1、课程名称：F数值分析F或计算方法第一章第一章 数值计算中的误差分析数值计算中的误差分析（绪论）（绪论）内容提要内容提要 1.1 1.1 计算方法的任务与特点计算方法的任务与特点 1.2 1.2 误差与误差估计误差与误差估计(误差知识误差知识)1.3 1.3 选用算法时应遵循的原则选用算法时应遵循的原则1.11.1计算方法的任务与特点计算方法的任务与特点F科学与工程计算过程：科学与工程计算过程：实际问题实际问题数学模型数学模型数值问题数值问题算法算法程序程序调试调试结果结果建立数学模型：建立数学模型：辨析实际问题其中的主要矛盾和次要矛盾辨析实际问题其中的主要矛盾和次要矛盾，并在合理假设的条件下，
2、运用各种数学理，并在合理假设的条件下，运用各种数学理论、工具和方法，建立起问题中不同量之间论、工具和方法，建立起问题中不同量之间的联系的联系 ，即得到数学模型。，即得到数学模型。计算机用途分类：计算机用途分类：科学计算、数据处理科学计算、数据处理F提出数值问题提出数值问题 数值问题是指有限个输入数据（问题数值问题是指有限个输入数据（问题的自变量、原始数据）与有限个输出数据的自变量、原始数据）与有限个输出数据（待求解数据）之间函数关系的一个明确（待求解数据）之间函数关系的一个明确无歧义的描述。这正是数值分析所无歧义的描述。这正是数值分析所研究的研究的对象对象。数值问题举例数值问题举例 是用一阶常
3、微分方程初值问题表示的是用一阶常微分方程初值问题表示的数学模型，要求无穷多个输出，因而它不数学模型，要求无穷多个输出，因而它不是数值问题是数值问题 。但当我们要求出有限个点处。但当我们要求出有限个点处函数值的近似值时，便成为一数值问题。函数值的近似值时，便成为一数值问题。02010yyxyxdxdy)(,F设计高效可靠的算法设计高效可靠的算法 计算方法的任务之一就是提供求得数值问计算方法的任务之一就是提供求得数值问题近似解的方法题近似解的方法算法。算法。算法：算法：指把对数学问题的解法归结为只有指把对数学问题的解法归结为只有加、减、乘、除等基本运算，并确定运算次序加、减、乘、除等基本运算，并确
4、定运算次序的完整而准确的描述。的完整而准确的描述。算法分类算法分类:从算法执行所花费的时间角度来讲，若从算法执行所花费的时间角度来讲，若算术运算占绝大多数时间则称其为算术运算占绝大多数时间则称其为数值型算数值型算法法，否则为，否则为非数值型算法非数值型算法。本课程介绍数值型串行算法。（其它类本课程介绍数值型串行算法。（其它类型算法参阅数据结构、并行算法等课程。）型算法参阅数据结构、并行算法等课程。）算法的可靠性算法的可靠性：算法的可靠性包括算法的收：算法的可靠性包括算法的收敛性、稳定性、误差估计等几个方面。敛性、稳定性、误差估计等几个方面。这些是这些是数值分析研究的第二个任务。数值分析研究的第
5、二个任务。一个算法在保证可靠的大前提下再评价其一个算法在保证可靠的大前提下再评价其优劣才是有价值的。优劣才是有价值的。算法的优劣评价算法的优劣评价：可靠算法的优劣，应该考：可靠算法的优劣，应该考虑其虑其时间复杂度时间复杂度（计算机运行时间）、（计算机运行时间）、空间空间复杂度复杂度（占据计算机存储空间的多少）以及（占据计算机存储空间的多少）以及逻辑复杂度逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护（影响程序开发的周期以及维护）。）。这是数值分析研究的第三个任务这是数值分析研究的第三个任务。计算方法的特点F严密的科学性、操作的实践性、高度抽严密的科学性、操作的实践性、高度抽象性、应用的广泛性、提供算法
6、、算法象性、应用的广泛性、提供算法、算法分析、兼顾计算机的特点：有效数字（分析、兼顾计算机的特点：有效数字（精度）、运算量、存储量等。精度）、运算量、存储量等。算法应用状态算法应用状态 计算方法研究对象以及解决问题方法的计算方法研究对象以及解决问题方法的广泛适用性，著名流行软件如广泛适用性，著名流行软件如MapleMaple、MatlabMatlab、MathematicaMathematica等已将其绝大多数内容设计成函等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。数，简单调用之后便可以得到运行结果。但由于实际问题的具体特征、复杂性，但由于实际问题的具体特征、复杂性，以及算
7、法自身的适用范围决定了应用中必须以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。科学与工程计算过程小结科学与工程计算过程小结提出实际问题提出实际问题建立数学模型建立数学模型提出数值问题提出数值问题设计可靠、高效的算法设计可靠、高效的算法程序设计、上机实践计算结果程序设计、上机实践计算结果计算结果的可视化计算结果的可视化 在具体问题的求解过程中，上述步骤形成一个在具体问题的求解过程中，上述步骤形成一个循环。循环。科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分
8、科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法：及如下几个方面问题的求解算法：函数的插值和曲线拟合函数的插值和曲线拟合数值积分和数值微分数值积分和数值微分线性方程组求解、非线性方程（组）求解线性方程组求解、非线性方程（组）求解代数特征值问题代数特征值问题常微分方程数值解法常微分方程数值解法 本课程主要内容本课程主要内容1.2 1.2 误
9、差知识误差知识（误差与数值计算中的误差估计）（误差与数值计算中的误差估计）内容提要：内容提要：1.1.误差的来源及其分类误差的来源及其分类2.2.误差的度量（误差与有效数字）误差的度量（误差与有效数字）3.3.数值计算的误差估计数值计算的误差估计一、误差来源及其分类一、误差来源及其分类1)1)模型误差（描述误差）模型误差（描述误差）反映实际问题有关量之间的计算公式（反映实际问题有关量之间的计算公式（数学模型）通常是近似的。数学模型）通常是近似的。2 2）观测误差）观测误差 数学模型中包含的某些参数是通过观数学模型中包含的某些参数是通过观测得到的。测得到的。221rmmGF 在计算方法中不研究这
10、两类误差，总是假在计算方法中不研究这两类误差，总是假定数学模型是正确合理的反映了客观实际问题定数学模型是正确合理的反映了客观实际问题。3 3）截断误差（方法误差）截断误差（方法误差）数值方法精确解与待求解模型的理论分数值方法精确解与待求解模型的理论分析解之间的差异。析解之间的差异。这是由于我们需要将无穷过程截断为有这是由于我们需要将无穷过程截断为有限过程，而使得算法必须在有限步内执行结限过程，而使得算法必须在有限步内执行结束而导致的。束而导致的。neeee,!n1!21!111,!21!111n例如：例如：4 4）舍入误差）舍入误差 在实现数值方法的过程中，由于计算机表示在实现数值方法的过程中
11、，由于计算机表示浮点数采用的是有限字长，因而仅能够区分有限浮点数采用的是有限字长，因而仅能够区分有限个信息，准确表示某些数，不能准确表示所有实个信息，准确表示某些数，不能准确表示所有实数，这样在计算机中表示的原始输入数据、中间数，这样在计算机中表示的原始输入数据、中间计算数据、以及最终输出结果必然产生误差，称计算数据、以及最终输出结果必然产生误差，称此类误差为舍入误差。此类误差为舍入误差。如利用计算机计算如利用计算机计算e e的近似值的近似值e en n时，实际上时，实际上得不到得不到e en n的精确值，只能得到的精确值，只能得到e en n的近似的近似e e*；这样；这样e e*作为作为e
12、 e的近似包含有的近似包含有舍入误差舍入误差和和截断误差截断误差两部两部分：分：)()(nn*eeeeee二、误差的度量二、误差的度量1)绝对误差2)相对误差3)有效数字4)度量间的关系1.绝对误差F绝对误差定义：准确值绝对误差定义：准确值 x 减近似值减近似值 x*)(*xExx 绝对误差限：绝对误差限：书上有错！改正2.2.相对误差相对误差RemarkRemark:绝对误差限虽然能够刻划对同一真值绝对误差限虽然能够刻划对同一真值不同近似的好坏，但它不能刻划对不同真值近似不同近似的好坏，但它不能刻划对不同真值近似程度的好坏程度的好坏 。有效数：当有效数：当x*为为四舍五入得到的近似四舍五入得
13、到的近似数，则称数，则称x*为有效数。为有效数。有效数的绝对误差限、相对误差限，有效数字位数例：若有效数x*=1.02,则绝对误差限(x*)=0.005，相对误差限(x*)=(x*)/|x*|=0.0049，x*具有3位有效数字.若有效数x*=2500，则绝对误差限(x*)=0.5，相对误差限(x*)=(x*)/|x*|=0.0002x*具有4位有效数字.若x*=25102，则(x*)=50，(x*)=(x*)/|x*|=0.02，x*具有2位有效数字.2900=29.00102 29102关于某一位的半个单位关于某一位的半个单位3.3.有效数字（教材第有效数字（教材第6 6页中间）：页中间）
14、：F若近似数x*的绝对误差限是（不超过）某一位的半个单位，则称其精确到这一位，且从该位到x*的第一位非零数字共有n位，则称近似数x*具有n位有效数字.F分两种情况：有效数的有效数字位数F若既知道x*，又知道x时，如何求有效数字位数？见下例：F举例：举例：x=3.1415926x=3.1415926,F近似数近似数 x x1 1*=3.14102,x=3.14102,x2 2*=3.142=3.1422*11021005.000057.0 xx3*210210005.000040.0 xx3 3位有效数字，非有效数位有效数字，非有效数4 4位有效数字，有效数位有效数字，有效数 数的标准形式FRe
15、mark1Remark1:有效数的误差限是末位数单位的一半有效数的误差限是末位数单位的一半，可见有效数本身就体现了误差界。，可见有效数本身就体现了误差界。FRemark2Remark2:对真值进行四舍五入得到有效数。对真值进行四舍五入得到有效数。FRemark3Remark3:准确数字有无穷多位有效数字。准确数字有无穷多位有效数字。FRemark4Remark4:从实验仪器所读的近似数（最后一为从实验仪器所读的近似数（最后一为是估计位）不是有效数，估计最后一位是为了确是估计位）不是有效数，估计最后一位是为了确保对最后一位进行四舍五入得到有效数。保对最后一位进行四舍五入得到有效数。例例 从最小刻
16、度为厘米的标尺读得的数据从最小刻度为厘米的标尺读得的数据123.4cm123.4cm是为了得到有效数是为了得到有效数123.cm,123.cm,读得数据读得数据156.7cm156.7cm是为了得到有效数是为了得到有效数157.cm157.cm。4.4.误差度量间的联系误差度量间的联系F绝对误差与相对误差绝对误差与相对误差nmxE10)(21*F绝对误差与有效数字（教材第绝对误差与有效数字（教材第7页页1.2.2式）式）F相对误差与有效数字（相对误差与有效数字（教材教材第第8页页1.2.3式）式）)(/)(*xExxEr定理证明o1o2证毕,10)1(1011*11mmxnmxE1021)(*
17、RemarkF1 1、该定理实质上给出了一种求相对误差限的方法。、该定理实质上给出了一种求相对误差限的方法。F2 2、仅从、仅从 并不能保证并不能保证x x*一定具有一定具有n n位有效数字。如位有效数字。如 设其近似值设其近似值a=0.484a=0.484，其相对误差为：，其相对误差为：我们并不能由此断定我们并不能由此断定a a有两位有效数字，因为有两位有效数字，因为nrxE111021*）（4900.00229sinA21104210125.0012397.0484.0484.04900.0201021005.00600.0484.04900.0 aA例题例题解：解：令01.01041n1
18、，解得2.4n.取 n=3 位有效数字。#三、数值运算的误差估计三、数值运算的误差估计F概念概念：近似数参加运算后所得之值一般也是近似：近似数参加运算后所得之值一般也是近似值，含有误差，将这一现象称为值，含有误差，将这一现象称为误差传播误差传播 。F误差传播的表现：误差传播的表现：算法本身可能有截断误差；算法本身可能有截断误差；初始数据在计算机内的浮点表示一般有舍入误初始数据在计算机内的浮点表示一般有舍入误差；差；每次运算一般又会产生新的舍入误差，并传播每次运算一般又会产生新的舍入误差，并传播以前各步已经引入的误差；以前各步已经引入的误差；误差有正有负，误差积累的过程一般包含有误误差有正有负，
19、误差积累的过程一般包含有误差增长和误差相消的过程，并非简单的单调增差增长和误差相消的过程，并非简单的单调增长；长；运算次数非常之多，不可能人为地跟踪每一步运算次数非常之多，不可能人为地跟踪每一步运算运算。F初值误差传播：假设每一步都是准确初值误差传播：假设每一步都是准确计算，即不考虑截断误差和由运算进计算，即不考虑截断误差和由运算进一步引入的舍入误差，仅介绍初始数一步引入的舍入误差，仅介绍初始数据的误差传播规律。据的误差传播规律。研究方法：研究方法：u泰勒（泰勒（TaylorTaylor）方法）方法 n n元函数元函数复习泰勒公式复习泰勒公式)()()()(!11)()(*111*nnnxxx
20、pfxxxpfpfpf2*2*11*1*2*222*2*11*2212*2*111*22*1111*2)()()()()()()()()()()()(!21nnnnnnnnnnnnnxxxxpfxxxxxxpfxxxxxxpfxxxxxxpfxxxxxxpfxxxxpf泰勒公式分析初值误差传播泰勒公式分析初值误差传播相对误差（教材第相对误差（教材第9页页1.2.6式）：式）：进而得到如下绝对误差限和相对误差限传播关系：进而得到如下绝对误差限和相对误差限传播关系：F二元函数算术运算误差传播规律二元函数算术运算误差传播规律绝对误差限绝对误差限相对误差限相对误差限例题：参见教材第例题：参见教材第10
21、页例页例3v选用数值稳定性好的算法。v定义定义：一个算法：一个算法,如果在运算过程中舍入误差如果在运算过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制在一定条件下能够得到控制,或者舍入误差的或者舍入误差的增长不影响产生可靠的结果增长不影响产生可靠的结果,则称该算法是数则称该算法是数值稳定的值稳定的,否则称其为数值不稳定否则称其为数值不稳定.dxxxInn105v例：计算如下积分近似值的两种方案比较),(21511nInInn方法方法1：1823.056ln51100dxxI1.3 选用算法应遵循的原则方法方法1 1计算结果计算结果方法一结果分析方法一结果分析n方法一分析：计算结果表明方法一分析：计算结果
22、表明,舍入误差的传播近舍入误差的传播近似依似依5 5的幂次进行增长的幂次进行增长,因而是一种不稳定的方因而是一种不稳定的方法。法。方法二：方法二：由此分析知，该方法是稳定的。关于初值的由此分析知，该方法是稳定的。关于初值的近似可由下面式子得到：近似可由下面式子得到：)1(5156)1(611010ndxxIdxxnnnn151nnInI*1*51nnInI0221555EEEEnnnn5511nnInI551*1nnInInnEE511方法方法2 2计算结果计算结果016706615512110.*Iv简化计算步骤以减少运算次数。简化计算步骤以减少运算次数。842842284488163*3*
23、3*3*33*3*3*33*3*33*33例例1 1例2 秦九韶算法 01223344axaxaxaxa01234)(axaxaxaxa)10(98765432110000001kkk例v尽量避免相近的数相减尽量避免相近的数相减 例例 x=52.127 xx=52.127 x*=52.129 =52.129 四位有效数字四位有效数字 y=52.123 yy=52.123 y*=52.121 =52.121 四位有效数字四位有效数字 A=x-yA=x-y=0.004 A=0.004 A*=x=x*-y-y*=0.008 =0.008 零位有效数字零位有效数字结论：避免相近数相减v合理安排量级相差
24、很大的数之间的运算合理安排量级相差很大的数之间的运算次序次序,尽可能避免大数尽可能避免大数“吃掉吃掉”小数。小数。)(11111xxxxxxxx1lnln)1ln(一些避免相近数相减示例一些避免相近数相减示例当当|x|1|x|1时时xxxx111)1ln()1ln(22xxxx当当|x|1|x|1时时2221111xxx53arctan53xxxx!5!3sin53xxxxv尽可能避免绝对值很小的数做分母，防尽可能避免绝对值很小的数做分母，防止出现溢出。止出现溢出。当当a,ba,b中有近似值时，由中有近似值时，由)0()()()(2bbaebbeabae若 ，则 可能很大。当a,b都是准确值时，由于 很大，会使其它较小的数加不到 中而引起严重误差，或者会发生计算机“溢出”，导致计算无法进行下去。ab)(baebaba总之,除了算法的正确性之外,在算法设计中至少还应应:1 1 尽量避免两个相近的近似数相减尽量避免两个相近的近似数相减;2 2 合理安排量级相差很大的数之间的运算次序合理安排量级相差很大的数之间的运算次序,防止大数防止大数 吃掉吃掉 小数小数;3 3 尽可能避免绝对值很小的数做分母尽可能避免绝对值很小的数做分母;4 4 防止出现溢出防止出现溢出;5 5 简化计算步骤以减少运算次数简化计算步骤以减少运算次数;6 6 选用数值稳定性好的算法选用数值稳定性好的算法.
