1、第16讲直角三角形命题点直角三角形1(2017河北T112分)如图是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是(A) AB CD2(2012河北T26(1)3分)如图，在ABC中，AB13，BC14，cosABC.探究：如图，AHBC于点H，则AH12，AC15，ABC的面积SABC84重难点直角三角形的相关计算如图，点D在RtABC的斜边AB上，且AC6.(1)若AB比BC大2.求AB的长；若CDAB于点D，求CD的长；(2)若D是AB的中点，A36，则DCB54；(3)若AD7，DB11，CDB2B，求CD的长【思路
2、点拨】(1)由于AB比BC大2，AC6，可采用勾股定理求AB；利用面积法可求CD；(2)可利用直角三角形两锐角互余及等边对等角，求DCB；(3)取斜边的中点E，可得CDCE.【自主解答】解：(1)设ABx，BCx2，AB2BC2AC2，x2(x2)262，解得x10，即AB10.ACBCCDAB，CD.(3)取AB的中点E，连接CE.AD7，DB11，ABADDB71118.CEBEAB189.BBCE.由三角形的外角性质，得CEDBBCE2B.CDB2B，CDBCED，CDCE9.【变式训练1】(2018黄冈)如图，在RtABC中，ACB90，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD2
3、，CE5，则CD(C)A2 B3 C4 D2【变式训练2】(2018长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里500米，则该沙田的面积为(A)A7.5平方千米 B15平方千米C75平方千米 D750平方千米【变式训练3】如图，已知AOB60，点P在边OA上，OP10，点M，N在边OB上，PMPN.若MN2，则OM的长为41在直角三角形中，勾股定理体现直角三角形三边之间的数量
4、关系；利用勾股定理可以已知两边求第三边；已知一边及其他两边的数量关系求两边；已知三边的数量关系，求三边；在利用勾股定理的逆定理时，注意的是两条较小边的平方和等于最大边的平方时，此三角形是直角三角形2求直角三角形斜边上高可考虑利用面积法3关于直角三角形有两个重要定理：(1)30角的直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，其性质体现直角三角形与等边三角形之间的联系，即等边三角形是由两个相同的30的直角三角形拼接而成的；(2)直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，还可以得到有公共斜边的多个直角三角形，斜边上中点到直角三角形各顶点的距离相等直角三角形斜边上中线把直角三角形分成两个等腰三角形.1(
5、2018滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为(A)A5 B6 C7 D82(2018贺州)如图，在ABC中，BAC90，ADBC，垂足为D，E是边BC的中点，ADED3，则BC的长为(D)A3 B3 C6 D63(2018常德)如图，已知BD是ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，BAC90，AD3，则CE的长为(D)A6 B5 C4 D34(2018淄博)如图，在RtABC中，CM平分ACB交AB于点M，过点M作MNBC交AC于点N，且MN平分AMC.若AN1，则BC的长为(B)A4 B6 C4 D85(2018泸州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学
6、的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为(D)A9 B6 C4 D36如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是(C)7(2018泰州)如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，ACDABC90，E，F分别为AC，CD的中点，D，则BEF的度数为2703(用含的式子表示)8(2018保定模拟)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪一灵感，他惊喜地发现，当两个全
7、等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中DAB90，求证：a2b2c2.证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DFECba.S四边形ADCBSACDSABCb2ab，又S四边形ADCBSADBSDCBc2a(ba)，b2abc2a(ba)a2b2c2.请参照上述证法，利用图2完成下面的证明将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中DAB90.求证：a2b2c2.证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BFba.S五边形ACBEDSACBSABESADEabb2ab，又S五边形ACBED
8、SACBSABDSBDEabc2a(ba)，abb2ababc2a(ba)a2b2c2.9(2018扬州)如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D，CE平分ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是(C)ABCEC BECBECBCBE DAEEC10(2018石家庄模拟)如图，已知AB10，点P是线段AB上的动点，以AP为边作正六边形APCDEF，以PB为底作等腰BPN，连接PD，DN，则PDN的面积的最大值是(B)A6 B. C7 D.提示：连接AD，作NMPB于点M，六边形APCDEF是正六边形，EFAD，DPAB，DPED，正六边形的每一个内角为120，ADE60，ADP30，
9、PDPA，DPAB，NMPB，PDMN，PM就是PDN的PD边的高，设PAx.则PB10x，在等腰BPN中，MNPB，PMPB(10x)，SPDNPDPMx(10x)(x5)2，PDN的面积的最大值为.11(2018黄冈)如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm(杯壁厚度不计)12(2018天津)如图，在边长为4的等边ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EFAC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为提示：连接DE，在边
10、长为4的等边ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，DE是ABC的中位线，DE2，且DEAC，BDBEEC2.EFAC，C60，FEC30，DEFEFC90.FCEC1，故EF.G为EF的中点，EG.DG.13(2018冀卓模拟)已知，在等腰ABC中，ABAC10，BC16.(1)若将ABC的腰不变，底变为12，甲同学说，这两个等腰三角形面积相等；乙同学说，腰不变，底变化，这两个三角形面积必不相等请对甲、乙两种说法做出判断，并说明理由；(2)已知ABC底边上高增加x，腰长增加(x2)时，底却保持不变，请确定x的值；解：(1)甲说法对，乙说法不对图1图2理由如下：如图1，过点A作ADBC于点D.
11、ABAC10，BC16，BDCD8，AD6.SABCBCAD48.如图2，作等腰ABC，ABAC10，BC12，过点A作ADBC于点D.ABAC10，BC12，BDCD6.AD8.SABCBCAD48.两个等腰三角形面积相等(2)依题意，得(10x2)2(6x)282，解得x9.14如图1，已知在锐角ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点(1)求证：MNDE；(2)连接DM，ME，猜想A与DME之间的关系，并证明猜想；(3)当A变为钝角时，如图2，上述(1)(2)中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由解：(1)证明：连
12、接DM，ME.CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是BC的中点，DMBC，MEBC.DMME.又N为DE中点，MNDE.(2)在ABC中，ABCACB180A，DMMEBMMC，BMDCME(1802ABC)(1802ACB)3602(ABCACB)3602(180A)2A，DME1802A.(3)结论(1)成立，结论(2)不成立连接DM，ME.理由如下：在ABC中，ABCACB180A，DMMEBMMC，BMECMD2ACB2ABC2(180A)3602A.DME180(3602A)2A180.15(2018湘潭)九章算术是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在ABC中，ACB90，ACAB10，BC3，求AC的长，如果设ACx，则可列方程为x232(10x)2
