1、 高三数学第一次质量检测试卷 高三数学第一次质量检测试卷一、单选题一、单选题1已知全集，集合，则集合（）ABCD2已知复数，则复数 z 的虚部为（）A3B-3C3D-33若，则的值为（）ABCD4若，则向量与的夹角为（）ABCD5若，则 x，y，z 的大小关系为（）ABCD6已知抛物线的焦点为 F，点 P 是 C 上一点，且，以 PF 为直径的圆截 x 轴所得的弦长为 1，则（）A2B2 或 4C4D4 或 672022 年北京冬奥会的成功举办使北京成为奥运史上第一座“双奥之城”.其中 2008 年北京奥运会的标志性场馆之一“水立方”摇身一变成为了“冰立方”.“冰立方”在冬奥会期间承接了冰壶和
2、轮椅冰壶等比赛项目.“水立方”的设计灵感来自于威尔弗兰泡沫，威尔弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成（其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形），已知该多面体共有 24 个顶点，且棱长为 2，则该多面体的表面积是（）ABCD8定义：两个正整数 a，b，若它们除以正整数 m 所得的余数相等，则称 a，b 对于模 m 同余，记作，比如：.已知，满足，则 p 可以是（）A23B31C32D19二、多选题二、多选题9关于直线与圆，下列说法正确的是（）A若直线 l 与圆 C 相切，则为定值B若，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为定值C若，则直线 l 与圆 C
3、相离D是直线 l 与圆 C 有公共点的充分不必要条件10设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，则下列结论正确的是（）AB在上为减函数C点是函数的一个对称中心D方程仅有个实数解11假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表：品牌甲乙其他市场占有率50%30%20%优质率80%90%70%在该市场中任意买一部智能手机，用，分别表示买到的智能手机为甲品牌乙品牌其他品牌，B 表示买到的是优质品，则（）ABCD12如图，在直四棱柱中，点 P，Q，R 分别在棱，上，若 A，P，Q，R 四点共面，则下列结论正确的是（）A任意点 P，都有B存在点 P，使得四边形 APQR 为平行四边形C
4、存在点 P，使得平面 APQRD存在点 P，使得APR 为等腰直角三角形三、填空题三、填空题13在一次期末考试中某学校高三全部学生的数学成绩服从正态分布，若，且，则 .14已知函数的值域为 R，则实数 a 的取值范围是 .15已知椭圆 ：（）的左，右焦点分别为 ，点 ，在椭圆上，且满足 ，则椭圆 的离心率为 16已知函数的图象关于直线对称，若对任意，总存在，使得，则的最小值为 ，当取得最小值时，对恒成立，则的最大值为 .四、解答题四、解答题17在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，点 M 在边 AC 上，BM 平分，ABM 的面积是BCM 面积的 2 倍.（1）求；（2）若
5、，求ABC 的面积.18某市为了解某年十一期间市民旅游出行的方式及满意程度，对去该市甲乙丙三个景点旅游的市民进行了调查.现从中随机抽取 100 人作为样本，得到如下统计表（单位：人）：满意度得分甲乙丙报团游自驾游报团游自驾游报团游自驾游10 分12112107145 分4144490 分107217合计17223161230（1）从样本中任取 1 人，求这人没去丙景点的概率；（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.针对甲乙丙三个景点，从全市十一期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机选取 3 人，记 X 为去乙景点的人数，求 X 的分布列和数学期望；（3）如果王某要去甲乙丙三个
6、景点旅游，那么以满意度得分的均值为依据，你建议王某是报团游还是自驾游？说明理由.19已知等比数列的公比，且，.（1）求数列的通项公式；（2）在，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的 k 存在，求 k 的最小值；若 k 不存在，说明理由.问题：设数列的前 n 项和为，_，数列的前 n 项和为，是否存在正整数 k，使得？20如图，在四棱锥中，四边形 ABCD 是菱形，三棱锥是正三棱锥，E，F 分别为，的中点.（1）求证：直线平面 SAC；（2）求二面角的余弦值；（3）判断直线 SA 与平面 BDF 的位置关系.如果平行，求出直线 SA 与平面 BDF 的距离；如果不平行，说明理由.2
7、1已知复数 在复平面内对应的点为 ，且 满足 ，点 的轨迹为曲线 .（1）求 的方程；（2）设 ，若过 的直线与 交于 ，两点，且直线 与 交于点 .证明：（i）点 在定直线上；（ii）若直线 与 交于点 ，则 .22已知函数.（1）若在上是增函数，求 a 的取值范围；（2）若是函数的两个不同的零点，求证：.答案解析部分答案解析部分1【答案】C2【答案】B3【答案】B4【答案】A5【答案】A6【答案】D7【答案】C8【答案】A9【答案】A,B,D10【答案】C,D11【答案】A,C,D12【答案】A,C13【答案】0.314【答案】15【答案】16【答案】2；17【答案】（1）解：，因为，所以
8、，由正弦定理可得.（2）解：由（1）知，由余弦定理，又，所以，所以，因为，且，可得，所以.18【答案】（1）解：设事件 A：从样本中任取 1 人，这人没去丙景点，由表格中所给数据可知，去甲，乙，丙旅游的人数分别为 19，39，42，故.（2）解：由题意可得，X 的所有可能取值为 0，1，2，3从全市十一双节期间旅游出行选自驾游的所有人中，随机取 1 人，此人去乙景点的概率为，则，故 X 的分布列为：X0123P所以.（或）（3）解：由题干所给表格中数据可知，报团游自驾游的总人数分别为 52，48，得分为 10 分的报团游自驾游的总人数分别为 31，25，得分为 5 分的报团游自驾游的总人数分别
9、为12，14，得分为 0 分的报团游自驾游的总人数分别为 9，9，所以从满意度来看，报团游满意度的均值为，自驾游满意度的均值为，因为，所以建议王某选择报团游.19【答案】（1）解：在等比数列中，且，则，解得或（舍），.（2）解：选择条件，当时，可得，整理得，数列为常数列，又，所以，令，则在上恒成立，则在上单调递增，即在上为递增数列，又，存在 k，使得，k 的最小值为 7；选择条件，当时，得，当时，可得，即，得，数列是首项为 1，公比为 3 的等比数列，则，因为时，所以，故不存在正整数 k，使得.20【答案】（1）证明：连接 AC，交 BD 于点 O，连接 SO，因为四边形 ABCD 是菱形，所
10、以 O 为AC，BD 的中点，且，因为三棱锥是正三棱锥，O 为 BD 的中点，所以，又，所以平面 SAC.（2）解：作平面 BCD 于 H，则 H 为正三角形 BCD 的中点，H 在线段 OC 上，且，.如图，以 O 为坐标原点，分别以，的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则，C.，D.，所以，设是平面 EBF 的法向量，则，则，设是平面 DBF 的法向量，则，取，所以，又因为二面角是锐二面角，所以二面角的余弦值为.（3）解：直线 SA 与平面 BDF 平行.理由如下：连接 OF，由（1）知 O 为 AC 的中点，又 F 为 SC 的中点，所以，又因为平面 BDF，平面
11、 BDF，所以直线平面 BDF.（或者用向量法证明直线 SA 与平面 BDF 平行：由（2）知是平面 BDF 的一个法向量，又，所以，所以，所以，又因为平面 BDF，所以直线平面 BDF.设点 A 与平面 BDF 的距离为 h，则 h 即为直线 SA 与平面 BDF 的距离，因为，是平面 DBF 的一个法向量，所以，所以点 A 与平面 BDF 的距离为，所以直线 SA 与平面 BDF 的距离为.21【答案】（1）由题意可知：，所以点 到点 与到点 的距离之差为 2，且 ，所以动点 的轨迹是以 ，为焦点的双曲线的右支，设其方程为 ，其中 ，所以 ，所以 ，所以曲线 的方程为 .（2）（i）设直线
12、 的方程为 ，其中 ，.联立 ，消去 ，可得 ，由题意知 且 ，所以 ，.直线 ：，直线 ：，由于点 在曲线 上，可知 ，所以 ，所以直线 ：.联立，消去 可得 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以点 在定直线 上.（ii）由题意，与（i）同理可证点 也在定直线 上.设 ，由于 在直线 ：上，在直线 ：上，所以 ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 .22【答案】（1）解：函数，所以，若，则都有，所以在为增函数，符合题意.若，因为在为增函数，所以，恒成立，即，恒成立，令，则，所以函数在上单调递增，所以，这与矛盾，所以舍去.综上，a 的取值范围是.（2）解：是函数的两个不同的零点，所以，显然，则有，所以，不妨令，设，于是得，要证，只需证，即，令，则，所以函数在上单调递增，所以，于是得，又，要证，只需证，即，而，即证，即，即，令，则，所以函数在上单调递减，所以，即有，综上，.
