五年级苏教版数学上册《钉子板上的多边形》教案、课件（片区公开课）.zip

钉子板上的多边形教案钉子板上的多边形教案（公开课）教学目标:1、使学生在操作、观察、猜测、验证等活动中,发现在钉子板上围出的多边形与它的边所经过的钉子数,以及多边形内部钉子数的关系,会用含有字母的式子表示发现的规律。2、使学生在探索规律、发现规律和表达规律的过程中,进一步感受数学抽象的意义,培养比较、分析和简单推理的能力,增强发现问题、提出问题的意识,积累数学活动经验;初步感知控制两个变化因素中的一个因素来比对另一个因素的变化情况从而发现规律的研究方法.3、在探索交流的过程中,激发学生对数学强烈的好奇心和求知欲。教学重点:发现多边形的面积与边上钉子数和多边形中间钉子数之间的规律。教学难点:用字母表示钉子板上多边形的面积与边上钉子数之间的关系的规律。教学过程：一、激趣引新1.介绍钉子板介绍:瞧，这是咱们的老朋友钉子板。有时候我们也可以用点子图代替钉子板。2.激趣引新。谈话：再瞧，钉子板上跑来一只小狗，怎样得出小狗图的面积？说说你打算怎么做？谈话：老师在这本书里学到了一种很快求钉子板上这只小狗面积的方法，你想探究吗？猜测：大胆猜测一下钉子板上小狗的面积和什么有关?揭示课题:钉子板的多边形的面积与钉子数有关，究竟有什么关系？（板书课题）二、大胆探索1.探索规律(1)内部钉子数为 1谈话：我们先从简单规则的图形开始探究。提问：下面多边形的面积各是多少平方厘米？你是怎么得到的。（板书:算、数）引导；刚才大家大胆猜测钉子板上的多边形的面积应该和钉子数有关，那你再猜测一下和那儿的钉子数有关？（边上、内部）那我们来数一数多边形边上的钉子数。小组讨论：仔细观察，有什么发现，说说你的想法。提问：还有什么更简洁的办法表示得到的规律。多边形上的钉子数用 n 表示，多边形的面积用 s 表示。怎样用字幕公式来描述这条规律呢？(2)内部钉子数为 2谈话:咱们接着来研究下面的图形。多边形边上的钉子数是多少枚？面积是？追问：还能用刚才的关系式来计算着几个图形的面积吗？仔细观察下面的图形与上面的图形有什么不同？小结：也就是说这条关系式的前提是多边形内部只有 1 枚钉子。多边形内部的钉子数用字母 a 表示。提问：那多边形内度有 2 枚钉子的时候，多边形边上的钉子数和多边形的面积有什么关系呢？当 a=2 时，这条字母关系式怎么写？小组讨论，指名汇报。3.内部钉子数为 3提问：如果多边形内有 3 枚钉子，推断一下多边形的面积与它边上钉子数的关系式怎么写？谈话：我们小组合作来验证一下。先在点子图上画一个内部有 3 个点的规则的多边形。数一数边上的钉子数、算一算多边形的面积。小组讨论：1.多边形的面积与它边上的钉子数有什么关系？2.字母关系式 a=，S=。提问：有没有哪个人得到的结论不同的？4.合情推理。推理1：如果多边形内部的钉子数是4枚时，这条字母关系式可以怎么描述？提问：如果接着写下去，还可以写吗？推理2：如果多边形内部的钉子数是0枚时，这条字母关系式可以怎么描述？我们还可以用更简洁的字母关系式来表示吗？三、多维梳理1.比较得出最终结论。讨论：在计算多边形的面积时的确用到了多边形边上的钉子数，好像没有用到多边形内的钉子数，你同意吗？不同意，那怎么用的呢？仔细观察。如果用一条字母公式概括出所有的算式，你会吗？自己试着写一写。2.回顾反思。谈话：回顾今天的探索过程，你有什么体会？五、巩固提升1.计算钉子板上小狗图的面积?看谁算得又对又快。平行四边形的面积用这种方法计算试试，你有什么感受？有没有有更好的办法？我们可以怎样选择不同的方法呢？2.引入史料,渗透文化。1.谈话：我国数学家闵嗣鹤得著作格点和面积介绍了很多关于格点与面积方面的知识,有兴趣的同学课后可以去看看。2全堂小结：今天我们一起研究的多边形的面积和边上钉子数的关系是皮克定理,该定理被誉为有史以来“最重要的 100 个数学定理”之一。我们的同学非常了不起，通过猜测、探究、验证，就能像数学家一样得出结论。1厘米1厘米34 =12（平方厘米）（平方厘米）新的求面积的方法新的求面积的方法利用钉子数计算多边形的面积利用钉子数计算多边形的面积钉子板钉子板1厘米1厘米 0个个2个个1个个3个个同桌讨论：同桌讨论：按从左往右的顺序观察这两组多边形，你有什么发按从左往右的顺序观察这两组多边形，你有什么发 现？钉子数有怎样的变化，面积又会怎样变化？现？钉子数有怎样的变化，面积又会怎样变化？多边形的面积与什么有关系呢？多边形的面积与什么有关系呢？多边形内部有多边形内部有1枚钉子枚钉子1厘米1厘米图图形形编编号号多多边边形形内内的的钉钉子数子数/枚枚多多边边形形边边上上的的钉钉子数子数/枚枚多多边边形的面形的面积积/cm1111表格一表格一1厘米1厘米 小组合作小组合作：1.组长分配任务，最后组长汇总填写表格。组长分配任务，最后组长汇总填写表格。2.小组讨论多边形的面积与它边上得钉子数有什么关？小组讨论多边形的面积与它边上得钉子数有什么关？当多边形内当多边形内只有只有1枚钉子枚钉子图图形形编编号号多多边边形形内内的的钉钉子数子数/枚枚多多边边形形边边上上的的钉钉子数子数/枚枚多多边边形的面形的面积积/cm11114678233.5442=2 62=3 72=3.5 82=4 Sn多边形的面积多边形的面积=多边形边上的钉子数多边形边上的钉子数2 s ns=n2a当当a=1时：时：表格一表格一1厘米1厘米多边形内部有多边形内部有2枚钉子枚钉子1厘米1厘米图图形形编编号号多多边边形形内内的的钉钉子数子数/枚枚多多边边形形边边上上的的钉钉子数子数/枚枚多多边边形的面形的面积积/cm222Sna表格二表格二图图形形编编号号多多边边形形内内的的钉钉子数子数/枚枚多多边边形形边边上上的的钉钉子数子数/枚枚多多边边形的面形的面积积/cm222Sna 小组合作小组合作：1.组长分配任务，最后组长汇总填写表格。组长分配任务，最后组长汇总填写表格。2.小组讨论，多边形的面积与它边上得钉子数有什么关系？小组讨论，多边形的面积与它边上得钉子数有什么关系？3.再把字母关系式写完整。再把字母关系式写完整。表格二表格二1厘米1厘米图图形形编编号号多多边边形形内内的的钉钉子数子数/枚枚多多边边形形边边上上的的钉钉子数子数/枚枚多多边边形的面形的面积积/cm222810564682=4 102=5 62=3 102+1=662+1=482+1=5Sns=n2+1当当 a=2时：时：a表格二表格二1厘米1厘米多边形内部有多边形内部有3枚或枚或4枚钉子枚钉子1厘米1厘米图图形形编编号号多多边边形形内内的的钉钉子数子数/枚枚多多边边形形边边上上的的钉钉子数子数/枚枚多多边边形的面形的面积积/cm Sna表格三表格三图图形形编编号号多多边边形形内内的的钉钉子数子数/枚枚多多边边形形边边上上的的钉钉子数子数/枚枚多多边边形的面形的面积积/cm Sna表格三表格三1厘米1厘米 小组合作小组合作：1.组长分配任务，最后组长汇总填写表格。组长分配任务，最后组长汇总填写表格。2.小组讨论，多边形的面积与它边上得钉子数有什么关系？小组讨论，多边形的面积与它边上得钉子数有什么关系？3.再把字母关系式写完整。再把字母关系式写完整。图图形形编编号号多多边边形形内内的的钉钉子数子数/枚枚多多边边形形边边上上的的钉钉子数子数/枚枚多多边边形的面形的面积积/cm 33444 1214648106142+3=1042+2=4122+2=862+3=6当当a=4时：时：s=n2+3当当a=3时：时：s=n2+2Sna表格三表格三1厘米1厘米当当a=1时：时：s=n2当当a=2时：时：s=n2+1当当a=3时：时：s=n2+2当当a=4时：时：s=n2+3SnaSnaSna s表示多边形面积，表示多边形面积，a表示多边形内的钉子数，表示多边形内的钉子数，n表示边上的钉子数，并且表示边上的钉子数，并且n2，a 0。这个规律是奥地利数学家这个规律是奥地利数学家皮克皮克于于1899年发年发现的。现的。S=n2+a-11厘米1厘米3 34=124=12（cmcm ）8 82+92+91 1=4+9-1=4+9-1=13-1=13-1=12=12（cm cm ）你你能能用用今今天天学学习习的的方方法法来求出面积是多少吗？来求出面积是多少吗？挑战第一关挑战第一关S=n2+a-1 20 202+22+21 1=10+2=10+2 1 1=12=12 1 1=11=11（cmcm）1厘米1厘米挑战第二关：你能算出小狗图的面积？挑战第二关：你能算出小狗图的面积？S=n2+a-11厘米当多边形内当多边形内有有0枚钉子枚钉子多边形的面积多边形的面积=多边形边上的钉子数多边形边上的钉子数2-1 s ns=n2-1当当a=0时：时：S=n2+a-1多边形内部有多边形内部有0枚钉子枚钉子1厘米 回顾今天的探索和发现规律过程，你回顾今天的探索和发现规律过程，你与偶什么体会？与偶什么体会？观察猜想验证规律探索规律时要由易到难。建建议议阅阅读读多边形内部有多边形内部有2枚钉子枚钉子1厘米1厘米多边形内部有多边形内部有3枚或枚或4枚钉子枚钉子1厘米1厘米S=n2+a里面的整格数用里面的整格数用a a表示，边上的不表示，边上的不满一格的格子数用满一格的格子数用n n表示，湖面面表示，湖面面积用积用s s表示。表示。里面的钉子数用里面的钉子数用a a表示，边上的钉子表示，边上的钉子数用数用n n表示，多边形面积用表示，多边形面积用s s表示。表示。比较：湖泊面积与钉子板多边形面积的比较：湖泊面积与钉子板多边形面积的计算方法有什么计算方法有什么相似点相似点与与不同点不同点？S=n2+a-1