1、用空间向量证用空间向量证(解解)立体几何题之立体几何题之(五五)-证明线面平行证明线面平行 用空间向量证用空间向量证(解解)立体几何题立体几何题是现阶段的热门话题是现阶段的热门话题。它可以把一它可以把一些复杂的证明或计算题用些复杂的证明或计算题用“程序程序化化”的计算来给出解答。的计算来给出解答。前段时间我们研究了用空间向量求角(包括线线角、线面角和面面角)、求距离(包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离)和证明垂直(包括线线垂直、线面垂直和面面垂直)。用空间向量证明用空间向量证明“平行平行”，包括线面平行和面面平行。包括线面平行和面面平行。nm0mnmnmnGAEDCBFHMN例例1.如
2、图：如图：ABCD与与ABEF是正方形，是正方形，CB平面平面ABEF，H、G分别是分别是AC、BF上上的点，且的点，且AH=GF.求证：求证：HG平面平面CBE.MHAB,NG AB MHNGAH=FG CH=BG CH:CA=BG:BF MH=NGGAEDCBFHPPHCB,PGBE 平面平面HPG平面平面CBE HG平面平面CBE GAEDCBFHozy证明：由已知得：证明：由已知得：AB、BC、BE两两垂直，故两两垂直，故可建立如图所示的空可建立如图所示的空间直角坐标系间直角坐标系o-xyz.x设正方形边长为设正方形边长为1,AH=FG=a,则则H(0,1-a,a)、G(1-a,1-a
3、,0),22222222故故 ,而平面而平面CBE的法向的法向量为量为 (0,1,0),故故 ,而而 平面平面CBE 故故 HG平面平面CBE)22,0,221(aaHGnHGnHRDBCAA1QPNMD1C1B1例例2.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，P、Q分别是分别是A1B1和和BC上的动点，且上的动点，且A1P=BQ，M是是AB1的中点，的中点，N是是PQ的的中点中点.求证：求证：MN平面平面AC.M是中点，是中点，N是中点是中点 MNRQ MN平面平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1作作PP1AB于于P1，作作MM1 AB于于M1，连结连结QP1，作作NN1 QP
4、1于于N1，连结连结M1N1N1M1P1NN1PP1 MM1AA1又又NN1、MM1均等于边长的一半均等于边长的一半故故MM1N1N是平行四边形，故是平行四边形，故MNM1N1MN平面平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1zyxo证明：建立如图证明：建立如图所示的空间直角所示的空间直角坐标系坐标系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为2，又设又设A1P=BQ=2x则则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故故N(2-x,1+x,1),而而M(2,1,1)MN所以向量所以向量 (-x,x,0)，又平面，又平面AC的法的法向量为向量为 (0,0,1)，n0nMN又又M不在平面不在平面AC 内
5、，所以内，所以MN平面平面ACnMNDCBAD1C1B1A1例例3.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：中，求证：平面平面A1BD平面平面CB1D1平行四边形平行四边形A1BCD1 A1BD1C平行四边形平行四边形DBB1D1 B1D1BD于是平面于是平面A1BD平面平面CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx证明：建立如图所示的证明：建立如图所示的空间直角坐标系空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为设正方形边长为1，则向量则向量)1,0,1(1DA)0,1,1(DB设平面设平面BDA1的法向的法向量为量为),(zyxn 则有则有x+z=0 x+y=0令令x=1,则得方程组的
6、解为则得方程组的解为x=1 y=-1 z=-1故平面故平面BDA1的法向量为的法向量为)1,1,1(n同理可得平面同理可得平面CB1D1的法向量为的法向量为)1,1,1(m则显然有则显然有mn即得两平面即得两平面BDA1和和CB1D1的法向量平行的法向量平行所以所以 平面平面BDA1CB1D1 通过本例的练习，同学们要进一步通过本例的练习，同学们要进一步掌握平面法向量的求法：即用平面内掌握平面法向量的求法：即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于量积等于0，利用解方程组的方法求出，利用解方程组的方法求出平面法向量平面法向量(在解的过程中可令其中一在解的
7、过程中可令其中一个未知数为某个数个未知数为某个数)。例例1 1、2 2与例与例3 3在利用法向量时有何不同？在利用法向量时有何不同？DCBAD1C1B1A1FGHE例例4.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F、G、H分别是分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的的中点中点.求证：求证：平面平面AEH平面平面BDGFADGF，AD=GF又又EHB1D1，GFB1D1 EHGF平行四边形平行四边形ADGE AEDG 故得平面故得平面AEH平面平面BDGFDCBAD1C1B1A1HGFEozyx略证：建立如图所示的略证：建立如图所示的空间直角坐标系空间直角坐标系o-xyz则
8、求得平面则求得平面AEF的法向的法向量为量为)1,2,2(n求得平面求得平面BDGH的法向的法向量为量为)1,2,2(m显然有显然有nm故故 平面平面AEH平面平面BDGF小结：小结：利用向量的有关知识解决一些立体几何利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是近年来很的问题，是近年来很“时髦时髦”的话题，其的话题，其原因是它把有关的原因是它把有关的“证明证明”转化为转化为“程序程序化的计算化的计算”。本课时讲的内容是立体几何。本课时讲的内容是立体几何中的证明中的证明“线面平行线面平行”的一些例子，结合的一些例子，结合我们以前讲述立体几何的其他问题我们以前讲述立体几何的其他问题(如：证如：证明
9、垂直、求角、求距离等明垂直、求角、求距离等)，大家从中可以，大家从中可以进一步看出基中一些解题的进一步看出基中一些解题的“套路套路”。利用向量解题利用向量解题 的关键是建立适当的的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标。空间直角坐标系及写出有关点的坐标。DCBAD1C1B1A1PFE作业：作业：1.在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,E、F分别是分别是A1D1、BB1的中点，问的中点，问:在边在边CC1上是否存在一上是否存在一点点P，使，使AC平面平面EFP？若存在，求？若存在，求出出P的位置；若不的位置；若不存在，请说明理由。存在，请说明理由。NMPDCBA2.在四棱锥
10、在四棱锥P-ABCD中，中，底底ABCD是正方形，是正方形，且且PA=PB=PC=PD=AB=BC=CD =DA,M、N分别分别 是是PA、BD上的上的 动点，动点，且且PM:MA=BN:ND。问：。问：直线直线MN与平面与平面PBC有什有什么关系？请证明你的结论么关系？请证明你的结论.再见人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者，也不要做安于现状的平凡人。18、过自己喜欢的生活，成为自己喜欢的样子，其实很简单，就是把无数个今天过好，这就意味着不辜负不蹉跎时光，以饱满的热情迎接每一件事，让生命的每一天都有滋有味。19、上天不会亏待努力的人，也不会同情
11、假勤奋的人，你有多努力时光它知道。20、成长这一路就是懂得闭嘴努力，知道低调谦逊，学会强大自己，在每一个值得珍惜的日子里，拼命去成为自己想成为的人。6.凡是内心能够想到.相信的，都是可以达到的。NapoleonHill 77.一个客观的艺术不只是用来看的，而是活生生的。但是你必须知道如何去靠近它，因此你必须要做静心。OSHO 78.烦恼使我受着极大的影响我一年多没有收到月俸，我和穷困挣扎；我在我的忧患中十分孤独，而且我的忧患是多么多，比艺术使我操心得更厉害！米开朗基罗 79.有两种东西，我们对它们的思考愈是深沉和持久，它们所唤起的那种愈来愈大的惊奇和敬畏就会充溢我们的心灵，这就是繁星密布的苍穹
12、和我心中的道德律。康德 80.我们的生活似乎在代替我们过日子，生活本身具有的奇异冲力，把我们带得晕头转向；到最后，我们会感觉对生命一点选择也没有，丝毫无法作主。索甲仁波切 81.如果你是个作家，这是比当百万富豪更好的事，因为这一份神圣的工作。哈兰爱里森 82.成为一个成功者最重要的条件，就是每天精力充沛的努力工作，不虚掷光阴。威廉戴恩飞利浦 83.人生成功的秘诀是，当机会来到时，立刻抓住它。班杰明戴瑞斯李 84.不停的专心工作，就会成功。查尔斯修瓦夫 40.你要确实的掌握每一个问题的核心，将工作分段，并且适当的分配时间。富兰克林 85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们
13、没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失
14、去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢
15、欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之
16、下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所
17、事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司
18、或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在
19、健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去
20、做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
