1、 第第8章、多元函数的微分学章、多元函数的微分学第一节、多元函数的基本概念第一节、多元函数的基本概念一、平面点集一、平面点集、邻域、邻域1.),(,),(002000平平面面上上的的一一点点是是即即设设XOYyxRyxP 的的为为即即称称平平面面点点集集022020000)()(),(),(,),(:PyyxxyxPUPPPPU 的的为为02202000)()(0),(),(PyyxxyxPU 邻域。邻域。邻域。邻域。去心去心、内内点点、外外点点、边边界界点点2.是是一一个个平平面面点点集集设设E内内点点的的定定义义：的的为为则称点则称点使使邻域邻域点的一个点的一个并且存在并且存在若点若点EP
2、EPUPUPEP,),(),(,外外点点的的定定义义：的的为为称称点点则则为为空空集集使使邻邻域域点点的的一一个个并并且且存存在在若若点点EPEPUPUPEP,),(),(,内点。内点。外点。外点。边边界界点点的的定定义义：的的是是则则称称点点的的点点也也有有不不属属于于的的点点既既有有属属于于的的任任意意的的邻邻域域内内若若点点EPEEP,边界的定义：边界的定义：的的的的边边界界点点的的全全体体称称为为 EE边界点。边界点。边界。边界。、聚聚点点、孤孤立立点点3是是一一个个平平面面点点集集设设E聚聚点点的的定定义义：的的为为则则称称点点的的无无穷穷多多个个点点，的的任任意意邻邻域域都都含含有
3、有若若点点EPEP孤孤立立点点定定义义：的的为为则则称称点点，外外其其余余各各点点都都不不属属于于除除了了点点的的某某一一个个邻邻域域内内若若点点EPEPP,PDE 。或或极极限限点点聚聚点点)(孤立点。孤立点。、开开集集、连连通通集集、区区域域4是是一一个个平平面面点点集集设设E开开集集的的定定义义：为为则则称称的的内内点点的的任任一一点点都都是是若若EEE,连连通通集集的的定定义义：是是则则称称来来连连续续曲曲线线将将它它们们连连接接起起内内的的可可以以用用一一条条完完全全在在内内的的任任何何两两点点都都若若EEE,开集。开集。连通集。连通集。的的定定义义：开开区区域域区区域域)(开开集集
4、称称为为连连通通的的闭闭区区域域的的定定义义：称为称为的点集的点集区域连同它的边界组成区域连同它的边界组成,。简简称称为为区区域域开开区区域域)(闭区域。闭区域。有有界界点点集集的的定定义义：为为则则称称使使得得若若存存在在原原点点的的某某个个邻邻域域EDEMyxyxD,),(222 无无界界点点集集。否则就称为否则就称为.有有界界点点集集nRn维维空空间间、5nnRnxxxxn:,),.,(321记记为为维维空空间间称称为为的的全全体体构构成成的的集集合合元元有有序序实实数数组组将将所所有有:,),.,(),.,(2121之之间间的的距距离离为为和和设设点点QPRyyyQxxxPnnn 区区
5、域域等等一一系系列列概概念念。开开集集聚聚点点内内点点集集的的情情况况产产生生有有关关邻邻域域上上也也可可以以类类似似于于平平面面点点在在,nR2222211)(.)()(nnxyxyxyPQ 二、多元函数概念二、多元函数概念、定定义义1,2RMRD 和和一一个个实实数数集集给给定定一一个个平平面面点点集集,f法法则则若若按按照照某某一一确确定定的的对对应应都都有有惟惟一一的的内内每每一一数数对对),(yxD,与与它它相相对对应应一一个个实实数数Mz 上上的的是是定定义义在在则则称称Df.),(的的函函数数或或称称为为点点yxPDPPfzDyxyxfz ,)(;),(,),(:或或记记为为的的
6、称称为为函函数数平平面面点点集集fD称称为为yx,),(zfyxD所所对对应应的的实实数数根根据据法法则则中中任任一一点点),(yxf在在点点称称为为处处的的的的全全体体函函数数值值集集合合函函数数f),(),()(MDyxyxfzzDf 的的称称为为函函数数 f二元函数二元函数,定定义义域域;自自变变量量也称为也称为z,函函数数值值,因变量因变量值值域域。空间直角坐标系的介绍空间直角坐标系的介绍成成右右手手系系zyx,、例例122222).3(;).2(;).1(yxzxyzyxaz 图图形形熟熟悉悉下下列列函函数数所所表表示示的的:)1(222的的图图形形为为、yxaz 解解:)2(的的图
7、图形形为为、xyz 的的图图形形为为：、22)3(yxz 、定定义义2的的因因变变量量。称称为为的的自自变变量量称称为为的的定定义义域域称称为为函函数数其其中中或或写写成成点点函函数数的的形形式式记记作作元元函函数数上上的的是是定定义义在在则则称称与与它它相相对对应应都都有有惟惟一一的的一一个个实实数数内内每每一一点点则则若若按按某某一一确确定定的的对对应应法法为为实实数数集集维维空空间间的的点点集集是是设设fufxxxfEREPPfuExxxxxxfunEfRuxxxPEfRnEnnnnn,.,)(),.,(,),.,(,),.,(,21212121 、例例2).2)()3();1arcsi
8、n(2)2();12ln()1(,22222zyxyxzuyxyxzyxz 、并并作作出出定定义义域域的的草草图图求求下下列列函函数数的的定定义义域域解解:;012),(:)1(图图形形为为、定定义义域域为为 yxyxD:;20,02),(:)2(图图形形为为、定定义义域域为为 yxyxyxD)2)()3(22222zyxyxzu 、:2),(:)3(2222图图形形如如下下、定定义义域域为为yxzyxzyxD 解解)(2122011星星期期一一日日月月年年三、多元函数的重极限三、多元函数的重极限、定义定义3;,),(,),(000为为实实常常数数的的一一个个聚聚点点是是点点的的定定义义域域为
9、为设设函函数数ADyxPDyxfz ,),(,),()()(0,20200成成立立都都有有的的一一切切点点不不等等式式中中适适合合使使得得总总存存在在正正数数数数如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正 AyxfDyxPyyxxPPD的的函函数数即即时时为为当当那那么么称称实实数数),(),(,000yxfzyyxxPPA,极极限限APfAyxfPPyyxx )(lim),(lim000或或记为记为此此极极限限又又称称为为二重极限。二重极限。、例例3.01sin)(lim222200 yxyxyx用用定定义义证证明明证明证明,0 222222)sin()(yxyxyx 22yx令令,22 yx
10、,)sin()(,0222222yxyxyx时时当当.0sin)(lim2212200 yxyxyx、例例4:求求下下列列函函数数的的极极限限、)1(2)42sin(lim2211 yxyxyxyx解解2)2)(2sin(lim2)42sin(lim112211 yxyxyxyxyxyxyxyx2)2)(2(lim11 yxyxyxyx2)2)(2sin(lim2)42sin(lim112211 yxyxyxyxyxyxyxyx.4)2(lim11 yxyx、)2(222200)(1lnlimyxyxxyx 解解222200222200)(lim)(1lnlimyxyxxyxyxxyxyx .
11、0lim00 xyx、例例5讨讨论论下下列列极极限限是是否否存存在在、)1(2200limyxxyyx 解解22220220limlimxkxkxyxxyxkxyx 201limkkx 21kk 有关有关与与k.lim2200不不存存在在yxxyyx、)2(2200limyxxyyx 解解 222222210yxyxyxxy)0,0(,02122 yxyx0lim0lim22002200 yxxyyxxyyxyx夹逼准则夹逼准则、)3(242002limyxyxyx 解解,00lim00lim2lim04024200 xxyxxyxyx,00lim200lim2lim02024200 yyyx
12、yyxyx444024202lim2lim2xxxyxyxxxyx 03131lim0 x.2lim24200不不存存在在yxyxyx 四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性、定义定义4.,),(,),(00002DPDyxPRDyxfz 的的聚聚点点是是点点上上定定义义在在设设函函数数).,(),(,),(,),(),(00000000yxfyxPyxfyxPyxP点点的的函函数数值值且且等等于于存存在在的的极极限限函函数数时时如如果果当当)()(lim),(),(lim000000PfPfyxfyxfPPyyxx 或或即即处处连连续续。在在点点那那么么称称函函数数),(),(000yxP
13、yxf。或或不不连连续续点点为为该该函函数数的的间间断断点点称称处处间间断断在在点点否否则则称称函函数数)(),(,),(),(000000yxPyxPyxf一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。、例例6讨讨论论下下列列函函数数的的连连续续性性、)1(00023),(222222yxyxyxxyyxf解解.,23),(,02222连连续续且且有有定定义义是是初初等等函函数数时时当当yxxyyxfyx 22220023lim),(limxkxkxyxfxkxyx 有有关关与与kkkkkx220213213lim 不不存存在在),(lim00yxfyx.)
14、,()0,0(的的间间断断点点是是yxf、)2(11),(2 yxyxf解解.,11),(,0122连连续续有有定定义义是是初初等等函函数数且且时时当当 yxyxfyx,11),(,0122无无定定义义时时当当 yxyxfyx.01),(:),(2 yxyxyxf的的间间断断点点的的集集合合为为、例例742102)(2limyxyxeyxyx 求极限求极限解解.21)1(20)10()1(22)(2lim4204210 eyxyxeyxyx在有界闭区域上连续的多元函数的重要性质如下在有界闭区域上连续的多元函数的重要性质如下：)(1 最最大大最最小小值值定定理理、定定理理 DPPfPfPfPDP
15、PDDfD ,2121恒恒有有点点上上任任意意使使对对和和上上有有点点亦亦即即在在最最大大值值和和最最小小值值上上必必有有在在上上连连续续的的多多元元函函数数在在有有界界闭闭区区域域)(2 介介值值定定理理、定定理理。之之间间的的任任何何值值至至少少一一次次上上取取得得介介于于这这两两个个值值在在则则函函数数得得两两个个不不同同的的函函数数值值上上取取如如果果在在上上连连续续的的多多元元函函数数在在有有界界闭闭区区域域DfDfD,第二节、偏导数第二节、偏导数 一、偏导数一、偏导数:),(0000的的斜斜率率点点处处的的切切线线求求绿绿线线在在xTzyxP 0),(:yyyxfz绿绿线线方方程程
16、为为 xxzxxzkxx )()(lim000.),(),(lim00000 xyxfyxxfx :),(0000的的斜斜率率点点处处的的切切线线求求蓝蓝线线在在yTzyxP 0),(:xxyxfz蓝蓝线线方方程程为为 yyzyyzkxy )()(lim000.),(),(lim00000yyxfyyxfx )(1 二二元元函函数数偏偏导导数数的的定定义义、定定义义),(),(,)(),(00000000yxfyxxfxxxyyyxyxfz 相相应应的的函函数数有有增增量量时时处处有有增增量量在在而而固固定定在在当当的的某某邻邻域域内内有有定定义义在在点点设设函函数数 0000,0000000
17、0000,),(,),(,)(),(,),(),(limyxyxxxxxzxfyxzyxfyxyxfzxyxfyxxf 或或记记作作处处关关于于在在点点则则称称此此极极限限为为函函数数存存在在如如果果极极限限 .,),(,),(),(),(lim)(),(,0000,00000000000yxyxyyyyzyfyxzyxfyyxfyyxfyxyxfz 或或记记作作定定义义为为处处关关于于在在点点函函数数类类似似地地的偏导数的偏导数x的偏导数的偏导数y yzyfzyxfxzxfzyxfyyxx ,，记记为为：偏偏导导函函数数简简称称为为偏偏导导数数nnxuxuxuxxxfun ,.,),.,(2
18、121的的偏偏导导数数元元函函数数可可类类似似定定义义),.,3,2,1(),.,.,(),.,.,(lim2111210nkxxxxxfxxxxxxxfxuknknkkkkxkk 、例例1处的偏导数。处的偏导数。在点在点求求)2,1(322yxyxz 解解 xxzyxyx)3(22,32yx .92322,1 xz yyzyxyx)3(22,23yx .72232,1 xz、例例2的的偏偏导导数数。求求yxz2sin2 解解;2sin2)2sin(2yxyxzxx .2cos2)2sin(22yxyxzyy )(2322011星星期期三三日日月月年年、例例3的的偏偏导导数数。求求函函数数设设
19、函函数数zyxyxyxxyz;0,0,0222222 解解,022时时当当 yx2222222)()(yxyxxyxyx ;)()(22222222222yxxyyyxxxyxy .)(,22222yxyxxyz 同同理理,022时时当当 yxxzxzxzx)0,0()0,(lim)0,0(0 ;00lim0lim000022 xxxxxyzyzyzy)0,0(),0(lim)0,0(0 .00lim0lim000022 yyyyy 0,00,)(222222222yxyxyxxyyxz 0,00,)(222222222yxyxyxyxxyz xyxxyxz22二、二元函数偏导数的几何意义二、
20、二元函数偏导数的几何意义.),(,(),(:),(),(00000000处处的的切切线线的的斜斜率率在在点点的的交交线线曲曲面面与与平平面面的的是是二二元元函函数数yxfyxyyyxfzyyyxfzyxfx .),(,(),(),(),(00000000处处的的切切线线的的斜斜率率在在点点的的交交线线曲曲面面与与平平面面的的是是二二元元函函数数yxfyxxxyxfzxxyxfzyxfy 、例例4轴轴正正向向的的倾倾角角。处处的的切切线线与与的的交交线线在在点点与与平平面面求求曲曲面面xyyxz)5,4,2(4)(4122 解解),(41),(22yxyxf ,2),(xyxfx,122)4,2
21、(xf.4 三、高阶偏导数三、高阶偏导数数称为数称为二阶及二阶以上的偏导二阶及二阶以上的偏导高高阶阶偏偏导导数数。种种情情况况：二二阶阶偏偏导导数数有有 4),(yxfz 设设函函数数);,(22yxfxzxzxxx ).,(2yxfyxzxzyxy );,(2yxfxyzyzxyx ).,(22yxfyzyzyyy .),(),(为为混混合合偏偏导导数数称称yxfyxfyxxy、定理定理1.,),(2222xyzyxzDDxyzyxzyxfz 即即混混合合偏偏导导数数必必相相等等内内这这两两个个那那么么在在内内连连续续在在区区域域及及的的两两个个二二阶阶混混合合偏偏导导数数如如果果函函数数.
22、:),.,(,212121.21nnpnpppppnxxxuxxxfun 的的高高阶阶偏偏导导数数可可表表示示为为元元函函数数一一般般地地、例例5.,1323323yxzzxyxyyxz 的的二二阶阶偏偏导导数数及及求求设设解解xxyxyyxxz)13(323 xxxxyxyyx)()(3)(323,33322yyyx yyyyxyxz)33(3222 yyyyyyx)()(3)(3322 ,19622 yyx2322226)33(xyyyyxxzx xxyyxxyxyyxyzy 2332392)13(xyxxxyyxyzy182)92(32322 yyyxyxz)196(2223 .1862
23、yx 、例例6.,0:)(2221222222zyxrLaplaceuzuyuxur 其其中中满满足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程证证明明函函数数证明证明xrrrxxu 211)()(22212zyxxrxzyxrzyx)(2222112222 ,3rx )(32rxxxu633rxrxr 6233rxrrxr 622223)(3rzyxxrrx62222123)(3222rzyxxrrxzyx 622232223rxrrzyxx62323rrrrx ;33522522rrxrxr ;3:52222rryyu 同理可得同理可得.352222rrzzu 522522522222222333rrzrr
24、yrrxzuyuxu522223)(3rrzyx .033522 rrr第三节、全微分及其在近似计算中的应用第三节、全微分及其在近似计算中的应用 一、全微分一、全微分),(),(),(),(yxfyxxfyxyxfz 处处对对于于在在点点二二元元函函数数),(),(10,),(),(),(),(11yxfzxyxfxyxfxyxxfyxfyxxfxxx 为为二二元元函函数数称称 ),(),(),(),(yxfyyxfyxyxfz 处处对对于于在在点点二二元元函函数数),(),(10,),(),(),(),(22yxfzyyxfyyxfyyyxfyxfyyxfyyy 为为二二元元函函数数称称 处
25、处的的在在点点二二元元函函数数),(),(yxyxfz .的偏微分的偏微分对对x:的偏增量为的偏增量为x:的偏增量为的偏增量为y.的偏微分的偏微分对对y:全增量为全增量为),(),(yxfyyxxfz 定义、定义、的的全全增增量量在在点点如如果果函函数数),(),(yxyxfz ).(:),(),(oyBxAzyxfyyxxfz 可表示为可表示为,)()(,22yxyxyxBA 有关有关而仅与而仅与不依赖于不依赖于其中其中处处在点在点则称函数则称函数),(),(yxyxfz 称称为为函函数数而而yBxA 的的在点在点),(),(yxyxfz .,yBxAdzdz 即即记记作作、必要条件必要条件
26、定理定理)(2处处连连续续。在在点点则则函函数数可可微微分分在在点点如如果果函函数数),(),(,),(),(yxyxfzyxyxfz 证明证明)(),(),(oyBxAyxfyyxxfz ).0,0(,0),(),(yxyxfyyxxfz .),(),(处连续处连续在点在点yxyxf,可微分可微分,全微分全微分、必必要要条条件件定定理理)(3,),(),(可可微微分分在在点点如如果果函函数数yxyxfz ,),(存存在在的的偏偏导导数数则则该该函函数数在在点点yzxzyx .),(),(yyzxxzdzyxyxf 的的全全微微分分为为在在点点且且函函数数证明证明)(),(),(),(),(2
27、2yxoyBxAyxfyyxxfyxyxfz 可可微微分分在在点点)()(),(),(2xoxAxoxAyxfyxxf xxoxAxyxfyxxfxx )(lim),(),(lim00 xxoAx )(lim0 .A.,xzAxz 且且存存在在偏偏导导数数.,:yzByz 存存在在偏偏导导数数同同理理可可得得.dyyzdxxzdz 、例例1性性：偏偏导导数数的的存存在在性性及及可可微微考考察察下下列列函函数数在在原原点点处处)1(0,0,0),(222222 yxyxyxxyyxf解解,00lim000lim)0,0()0,(lim)0,0(02200 xxxxxxxxfxff.00lim00
28、0lim)0,0(),0(lim)0,0(02200 yyyyyyyyfyff有有关关与与kkkxkxkxyxfxkxyx22222001lim),(lim .),(lim00不存在不存在yxfyx.)0,0(),(处不连续处不连续在在yxf处不可微。处不可微。在在)0,0(),(yxf,处处也也可可能能不不可可微微在在点点但但处处的的偏偏导导数数存存在在在在某某点点虽虽然然函函数数PfPf,处处也也可可能能不不连连续续在在点点但但处处的的偏偏导导数数存存在在在在某某点点虽虽然然函函数数PfPf)2(0,0,0),(222222 yxyxyxxyyxf解解,0000lim)0,0()0,(li
29、m)0,0(2200 xxxxfxffxxx,0000lim)0,0(),0(lim)0,0(2200 yyyyfyffyyy22)0,0()0,0(yxyxyfxfzyx 22222222)0,0()0,0(yxyxyxyxyxyxyfxfzyx 不不存存在在2200limyxyxyx 0)0,0()0,0(lim2200 yxyfxfzyxyx .)0,0(),(处处不不可可微微在在yxf)(2522011星星期期五五日日月月年年)3(0,0,01sin)(),(22222222 yxyxyxyxyxf解解xfxffxx)0,0()0,(lim)0,0(0 xxxx001sin)0(lim
30、22220 ,01sinlim20 xxxyfyffyy)0,0(),0(lim)0,0(0 yyyx001sin)0(lim22220 ,01sinlim20 yyy22221sin)()0,0()0,0(yxyxyfxfzyx ,01sin)0,0()0,0(222222 yxyxyxyfxfzyx )0,0(yx .)0,0(),(:处处可可微微在在由由微微分分定定义义得得yxf.),(),(,),(,),(可可微微分分在在点点那那么么函函数数连连续续在在点点的的偏偏导导数数如如果果函函数数yxyxfzyxyzxzyxfz 、充充分分条条件件定定理理)(3:证明证明 ),(),(yxfy
31、yxxfz ),(),(),(),(yxfyyxfyyxfyyxxf )10,10(,),(),(2121 yyyxfxyyxxfyx,),(),(),(,11 yxfyyxxfyxyzxzxx连续连续在点在点)0limlim(;),(),(20010022 yxyxyyyxfyyxfyyxfxyxfyxfyyxxfzyx ),(),(),(),(21 .),(),(21yxyyxfxyxfyx .),(),(处处可可微微在在yxyxf.),(),(),(),(21yxyyxfxyxfyxfyyxxfzyx 2221yxyx 222122 yxyyxx 021 )0,0(yx ).(2221y
32、xoyx )(),(),(22yxoyyxfxyxfzyx dyyzdxxzdzydyxdx dzzudyyudxxuduzyxzyxfu 那那么么可可微微在在点点如如果果三三元元函函数数,),(),(.,),.,(),.,(22112121nnnndxxudxxudxxuduxxxxxxfun 那那么么可可微微在在点点元元函函数数如如果果、例例2.22的的全全微微分分计计算算函函数数yyxz 解解xyyxxz)(22 ,2xy.2)(222yxyyxyzy dyyzdxxzdz .)2(22dyyxxydx 、例例3.)1,2(处的全微分处的全微分在点在点求函数求函数xyez 解解).(xd
33、yydxedyyzdxxzdzxy ,)(xyxxyyeexz .)(xyyxyxeeyz 、例例4.sin2的的全全微微分分求求函函数数yzyexu ).2(21,2dydxedz 解解dzdydxduzuyuxu ,1)sin(2 yzyxxuex)sin(2yzyyyuex ;cos221yzyze .)sin(2yzyzyzzuyeex .)cos(221dzyedyzedxduyzyzy 二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用).)()(),(),()()(),(),(.),(),(2222yxoyyxfxyxfyxodzyxfyyxxfzyxyxfzyx 处处可可
34、微微分分在在点点设设函函数数时时当当1,1 yx 、)1(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 、)2(.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 时时当当处可微分处可微分在点在点设函数设函数1,1,)0,0(),(yxyxfz、)3(.)0,0()0,0()0,0(),(yfxffyxfyx 、例例5.)04.1(02.2的近似值的近似值求求解解,),(yxyxf,02.0,04.0 yx xyxxyxf)(),(,1 yyxyyyxyxf)(),(.ln xxy)2,1()04.1(02.2yxf yfxffyx)2,1()2,1()2,1(x 121.08.104
35、.021 、例例6.1arctan)0,0(yxxyyx 的的充充分分小小的的邻邻域域内内有有试试证证明明在在原原点点证明证明,1,1,1arctan),(yxxyyxyxf.)0,0()0,0()0,0(),(yfxffyxfyx ,00100arctan)0,0(fxfxffxx)0,0()0,(lim)0,0(0.1arctanlim0 xxx.1arctanlim)0,0(),0(lim)0,0(00 yyyfyffyyy.1arctanyxxyyx 第四节、多元复合函数微分法第四节、多元复合函数微分法一、多元复合函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则yvvzyuuzyzxvvzxu
36、uzxzyxyxyxfzvuvufzyxyxyxvyxu :,),(),(),(,),(),(,),(),(),(且且可可用用下下列列公公式式计计算算的的两两个个偏偏导导数数都都存存在在在在点点则则复复合合函函数数连连续续偏偏导导数数具具有有在在对对应应点点函函数数的的偏偏导导数数及及对对对对处处具具有有都都在在点点及及若若函函数数 、链链式式法法则则定定理理)(示：示：链式法则公式另一种表链式法则公式另一种表;),()(,(),(),()(,(),(;),()(,(),(),()(,(),(),(),(:2121yyxxyxyxyxfyxyxyxfyzyxyxyxfyxyxyxfxzyxyx
37、fz 则则设设:证明证明 ),(),(:yxzyxxzzxz的偏增量为的偏增量为关于关于函数函数),(),(),(),(yxyxfyxxyxxf ).,(),(),(),(yxyxxvyxyxxu 记记vvyxxuuyxx ),(,),(),(),(vufvvuufz ),(),(yxvyxu 具具有有连连续续偏偏导导数数在在对对应应点点函函数数),(),(vuvufz .),(),(处可微处可微在对应点在对应点vuvufz )(),(),(22vuovvzuuzvufvvuufz xvuoxvvzxuuzxzxx )(limlim2200 xvuoxvvzxuuzxzxxxx )(limli
38、mlimlim220000 xvuoxvvzxuuzxzxxxx )(limlimlimlim220000 xvuvuvuoxvvzxuuzx 2222220)(lim 2222220)(lim xvxuxxvuvuoxvvzxuuzx xvvzxuuz .xvvzxuuzxz .:yvvzyuuzyz 同理可得同理可得:链链式式法法则则的的推推广广.,),(),(),(),(,),(),(,),(),(),(),(ywwzyvvzyuuzyzxwwzxvvzxuuzxzyxyxyxyxfzwvuwvufzyxyxyxwyxvyxu 且且可可用用下下列列公公式式计计算算的的两两个个偏偏导导数数
39、都都存存在在在在点点则则复复合合函函数数具具有有连连续续偏偏导导数数应应点点在在对对函函数数的的偏偏导导数数及及对对具具有有对对点点都都在在及及设设 示：示：链式法则公式另一种表链式法则公式另一种表;),()(,(),(),(),()(,(),(),(),()(,(),(),(;),()(,(),(),(),()(,(),(),(),()(,(),(),(),(),(),(:321321yyyxxxyxyxyxyxfyxyxyxyxfyxyxyxyxfyzyxyxyxyxfyxyxyxyxfyxyxyxyxfxzyxyxyxfz 则则设设:链链式式法法则则的的推推广广).,.,3,2,1(.)
40、,.,(,.,.),.,(,.,.),.,(,.,),.,(,.,),.,(,.,21212121213213212212211211nixxxfxxxfxxxfxxxfxxxfxziiiiixnnnnxnjnjxnnxnnxnni :),.,(),.,.,(),.,(:21212211则则设设nnnnxxxxxxxxxfz 全全导导数数公公式式：.,)(),(),(,),(),(,)()(),(dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdzttttfzwvuwvufzttwtvtu 全全导导数数公公式式且且有有下下列列处处可可导导在在则则复复合合函函数数具具有有连连续续偏偏导导数数在在对对应应
41、点点函函数数处处可可导导都都在在及及设设函函数数 证证明明twwztvvztuuztzdtdz .dtdwwzdtdvvzdtduuz yfyuufyzxfxuufxzyxyxfzyxuyxufz ;,),(,),(,),(的的偏偏导导数数为为则则复复合合函函数数具具有有偏偏导导数数而而具具有有连连续续偏偏导导数数如如果果 性性质质：证证明明xyyfxxxfxuufxz 01yfxfxuuf ;xfxuuf yyyfyxxfyuufyz 10yfxfyuuf .yfyuuf 、例例1yzxz 和和求求下下列列函函数数的的偏偏导导数数、)1(xyvyxushuezv ,2;、)2(yxuuyxy
42、zcos;)sin(3222 解解xvvzxuuzxz )()2(xyxshueyxxchuevv shuyechuevv 2).2()2(2yxyshyxchexy yvvzyuuzyz )()2(xyyshueyxychuevv xshuechuevv .22yxxshyxchexy 解解yxuuyxyuyxfzcos;)sin(),(3222 xuufyfxfxz 01xuufxf xuufyfxfxz 01 xuufxfyxuuyxyuyxfzcos;)sin(),(3222 .cos3)cos(2)cos(22222222yxuyxuyuyxxy xuxyxuyxyuyxy)cos(
43、)sin()sin(3222222 ).cos()cos31(2222uyxyxuxy yuufyfxfyz 10 yuufyf)sin)(cos(2)cos(2)sin(32222222222yxuyxuyuyxyuyx yuyyxuyxyuyxy)cos()sin()sin(3222222yuyxyuxuyxyuyxsin)cos(2)cos(2)sin(22232222222 ).cos()sin(2)sin(2223222uyxyuxyyuyx 、例例2.,;sinsin2dtdzevtutvveztu求求全全导导数数而而设设 解解tzdtdvvzdtduuzdxdz dtduveus
44、in dtdvtveu)sincos(tvcos tvetvevtetuucos)sincos(sin2 .cos)sincos(sin222teeteeetetttttt 、例例3.,),(222xzdzyzxzfxyexfzy 及及求求具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数设设解解xyxyyxyxyexfexxyexfxz)(,()(,(22221 .221f yfxey yyyyyxyxyexfexxyexfyz)(,()(,(22221 .212fxfexy .)()2(21221dyfxfexdxf yfxedyyzdxxzdzyy .221fyfxexzy xxyxyf yfxef
45、yfxexz)()2()2(212122 xxyexfyxxyexfxefeyyyy ),(),(2222211)()()()(2222221122111xxyxxyyyxyfexfyxyfexfxefe 2222222112111f yfxeyf yfxexefeyyyy .4422221211221fyfxyefexfeyyy .442222121122122fyfxyefexfexzyyy 、例例4.,:,),(222yzyxzfxyyxyxfz 求求具具有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数设设解解xxxxyfyxfyxfxz)()()(321 .321f yff yf yffyxz )(3
46、2123321)()()(fyfyyfyf yyyxyfyxfyxf)()()(131211 yyyxyfyxfyxf)()()(232221.)()()(3333231fxyfyxfyxfyyyy 3333231232221131211)(ffxffyfxfffxff .)()(33323221311ffxyfyxffyxf xyyxyxfz,yyyxyfyxfyxfyz)()()(321 .321fxff yfxffyz )(32122yfxyfyf )()()(321 yyyxyfyxfyxf)()()(131211 yyyxyfyxfyxf)()()(232221)()()(33323
47、1yyyxyfyxfyxfx )(333231232221131211fxffxfxfffxff .2223322322131211fxfffxff 、例例5.)2()()()()()1(sin,cos,),(22222222221121222 urrurruyuxuurruyuxuryrxyxuu、之之下下，证证明明：在在极极坐坐标标变变换换有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数设设证明证明ryyurxxuru ).1(yuxu sincos yyuxxuuyuxurr cossin 212212)cossin()sin(cos)()(22yuxuryuxuurrurr 22)cos(sin)si
48、n(cosyuxuyuxu 2222)(sinsincos2)(cosyuyuxuxu 2222)(cossincos2)(sinyuyuxuxu .)()(22yuxu .)1(证证毕毕 )sin(cos)().2(22yuxurrurru )(sin)(cosyurxur )(cos222ryyxurxxu )(sin222ryyurxxyu )sincos(cos222 yxuxu )sincos(sin222 yuxyu.sincossin2cos2222222yuyxuxu .sincossin2cos222222222yuyxuxuru ;coscossin2sinsincos22
49、2222222222yuyxuxuyuxuurrrrr 同理可得：同理可得：222rur.sincossin2cos2222222222yuyxuxurrr )(sincos2222222222yuxuyuxuruurrrr )()sin(cos2222222222yuxuyuxuruurrr )()(2222222222yuxuryyurxxuruurrr ryyurxxuru )(2222222222yuxururuurrr 22222222211rurururyuxu .证毕证毕二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分式式：一一阶阶微微分分形形式式不不变变性性公公dvvfduuf
50、dzyxyxyxfzvuvufzyxyxyxvyxu :),(),(),(,),(),(,),(),(),(处处的的全全微微分分为为在在点点则则复复合合函函数数具具有有连连续续偏偏导导数数在在对对应应点点函函数数的的偏偏导导数数及及对对具具有有对对处处都都在在点点及及若若函函数数 式式的的证证明明：一一阶阶微微分分形形式式不不变变性性公公dyyvvfyuufdxxvvfxuufdyyzdxxzdz dyyvvfdxxvvfdyyuufdxxuuf dyyvdxxvvfdyyudxxuuf.dvvfduuf 、例例6.,cos2yzxzdzyxezyx 并并由由此此计计算算求求设设解解.cos,
