1、一、一、矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础主要内容主要内容：矢量的基本概念、代数运算矢量分析基础场论基础（梯度、矢量场的散度和旋度）矢量场的Helmholtz定理第二讲第二讲标量场 矢量场直角直角(x,y,z)xzyz=z 0 x=x 0y=y 0P0zexeyeO直角坐标系直角坐标系1.1 标量积和矢量积标量积和矢量积 矢量的相乘有两种定义:标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。标量积AB是一标量,其大小等于两个矢量模值相乘,再乘以它们夹角AB(取小角,即AB)的余弦:ABaABBAcos它符合交换律:ABBA并有 10zzyyxxxzzyyx因而得 2222AAAAAABABABABAzyxz
2、zyyxx 矢量积AB是一个矢量,其大小等于两个矢量的模值相乘,再乘以它们夹角AB()的正弦,其方向与A,B成右手螺旋关系,为A,B崐所在平面的右手法向 :n ABaABnBAsin它不符合交换律。由定义知,)(ABBA并有 0,xxyyzzxyz yzx zxy故()()()()()xyzxyzyzzyzxxxxyyxA BxAyAzAxByBzBx A BA By A BA Bz A BA BAB各分量的下标次序具有规律性。例如,分量第一项是yz,其第二项下标则次序对调:zy,依次类推。并有 x zyxzyxBBBAAAzyxBA1.2 三重积三重积;矢量的三连乘也有两种。标量三重积为)(
3、)()(BACACBCBA矢量三重积为)()()(BACCABCBA公式右边为“BAC-CAB”,故称为“Back-Cab”法则,以便记忆。图 1-3 矢量乘积的说明 1.3 通量与散度通量与散度,散度定理散度定理 在描绘矢量场的特性时,矢量场穿过一个曲面的通量是一个很有用的概念。在矢量分析中,将曲面的一个面元用矢量ds来表示,其方向取为面元的法线方向,其大小为ds,即 dsnds 是面元的法线方向单位矢量。的取法(指向)有两种情形:对开曲面上的面元,设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的,则当选定绕行l的方向后,沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是 的方向,如图1-4所示;对封闭曲面上的面元,取为
4、封闭面的外法线方向。n n n n 1.3.1 通量通量 图 1-4 开曲面上的面元 将曲面S各面元上的Ads相加,它表示A穿过整个曲面S的通量,也称为A在曲面S上的面积分:ssdsnAdsA如果S是一个封闭面,则 SdsA表示A穿过封闭面的通量。若0,表示有净通量流出,这说明S内必定有矢量场的源;若0,表示有净通量流入,说明S内有洞(负的源)。通过封闭面的电通量e等于该封闭面所包围的自由电荷Q。若Q为正电荷,e为正,有电通量流出;反之,若Q为负电荷,则e为负,有电通量流入。1.3.2 散度散度,哈密顿算子哈密顿算子;定义如下极限为矢量A在某点的散度(divergence),记为divA:Vd
5、sAdivASxlim 式中V为封闭面S所包围的体积。此式表明,矢量A的散度是标量,它是A通过某点处单位体积的通量(即通量体密度)。它反映A在该点的通量源强度。显然,在无源区中,A在各点的散度为零。这个区域中的矢量场称为无散场或管形场。哈密顿(W.R.Hamilton)引入倒三角算符(读作“del(德尔)”或“nabla(那勃拉)”)表示下述矢量形式的微分算子:zzyyxx它兼有矢量和微分运算双重作用,因而与普通矢量有所不同:;AAAA A的散度可表示为算子与矢量A的标量积,即 AdivAzAyAxAAzAyAxzzyyxxAzyxzyx)(利用哈密顿算子,读者可以证明,散度运算符合下列规则:
6、()()ABABAAA 1.3.3 散度定理散度定理 既然矢量的散度代表的是其通量的体密度,因此直观地可知,矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量,即 VdsAAdv上式称为散度定理,也称为高斯公式。利用散度定理可将矢量散度的体积分化为该矢量的封闭面积分,或反之。例例1.1 球面S上任意点的位置矢量为,r rz zyyxxr试利用散度定理计算 Sdsr解解 3zzyyxxrVSVrrdvrdvrds33434331.4 环量与旋度环量与旋度,斯托克斯定理斯托克斯定理 1.4.1 环量环量 矢量A沿某封闭曲线的线积分,定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量),记为 ldlA图 1-
7、5 矢量场的环量 1.4.2 旋度的定义和运算旋度的定义和运算 为反映给定点附近的环量情况,我们把封闭曲线收小,使它包围的面积S趋近于零,取极限 0limlSA dlS 这个极限的意义就是环量的面密度,或称环量强度。由于面元是有方向的,它与封闭曲线l的绕行方向成右手螺旋关系,因此在给定点处,上述极限值对于不同的面元是不同的。为此,引入如下定义,称为旋度(curl或rotation):max0 limlSA dlrot AnS 可见,矢量A的旋度是一个矢量,其大小是矢量A在给定点处的最大环量面密度,其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时,该面元矢量的方向 。它描述A在该点处的旋涡源强度。若某区
8、域中各点rot A=0,称A为无旋场或保守场。n 矢量A的旋度可表示为算子与A的矢量积,即 rot AA 计算A时,先按矢量积规则展开,然后再作微分运算,得 yAxAzxAzAyzAyAxAzAyAxzzyyxxAxyzxyzzyx)(xyzxyzrot AAxyzAAA 即 旋度运算符合如下规则:AAAABAABBAAAABABA2)(0)()()()(在直角坐标系中有 zyxAzAyAxA22221.4.3 斯托克斯定理斯托克斯定理 因为旋度代表单位面积的环量,因此矢量场在闭曲线l上的环量就等于l所包围的曲面S上的旋度之总和,即 lsdlAdsA)(此式称为斯托克斯(Stokes)定理或斯
9、托克斯公式。它可将矢量旋度的面积分变换为该矢量的线积分,或反之。例例1.2 自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为 2/3222030)(44zyxz zyyxxqrrqE求任意点处(r0)电场强度的旋度E。3333330333044rxyryxzrzxrxzyryzrzyxqrzryrxzyxzyxqE解解可见,向分量为零;同样,向和 向分量也都为零。故 x y z 0E这说明点电荷产生的电场是无旋场（不产生磁场）。因535333ryzryzryzrzy例例1.4 证明下述矢量斯托克斯定理：sVdsAdvA)(式中S为包围体积V的封闭面。证 设C为一任意常矢，则)()()()(ACACCAA
10、C从而有()()VVCA dvCA dv 根据散度定理，上式左边等于SSSdsACCdsAdsAC)()(于是得VSdsACdvAC)(由于上式中常矢C是任意的，故式必成立。1.5 方向导数与梯度方向导数与梯度,格林定理格林定理 1.5.1 方向导数与梯度方向导数与梯度;标量场u(x,y,z)在某点沿l方向的变化率称为u沿该方向的方向导数 。它的值与所选取的方向 有关,设/ullcoscoscoszyxlcoscoscosuu xu yu zlxlylzluuuxyz 引入 uuuuxyzuxyzxyzxyz 则|cos(,)uu luu ll max|uul 这就是说,u的模就是u在给定点的
11、最大方向导数,而其方向就是该具有最大方向导数的方向,亦即 u的变化率最大的方向。因此,我们定义标量场u(x,y,z)在点P(x,y,z)处的梯度(gradient)为 uuugraduuxyzxyz 它是一个矢量,其模和方向就是标量场u在该点最大变化率的值和方向。图 1-6 一座山的等高线图 0,cul0cu l 即 cunu后一式表明,梯度u的方向与过该点的等值面相垂直,并由梯度定义知,它指向u增大的方向。由此,等值面的法线方向单位矢量可用梯度表示为 2222222()()0f ufuuuuuuuuxyz 2()()1()uuuuuuuu 梯度运算有如下规则:圆柱坐标系圆柱坐标系 图图 yx
12、cos,sin,xyzz圆圆柱柱坐坐标标系系cos,sin,xyzz1()()11()()1()()zzzzzuuugrad ueeezAAAdiv AzAArot AezAAAAeez球坐标系球坐标系sincos,sinsin,cosxryrzr球球坐坐标标系系sincos,sinsin,cosxryrzr2211sin(sin)()111sinsin(sin)1()sin()()111()()sinrrrruuugrad ueeerrrAAr Adiv ArrrrAArot AerrArAAAeerrrr 1.6 1.6 矢量场的矢量场的Helmholtz定理定理现在我们必需考虑如下问题：
13、现在我们必需考虑如下问题：（1 1）矢量场除有散和有旋特性外，是否存）矢量场除有散和有旋特性外，是否存在别的特性？在别的特性？（2 2）是否存在不同于通量源和旋涡源的其）是否存在不同于通量源和旋涡源的其它矢量场的激励源？它矢量场的激励源？（3 3）如何唯一的确定一个矢量场？）如何唯一的确定一个矢量场？1 1 矢量场的矢量场的Helmholtz定理定理 空间区域空间区域V V上的任意矢量场，如果它的散上的任意矢量场，如果它的散度度(divergence)(divergence)、旋度、旋度(curl/rotation)(curl/rotation)和边界条件为已知，则该矢量场唯一并且和边界条件为
14、已知，则该矢量场唯一并且可以表示为一可以表示为一无散无散矢量场和一矢量场和一无旋无旋矢量矢量场的叠加场的叠加,即即 其中其中 为为无散场无散场，为为无旋场无旋场 cdF rFrFr cF r dFr1.6 1.6 矢量场的矢量场的Helmholtz定理定理Helmholtz 定理明确回答了上述三个问题。定理明确回答了上述三个问题。即任一矢量场由两个部分构成，其中一部即任一矢量场由两个部分构成，其中一部分是无散场，由旋涡源激发；并且满足：分是无散场，由旋涡源激发；并且满足：另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：另一部分是无旋场，由通量源激发，满足：0cF r 0dFr1.6 1.6 矢量场的矢量场的Helmholtz定理定理【例例】证明一个标量场的梯度必无旋，一个矢量场的旋度必无散。0cyyxxzzAAAAAAxyzyzxzxy FrA r 0dxyxuuuuuuueeeyzzyzxxzxyyx Frr1.6 1.6 矢量场的矢量场的Helmholtz定理定理静电场基本方程：由于电通量密度0vrot DDD DEvE本章重点 梯度与方向导数的关系；散度定理（Gauss定理）；(矢量)旋度无散，(标量)梯度无旋；Stokes定理；圆柱坐标系和球坐标系中梯度、散度与旋度计算公式；Helmholtz定理
