的产生不等号的产生从、的产生到应用历经一个从、的产生到应用历经一个世纪的时间。世纪的时间。英国数学家哈里奥特在英国数学家哈里奥特在16211621年前发展年前发展的代数符号，他在关于大于和小于的记号写的代数符号，他在关于大于和小于的记号写道：道：大于的记号：大于的记号：a ab b表示表示a a量大于量大于b b量。量。小于的记号：小于的记号：a ab b表示表示a a量小于量小于b
12、 b量量2 2用字母表示数是人类对数认识飞跃的标志用字母表示数是人类对数认识飞跃的标志从从量量到到数数是人类对数的是人类对数的第一次第一次飞跃认识飞跃认识 三头牛用三头牛用3 3表示表示两只羊用两只羊用2 2表示表示 由于社会进步人类的需求引发由于社会进步人类的需求引发第二次认识飞跃第二次认识飞跃“用字母表示数用字母表示数”穿越穿越“时间隧道时间隧道”回到回到17001700多年前的古多年前的古代希腊。代希腊。希腊数学家丢番图希腊数学家丢番图在在算术算术著作中，首次用著作中，首次用符号符号“”表示未知数。表示未知数。在前人积累下来的经验基础上，在前人积累下来的经验基础上，韦达韦达首次用元音首次
13、用元音字母字母A A、E E、I I、O O、U U、Y Y表示未知数，辅音字母表示未知数，辅音字母B B、C C、D D、G G表示已知数，从而使代数不仅用数，表示已知数，从而使代数不仅用数，也用字母计算。也用字母计算。法国数学家法国数学家韦达韦达 被西方称为被西方称为“代数学之父代数学之父”法国数学家法国数学家笛卡儿笛卡儿 采用采用a a、b b、c c代表已知数，用字母代表已知数，用字母x x、y y、z z代表未知数，初步建立了代数代表未知数，初步建立了代数符号系统，与韦达相比，不仅完善、符号系统，与韦达相比，不仅完善、发展了代数符号系统，而且具有简发展了代数符号系统，而且具有简洁明快
14、的特点，发展成为今天的用洁明快的特点，发展成为今天的用法。法。法国数学家厄里冈又改进了韦达号，法国数学家厄里冈又改进了韦达号，用用 表示表示a aa a ；用用 表示表示a aa aa a使符号代数就更加完美。使符号代数就更加完美。我国古代我国古代南宋数学家李冶南宋数学家李冶也曾用不也曾用不同字表示已知数或未知数。同字表示已知数或未知数。a2a33 3方程的由来方程的由来含有含有未知数未知数的的等式等式叫做方程。叫做方程。方程一词在我国早期的数学专著方程一词在我国早期的数学专著九九章算术章算术中中,指的是包含多个未知量的指的是包含多个未知量的联立一次方程，即现在所说的线性方联立一次方程，即现在
15、所说的线性方程组。程组。中国古代数学家中国古代数学家刘徵刘徵注注九九章算术章算术时，给这种时，给这种“方程方程”下的定义是：下的定义是：“程，课程也，程，课程也，群物总杂各列有数，总言其群物总杂各列有数，总言其实，令每行为率。二物者再实，令每行为率。二物者再程，三物者三程，皆如物数程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程之，并列为行，故谓之方程。程。”4 4、方程的由来、方程的由来九章算术九章算术一书中一书中卷第八方程卷第八方程今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三
16、十四斗；上禾一秉，中禾二饼，下禾三秉，三十四斗；上禾一秉，中禾二饼，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉，九斗四分斗之一，答曰：上禾一秉，九斗四分斗之一，中禾一秉，四斗四分斗之一，中禾一秉，四斗四分斗之一，下禾一秉，二斗四分斗之三。下禾一秉，二斗四分斗之三。5 5、有关九章算术的方程、有关九章算术的方程方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方，以右行上禾遍乘中行，而以直除。又乘方，以右行上禾遍乘中行，而以直除。又乘
17、其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行，而以直除。左方下禾不尽者，上为法、左行，而以直除。左方下禾不尽者，上为法、下为实。实即下禾之实，求中禾，以法乘中下为实。实即下禾之实，求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。上禾之实。实皆如法，各得一斗。中国古代中国古代列方程列方程的方法，如下表：的方法，如下表：左行左行中行中行
18、右行右行头位头位上禾上禾 1 23中位中位中禾中禾 232下位下位下禾下禾 311实实 263439以右行为例现今表示为：以右行为例现今表示为：3 3x+x+2 2y+z=y+z=3939左行左行中行中行右行右行头位头位上禾上禾 1 23中位中位中禾中禾 232下位下位下禾下禾 311实实 263439古今三元一次古今三元一次方程比较，异方程比较，异曲同工。曲同工。6 6、丢番图的墓志、丢番图的墓志希腊数学家丢番图（公元希腊数学家丢番图（公元3 34 4世纪）的墓世纪）的墓碑上记载着：碑上记载着：“他生命的他生命的六分之一六分之一是幸福的童年；再是幸福的童年；再活了他生命的活了他生命的十二分之
19、一十二分之一，两颊长起了细细，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之七分之一一；再过；再过五年五年，他有了儿子，感到很幸福；，他有了儿子，感到很幸福；可是，儿子只活了他父亲可是，儿子只活了他父亲全部生命的一半全部生命的一半；儿子死后，他又在极度的悲伤中度过了儿子死后，他又在极度的悲伤中度过了四年四年，也与世长辞了。也与世长辞了。”（1 1）丢番图的寿命。）丢番图的寿命。（2)2)丢番图开始当爸爸时的年龄。丢番图开始当爸爸时的年龄。（3 3）儿子死时丢番图的年龄。）儿子死时丢番图的年龄。解答：解答：设他的寿命为设他的寿命为X X X=X=（1/61/
20、6）X+X+（1/121/12）X+X+（1/71/7）X+X+（1/21/2）X+5+4 X+5+4 X=X=（25/2825/28）X+9 X+9 9=9=（3/283/28）X X X=84 X=84（1 1）丢番图的寿命为）丢番图的寿命为8484。（2)2)丢番图开始当爸爸时的年龄为丢番图开始当爸爸时的年龄为42 42 （3 3）儿子死时丢番图的年龄为）儿子死时丢番图的年龄为80 80 7 7、对联中的方程、对联中的方程乾隆乾隆5050年，为了庆祝国泰民安，乾隆年，为了庆祝国泰民安，乾隆请了近请了近10001000名有名望的老人参加宴会，名有名望的老人参加宴会，这是乾隆年间有名的千叟宴，参加宴这是乾隆年间有名的千叟宴，参加宴会的人中有一位最年长的老者，乾隆会的人中有一位最年长的老者，乾隆为他写了上联：为他写了上联：“花甲重开又加三七花甲重开又加三七岁月。岁月。”大学士纪晓岚为他写出下联：大学士纪晓岚为他写出下联：“古稀双庆更多一度春秋古稀双庆更多一度春秋”。这位老。这位老者当时是多少岁？者当时是多少岁？用用X X表示表示花甲花甲，用，用Y Y表示表示古稀古稀，可以列出，可以列出不定方程不定方程 2X+32X+37=2Y+17=2Y+1，X=60X=60 Y=70 Y=70用用数数和和符号符号展示了文学语言之妙，展示了文学语言之妙，揭示了数学之美。揭示了数学之美。
