1、函数的极值函数的极值一、复习与引入一、复习与引入:上节课上节课,我们讲了利用函数的导数来研究函数的单调我们讲了利用函数的导数来研究函数的单调性这个问题性这个问题.其基本的步骤为其基本的步骤为:求函数的定义域求函数的定义域;求函数的导数求函数的导数 ;)(xf 解不等式解不等式 0得得f(x)的单调递增区间的单调递增区间;解不等式解不等式 f(x1).o oa aX X1 1X X2 2X X3 3X X4 4b bax xy y)(4xf)(1xf (4)函数的极值点一定出现在区间的内部函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端区间的端点不能成为极值点点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小
2、值的点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部可能在区间的内部,也可能在区间的端点也可能在区间的端点.在上节课中在上节课中,我们是利用函数的导数来研究函数的我们是利用函数的导数来研究函数的单调性的单调性的.下面我们利用函数的导数来研究函数的极值下面我们利用函数的导数来研究函数的极值问题问题.由上图可以看出由上图可以看出,在函数取得极值处在函数取得极值处,如果曲线有切如果曲线有切线的话线的话,则切线是水平的则切线是水平的,从而有从而有 .但反过来不一但反过来不一定定.如函数如函数y=x3,在在x=0处处,曲线的切线是水平的曲线的切线是水平的,但这点但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大的
3、函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近也不比它附近的点的函数值小的点的函数值小.假设假设x0使使 .那么在什么情况下那么在什么情况下x0是是f(x)的极值点呢？的极值点呢？0)(0 xf0)(0 xfo oa aX X0 00b bx xy y0)(0 xf0)(xf0)(xfo oa aX X0 0b bx xy y0)(0 xf0)(xf0)(xf 如上左图所示如上左图所示,若若x0是是f(x)的极大值点的极大值点,则则x0两侧附近两侧附近点的函数值必须小于点的函数值必须小于f(x0).因此因此,x0的左侧附近的左侧附近f(x)只能只能是增函数是增函数,即即 ;x0的右侧附近的右侧
4、附近f(x)只能是减函数只能是减函数,即即 0)(xf.0)(xf 同理同理,如上右图所示如上右图所示,若若x0是是f(x)极小值点极小值点,则在则在x0的的左侧附近左侧附近f(x)只能是减函数只能是减函数,即即 ;在在x0的右侧附近的右侧附近只能是增函数只能是增函数,即即 .0)(xf0)(xf 从而我们得出结论从而我们得出结论:若若x0满足满足 ,且在且在x0的两侧的两侧的导数异号的导数异号,则则x0是是f(x)的极值点的极值点,f(x0)是极值是极值,并且如果并且如果 在在x0两侧满足两侧满足“左正右负左正右负”,则则x0是是f(x)的极大值的极大值点点,f(x0)是极大值是极大值;如果
5、如果 在在x0两侧满足两侧满足“左负右正左负右正”,则则x0是是f(x)的极小值点的极小值点,f(x0)是极小值是极小值.0)(0 xf)(xf )(xf 从曲线的切线角度看从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率曲线在极值点处切线的斜率为为0,并且并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为右侧为负负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正右侧为正.一般地一般地,当当函数函数f(x)在在x0处连续处连续时时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的方法是值的方法是:(1):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右
6、侧 那么那么,f(x0)是极大值是极大值;,0)(,0)(xfxf (2):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么,f(x0)是极小值是极小值.,0)(,0)(xfxf要注意以下两点要注意以下两点:(1)不可导函数也可能有极值点不可导函数也可能有极值点.例如函数例如函数y=|x|,它在它在点点x=0处不可导处不可导,但但x=0是函数的极小值点是函数的极小值点.故函数故函数f(x)在在极值点处不一定存在导数极值点处不一定存在导数.(2)可导函数的极值点一定是它导数为零的点可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之反之函数的导数为零的点函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点不
7、一定是该函数的极值点.例如例如,函数函数y=x3,在点在点x=0处的导数为零处的导数为零,但它不是极值点但它不是极值点,原原因是函数在点因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零处左右两侧的导数都大于零.因此导因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件其充分条件是在这点两侧的导数异号是在这点两侧的导数异号.因此因此,利用求导的方法利用求导的方法,求函数的极值时求函数的极值时,在函数的在函数的定义域内寻求可能取到极值的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点可疑点”,除了确定其除了确定其导数为零的点外导数为零的点外,还必须确定函数定义域内所有不可导还必须
8、确定函数定义域内所有不可导的的点点,这两类点构成了函数定义域内所有的可能取到极值这两类点构成了函数定义域内所有的可能取到极值的的“可疑点可疑点”.三、例题选讲三、例题选讲:例例1:求求y=x3/3-4x+4的极值的极值.解解:).2)(2(42 xxxy令令 ,解得解得x1=-2,x2=2.0 y当当x变化时变化时,y的变化情况如下表的变化情况如下表:y x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)y +0 -0 +y 极大值极大值28/3 极小值极小值-4/3 因此因此,当当x=-2时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=28/3;而而,当当x=2时有极小值时有极小值,并且并且,y极小
9、值极小值=-4/3.总结总结:求求可导函数可导函数f(x)的极值的步骤如下的极值的步骤如下:(1).求导数求导数).(xf(2).求方程求方程 的根的根.0)(xf(3)检查检查 在方程根左右的值的符号在方程根左右的值的符号,如果左正右负如果左正右负,那么那么f(x)在这个根处取得极大值在这个根处取得极大值;如果左正右负如果左正右负,那那 么么f(x)在这个根处取得极大值在这个根处取得极大值.)(xf 例例2:求函数求函数 的极值的极值.)0()(2 axaxxf解解:函数的定义域为函数的定义域为),0()0,(.)(1)(222xaxaxxaxf 令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0)
10、.0)(xf当当x变化时变化时,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:)(xf x(-,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a,+)f(x)+0 -0 +f(x)极大值极大值-2a 极小值极小值2a 故当故当x=-a时时,f(x)有极大值有极大值f(-a)=-2a;当当x=a时时,f(x)有极有极小值小值f(a)=2a.说明说明:本题中的极大值是小于极小值的本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明极值这充分表明极值 与最值是完全不同的两个概念与最值是完全不同的两个概念.练习练习1:求函数求函数 的极值的极值.216xxy 解解:.)1()1(6222xxy 令令 =0,解得解得x1=-1,
11、x2=1.y 当当x变化时变化时,y的变化情况如下表的变化情况如下表:y x(-,-1)-1(-1,1)1(2,+)y -0 +0 -y 极大值极大值-3 极小值极小值3 因此因此,当当x=-1时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=3;而而,当当x=1时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=-3.例例3:已知函数已知函数f(x)=-x3+ax2+b.(1)若函数若函数f(x)在在x=0,x=4处取得极值处取得极值,且极小值为且极小值为-1,求求a、b的值的值.(2)若若 ,函数函数f(x)图象上的任意一点的切线斜图象上的任意一点的切线斜 率为率为k,试讨论试讨论k-1成立的充
12、要条件成立的充要条件.1,0 x解解:(1)由由 得得x=0或或x=4a/3.故故4a/3=4,a=6.023)(2 axxxf由于当由于当x0时时,故当故当x=0时时,f(x)达到极小值达到极小值f(0)=b,所以所以b=-1.0)(,0)(xfxf(2)等价于当等价于当 时时,-3x2+2ax-1恒成立恒成立,即即g(x)=3x2-2ax-10对一切对一切 恒成立恒成立.1,0 x 1,0 x由于由于g(0)=-10,故只需故只需g(1)=2-2a0,即即a1.反之反之,当当a1时时,g(x)0对一切对一切 恒成立恒成立.1,0 x所以所以,a1是是k-1成立的充要条件成立的充要条件.第二
13、课时第二课时一、复习一、复习:1.设函数设函数y=f(x)在在x0及其附近有定义及其附近有定义,如果如果f(x0)的值比的值比x0 附近所有各点的函数值都大附近所有各点的函数值都大,我们说我们说f(x0)是函数是函数y=f(x)的一个极大值的一个极大值;如果如果f(x0)的值比的值比x0附近所有各点的函附近所有各点的函 数值都小数值都小,我们说我们说f(x0)是函数是函数y=f(x)的一个极小值的一个极小值.极极 大值与极小值统称极值大值与极小值统称极值.2.当函数当函数f(x)在在x0处连续时处连续时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的方值的方 法是法是:(1):如果在如果在x0附近
14、的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么,f(x0)是极大值是极大值;,0)(,0)(xfxf (2):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么,f(x0)是极小值是极小值.,0)(,0)(xfxf3.理解函数极值的定义时应注意以下几点理解函数极值的定义时应注意以下几点:(1)函数的极值是一个局部性的概念函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内极值点是区间内 部的点而不会是端点部的点而不会是端点.(2)若若f(x)在某区间内有极值在某区间内有极值,那么那么f(x)在某区间内一定在某区间内一定 不是单调函数不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值即在区间上单调的函数没有极值.(
15、3)极大值与极小值没有必然的大小关系极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不即极大值不 一定比极小值大一定比极小值大,极小值不一定比极大值小极小值不一定比极大值小.(4)函数函数f(x)在某区间内有极值在某区间内有极值,它的极值点的分布是它的极值点的分布是 有规律的有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值相邻两个极大值点之间必有一个极小值 点点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地一般地,当函数当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值在某区间上连续且有有限极值 点时点时,函数函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点在该区间内的极大值
16、点与极小值点 是交替出现的是交替出现的.(5)导数为零的点是该点为极值点的必要条件导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是而不是 充分条件充分条件.(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.4.确定函数的极值应从几何直观入手确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在理解可导函数在 其定义域上的单调性与函数极值的相互关系其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利掌握利 用导数判断函数极值的基本方法用导数判断函数极值的基本方法.例例1:已知函数已知函数 f(x)满足条件满足条件:当当x2时时,;当当 x2,由条件由条件可知可知 ,即即:
17、2 x0)(2 xf;02)()(2 xxfxg当当 时时,x20,列表如下列表如下:x -1(-1,1)1 +0 0 0 +f(x)极大极大值值 极小极小值值 )(xf)1,(),1(由表可得由表可得 ,即即 .04)1(0)1(4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=3,b=5,c=2.(2)设设a0,列表如下列表如下:x -1(-1,1)1 -0 0 0 -f(x)极小值极小值 极大值极大值 )1,(),1()(xf 由表可得由表可得 ,即即 .04)1(0)1(4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=-3,b=-5,c=2.练习练习1:已知函数已知函数f(x)=x3+ax2
18、+bx+a2在在x=1处有极值为处有极值为 10,求求a、b的值的值.解解:=3x2+2ax+b=0有一个根有一个根x=1,故故3+2a+b=0.)(xf 又又f(1)=10,故故1+a+b+a2=10.由由、解得解得 或或.33114 baba当当a=-3,b=3时时,此时此时f(x)在在x=1处无处无极值极值,不合题意不合题意.0)1(3)(2 xxf当当a=4,b=-11时时,).1)(113(1183)(2 xxxxxf-3/11x1时时,此时此时x=1是极是极值点值点.0)(0)(xfxf从而所求的解为从而所求的解为a=4,b=-11.例例3:已知已知:(1)证明证明:f(x)恰有一
19、个极大值点和一个极小值点恰有一个极大值点和一个极小值点;(2)当当f(x)的极大值为的极大值为1、极小值为、极小值为-1时时,求求a、b的值的值.).0(1)(2 axbaxxf解解:(1).)1(2)1()(2)1()(222222 xabxaxxbaxxxaxf令令 ,得得-ax2-2bx+a=0,=4b2+4a20,0)(xf故故 有不相等的两实根有不相等的两实根、,设设.0)(xf又设又设g(x)=-ax2-2bx+a,由于由于-a0,g(x)的图象开口的图象开口向下向下,g(x)的值在的值在的右正左负的右正左负,在在的左正右负的左正右负.注意到注意到 与与g(x)的符号相同的符号相同
20、,可知可知为极小值点为极小值点,为极大值点为极大值点.)(xf(2)由由f()=-1和和f()=1可得可得:.1122 baba两式相加两式相加,并注意到并注意到+=-2b/a,于是有于是有:.0,02,0,02)2(22 babbaba 从而方程从而方程 可化为可化为x2=1,它的两根为它的两根为+1和和-1,即即=-1,=1.0)(xf由由.2121)(2 aabaf 故所求的值为故所求的值为a=2,b=0.只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入
21、逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的心灵，着心、心平气和的去体验、去察觉这一种灵魂深处的安详，侧耳聆听这仅属于我们自己生命最原始最动人的节奏。但，这种聆听，它绝不是仅限于、执着于“我”，而是观察
22、一种生命状态能够扩展和超脱到什么程度，也就是那“幸福都是奋斗出来的”深处又会是如何？生命不止，奋斗不息！又或者，对于很多优秀的人来说，我们奋斗了一辈子，拼搏了一辈子，也只是人家的起点。可是，这微不足道的进步，对于我们来说，却是幸福的，也是知足的，因为我们清清楚楚的知道自己需要的是什么，隐隐约约的感觉到自己的人生正把握在自己手中，并且这一切还是通过我们自己勤勤恳恳努力，去积极争取的!“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。”当我们坦然接受这人生的终局，或许，这无所皈依的心灵就有了归宿，这生命中觅寻处那真正的幸福、真正的清香也就从此真正的灿烂了我们的人生。一生有多少属于我们的时光？陌上的花，落了又开了，
23、开了又落了。无数个岁月就这样在悄无声息的时光里静静的流逝。童年的玩伴，曾经的天真，只能在梦里回味，每回梦醒时分，总是多了很多伤感。不知不觉中，走过了青春年少，走过了人世间风风雨雨。爱过了，恨过了，哭过了，笑过了，才渐渐明白，酸甜苦辣咸才是人生的真味！生老病死是自然规律。所以，面对生活中经历的一切顺境和逆境都学会了坦然承受，面对突然而至的灾难多了一份从容和冷静。这世上没有什么不能承受的，只要你有足够的坚强！这世上没有什么不能放下的，只要你有足够的胸襟！一生有多少属于我们的时光？当你为今天的落日而感伤流泪的时候，你也将错过了明日的旭日东升；当你为过去的遗憾郁郁寡欢，患得患失的时候，你也将忽略了沿途
24、美丽的风景，淡漠了对未来美好生活的憧憬。没有十全十美的生活，没有一帆风顺的旅途。波平浪静的人生太乏味，抑郁忧伤的人生少欢乐，风雨过后的彩虹最绚丽，历经磨砺的生命才丰盈而深刻。见过了各样的人生：有的轻浮，有的踏实；有的喧哗，有的落寞；有的激扬，有的低回。肉体凡胎的我们之所以苦恼或喜悦，大都是缘于生活里的际遇沉浮，走不出个人心里的藩篱。也许我们能挺得过物质生活的匮乏，却不能抵挡住内心的种种纠结。其实幸福和欢乐大多时候是对人对事对生活的一种态度，一花一世界，一树一菩提，就是一粒小小的沙子，也有自己精彩的乾坤。如果想到我们终有一天会灰飞烟灭，一切象风一样无影亦无踪，还去争个什么？还去抱怨什么？还要烦恼
25、什么？未曾生我谁是我？生我之时我是谁？长大成人方是我，合眼朦胧又是谁？一生真的没有多少时光，何必要和生活过不去，和自己过不去呢。你在与不在，太阳每天都会照常升起；你愁与不愁，生活都将要继续。时光不会因你而停留，你却会随着光阴而老去。有些事情注定会发生，有的结局早已就预见，那么就改变你可以改变的，适应你必须去适应的。面对幸与不幸，换一个角度，改变一种思维，也许心空就不再布满阴霾，头上就是一片蔚蓝的天。一生能有多少属于我们的时光，很多事情，很多人已经渐渐模糊。而能随着岁月积淀下来，在心中无法忘却的，一定是触动心灵，甚至是刻骨铭心的，无论是伤痛是欢愉。人生无论是得意还是失意，都不要错过了清早的晨曦，
26、正午的骄阳，夕阳的绚烂，暮色中的朦胧。经历过很多世态炎凉之后，你终于能懂得：谁会在乎你？你又何必要别人去在乎？生于斯世，赤条条的来，也将身无长物的离开，你在世上得到的，失去的，最终都会化作尘埃。原本就不曾带来什么，所以也谈不到失去什么，因此，对自己经历的幸与不幸都应怀有一颗平常心有一颗平常心，面对人生小小的不如意或是飞来横祸就能坦然接受，知道人有旦夕祸福，这和命运没什么关系；有一颗平常心，面对台下的鲜花掌声和头上的光环，身上的浮名都能清醒看待。花不常开，人不常在。再热闹华美的舞台也有谢幕的时候；再奢华的宴席，悠扬的乐曲，总有曲终人散的时刻。春去秋来，我们无法让季节停留；同样如同季节一样无法挽留
27、的还有我们匆匆的人生。谁会在乎你？生养我们的父母。纵使我们有千般不是，纵使我们变成了穷光蛋，唯有父母会依然在乎！为你愁，为你笑，为你牵挂，为你满足。这风云变幻的世界，除了父母，不敢在断言还会有谁会永远的在乎你！看惯太多海誓山盟的感情最后星流云散；看过太多翻云覆雨的友情灰飞烟灭。你春风得意时前呼后拥的都来锦上添花；你落寞孤寂时，曾见几人焦急赶来为你雪中送炭。其实，谁会在乎你？除了父母，只有你自己。父母待你再好，总要有离开的时日；再恩爱夫妻，有时也会劳燕分飞，孩子之于你，就如同你和父母；管鲍贫交，俞伯牙和钟子期，这样的肝胆相照，从古至今有几人？不是把世界想的太悲观，世事白云苍狗，要在纷纷扰扰的生活
28、中，懂得爱惜自己。不羡慕如昙花一现的的流星，虽然灿烂，却是惊鸿一瞥；宁愿做一颗小小的暗淡的星子，即使不能同日月争辉，也有自己无可取代的位置其实，也不该让每个人都来在乎自己，每个人的人生都是单行道，世上绝没有两片完全相同的树叶。大家生活得都不容易，都有自己方向。相识就是缘分吧，在一起的时候，要多想着能为身边的人做点什么，而不是想着去得到和索取。与人为善，以直报怨，我们就会内心多一份宁静，生活多一份和谐没有谁会在乎你的时候，要学会每时每刻的在乎自己。在不知不觉间，已经走到了人生的分水岭，回望过去生活的点滴，路也茫茫，心也茫茫。少不更事的年龄，做出了一件件现在想来啼笑皆非的事情：斜阳芳草里，故作深沉
29、地独对晚风夕照；风萧萧兮，渴望成为一代侠客；一遍遍地唱着罗大佑的童年，期待着做那个高年级的师兄；一天天地幻想，生活能轰轰烈烈。没有刀光剑影，没有死去活来，青春就在浑浑噩噩、懵懵懂懂中悄然滑过。等到发觉逝去的美好，年华的可贵，已经被无可奈何地推到了滚滚红尘。从此，青春就一去不回头。没有了幻想和冲动，日子就像白开水一样平淡，寂寞地走过一天天，一年年。涉世之初，还有几分棱角，有几许豪情。在碰了壁，折了腰之后，终于明白，生活不是童话，世上本没有白雪公主和青蛙王子，原本是一张白纸似的人生，开始被染上了光怪陆离的色彩。你情愿也罢，被情愿也罢，生存，就要适应身不由己，言不由衷的生活。人到中年，突然明白了许多：人生路漫漫，那是说给还不知道什么叫人生的人说的，人生其实很短暂，百年一瞬间；世事难预料，是至理名言，这一辈子，你遇见了谁，擦肩而过了谁，谁会是你真心的良朋益友，谁会和你牵手相伴一生，
