1、10nnnuu如果级数中各项均有，则称如果级数中各项均有，则称正正此级数为此级数为项级数项级数.120nSSS定理定理1.(1.(正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件):):.nS正正项项级级数数收收敛敛部部分分和和所所成成的的数数列列有有上上界界 2.2.正项级数及其审敛正项级数及其审敛111,nnknnnkSuSSu记记则则从从而而即正项级数的部分和数列是一个单调递增数列即正项级数的部分和数列是一个单调递增数列,从而有从而有一一.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件电气学院学习部资料库 证明证明:12nnSuuu且且 1)1(nnv设设,nnvu ,即部分和数列有上界即部分
2、和数列有上界.1收敛收敛 nnu11(1,2,),nnnnnnuvuvn设和均为正项级数,设和均为正项级数,且从而有且从而有nvvv 21定理定理2(2(比较判别法比较判别法)1(1),nnv若收敛若收敛1nnu则也收敛;则也收敛;1.nnv则也发散则也发散1,nnu(2)(2)若发散若发散二二.比较审敛法比较审敛法电气学院学习部资料库 nnS 则则(2)()nSn 设设,nnvu 且且 不是有界数列不是有界数列.1发散发散 nnv定理证毕定理证毕.注注:11112nnnnnnnnvuuv1.1.通常地把定理 中的级数说成是的通常地把定理 中的级数说成是的优势优势,而说成是而说成是级数级数的的
3、劣势级数劣势级数.2.2.利用比较审敛法的关键是利用比较审敛法的关键是要记住一些正项级要记住一些正项级数的敛散性。数的敛散性。电气学院学习部资料库 解解:1,p 若若1111,pnnnn 且且发发散散.p 则则级级数数发发散散 1,p 若若11 1 ppnxnnx当当时时，11 111111234,pppppnpnnp 例例讨讨论论级级数数的的收收敛敛性性 其其中中为为常常数数。11 (1,2,3,)nppndxnnx 则则两两边边积积分分得得：电气学院学习部资料库 111123npppSn nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp111 p,nS即即有有上上界界.
4、p 则则级级数数收收敛敛11,1 1,pnppnp 当当时时收收敛敛级级数数当当时时发发散散211 .1nnn例例2 2 讨讨论论级级数数 的的收收敛敛性性1 (1.nnn例例3 3 讨讨论论级级数数)的的收收敛敛性性电气学院学习部资料库 记住下列级数的敛散性记住下列级数的敛散性:几何级数几何级数,p p-级数级数,调和级数调和级数.推论推论:11()0(),;nnnnnnNukvnNkvu若若从从某某一一项项起起 例例如如第第项项为为常常数数 则则 (1)(1)当当级级数数收收敛敛时时,级级数数也也收收敛敛11,.nnnnuv(2)(2)级级数数发发散散时时 级级数数也也发发散散电气学院学习
5、部资料库 定理定理2(2(比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式)11,nnnnnnuuvlv n n设和均为正项级数,且lim设和均为正项级数,且lim110,;nnnnluv (1)(1)若则级数和同时收敛若则级数和同时收敛或同时发散或同时发散110,nnnnlvu(2)(2)若则由级数收敛可知也收敛;若则由级数收敛可知也收敛;11,nnnnlvu (3)(3)若则由级数发散可知也发散.若则由级数发散可知也发散.电气学院学习部资料库 例例4 4 判别下述级数的敛散性判别下述级数的敛散性211111(1),(2)sin,2(1)1(3)sin(1)(4)ln(1).nnnnnn nnnn
6、，解解:23 21(1)lim11nn nn (1)(1)3 211,npn 且且为为级级数数收收敛敛 从而根据比较审敛法从而根据比较审敛法的极限形式知级数的极限形式知级数(1)收敛收敛.电气学院学习部资料库(2)(2)sin2lim12nnn 11 2nn 且且几几何何级级数数为为收收敛敛1(1)2q，从而根据比较审敛法的极限形式知级数从而根据比较审敛法的极限形式知级数(2)收敛收敛.电气学院学习部资料库 定理定理3(3(达朗贝尔达朗贝尔 DAlembert DAlembert 判别法判别法)1nnuN 设是正项级数,若从某一项起(例如设是正项级数,若从某一项起(例如第项起)有第项起)有11
7、1(),nnnnunNuu (1)(1)则级数收敛;则级数收敛;11nnnnuuu (2)1,(2)1,则级数发散.则级数发散.三、比值判别法三、比值判别法电气学院学习部资料库 定理定理3(3(比值判别法极限形式比值判别法极限形式)11lim,nnnnnuuu 设是正项级数,若则设是正项级数,若则1()1nnu 1 1 当当时时，级级数数收收敛敛;1()1nnu 2 2 当当时时，级级数数发发散散;1 ()1nnu 3 3 当当时时，级级数数敛敛散散性性待待定定(可可能能收收敛敛,也也可可能能发发散散).).电气学院学习部资料库 1!?10nnn 例例5 5 判判别别级级数数是是否否收收敛敛解
8、：解：111(1)!101010nnnnunnnu 110,1,nnunu 当时当时从而由定理从而由定理3 3知此级数发散知此级数发散。问题：问题：对于对于p p-级数能否用比值判别法判别其收敛级数能否用比值判别法判别其收敛性？性？12!nnnnn 例例6 6 判判别别级级数数的的敛敛散散性性。电气学院学习部资料库 比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.两点注意两点注意:,11发散发散级数级数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn)1(电气学院学习部资料库,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nn
9、nnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不存在nnnnnauu 电气学院学习部资料库 四、根值判别法四、根值判别法定理定理4 4（CauchyCauchy判别法）判别法）1nnu 设是正项级数,设是正项级数,limnnnu ()1;则则1 1 当当时时，级级数数收收敛敛()1;2 2 当当时时，级级数数发发散散()1 3 3 当当时时，级级数数敛敛散散性性待待定定.电气学院学习部资料库 10.npnaan 例例7 7 讨讨论论级级数数的的敛敛散散性性,其其中中解：解：lnlimln=limlim limnnnnnpnpnnppnnnnnaaunna
10、aaee 11 limlim(1)npnpnnnnuanuna 或或lim1(1)npaan 电气学院学习部资料库,由由根根式式判判别别法法或或比比值值判判别别法法知知1a 当时级数收敛;当时级数收敛;1a 当时级数发散;当时级数发散;1a 当时由根式判别法无法判断级数的敛散性,当时由根式判别法无法判断级数的敛散性,11,pnpn 但此时级数为级数但此时级数为级数1p 当当时时，级级数数收收敛敛;1p 当当时时，级级数数发发散散.11 111 1aapaap故故当当或或且且时时，级级数数收收敛敛;当当或或且且时时，级级数数发发散散。电气学院学习部资料库 1!.nnnn 例例8 8 讨讨论论级级
11、数数的的敛敛散散性性解法解法1 111(1)!=limlim(1)nnnnnnunnnnu 1lim1(1)nnn故级数收敛。故级数收敛。lim1nnnn 11,e电气学院学习部资料库 解法解法2 21!112lnlim(lnln)!limlimnnnnnnnnnnnnneen 根据定积分的定义知根据定积分的定义知101111lim(lnln)limlnlnnnnknkxdxnnnnn 故故1!lim1,nnnnen 级数收敛。级数收敛。11001ln1.xxxdxx 电气学院学习部资料库 .例例9 9 讨讨论论下下列列级级数数的的敛敛散散性性 11(1)sinnn 11(2)3nnn 11(3)(0)1nnaa 电气学院学习部资料库 五、小结五、小结正正 项项 级级 数数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法3.按级数的基本性质按级数的基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;,0,则级数发散则级数发散当当 nun注：凡可利用比值判别法审敛的级数均可用注：凡可利用比值判别法审敛的级数均可用根式判别法，但反之不真。根式判别法，但反之不真。电气学院学习部资料库 思考题思考题 设设正正项项级级数数 1nnu收收敛敛,能能否否推推得得 12nnu收收敛敛?反反之之是是否否成成立立?电气学院学习部资料库
