1、7.4 基本不等式及不等式的应用,高考数学,考点一基本不等式1.几个重要不等式(1)a2+b22ab(a,bR).(2)?(a,bR+).(3)?+?2(a,b同号).(4)ab?(a,bR).(5)?(a,bR+).(6)三角不等式|a|-|b|ab|a|+|b|,知识清单,|a1a2an|a1|+|a2|+|an|.2.利用算术平均数与几何平均数求函数的最值(1)已知x、yR+,如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值,是2?.(2)已知x、yR+,如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值,是?S2.,考点二不等式的综合应用1.常用的证明方法(1)比较法a.作差比较
2、.如,a、b、m均为正数,且a?.基本步骤:作差,变形,定号.b.作商比较.基本步骤:作商,变形,与1比较大小.(2)分析法与综合法令字母A、A1、A2、An、B分别表示一个不等式,其中B为已知不等式,A为待证不等式.若有A?A1?A2?An?B,综合法是由B前进式地推导A,分析法则是由A倒退式地分析到B.用分析法时,必须步步充分.,(3)反证法从否定结论出发,经过逻辑推理,得出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论正确.(4)放缩法欲证AB,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,即BB1,B1B2,BiA或AA1,A1A2,AiB,再利用传递性,达到证明目的.(5)三角代换法如,
3、若x2+y2=1,求证:|x2-2xy-y2| ?.分析:由于x2+y2=1,故可设x=cos ,y=sin ,则|x2-2xy-y2|=|cos2-2sin cos -sin2|=? ?.,(6)基本不等式法使用时要注意条件是否满足以及等号何时取得.(7)函数增减性法如,若0u?,求证:u+?.分析:基本不等式的基本条件不具备,即u=?时,u=1,而0b0,am0,则?1,?-?0,b0)定义域内不含实数 ?的类型的最值问题,要会用函数单调性求解. 例1(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,16)已知a+b=5(a-1,b-2),则?+?的最大值为.,方法技巧,解题导引把?+?平方后开方利用基
4、本不等式得最大值检验等号成立的条件结论,解析a+10,b+20,?+?=?=4,当且仅当a=b+1时取等号,又a+b=5,故当a=3,b=2时,?+?取最大值,最大值为4.,答案4,评析本题考查利用基本不等式求最值,平方消去根号,考查化归转化思想.在解答此类问题时,一定要注意“一正、二定、三相等”的原则.,不等式综合应用的解题策略例2(2017浙江宁波二模(5月),17)若6x2+4y2+6xy=1,x,yR,则x2-y2的最大值为 .,解题导引 导引一:设x+y=m,x-y=n,将原问题转化为已知4m2+mn+n2=1,求mn的最大值问题利用基本不等式得最大值检验等号成立的条件结论导引二:利
5、用x2-y2=?,将x2-y2化为齐次式设t=?,转化为求关于t的分式函数的最大值利用判别式求最大值结论导引三:凑配系数,利用基本不等式求最大值检验等号成立的条件结论,解析解法一:设m=x+y,n=x-y,则问题转化为“已知4m2+mn+n2=1,求mn的最大值”.由基本不等式,知1=mn+4m2+n2mn+4|mn|,所以-?mn?,当且仅当n=2m,即x=-3y时,取到最大值?.解法二(齐次化处理):显然要使得目标函数取到最大值,x0.令z=x2-y2=?=?,设t=?,则z=?,则(4z+1)t2+6zt+6z-1=0对tR有解.,当z=-?时,t=-?.当z-?时,=36z2-4(4z+1)(6z-1)0,解得-?z?.当t=-?=-?时取到最大值.解法三:1=6x2+4y2+6?y6x2+4y2-6?=5x2-5y2,所以x2-y2?,当且仅当x=-3y时取等号.,答案,评析本题考查利用基本不等式求最值,判别式法求最值,凑配系数法求最值等基础知识,考查换元法、凑配法、判别式法,以及函数与方程思想,分类讨论思想和化归与转化思想.,
