1、第一节变化率与导数、导数的计算,总纲目录,教材研读,1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率,考点突破,2.函数y=f(x)在x=x0处的导数,3.函数f(x)的导函数,考点二导数的几何意义,考点一导数的运算,4.基本初等函数的导数公式,1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为?,若x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1),则平均变化率可表示为?.,教材研读,2.函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率?=?为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f (x0)或y?,即f (x0)=?=?.(2
2、)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f (x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点 (x0, f(x0)处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-f(x0)=f （ x0)(x-x0).,3.函数f(x)的导函数称函数f (x)=?为f(x)的导函数,导函数有时也记作y.,4.基本初等函数的导数公式,5.导数的运算法则(1)f(x)g(x)=?f (x)g(x);(2)f(x)g(x)=?f (x)g(x)+f(x)g(x);(3)?=?(g(x)0).,1.下列求导运算正确的是?()A.?=1+?B.(log2x)=?C.(3x)=3xlog3e D.(x2cos x)=-2sin x,答案B
3、?=x+?=1-?;(3x)=3xln 3;(x2cos x)=(x2)cos x+x2(cosx)=2xcos x-x2sin x.故选B.,B,2.若f(x)=ax4+bx2+c满足f (1)=2,则f (-1)=?()A.-4B.-2C.2D.4,答案Bf(x)=ax4+bx2+c,f (x)=4ax3+2bx,又f (1)=2,4a+2b=2,f (-1)=-4a-2b=-2.,B,3.(2016北京东城期中)若曲线f(x)=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a=.,答案,解析f (x)=2ax-?,则f (1)=2a-1,由题意得2a-1=0,所以a=?.,4.曲线
4、y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为.,答案3x-y+1=0,解析对函数y=xex+2x+1求导得y=(x+1)ex+2,当x=0时,y=3,因此曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为y-1=3x,即3x-y+1=0.,3x-y+1=0,5.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f (5)=.,答案2,解析由题意知f (5)=-1, f(5)=-5+8=3,f(5)+f (5)=3-1=2.,2,考点突破,解析(1)y=cos ?=cos ?sin ?-cos2?=?sin x-?(1+cos x)=?(sin x-cos x)-?
5、,y=?(cos x+sin x)=?sin?.(2)y=exln x+ex?=ex?.,1-1已知f(x)=?x2+2xf (2 016)+2 016ln x,则f (2 016)=.,答案-2 017,解析由题意得f (x)=x+2f (2 016)+?,所以 f (2 016)=2 016+2f (2 016)+?,即f (2 016)=-(2 016+1)=-2 017.,-2 017,解析(1)解法一:y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x,y=24x3+9x2-16x-4.,解法二:y=(3x3-4x)(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)=(9x2-4
6、)(2x+1)+(3x3-4x)2=24x3+9x2-16x-4.(2)y=?=?=?.(3)y=(ex)ln x+ex(ln x)+(2x)+0=exln x+?+2xln 2.,考点二导数的几何意义命题角度一求切线方程,典例2(2016北京东城(上)期中)曲线f(x)=?在点(1, f(1)处的切线方程是?()A.y=1B.y=?C.x+y=1D.x-y=1,答案B由题意得f (x)=?,故曲线f(x)=?在点(1, f(1)处的切线斜率k=f (1)=0,易知切点为?,所以切线方程为y=?,故选B.,B,命题角度二求切点坐标典例3(1)(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,
7、1)处的切线与曲线y=?(x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.(2)(2016北京东城(上)期中)若过曲线f(x)=xln x上的点P的切线斜率为2,则点P的坐标为.,答案(1)(1,1)(2)(e,e),解析(1)函数y=ex的导函数为y=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x00),函数y=?的导函数为y=-?,曲线y=?(x0)在点P处的切线的斜率k2=-?,易知k1k2=-1,即1?=-1,解得?=1,又x00,x0=1.又点P在曲线y=?(x0)上,y0=1,故点P的坐标为(1,1).(2)设切点P(m,n),由题意得f (x)=1+
8、ln x,由曲线f(x)=xln x在点P处的切线,斜率为2,得1+ln m=2,解得m=e,n=mln m=eln e=e,点P的坐标为(e,e).,命题角度三求参数的值典例4(1)(2015课标,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1)处的切线过点(2,7),则a=.(2)(2015课标,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.,答案(1)1(2)8,易错警示求函数图象的切线方程的注意事项 (1)首先应判断所给点是不是切点,如果不是,需将切点设出.(2)切点既在原函数的图象上,也在切线上,可将切
9、点代入两者的函数解析式建立方程组.(3)在切点处的导数值对应切线的斜率,这是求切线方程最重要的条件.(4)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点.如y=x3在(1,1)处的切线与y=x3的图象还有一个交点(-2,-8).,2-1设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f (x),且f (x)是偶函数,则曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为.,答案9x-y-16=0,9x-y-16=0,2-2(2015北京丰台二模)曲线y=x3-x2-x+1在点(0,1)处的切线方程是 .,答案y=-x+1,解析y=3x2-2x-1,所以y|x=0=-1,则切线的斜率k=-1,故可得切线方程为y=-x+1.,y=-x+1,2-3(2014北京朝阳期中)曲线f(x)=ex在点(x0, f(x0)处的切线经过点P(1,0),则x0=.,答案2,解析因为f (x)=ex,所以f (x0)=?,所以f(x)在点(x0, f(x0)处的切线方程为y-?=?(x-x0),将点P(1,0)代入y-?=?(x-x0),解得x0=2.,2,
