1、首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出1tx第四章第四章 机械振动机械振动4-1 4-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征4-2 4-2 谐振动的运动学谐振动的运动学4-3 4-3 简谐振动的能量简谐振动的能量4-4 4-4 简谐振动的合成简谐振动的合成4-5 4-5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动共振受迫振动共振4-6 4-6 非线性振动简介非线性振动简介首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出2tx1x2x第四章第四章 机械振动机械振动4-1 4-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征4-2 4-2 谐振动的运动学谐振动的运动学4-3 4-3 简谐振动的能量简谐振动的能
2、量4-4 4-4 简谐振动的合成简谐振动的合成4-5 4-5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动共振受迫振动共振4-6 4-6 非线性振动简介非线性振动简介首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出3 1、什么是振动：、什么是振动：物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。广义地，凡是描述物质运动状态的广义地，凡是描述物质运动状态的物理量物理量，在某一固定，在某一固定值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。值附近作周期性变化，都可称该物理量作振动。一、振动的概念一、振动的概念 任何一个具有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时任何一个具
3、有质量和弹性的系统在其运动状态发生突变时,都会发生振动。都会发生振动。物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。物体在发生摇摆、颠簸、打击、发声之处均有振动。物质的运动具有粒子和波动两种图象。物质的运动具有粒子和波动两种图象。天体的、宏观的机械运动，及分子的热运动呈粒子性；天体的、宏观的机械运动，及分子的热运动呈粒子性；微观领域内，无论场和实物都呈波、粒二象性。微观领域内，无论场和实物都呈波、粒二象性。4-1 4-1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出42、振动的特征、振动的特征3、振动中最简单最基本的是简谐振动、振动中最简单最基本的是简谐
4、振动。任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成任何一个振动都可看成若干不同频率的简谐振动的合成(在时间上）具有某种重复性。在时间上）具有某种重复性。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出5二、几个谐振动的实例二、几个谐振动的实例、弹簧振子、弹簧振子1）定义：）定义：构成：轻质弹簧一端固定其另一端构成：轻质弹簧一端固定其另一端 与刚体联结与刚体联结条件：位移限定在弹性限度内，不条件：位移限定在弹性限度内，不计弹簧内部计弹簧内部 摩擦摩擦2）无阻尼时的自由振动）无阻尼时的自由振动阻尼：阻尼：干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射自由振动：指系统只受外界一次性
5、扰动，而后的运动自由振动：指系统只受外界一次性扰动，而后的运动 只在系统内部恢复力作用下运动。只在系统内部恢复力作用下运动。（1）平衡位置与坐标原点：）平衡位置与坐标原点：平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为坐坐标原点（对水平面上的弹簧振子，则是其自由伸长处）标原点（对水平面上的弹簧振子，则是其自由伸长处）首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出6首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出7mk2令0222xdtxd则得)cos(0tAx解微分方程得：解微分方程得：首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出82）无阻尼时的自由振动
6、）无阻尼时的自由振动（1）平衡位置与坐标原点：）平衡位置与坐标原点：铅直位置为角平衡位置，铅直位置为角平衡位置，o为角坐标为角坐标原点。原点。（2）恢复力矩的特点：）恢复力矩的特点：重力对过悬点重力对过悬点0/的水平轴的力矩为：的水平轴的力矩为：sinmglM 负号表示力矩方向始终与角位置方负号表示力矩方向始终与角位置方向相反向相反1 1）定义）定义)5(,:0的摆动在竖直平面内作小角度在重力作用下条件轻绳与质点固联一端固定的不可伸长的构成、单摆、单摆/o0lgmT/o0首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出9根据麦克劳林展开根据麦克劳林展开 53!51!31sin略去高阶无穷小后略去高
7、阶无穷小后mglM（3）惯性的作用）惯性的作用:即恢复力矩与角位移正比而反向。即恢复力矩与角位移正比而反向。（角位移指偏离平衡位置的角位移）（角位移指偏离平衡位置的角位移）此处的惯性指摆球对过此处的惯性指摆球对过0 0的水平轴的转动惯量的水平轴的转动惯量 Iml2首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出103）单摆的运动微分方程）单摆的运动微分方程由定轴转动的转动定律：由定轴转动的转动定律：mgldtdml222 令 2gl 0222dtd则得方程的解为方程的解为00costIM 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出112）同单摆一样分析可得复摆运动微分方程）同单摆一样分析可得复摆
8、运动微分方程、复、复 摆摆Imgh2令0222dtd则得sinmghMmghM式中式中h指质心到悬点的距离指质心到悬点的距离mghdtdI22由定轴转动的转动定律：由定轴转动的转动定律：方程的解为方程的解为00cost chmg1)定义定义摆条件：同单轴转动构成：刚体绕水平光滑首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出12三、简谐振动的特征和谐振动的定义三、简谐振动的特征和谐振动的定义1、谐振动特征、谐振动特征动力学特征：动力学特征：0222xdtxd其谐振动的微分方程：其谐振动的微分方程：运动学特征：运动学特征：谐振动的运动学方程谐振动的运动学方程)cos(0tAxxtAdtdvatAdt
9、dxv2020)cos()sin(式中式中A A、是由初始条件所决定的两个积分常数是由初始条件所决定的两个积分常数 0振动系统所受的力是线性回复力（弹性力和准弹性力）振动系统所受的力是线性回复力（弹性力和准弹性力）Fb-ax物体振动时，它离开平衡位置的位移是时间的余弦函数物体振动时，它离开平衡位置的位移是时间的余弦函数首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出132、谐振动的定义：、谐振动的定义：谐振子的定义：谐振子的定义：0222dtd的系统，即为谐振振子系统。的系统，即为谐振振子系统。谐振子系统在无阻尼情况下的自由振动谐振子系统在无阻尼情况下的自由振动 谐振动定义：谐振动定义：一个描述其
10、一个描述其“惯性惯性”的物理量可视为常数的系统的物理量可视为常数的系统,在其稳在其稳定平衡位置附近作微小的自由振动时定平衡位置附近作微小的自由振动时,只受到内部线性恢复力只受到内部线性恢复力的作用，且系统的运动微分方程，能满足二阶齐次、线性常的作用，且系统的运动微分方程，能满足二阶齐次、线性常系数微分方程，即能满足系数微分方程，即能满足首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出14 例例10-1 弹簧下面悬挂物体，不计弹簧弹簧下面悬挂物体，不计弹簧重量和阻力，试证其在平衡位置附近的重量和阻力，试证其在平衡位置附近的振动是谐振动。振动是谐振动。证：证：以平衡位置以平衡位置A为原点，向下为为原点
11、，向下为x轴正向，轴正向，设某一瞬时设某一瞬时m的坐标为的坐标为x，则物体在振动过程中的运动微分方程则物体在振动过程中的运动微分方程为为式中式中 是弹簧挂上重物后的静伸长是弹簧挂上重物后的静伸长 mglxkdtxdm)(22mglk因为,22kxdtxdm0222xdtxd即有：这说明：若一个谐振子系统受到一个恒力作用，只要将其坐这说明：若一个谐振子系统受到一个恒力作用，只要将其坐标原点移至恒力作用下新的平衡位置，该系统仍是一个与原标原点移至恒力作用下新的平衡位置，该系统仍是一个与原系统动力学特征相同的谐振子系统。系统动力学特征相同的谐振子系统。xAx0mgF首首 页页 上上 页页 下下 页页
12、退退 出出15一、谐振动的运动学方程一、谐振动的运动学方程以弹簧振子为例，其动力学方程为以弹簧振子为例，其动力学方程为0222xdtxd该方程的解该方程的解0costAx即为谐振动的运动学方程即为谐振动的运动学方程式中式中A A和和 0 0为由初始条件所决定的两个积分常数。为由初始条件所决定的两个积分常数。4-2 4-2 谐振动的运动学谐振动的运动学首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出16二、描述谐振动的三个物理量二、描述谐振动的三个物理量 1、振幅、振幅A由初始条件由初始条件x0、v0决定决定)sin()cos(00tAVtAx 令 t=0 则 )2()1(sincos0000AVA
13、x 222122020VxA得（1）周期）周期T：完成一次完全振动所需的时间完成一次完全振动所需的时间2、周期、周期T（频率（频率、圆频率、圆频率、固有圆频率）、固有圆频率）)cos(0tAx0)(cosTtA)2cos(0tA2 T2T或首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出17(3)圆频率圆频率：秒内完成的完全振动的次数秒内完成的完全振动的次数固有角频率固有角频率Imghmklg222复摆弹簧振子单摆(2)频率频率：单位时间内所完成的完全振动的次数单位时间内所完成的完全振动的次数T1 固有振动周期固有振动周期mghITkmTglT222(4)固有圆频率：固有圆频率：仅由振动系统的力学
14、性质所决定的频率仅由振动系统的力学性质所决定的频率2首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出18 3、位相：、位相：位相是描述系统的机械运动状态的物理量。（相又指月相之相位相是描述系统的机械运动状态的物理量。（相又指月相之相取其具有周期性。）取其具有周期性。）)sin()cos(100tAvtAx(2)初位相 t=0 时的位相 0 (i)用分析法确定特殊用分析法确定特殊 情况下的位相情况下的位相0sincos0000AvAAx00v t=0 时，时，x0=A,v0=0.(位位位置；相位置；相变化的态势）变化的态势）X0X0=+A首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出190sin0co
15、s0000AvAx200sincos0000AvAAx00sin0cos0000AvAx230X0v t=0时,x0=0,v00首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出200sin2cos0000AvAAx300000sincosAvAx000 xvtg即由初始条件所决定的两个积分常数即由初始条件所决定的两个积分常数分别为和0A )(2020vxA )(0010 xvtg(ii)用由初始条件决定的积分常数用由初始条件决定的积分常数 求初位相求初位相0，取使取使x0 v0 、均满足的值、均满足的值 X0 A2v t=0时,x0=A/2,v00,v0,在第 I象限 x0,v0,在第象限 x0,
16、在第 III象限 x0,v0,在第象限 同时同时,其也形象地说明了，对其也形象地说明了，对应于每一个应于每一个x值值,有两种可能的运动方向有两种可能的运动方向X1x4x2x3x12341v2v3v4v首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出31一个谐振动从一个谐振动从一个状态到另一个状态一个状态到另一个状态经历的时间间隔为经历的时间间隔为 t=t2t1=T 2位相差位相差 两个振动在同一时刻两个振动在同一时刻t的位相差的位相差=2-1=(2t+20)-(1t+10)=(2-1)t+(20-10)x1=A1cos(1t+10)x2=A2cos(2t+20)1）两个简谐振动的位相差）两个简谐振
17、动的位相差2）同一振动在不同时刻的位相差）同一振动在不同时刻的位相差同一振动在同一振动在t1、t2时刻的位相差为时刻的位相差为 =(t2+0)-(t1+0)=(t2-t1)两个同频振动在同一时刻的位相之差两个同频振动在同一时刻的位相之差 =20-10首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出32x(t)=Acos(t+0)v(t)=-Asin(t+0)=vmcos(t+0+/2)a(t)=-A2cos(t+0)=amcos(t+0)设设 0=0 三种描述方法三种描述方法(即：三即：三角函数、函数图象、旋角函数、函数图象、旋转矢量）都离不开三个转矢量）都离不开三个特征量特征量A、和和0谐振动的
18、三种表示法谐振动的三种表示法 x t t t 0 v 0 0 4Ta v a A x t x x 0 旋转矢量与振动图象首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出33例例106一质点作简谐振动的圆频率为一质点作简谐振动的圆频率为，振幅为，振幅为A，当，当t=0时质点位于时质点位于x=A2处，且向处，且向X轴正方向运动，试画出此振动的轴正方向运动，试画出此振动的旋转矢量图。旋转矢量图。解：由已知条件可知，解：由已知条件可知，t=0时，时，0sincos2100tAvtAAx与之对应的初位相角在第四象限与之对应的初位相角在第四象限3030首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出34例例101
19、07 7一物体作简谐振动，振动方程为一物体作简谐振动，振动方程为x=Acosx=Acos（t+t+4 4），），在在t=Tt=T4 4时，物体的加速度为时，物体的加速度为 2212AA 2212AB 2213AC 2213AD答：选（答：选（B）4cos222tAdtxda24124Tt2222142cosAAa首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出35一、动能一、动能221mvEk)(2mk二、势能二、势能221kxEP三、总能三、总能221kAEEEPk四、动能和势能在一个周期内的平均值四、动能和势能在一个周期内的平均值2cos121sin)2cos1(21cos22)(sin210
20、222tAm)(sin21022tkA)(cos21022tkA2max21mv2221Am设设x(t)=Acos(t+0)v(t)=-Asin(t+0)4-3 4-3 简谐振动的能量简谐振动的能量首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出36同理平均势能同理平均势能2002241)(cos211 KAdttKATETPEkAEEPk21412221kAE Etx0 xx=Acost在一个周期在一个周期 T 内的平均动能内的平均动能)(sin211 0022TKdttKATE241KA)(2cos1 21211 002TdttKAT首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出37例例10-8
21、 谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移等于谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移等于 ADACABAA22;23;2;4解：解：222212121kAkxmv222121kxmv 而题知22212121kAkx DAx即应选于是,22首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出38例例109 一物体质量为一物体质量为0.25kg，在弹性力作用下作简谐振动，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的倔强系数弹簧的倔强系数k=25Nm-1，如果起始振动具有势能，如果起始振动具有势能0.06J和动能和动能0.02J，求（，求（1）振幅；（）振幅；（2）经过平衡位置时物体的速度。）经过平衡位置时物体的速度
22、。解（解（1）221kAEEEpk（2）过平衡点时，）过平衡点时，x=0，此时动能等于总能量，此时动能等于总能量221mvEEEpkmkEEApk08.0/)(2smmEEvpk/8.0/)(2首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出39一、两个同方向、同频率谐振动的合成一、两个同方向、同频率谐振动的合成X1=A1cos(t+1)X2=A2 cos(t+2)求：X X1 X2 1 1、计算法计算法)cos()cos(20210121tAtAxxx202202101101sinsincoscos sinsincoscostAtAtAtA)sinsin(sin )coscos(cos20210
23、1202101AAtAAt02021010202101sinsinsin coscoscos AAAAAA令4-4 4-4 简谐振动的合成简谐振动的合成首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出40 )tAcos(sinsincoscos 000tAtAx上式两个同方向、同频率的谐振动的合振动仍然是一个同两个同方向、同频率的谐振动的合振动仍然是一个同频率的谐振动频率的谐振动.首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出41合振幅 )cos(21020212221AAAAA初位相 coscossinsin20210120210110AAAAtg2、旋转矢量合成法、旋转矢量合成法xy0A110A
24、220A0 x1x2x1y2yy 利用正切函数求利用正切函数求得合振动的初位相得合振动的初位相.两振动频率相同，则它们的旋转矢量以相同的角速度两振动频率相同，则它们的旋转矢量以相同的角速度 旋旋转，故形成稳定的平形四边形。转，故形成稳定的平形四边形。利用矢量加法的平行利用矢量加法的平行四边形法则，合振动的四边形法则，合振动的旋转矢量为旋转矢量为A其中其中首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出42振幅最大振幅最大 Amax=A1+A2振幅最小振幅最小 A Aminmin=|=|A A1 1 A A2 2|3、位相差对合振幅的影响、位相差对合振幅的影响2 ,1 ,0 2)()(1020102
25、0kktt（1 1）若位相差）若位相差2 ,1 ,0 )12(kk（2 2）若位相差）若位相差（3 3）若位相差）若位相差 1020为其它任意值时为其它任意值时振幅振幅A A AminA Amax首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出43例例101010 10 两谐振动振动方程分别为两谐振动振动方程分别为,)610cos(31cmtx，求它们的合振动。cmtx)3210cos(42解 这两个谐振动的位相差为.2作旋转矢量图，利用旋转矢量合成作旋转矢量图，利用旋转矢量合成法，合振动为法，合振动为cmtgttAx)34610cos(5 )10cos(106034oxA首首 页页 上上 页页
26、下下 页页退退 出出44 )cos(212212221AAAAA2443而AAAAAA23222221合313143cos34cos43sin34sinAAAAtg解：设合振动为解：设合振动为则,costAx例例101011 11 两谐振动方程分别为两谐振动方程分别为43cos3,4cos21tAxtAx求它们的合振动。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出45v从图可看出，因两旋转矢量的从图可看出，因两旋转矢量的角速度角速度 1，2，不相同，所以，不相同，所以由两矢量由两矢量A1、A2合成的平行四边合成的平行四边形的形状要发生变化，矢量形的形状要发生变化，矢量A的的大小也随之而变，出现
27、了振幅有大小也随之而变，出现了振幅有周期性的变化。周期性的变化。1、利用旋转矢量合成法、利用旋转矢量合成法二、同方向、不同频率两谐振动的合成二、同方向、不同频率两谐振动的合成拍拍1ox1A2AA2首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出46 因此，当两个振动频率接近时，合成中由于周期的微小因此，当两个振动频率接近时，合成中由于周期的微小差别而造成合振幅随时间作周期性变化，振动时而加强时而差别而造成合振幅随时间作周期性变化，振动时而加强时而减弱的现象称为减弱的现象称为拍拍。合振动在单位时间内加强合振动在单位时间内加强(或减弱或减弱)的次数称为的次数称为拍频拍频首首 页页 上上 页页 下下 页
28、页退退 出出472、拍振动表达式、拍振动表达式 设分振动为)cos(011tAx)cos(022tAx2cos2cos2coscos)2cos()2cos(20122121ttAxxx3、拍频：指合振幅变化的频率、拍频：指合振幅变化的频率 余弦函数的周期应为余弦函数的周期应为2，但，但取绝对值后，周期为取绝对值后，周期为，故合振，故合振幅变化的周期幅变化的周期 121222T1212221T于是拍频为即即“拍频拍频”等于两个分振动频率之差等于两个分振动频率之差首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出484、“拍振动拍振动”的应用的应用 声振动、电磁振荡和波动中是经常遇到的。声振动、电磁振荡
29、和波动中是经常遇到的。利用拍现象还可以测定振动频率、校正乐器和制造差拍振利用拍现象还可以测定振动频率、校正乐器和制造差拍振荡器等等荡器等等5、同步锁模：、同步锁模：上面关于拍频现象的讨论只是数学计算的结果。这只是问题的一种可能。如果这两个分振动，通过一定物理条件，使二者发生了非线性耦合，那么上面那种简单的线性叠加就不再成立，而会出现所谓“同步锁模”现象，即两个分振动的频率锁定在同一个频率上。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出49一、谐振子系统在弱介质阻尼下的自由振动一、谐振子系统在弱介质阻尼下的自由振动1、固体在介质中所受阻力在一般情况下为固体在介质中所受阻力在一般情况下为 221v
30、vfrdtdxvfr即 2、以弹簧振子为例，其运动微分方程为、以弹簧振子为例，其运动微分方程为kxdtdxdtxdm22令 ，则有 02kmm2我们只讨论其中的线性部分，我们只讨论其中的线性部分，即在低速情况下的振动即在低速情况下的振动4-5 4-5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出50d xdtdxdtx220220式中式中阻尼因子阻尼因子 0系统固有角频率系统固有角频率方程的解及其物理意义方程的解及其物理意义 1、弱阻尼、弱阻尼)1(0220令)cos(00teAxt(1)式中式中A0、0是由初始条件所是由初始条件所决定的两个积分常数
31、；决定的两个积分常数；(2)阻尼振动的振幅阻尼振动的振幅 teAA0即即：振幅按指数规律衰减，故阻尼振动又称减幅振动；振幅按指数规律衰减，故阻尼振动又称减幅振动；首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出51(3)准周期的问题：准周期指函数准周期的问题：准周期指函数 与时间轴与时间轴t的零交点间的间隔（但函数的峰值不在两零交点的的零交点间的间隔（但函数的峰值不在两零交点的中心）中心）,即即)cos(00teAtx阻尼振动曲线阻尼振动曲线ot/T/2 T22022T 说明阻尼越大，准周期越大，阻尼越小，越接近系统固有说明阻尼越大，准周期越大，阻尼越小，越接近系统固有周期。周期。002T首首 页
32、页 上上 页页 下下 页页退退 出出522 2、临界阻尼、临界阻尼 )(220这时teccx)(21 c1、c2为两积分常数为两积分常数其用途之一其用途之一,用于灵敏仪器的回零用于灵敏仪器的回零装置装置.ttececx)(2)(1202202此时此时 其不是往复运动，须无限长的其不是往复运动，须无限长的时间才能回零。时间才能回零。3 3、过阻尼、过阻尼 )(202首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出53不讨论随机外力只讨论谐和策动力周期性外力用下的新平衡点将坐标原点移至恒力作恒力作用ptFFcos0外界作用外界作用 1、弱阻尼谐振子系统谐受迫振动微分方程、弱阻尼谐振子系统谐受迫振动微分
33、方程以弹簧振子为例以弹簧振子为例ptFdtdxkxdtxdmcos022其运动方程为,20mk令,2mmFf00二、受迫振动二、受迫振动 共振共振ptfxdtdxdtxdcos202022则得 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出542、方程的解及其物理意义、方程的解及其物理意义)cos()cos(00ptAteAxt由微分方程理论由微分方程理论,上述方程的解为上述方程的解为1）自由振动的能量是外界一次性输入）自由振动的能量是外界一次性输入 无阻尼 能量守恒 等幅振动有阻尼 有能量损耗 减幅振动:,:,2）受迫振过程中，外界在不断地向振动系统补充能量）受迫振过程中，外界在不断地向振动系
34、统补充能量.)cos(.,)cos(0000的稳定受迫振动是由谐和策动力所维持也就不存在了与初始条件相关的当其衰减完毕时的固有项就是由初始能量所维持ptAAteAt,首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出55三三.稳定的受迫振动稳定的受迫振动 xAptcos()22222004)(ppfAtgpp 2022 (1)说明此时振动方程的位相说明此时振动方程的位相与初始条件无关，其表示振与初始条件无关，其表示振动位移的位相与策动力位相的位相差；动位移的位相与策动力位相的位相差；(2)说明振幅是策动力的函数，因此存在极值的问题说明振幅是策动力的函数，因此存在极值的问题,与此对与此对应的极值现象，
35、称为位移共振。应的极值现象，称为位移共振。1、稳定受迫振动的频率等于策动力的频率稳定受迫振动的频率等于策动力的频率 2、稳定受迫振动的振幅稳定受迫振动的振幅A和位相和位相（用待定系数法可得）（用待定系数法可得）首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出564.5.3 4.5.3 共振共振 1、位移共振（又称振幅共振）、位移共振（又称振幅共振）只要令只要令 即可得即可得 0dAdpPr0222此即振幅共振频率此即振幅共振频率图4.244.24位移共振曲线位移共振曲线 图图4.254.25速度共振曲线速度共振曲线首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出572、速度共振（又称能量共振）、速度共
36、振（又称能量共振）)sin(tPAdtdxvPAAv,0)(dppAd令0vp得 速度（能量）共振频率3、共振的利用与防止共振的利用与防止(1)位移共振 防止过桥 机床 海堤利用振动筛 打夯 核磁共振 ,.,.(2)能量共振能量共振调谐（能量输入处于最佳状态）调谐（能量输入处于最佳状态）首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出58x00/X/例例1012轻质弹簧下挂一个轻质弹簧下挂一个小盘，小盘作简谐振动，平衡位小盘，小盘作简谐振动，平衡位置为原点，位移向下为正，并采置为原点，位移向下为正，并采用余弦表示。小盘处于最低位置用余弦表示。小盘处于最低位置时有一个小物体落到盘上并粘住，时有一个小
37、物体落到盘上并粘住，如果以新的平衡位置为原点，设如果以新的平衡位置为原点，设新的平衡位置相对原平衡位置向新的平衡位置相对原平衡位置向下移动的距离小于原振幅，小物下移动的距离小于原振幅，小物体与盘相碰为计时零点，那么新体与盘相碰为计时零点，那么新的位移表示式的初位相在的位移表示式的初位相在（A）02之间；之间；（B）2 之间；之间；（C）32之间；之间；（D）322 之间。之间。A首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出59振动的小盘处于最低位置时，距原平衡点为振动的小盘处于最低位置时，距原平衡点为A，按题设，小，按题设，小物体、盘子系统的新平衡点相对原平衡点向下移动的距离小于物体、盘子系统
38、的新平衡点相对原平衡点向下移动的距离小于A，若以小物体与盘子相碰为计时起点，则振动的小盘处于最，若以小物体与盘子相碰为计时起点，则振动的小盘处于最低位置时相对于新的坐标原点的位移向下，即低位置时相对于新的坐标原点的位移向下，即X0以小物体与盘相碰时为计时零点，以新平衡位置为原点，即以小物体与盘相碰时为计时零点，以新平衡位置为原点，即当当t=0时，时，x0,v0.振动的小盘处于最低位置时，有一小物体落于盘上并粘住，振动的小盘处于最低位置时，有一小物体落于盘上并粘住，此过程动量守恒，盘子与小物系统的合速度此过程动量守恒，盘子与小物系统的合速度V的方向向下，按的方向向下，按题设方向，题设方向，V0，
39、可知，与之对应的位相角在第四相象限，所以选（可知，与之对应的位相角在第四相象限，所以选（D）首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出60 例例1011一质点在一质点在X轴上作简谐振动，振幅轴上作简谐振动，振幅A4cm，周期，周期T2s，其平衡位置取作坐标原点。若，其平衡位置取作坐标原点。若t0时质点第一次通过时质点第一次通过x2cm处且向处且向X轴负方向运动，则质点第二次通过轴负方向运动，则质点第二次通过x2cm处的处的时刻为时刻为（A）1s；（；（B）（）（2/3）s；（；（C）（）（4/3）s；（；（D）2s。解：解：02cos000vAAx32002cosvAAx34Tt23234s
40、T323选（选（B）首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出61例例1012一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示。振子在一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示。振子在位移为零，速度为位移为零，速度为 A、加速度为零和弹性力为零的状态，对、加速度为零和弹性力为零的状态，对应于曲上的应于曲上的-点。振子处在位移的绝对值为点。振子处在位移的绝对值为A、速度为零、速度为零、加速度为加速度为 2A和弹性力为和弹性力为KA的状态，则对曲线上的的状态，则对曲线上的点。点。tx-Aabcde0Af答：当答：当x=0、a=0、F=0时：应为时：应为 0点，点，b点，点，d点，点，f点点又又 v=-A,则应为则应为b点点,f点点当当x=A、a=-2A 、v=0、F=-kA时：应为时：应为 a点点，e点点
