1、物流管理定量分析方法主讲：詹益钊第一章物资调运方案的表上作业法n考核知识点：n不平衡运输问题化为平衡运输问题，初始调运方案的编制，物资调运方案的优化。n考核要求：n掌握将不平衡运输问题转化为平衡运输问题的方法。n熟练掌握编制初始调运方案的最小元素法。n理解闭回路、检验数等概念。n熟练掌握求最优调运方案的优化方法。n 1.1 物资调运的表上作业法物资调运的表上作业法 n物资调运问题物资调运问题 n例例1 现有三个产地A、B、C供应某种商品，供应量分别为50吨、30吨、70吨；有四个销地、，需求量分别为30吨、60吨、20吨、40吨。产地A到销地、的每吨商品运价分别为15元、18元、19元、13元
2、；产地B到销地、的每吨商品运价分别为20元、14元、15元、17元；产地C到销地、的每吨商品运价分别为25元、16元、17元、22元。如下表所示。如何求出最优调运方案？运输平衡表与运价表销地产地ABC需求量 供应量 30602040150503070151819132014151725161722 我们将直接在运输平衡表与运价表上编制运输方案并进行计算、调整，以确定最优调运方案的方法称为表上作业法。最小元素法最小元素法编制初始调运方案编制初始调运方案 上页上页下页下页 最小元素法最小元素法编制初始调运方案编制初始调运方案 最小元素法最小元素法编制初始调运方案编制初始调运方案 最小元素法最小元素
3、法编制初始调运方案编制初始调运方案 最小元素法最小元素法编制初始调运方案编制初始调运方案 最小元素法最小元素法编制初始调运方案编制初始调运方案 最小元素法最小元素法编制初始调运方案编制初始调运方案 最小元素法最小元素法编制初始调运方案编制初始调运方案 最小元素法最小元素法编制初始调运方案编制初始调运方案 最小元素法最小元素法编制初始调运方案编制初始调运方案 最小元素法最小元素法编制初始调运方案编制初始调运方案 最小元素法最小元素法编制初始调运方案编制初始调运方案 最小元素法最小元素法编制初始调运方案编制初始调运方案 最小元素法最小元素法编制初始调运方案编制初始调运方案 运输调运方案的运输调运方
4、案的优化优化闭回路、检验数闭回路、检验数 闭回路：只有一个空格，其他拐弯处都有数字 运输调运方案的运输调运方案的优化优化闭回路、检验数闭回路、检验数 运输调运方案的运输调运方案的优化优化闭回路、检验数闭回路、检验数 运输调运方案的运输调运方案的优化优化闭回路、检验数闭回路、检验数 运输调运方案的运输调运方案的优化优化闭回路、检验数闭回路、检验数 运输调运方案的运输调运方案的优化优化闭回路、检验数闭回路、检验数 1.3.2 检验数及调运方案调整的原则检验数及调运方案调整的原则对于某调运方案，若某空格增加单位运量，则此空格的闭回路的奇数号拐弯处均须增加单位运量，偶数号拐弯处均须减少单位运量，总运费
5、的改变量为奇数号拐弯处的运价和与偶数号拐弯处的运价和的差。称此总运费的改变量为检验数。当且仅当检验数为负数时，在此空格增加运量能使总运费减少。如果检验数为大于等于零，则不需做调整。检验数第检验数第1个拐弯处的单位运价第个拐弯处的单位运价第2个拐弯处的单位运价个拐弯处的单位运价 第第3个拐弯处的单位运价第个拐弯处的单位运价第4个拐弯处的单位运价个拐弯处的单位运价 最优调运方案的判别标准最优调运方案的判别标准 若某一物资调运方案的所有空格的检验数均非负，则该物资调运方案最优，此时的运输总费用最低。小结：小结：检验数实际上就是所有奇数号拐弯处单位运价总和减去所有偶数号拐弯处单位运价总和。调运方案调整
6、的原则。最优调运方案的判别标准。调整运输方案的原则调整运输方案的原则1.3.3 调运方案的优化调运方案的优化n 物资调运方案优化的思路物资调运方案优化的思路n(1)按行列顺序的空格找闭回路，计算检验数。n(2)若检验数非负，则对下一个空格继续找闭回路，计算检验数。依此类推。若所有检验数均非负，则该方案为最优调运方案，此时的运输总费用最低。n(3)n(4)进行优化调整：调整在闭回路中进行，所有奇数号拐弯处的运输量均加上调整量，所有偶数号拐弯处的运输量均减去调整量，并取差值为0的一个拐弯处作为空格（差值为0的拐弯处不只一个时，称为情形，此时，可任取一个拐弯处作为空格，其他拐弯处的差值0应看作运输量
7、），得到一个新的调运方案。(5)对新调运方案，重复(1)(4)。注意：对于退化情形，若所有检验数为负的空格的闭回路的偶数号拐弯处都包含有运量为0的格，则对应的闭回路无运量调出，此方案即为最优。表表1-25 运输平衡表与运价表运输平衡表与运价表调整量：调整量：q qmin(30，20)20 物资调运方案的优化物资调运方案的优化表表1-26 运输平衡表与运价表运输平衡表与运价表 表表1-27 运输平衡表与运价表运输平衡表与运价表 调整量：调整量：q qmin(20，40)20 物资调运方案的优化物资调运方案的优化表表1-27 运输平衡表与运价表运输平衡表与运价表 调整量：调整量：q qmin(20
8、，40)20物资调运方案的优化物资调运方案的优化表表1-28 运输平衡表与运价表运输平衡表与运价表 205020102030324241ccBBAAxxxxxx 结论：任何平衡运输问题必有最优调运方案物资调运问题不平衡运输问题平衡运输问题本章知识小结用最小元素法编制初始调运方案按顺序的空格找闭回路，求检验数所有检验数非负出现负检验数最有调运方案，计算最低运输费用优化调整，得新方案物流管理定量分析方法物流管理定量分析方法第二章第二章 资源合理利用的线性规划法资源合理利用的线性规划法2.1 资源合理利用的线性规划模型资源合理利用的线性规划模型 物资调运问题物资调运问题例1 现有三个产地 A，B，C
9、 供应某种商品，供应量分别为 50 吨、30 吨、70 吨；有四个销地，需求量分别为 30 吨、60 吨、20 吨、40 吨。产地 A 到销地，的每吨商品运价分别为 15 元、18 元、19 元、13 元；产地 B 到销地，的每吨商品运价分别为 20 元、14元、15 元、17 元；产地 C 到销地，的每吨商品运价分别为 25 元、16 元、17 元、22元。如何求出最优调运方案？试建立线性规划模型。列表分析题意列表分析题意 上页上页下页下页2.1 资源合理利用的线性规划模型资源合理利用的线性规划模型(2)确定目标函数确定目标函数:目标函数就是使问题达到最大值或最小值的函数。目标函数就是使问题
10、达到最大值或最小值的函数。设运输总费用为 S，故目标函数为：min S15x1118x1219x1313x1420 x21 14x2215x2317x2425x31 16x3217x3322x34 其中 min S 表示使运输总费用 S 最小。(3)考虑约束条件考虑约束条件:约束条件就是各种资源的限制条件及变量非负限制。约束条件就是各种资源的限制条件及变量非负限制。建立例建立例1的线性规划模型的线性规划模型 设产地A运往销地，的运输量分别为x11，x12，x13，x14；产地B运往销地，的运输量分别为x21，x22，x23，x24；产地C运往销地，的运输量分别为x31，x32，x33，x34。
11、产地 A 的总运出量应等于其供应量，即 x11x12x13x1450 同理，对产地 B 和 C，有 x21x22x23x2430 x31x32x33x3470 运进销地的运输量应等于其需求量，即 x11x21x3130 同理，对销地，有 x12x22x3260 x13x23x3320 x14x24x3440 运输量应非负，故 约束条件为：约束条件为：4,3,2,1;3,2,1040206030703050342414332313322212312111343332312423222114131211jiixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxjx (4)写出线性规划问题。写出线性规划
12、问题。)4,3,2,1;3,2,1(040206030703050221716251715142013191815min342414332313322212312111343332312423222114131211343332312423222114131211jixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxSij 物流管理中的线性规划问题物流管理中的线性规划问题例2 某物流企业计划生产 A，B 两种产品，已知生产 A 产品 1 公斤需要劳动力 7 工时，原料甲 3 公斤，电力 2 度；生产 B 产品 1 公斤需要劳动力 10 工时，原料甲 2 公斤，电力 5度
13、。在一个生产周期内，企业能够使用的劳动力最多 6300 工时，原料甲 2124 公斤，电力 2700 度。又已知生产 1 公斤 A，B 产品的利润分别为 10 元和 9 元。试建立能获得最大利润的线性规模型。建立例建立例2 的线性规划模型的线性规划模型解 (1)设置变量：设生产A产品 x1 公斤，生产B产品 x2 公斤。(2)确定目标函数：max S10 x19x2 (3)考虑约束条件：生产 A 产品 x1 公斤需要劳动力 7x1 工时，生产 B 产品 x2 公斤需要劳动力 10 x2 工时，生产 A，B 产品所需劳动力总和不能超过企业现有劳动力，即有 7x110 x26300 同理，对原料甲
14、及电力，有 3x12x22124 2x15x22700 产品产量应非负，故 约束条件为：约束条件为：(4)写出线性规划模型。写出线性规划模型。变量，就是待确定的未知数，也称决策变量。变量一般要求非负。目标函数目标函数:某个函数要达到最大值或最小值，也即问题要实现的目标，就是目标函数。目标是求最大值的，用max；求最小值的，用min。约束条件，约束条件，就是变量所要满足的各项限制，包括变量的非负限制。它是一组包含若干未知数的线性不等式或线性等式。资源包括人力、资金、设备、原材料、电力等。要根据各种资源的限制，确定取等式或不等式。将目标函数与约束条件写在一起，就是线性规划模型。我们通常将目标函数写
15、在前面，约束条件写在目标函数的后面。设置变量；设置变量；确定目标函数；确定目标函数；考虑约束条件；考虑约束条件；写出线性规划模型。写出线性规划模型。2.2 矩阵的概念矩阵的概念 整存整取定期储蓄存期三个月六个月一年二年年利率(%)2.884.145.675.94项 目1月份2月份3月份天然气m3252426电(kwh)135125130水m3889北京市居民超表纪录卡 学生成绩表 xyO姓 名数 学语 文英 语张建中808280林 勇758475王建明858083崔 也869090王 宾919095上面这些长方形表，抽象出来就是我们要讲的矩阵.Y=ax004323105174004323105
16、174004323105174 这里对矩阵作一些说明：CBA,004323105174AA43A122a514a矩阵一般用大写英文字母表示：如等横向称行，竖向称列.每一个位置上的数都是A的元素5是矩阵定义请看教材第2章定义2.1.矩阵，如1是A的第2行第2列的元素，记为：的第1行第4列的元素，记为：补充内容：补充内容：特别地，当1m时，矩阵只有一行，即naaa112111n12111maaanm nnnnnnaaaaaaaaa212222111211时，矩阵只有一列，即时，矩阵的行列数相同，即当称为行矩阵称为列矩阵当n nmijaAAAmnmmnnaaaaaaaaaA212222111211称
17、为阶矩阵（或 阶方阵）在n阶矩阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线.行列数相同的矩阵称为同型矩阵.即：两个矩阵的行数相等、列数也相等时。中各个元素的前面都添加一个负号得到的矩阵称为负矩阵，在矩阵记为n241502A241502AAA例如，这里是的负矩阵nm000000000nnn100010001InI零矩阵零矩阵 所有元素都为零的矩阵。例如单位矩阵单位矩阵：主对角线上的元素全是1，其余元素全是0的阶矩阵称为单位或特殊矩阵特殊矩阵矩阵，记作nkkk000000kIkI数量矩阵：数量矩阵：主对角线上的元素为同一个数，其余元素全是0的阶矩阵称为数量矩阵，
18、记作对角矩阵：对角矩阵：主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵，即Anaaa00000021naaa,diag21naaa,21Annnnaaaaaa21222111000有时也记作或 三角矩阵：三角矩阵：主对角线上方的元素全为零的方阵称为下三角矩阵下三角矩阵，它形如Annnnaaaaaa00022211211主对角线下方的元素全为零的方阵称为上三角矩阵上三角矩阵，它形如上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵.对称矩阵对称矩阵：若矩阵A(aij)是n阶方阵，且满足aijaji，对任意i和j均成立，则称A为对称矩阵。ijijbaBACBA,ijijbaBACBA,C矩阵加法矩阵加法 用记为的和
19、，即规定如下规定如下同形，于是同形.（1）(2)对应元素分别相加.例：A=2 -1 41 3 6B=0 5 3-2 1 1求A+BA+B=2+0 -1+5 4+31-2 3+1 6+1=2 4 7-1 4 7CAACAijijacAOA 0AA 1OA 0A矩阵的数量乘法矩阵的数量乘法 ，则 同形，即中每个素都乘以特别地：注意：中定义为，等式左边是数0与矩阵的乘积，而右边是零矩阵.(1)和 (2)98748510311c2314253312c92748310421c2214233422c1728310434453AB22922398nmijaA11nmijbB1mnABCAB C1nmijcC
20、 njinjiijbabac11其中 =，1仅当时，才能做乘法2若，则3若，则 (矩阵乘法定义请阅读教材第2章定义2.5)(行乘列法则行乘列法则)fedcbaAATAATAAfcebdaAT 设 将第一行元素写在第一列处，第二行元素写在第二列处，的转置矩阵.矩阵的转置矩阵的转置 这样就可得到ab1 abABIBAABABABA1逆矩阵 可表为 可逆矩阵可逆矩阵 ，如果存在一个矩阵，使得 则称是可逆矩阵，称是的逆矩阵，记为（1）设矩阵例例2.1 某公司准备投资200万元兴办A，B两种第三产业，以解决公司800名剩余劳动力的工作安排问题；经调查分析后得知，上述A种第三产业每万元产值需要劳动力5人、
21、资金2.50万元，可得利润0.50万元；B种第三产业每万元产值需要劳动力7.5人、资金1.25万元，可得利润0.65万元.问如何分配资金给这两种第三产业，使公司既能解决800名剩余劳动力的安排问题，又能使投资所得的利润最大？试写出线性规划模型（不要求求解）.【分析【分析】解：解：(1)确定变量：设投资A种第三产业x1万元产值，投资B种第三产业x2万元产值.显然，x10，x20.(2)确定目标函数：设利润为S，则目标函数为：max S0.50 x10.65x2(3)列出各种资源的限制：劳动力限制：A种第三产业每万元产值需要劳动力5人，故A种第三产业共需要劳动力5x1人；同理，B种第三产业共需要劳
22、动力7.5x2人.800名剩余劳动力都需要安排，故5x17.5x2800资金限制：A种第三产业共需要资金2.50 x1万元，B种第三产业共需要资金1.25x2万元，故2.50 x11.25x2200(4)写出线性规划模型：020025.150.28005.7565.050.0max21212121xxxxxxxxS，102211,621100BA24204212102124611426211002420423510102211621100例例2.2 设求：(1)2BTA；(2)AB解：解：2BT2BTAAB例例2.3 写出用MATLAB软件求矩阵A153132543的逆矩阵的命令语句.解：解：
23、用MATLAB软件求A的逆矩阵的命令语句为：A=3 -4 5;2 -3 1;3 -5 -1;inv(A)例例2.4 写出用MATLAB软件将线性方程组5114712242432143214321xxxxxxxxxxxx的增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵的命令语句.解：解：用MATLAB软件将增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵的命令语句为：A=1 2 -1 4;2 -1 1 1;1 7 -4 11;B=2;1;5;D=A B;rref(D)例例2.5 写出用MATLAB软件解下列线性规划问题的命令语句：)321(050423025.023max3221321，jxxxxxxxxSj解：解：用MATLAB软
24、件解上述问题的命令语句为：C=-3 2 0.5;A=2 1 0;0 2 4;B=30 50;LB=0 0 0;X,fval=linprog(C,A,B,LB)物流管理定量分析方法第三章年平均库存量年平均库存量 设订货批量为 q 单位，由假定，平均库存量为 q/2，因为每单位该物资每年库存费为 a 元，则：年年库存成本库存成本(q/2)a。可见，库存成本与订货批量成正比，如图1。该公司每年需要该物资 D 单位，即年订货次数为 D/q，因为每次订货费为 b 元，则：年订货成本年订货成本(D/q)b。可见，订货成本与订货批量成反比，如图2。年订货与库存总成本总成本C(q)由年库存成本与年订货成本组成
25、，即 如图3。其中 q*为经济批量。常量只取固定值的量这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的如圆的面积与半径的关系：S=考虑半径r可以变化的过程面积和半径叫做变量变量可取不同值的量变域变量的取值范围函数函数 我们考虑问题的过程中，不仅是一个变量，可能有几个变量比如两个变量，要研究的是两个变量之间有什么关系，什么性质函数就是变量之间确定的对应关系比如股市中的股指曲线，就是时间与股票指数之间的对应关系又如银行中的利率表存期六个月一年二年三年五年年利率(%)5.407.477.928.289.002r)(xfy,)(Dxxfyy函数定义函数定义 设x,y是两个变量，x的变域为D，如果存在
26、一个对应规则f，使得对D内的每一个值x都有唯一的y值与x对应，则这个对应规则f 称为定义在集合D上的一个函数函数，并将由对应规则f 所确定的x与y之间的对应关系，记为称x为自变量，y为因变量或函数值，D为定义域我们要研究的是如何发现和确定变量之间的对应关系集合称为函数的值域值域1.常数函数常数函数：y=c这个函数在它的定义域中的取值始终是一个常数，它在直角坐标系中的图形就是一条水平线2.幂函数幂函数：y=x，(R)以x为底，指数是一个常数当=1时就是y=x，它的图形是过原点且平分一、三象限的直线；当=2时就是y=x2，它的图形是过原点且开口向上的抛物线；当=3时就是y=x3，它的图形是过原点的
27、立方曲线3.指数函数指数函数：y=ax，(a 0，a1)底数是常数，指数是变量例如y=ex，y=(21)x 所有指数函数的图形都过(0,1)点，当a1时，函数单调增加，当a0，a1)以a为底的x的对数例如 y=lnx，y=log 2x，y=所有对数函数的图形都过(1,0)点，当a1时，函数单调增加；当a 0 处，函数单调上升；在x 0 这一边的每一点处都有切线时，切线的特征是：切线与x 轴正向的夹角一定小于90 当在 x 0，则f(x)在(a,b)上单调增加单调增加；(2)如果x(a,b)时，(x)clear;syms x y;y=log(x+sqrt(1+x2);diff(y)例例3.4 写
28、出用MATLAB软件求函数xxxy3e3的二阶导数的命令语句.解：解：用MATLAB软件求导数的命令语句为：clear;syms x y;y=exp(-3*x)/(x-3x);diff(y,2)例例3.5 某企业运输某物品q吨时的总成本（单位：元）为C(q)4000.05q2，求运输100吨物品时的边际成本.解：解：边际成本函数为：MC(q)0.1q运输100吨物品时的边际成本为：MC(100)10（元/吨）边际成本函数就是成本函数的导数，确定运输量时的边际成本就是相应的导数值qqqCqMC1.0)05.0400()()(2101001.0)()100(|100qqMCMC)(qL)(qL例例
29、3.6 某工厂生产某种商品，年产量为q（单位：百台），成本为C（单位：万元），其中固定成本为2万元，而每生产1百台，成本增加1万元市场上每年可以销售此种商品4百台，其销售收入R是q的函数R(q)4q0.5q2 q 0，4问年产量为多少时，其利润最大？解：解：因为固定成本为2万元，生产q单位商品的变动成本为1q万元所以成本函数C(q)q+2由此可得利润函数L(q)R(q)C(q)3q0.5q22又因为3q令 0，得驻点q3.这里，q3是利润函数L(q)在定义域内的唯一驻点所以，q3是利润函数L(q)的极大值点，而且也是L(q)的最大值点即当年产量为3百台时，其利润最大40020000%20202
30、)(qqqCqq80000002 280000002)(qqC0)(qC例例3.7 设某企业平均每年需要某材料20000件，该材料单价为20元/件，每件该材料每年的库存费为材料单价的20.为减少库存费，分期分批进货，每次订货费为400元，假定该材料的使用是均匀的，求该材料的经济批量.解：解：设订货批量为q，则库存总成本为令得q0内的唯一驻点q2000（件）.故，经济批量为2000件4.1 由边际成本确定成本的微元变化由边际成本确定成本的微元变化-微分微分)(QC)(QC引例：引例：成本函数的导数又称为边际成本，记为 MC(Q)，表示成本函数在 Q处的变化率。当)(Q很小时，成本函)(,QQQ)
31、(QC)(Q0)(Q数在的微小变化可表示为。当)(QC)(Q)(QC)(Qd时，记为表示成本函数在Q处的微元变 化，称为成本函 数在Q处的微分。对于一般函数yf(x)，引进微分概念如下：定义定义4.1 设函数yf(x)在点x0处可导，x为x的改变量，则称xxf)(0为函数yf(x)在点x0处的微分，记作 0d)(d0 xxyxf或并称函数yf(x)在点x0处是可微可微的。如果函数yf(x)在区间(a，b)内的每一点 都可微，则称函数yf(x)在区间(a，b)内可微，记作dy或d f(x)，即 即 xxfy)(dxxxxx1dxxfxyyd)(dd当 yf(x)x 时，有，即自变量x的微分dx即
32、为自变量增量 x，于是函数的微分可写成 由微分式xxfyd)(d，可得 可得)(ddxfxy，,故导数又称为微商。微商。计算函数yf(x)的微分，实际上可归结为计算导数。y0 xx0X0+xABCXdyy例例1 设运输某物品q个单位时的边际成本为)(qC，求运输量从a单位增加到b单位时成本的增量。解 运输量从a单位增加到b单位时成本的增量为)()(aCbC 由于运输量从a单位增加到b单位过程中成本的增量是成本函数C(q)在a,b的每一点处微元变化的累积，即,d)(baqqqC)(qC此和式对a,b的每一点 q 求连续和，此和式有意义时，称为在a,b上的定积分。记为baqqCd)(定积分的定义和
33、性质定积分的定义和性质定义定义4.2 设函数 f(x)在区间 a，b 上有定义，且和式babaqqqCqqCd)(d)(,故运输量从a单位增加到b单位时成本的增量即)()(aCbC=babaqqqCqqCd)(d)(,一般地，,d)(baxxxf)(xfxxfbad)(xxfxxfbabaxd)(d)(,有意义，称之为函数在a,b上的定积分，记为，即)()(xfxF)()(d)(aFbFxxfba)(xfxxfd)(且若有，则有 称为积分号，x 称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式，a和b分别称为积分的下限和上限，a，b称为积分区间。例例5 由曲线yf(x)（f(x)0），直线xa，xb
34、和x轴所围成的图形称为曲边梯形曲边梯形，如图4-2所示。求曲边梯形的面积。其中，成本增量可记为 baqqMCaCbCd)()()(由定义4.2可知曲边梯形面积可记为：baxxfA)d(由定积分的概念，容易得到下列几个简单结果：由定积分的概念，容易得到下列几个简单结果：abbaxxfxxf)d()d(0)d(aaxxfabxbad（1）（2）（3）)()(xfxFbabaxFaFbFxxf)()()(d)(记为xxd)12(2112)(2xxx21221)(d)12(xxxx4.2.2 微积分基本定理微积分基本定理定理定理4.1 对被积函数f(x)，若有，则 此公式称为牛顿莱布尼兹(NL)公式，
35、简称为NL公式，它是积分学的基本公式。例例7 计算定积分。解：因为 (222)(121)2 所以 已知 求总成本函数 边际成本C(x)C(x)（）MC 已知总成本C(x)，求边际成本 C(x)，就是求导数反之如果已知边际成本，用MC表示，要求总成本，这就是我们要讨论的问题，也就是要知道哪一个函数的导数等于MC我们引进一个概念：原函数原函数()=MC求 已知 定义定义1.1 若对任何xD，F(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的原函数原函数例如 (x3)=3x2 xF(x)f(x)x3是3x2x的原函数)(xfxxfd)()(xfx定义定义1.2 的所有原函数的全体称为不定积分不定积分记作其
36、中称为被积函数被积函数称为积分变量积分变量，称为积分符号积分符号0)(c1)(xxxx1)(ln)1,0(ln)(aaaaaxxxxe)e(正因为求导与求不定积分互为逆运算，所以导数基本公式和积分基本公式也是互逆的也就是说，有一个导数公式，反过来就有一个积分公式先让我们回顾一下导数基本公式:cx d0111d1cxxxcxxxlnd1)1,0(lndaacaaxaxxcxxxede将以上这些公式反过来看，我们就能得到积分基本公式：检验不定积分计算的正确与否，就是将计算结果求导数，看是否等于被积函数由此可见，积分基本公式固然很重要，但最最重要的还是导数基本公式)(,)(xgxfxxgxxfxxg
37、xfd)(d)(d)()()(xfkxxfkxxkfd)(d)(xxxxxxxdd2d)2(22先介绍不定积分的性质 积分基本性质:1.若是可积函数，则有2.若是可积函数，为非0常数，则有:有了积分基本公式和这两条性质，我们就可以把一些基本的函数的不定积分计算出来例如xxxxdd22cxx3231212cxx3231 这种利用不定积分的运算性质和积分基本公式直接计算出不定积分的方法称为直接积分法直接积分法)(xFxxFd)(cxxFxFd)()()0()(d)(0FxFxxFx4.5.1 由边际物流量求该物流量和增量的实例由边际物流量求该物流量和增量的实例 在3.3.7节中介绍了已知经济函数F
38、(x)(如总成本函数C(q)、收入函数R(q)和利润函数L(q)等)，则其边际经济函数就是它的导数。作为导数的逆运算，若对已知的边际经济函数，求不定积分 可得原经济函数 其中，积分常数-c由F(0)F0的具体条件确定。由牛顿莱布尼兹公式)0(d)()(0FxxFxFxxxFaFbFFbad)()()(00d)()(cqqMCqCqqqMCCqqd)(21移项，得到变上限定积分(把上限变量看作待定常数，类似定积分计算)表示的原经济函数 经济函数从自变量a到b的增量定义为 运输量从q1单位到q2单位时的成本增量为：1.总成本函数及其增量总成本函数及其增量 设运输量为q时的边际成本为MC(q)，固定
39、成本为C(0)c0，则总成本函数为：2d)32()(0qqqCq232)3(202qqqqq6)3(d)32(21221qqqqC例例 经调查研究，某物品运输量为q单位时的边际成本（单位：万元/单位）为MC(q)2q3，已知固定成本为2万元，求：(1)总成本函数C(q)；(2)运输量从1单位增加到2单位时成本的增量。解解 (1)总成本函数为：(2)运输量从1单位增加到2单位时成本的增量。qqqMRqR0d)()(21d)(qqqqMRRqqqMRqR0d)()(2.收入函数及其增量收入函数及其增量 设运输量为q时的边际收入为MR(q)，我们总是假定R(0)0(运输量为0时收入为0)，则收入函数
40、为：运送运输量从q1单位到q2单位时的收入增量为：例例 已知某企业运输某物品q单位时的边际收入(单位：元/单位)为MR(q)1002q，求运输40单位时的收入，并求再增加运输10单位时所增加的收入。2400)100(d)2100()40(4002400qqqqR100)100(d)2100(504025040qqqqR在运输40单位后再运输10单位所增加的收入为：(元)(元)d)(d)(000cqqMCqqMRqq00d)()(cqqMCqMRq3.利润函数及其增量利润函数及其增量 设运输量为q时的边际成本为MC(q)，边际收入为MR(q)，固定成本为C(0)c0，则利润函数为：L(q)R(q)C(q)21d)(qqqqMLL运送运输量从q1单位到q2单位时的利润增量为：00d)()()(cqqMCqMRqLq10d)4.013()2.025()10(100qqqL1001d)6.012(qq8010)3.012(1002qq边际收入(单位：元/单位)为MRMR (q q)25250.20.2q q，固定成本为10元，求运送解 由利润函数 直接求出 （元）例例 已知运输某物品的边际成本(单位：元/单位)为MC(q)130.4q，10单 位物品时的利润。
