1、2022年天津市高考数学试卷一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分）1（5分）设全集U2，1，0，1，2，集合A0，1，2，B1，2，则A（UB）（）A0，1B0，1，2C1，1，2D0，1，1，22（5分）“x为整数”是“2x+1为整数”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充分必要D既不充分也不必要3（5分）函数f（x）=|x2-1|x的图像为（）ABCD4（5分）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12，13），13，14），14，15），15，16），16，17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，
2、右图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A8B12C16D185（5分）已知a20.7，b（13）0.7，clog213，则（）AacbBbcaCabcDcab6（5分）化简（2log43+log83）（log32+log92）的值为（）A1B2C4D67（5分）已知抛物线y245x，F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，与双曲线的渐近线交于点A，若F1F2A=4，则双曲线的标准方程为（）Ax210-y21Bx2-y216=1Cx2-y24=1D
3、x24-y218（5分）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A23B24C26D279（5分）已知f（x）=12sin2x，关于该函数有下列四个说法：f（x）的最小正周期为2；f（x）在-4，4上单调递增；当x-6，3时，f（x）的取值范围为-34，34；f（x）的图象可由g（x）=12sin（2x+4）的图象向左平移8个单位长度得到以上四个说法中，正确的个数为（）A1B2C3D4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）10（
4、5分）已知i是虚数单位，化简11-3i1+2i的结果为 11（5分）（x+3x2）5的展开式中的常数项为 12（5分）若直线xy+m0（m0）与圆（x1）2+（y1）23相交所得的弦长为m，则m 13（5分）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 14（5分）在ABC中，CA=a，CB=b，D是AC中点，CB=2BE，试用a，b表示DE为 ，若ABDE，则ACB的最大值为 15（5分）设aR，对任意实数x，记f（x）min|x|2，x2ax+3a5若f（x）至少有3个零点，则实数a的取值范围为 三、解答题（本大题共5小
5、题，共75分）16（15分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=6，b2c，cosA=-14（1）求c的值；（2）求sin B的值；（3）求sin（2AB）的值17（15分）直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC2，AA1AB，ACAB，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点（1）求证：EF平面ABC；（2）求直线BE与平面CC1D的正弦值；（3）求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值18（15分）设an是等差数列，bn是等比数列，且a1b1a2b2a3b31（1）求an与bn的通项公式；（2）设an的前n项和为Sn，求证：（Sn+1+an+1）bnSn+1
6、bn+1Snbn；（3）求k=12n ak+1（1）kakbk19（15分）椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足|BF|AB|=32（1）求椭圆的离心率e；（2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）记O为坐标原点，若|OM|ON|，且OMN的面积为3，求椭圆的标准方程20（15分）已知a，bR，函数f（x）exasinx，g（x）bx（1）求函数yf（x）在（0，f（0）处的切线方程；（2）若yf（x）和yg（x）有公共点（）当a0时，求b的取值范围；（）求证：a2+b2e2022年天津市高考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本
7、题共9小题，每小题5分，共45分）1（5分）设全集U2，1，0，1，2，集合A0，1，2，B1，2，则A（UB）（）A0，1B0，1，2C1，1，2D0，1，1，2【解答】解：全集U2，1，0，1，2，集合A0，1，2，B1，2，则A（UB）0，1，22，0，10，1故选：A2（5分）“x为整数”是“2x+1为整数”的（）条件A充分不必要B必要不充分C充分必要D既不充分也不必要【解答】解：x为整数时，2x+1也是整数，充分性成立；2x+1为整数时，x不一定是整数，如x=12时，所以必要性不成立，是充分不必要条件故选：A3（5分）函数f（x）=|x2-1|x的图像为（）ABCD【解答】解：函数f
8、（x）=|x2-1|x的定义域为（，0）（0，+），f（x）=|x2-1|-x=-f（x），该函数为奇函数，故A错误；x0时，x0，f（x）+；x1，f（x）0；x+，f（x）+，故BC错误，D正确故选：D4（5分）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为12，13），13，14），14，15），15，16），16，17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A8B12C16D18【解答】解：志愿者
9、的总人数为20(0.24+0.16)1=50，第3组的人数为500.3618，有疗效的人数为18612人故选：B5（5分）已知a20.7，b（13）0.7，clog213，则（）AacbBbcaCabcDcab【解答】解：因为y2x是定义域R上的单调增函数，所以20.7201，即a20.71；因为y=(13)x是定义域R上的单调减函数，所以(13)0.7(13)0=1，且b（13）0.7，所以0b1；因为ylog2x是定义域（0，+）上的单调增函数，所以log213log210，即clog2130；所以abc故选：C6（5分）化简（2log43+log83）（log32+log92）的值为（）
10、A1B2C4D6【解答】解：（2log43+log83）（log32+log92）（2lg3lg4+lg3lg8）（lg2lg3+lg2lg9）（lg3lg2+lg33lg2）（lg2lg3+lg22lg3）=43lg3lg232lg2lg3 2故选：B7（5分）已知抛物线y245x，F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1（a0，b0）的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点F1，与双曲线的渐近线交于点A，若F1F2A=4，则双曲线的标准方程为（）Ax210-y21Bx2-y216=1Cx2-y24=1Dx24-y21【解答】解：由题意可得抛物线的准线为x=-5，又抛物线的准线过双曲线
11、的左焦点F1，c=5，联立x=-cy=-bax，可得|yA|=bca，又F1F2A=4，|yA|F1F2|，bca=2c，b2a，b24a2，又c2a2+b2，5a2+4a2，a21，b24，双曲线的标准方程为x2-y24=1故选：C8（5分）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（）A23B24C26D27【解答】解：该几何体由直三棱柱AFDBHC及直三棱柱DGCAEB组成，作HMCB于M，如图，因为CHBH3，CHB120，所以CMBM=332，HM=32，因为重叠后的底面为正方形，所以AB
12、BC33，在直棱柱AFDBHC中，AB平面BHC，则ABHM，由ABBCB可得HM平面ADCB，设重叠后的EG与FH交点为I，则VIBCDA=13333332=272，VAFDBHC=12333233=814，则该几何体的体积为V2VAFDBHCVIBCDA2814-272=27故选：D9（5分）已知f（x）=12sin2x，关于该函数有下列四个说法：f（x）的最小正周期为2；f（x）在-4，4上单调递增；当x-6，3时，f（x）的取值范围为-34，34；f（x）的图象可由g（x）=12sin（2x+4）的图象向左平移8个单位长度得到以上四个说法中，正确的个数为（）A1B2C3D4【解答】解：
13、对于f（x）=12sin2x，它的最小正周期为22=，故错误；在-4，4，2x-2，2，函数f（x）单调递增，故正确；当x-6，3时，2x-3，23，f（x）的取值范围为-34，12，故错误；f（x）的图象可由g（x）=12sin（2x+4）的图象向右平移8个单位长度得到，故错误，故选：A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）10（5分）已知i是虚数单位，化简11-3i1+2i的结果为 15i【解答】解：11-3i1+2i=(11-3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=5-25i5=15i，故答案为：15i11（5分）（x
14、+3x2）5的展开式中的常数项为 15【解答】解：(x+3x2)5的展开式的通项是C5rx5-r(3x2)r=C5r3rx5-5r2要求展开式中的常数项只要使得55r0，即r1常数项是C51315，故答案为：1512（5分）若直线xy+m0（m0）与圆（x1）2+（y1）23相交所得的弦长为m，则m2【解答】解：圆心C（1，1）到直线xy+m0（m0）的距离d=m2，又直线与圆相交所得的弦长为m，m=2r2-d2，m2=4(3-m22)，解得m2故答案为：213（5分）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 1221；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 1
15、17【解答】解：由题意，设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C，则P（BC）=452351=1221，P（B）=452=113，P（C|B）=P(BC)P(B)=1221113=117，故答案为：1221；11714（5分）在ABC中，CA=a，CB=b，D是AC中点，CB=2BE，试用a，b表示DE为 3b-a2，若ABDE，则ACB的最大值为 6【解答】解：ABC中，CA=a，CB=b，D是AC中点，CB=2BE，如图：DE=CE-CD=CB+BE-12CA=b+b2-a2=3b-a2AB=CB-CA=b-a，ABDE，ABDE=（b-a）3b-a2=12（3b2-4ab+a2）
16、0，即4ab=a2+3b2，即4abcosCa2+3b2，即cosC=a2+3b24ab23ab4ab=32，当且仅当a3b时，等号成立，故cosC的最小值为32，故C的最大值为6，即ACB的最大值为6，故答案为：3b-a2；615（5分）设aR，对任意实数x，记f（x）min|x|2，x2ax+3a5若f（x）至少有3个零点，则实数a的取值范围为 10，+）【解答】解：设g（x）x2ax+3a5，h（x）|x|2，由|x|20可得x2要使得函数f（x）至少有3个零点，则函数g（x）至少有一个零点，则a24（3a5）0，解得a2或a10当a2时，g（x）x22x+1，作出函数g（x）、h（x）
17、的图象如下图所示：此时函数f（x）只有两个零点，不合乎题意；当a2时，设函数g（x）的两个零点分别为x1、x2（x1x2），要使得函数f（x）至少有3个零点，则x22，所以，a2-2g(-2)=5a-10，解得a；当a10时，g（x）x210x+25，作出函数g（x）、h（x）的图象如下图所示：由图可知，函数f（x）的零点个数为3，合乎题意；当a10时，设函数g（x）的两个零点分别为x3、x4（x3x4），要使得函数f（x）至少有3个零点，则x32，可得a22g(2)=a-10，解得a4，此时a10综上所述，实数a的取值范围是10，+）故答案为：10，+）三、解答题（本大题共5小题，共75分）
18、16（15分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a=6，b2c，cosA=-14（1）求c的值；（2）求sin B的值；（3）求sin（2AB）的值【解答】解（1）因为a=6，b2c，cosA=-14，由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc=4c2+c2-64c2=-14，解得：c1；（2）cosA=-14，A（0，），所以sinA=1-cos2A=154，由b2c，可得sinB2sinC，由正弦定理可得asinA=csinC，即6154=1sinC，可得sinC=108，所以sinB2sinC2108=104；（3）因为cosA=-14，sinA=154，所以sin
19、2A2sinAcosA2（-14）154=-158，cos2A2cos2A12116-1=-78，sinB=104，可得cosB=64，所以sin（2AB）sin2AcosBcos2AsinB=-15864-（-78）104=108，所以sin（2AB）的值为10817（15分）直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1ABAC2，AA1AB，ACAB，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点（1）求证：EF平面ABC；（2）求直线BE与平面CC1D的正弦值；（3）求平面A1CD与平面CC1D夹角的余弦值【解答】解：（1）证明：取BB1的中点G，连接FG，EG，连接AD交EG于K，再连接FK，
20、EKA1B1，且E是AA1的中点，则K是AD的中点，FKAC，EGAB，又FK平面ABC，AC平面ABC，FK平面ABC，同理可得，EG平面ABC，又FKEGK，平面EFG平面ABC，EF平面ABC，（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACAB，则可建立如图所示的空间直角坐标系，、又AA1ABAC2，D为A1B1中点，E为AA1中点，F为CD中点故B（2，2，0），E（1，0，0），C（2，0，2），C1（0，0，2），D（0，1，0），则BE=（1，2，0），CC1=（2，0，0），CD=（2，1，2），设n=（x，y，z）是平面CC1D的法向量，则有：nCC1=0，nCD=0，即-2x=
21、0-2x+y-2z=0，令z1，则x0，y2，所以n=(0，2，1)，设直线BE与平面CC1D的夹角为，则sin|cosBE，n|-2255|=45，（3）A1（0，0，0），则A1C=（2，0，2），A1D=（0，1，0），设平面A1CD的法向量为m=（x，y，z），则有mA1C=0，mA1D=0，即2x+2z=0y=0，令x1，则y0，z1，故m=(1，0，-1)，设平面A1CD与平面CC1D的夹角为，所以cos|cosn，m|-1152|=101018（15分）设an是等差数列，bn是等比数列，且a1b1a2b2a3b31（1）求an与bn的通项公式；（2）设an的前n项和为Sn，求证：
22、（Sn+1+an+1）bnSn+1bn+1Snbn；（3）求k=12n ak+1（1）kakbk【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，a1b1a2b2a3b31，1+dq1，1+2dq21，解得dq2，an1+2（n1）2n1，bn2n1（2）证明：bn+12bn0，要证明（Sn+1+an+1）bnSn+1bn+1Snbn，即证明（Sn+1+an+1）bnSn1bn2bnSnbn，即证明Sn+1+an+12Sn+1Sn，即证明aa+1Sn+1Sn，由数列的通项公式和前n项和的关系得：aa+1Sn+1Sn，（Sn+1+an+1）bnSn+1bn+1Snbn（3）a2
23、k-(-1)2k-1a2k-1b2k1+a2k+1（1）2k2kb2k（4k1+4k3）22k2+4k+1（4k1）22k12k4k，k=12n ak+1（1）kakbk=k=1n a2k（1）2k1a2k1b2k1+a2k+1-(-1)2ka2kb2k=k=12n 2k4k，设Tn=k=1n 2k4k则Tn=24+442+643+2n4n，4Tn242+443+644+2n4n+1，得：3Tn2（4+42+43+44+4n）2n4n+1=24(1-4n)1-4-2n4n+1 =(2-6n)4n+1-83，Tn=(6n-2)4n+1+89，k=12n ak+1（1）kakbk=(6n-2)4n
24、+1+8919（15分）椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足|BF|AB|=32（1）求椭圆的离心率e；（2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）记O为坐标原点，若|OM|ON|，且OMN的面积为3，求椭圆的标准方程【解答】解：（1）|BF|AB|=aa2+b2=32，a2a2+b2=34，a23b2，a23（a2c2），2a23c2，e=c2a2=23=63；（2）由（1）可知椭圆为x2a2+y2a23=1，即x2+3y2a2，设直线l：ykx+m，联立x2+3y2a2，消去y可得：（3k2+1）x2+6kmx+（3m2a2）0，
25、又直线l与椭圆只有一个公共点，36k2m24（3k2+1）（3m2a）0，3m2a2（3k2+1），又xM=-3km3k2+1，yM=kxM+m=-3k2m3k2+1+m=m3k2+1，又|OM|ON|，(-3km3k2+1)2+(m3k2+1)2=m2，解得k2=13，k33，又OMN的面积为12|ON|xM|=12|m|-3km3k2+1|=3，123m22=3，m24，又k=33，3m2a2（3k2+1），a26，b22，椭圆的标准方程为x26+y22=120（15分）已知a，bR，函数f（x）exasinx，g（x）bx（1）求函数yf（x）在（0，f（0）处的切线方程；（2）若yf（
26、x）和yg（x）有公共点（）当a0时，求b的取值范围；（）求证：a2+b2e【解答】解：（1）f（x）exasinx，f（x）exacosx，f（0）1，f（0）1a，函数yf（x）在（0，1）处的切线方程为y（1a）x+1；（2）（）a0，f（x）ex，又yf（x）和yg（x）有公共点，方程f（x）g（x）有解，即ex=bx有解，显然x0，b=exx在（0，+）上有解，设h（x）=exx，（x0），h（x）=ex(2x-1)2xx，当x（0，12）时，h（x）0；当x（12，+）时，h（x）0，h（x）在（0，12）上单调递减，在（12，+）上单调递增，h(x)min=h(12)=2e，且当x0时，h（x）+；当x+时，h（x）+，h（x）2e，+），b的范围为2e，+）；（）证明：令交点的横坐标为x0，则ex0=asinx0+bx0，由柯西不等式可得e2x0=(asinx0+bx0)2（a2+b2）（sin2x0+x0）a2+b2e2x0sin2x0+x0，又易证x0时，xsinx，exex，exx+1，e2x0sin2x0+x0=ex0ex0sin2x0+x0ex0(x0+1)x02+x0=e，故a2+b2e第19页（共19页）
