1、第十一章第十一章 三角形三角形11.3 多边形及其内角和多边形及其内角和11.3.2 多边形的内角和情境引入学习目标1.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式.（重点）2.学会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题.（难点）法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类天马行空的想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”.思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？问题2 ：你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？问题1 ：三角形内角和是多少度？三角形内角和 是180.都是360.问题3：猜想任意四边形的内角和是多少度？多边形的内角和1猜想：四边形ABCD的内
2、角和是360.问题4：你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？方法1：如图，连接AC,则该四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD内角和为1802=360.ABABCDE方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE、DE，则该四边形被分成三个三角形，所以四边形ABCD的内角和为1803-(AEB+AED+CED)=1803-180=360.方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE、BE、CE、DE，把四边形分成四个三角形：ABE、ADE、CDE、CBE.所以四边形ABCD内角和为：1804-(AEB+AED+CED+CEB)=1804-360=360.ABCDEABCDP方法4：
3、如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.所以四边形ABCD内角和为180 3 180=360.这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.结论：四边形的内角和为360.如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.解：如图，四边形ABCD中，A+C=180.A+B+C+D=(42)180=360，因为 BD=360（AC）=360 180=180.所以 AB即如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.例1【变式题】如图，在四边形ABCD中，A与C互补，BE平分ABC，DF
4、平分ADC，若BEDF，求证：DCF为直角三角形证明：在四边形ABCD中，A与C互补，ABC+ADC=180.BE平分ABC，DF平分ADC，CDF+EBF=90.BEDF，EBF=CFD，CDF+CFD=90，故DCF为直角三角形运用了整体思想ACDEBABCDF问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗?内角和为180 3=540.内角和为180 4=720.n 边形六边形五边形四边形三角形多边形内角和分割出三角形的个数从多边形的一顶点引出的对角线条数图形边数0n-3 1231234 n-2（n-2）1801180=1802180=360 3180=54041
5、80=720由特殊到一般 分割多边形三角形分割点与多边形的位置关系顶点边上内部外部多边形的内角和公式n边形内角和等于(n-2)180 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？解：设这个多边形边数为n，则 （n-2）180=360+720，解得n=8.多边形的内角和为（8-2）180=1080.这个多边形的每个内角都相等，它每一个内角的度数为 10808=135.例2 已知n边形的内角和=（n-2）180（1）甲同学说，能取360；而乙同学说，也能取630甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n若不对，说明理由.解：360180=2，63
6、0180=390，甲的说法对，乙的说法不对，360180+2=4 故甲同学说的边数n是4.例3（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360，用列方程的方法确定x解：依题意有（n+x-2）180-（n-2）180=360，解得x=2故x的值是2【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解：设此多边形的内角和为x，则有1125x1125180，即180645x180745.因为x为多边形的内角和，所以它是180的倍数，所以x18071260.所以729，12601125
7、135.因此，漏加的这个内角是135，这个多边形是九边形思路点拨：多边形的内角的度数在0180之间.如图，在五边形ABCDE中，C=100，D=75，E=135，AP平分EAB，BP平分ABC，求P的度数解析：根据五边形的内角和等于540，由C、D、E的度数可求EAB+ABC的度数，再根据角平分线的定义可得PAB与PBA的角度和，进一步求得P的度数例4解：EAB+ABC+C+D+E=540，C=100，D=75，E=135，EAB+ABC=540-C-D-E=230.AP平分EAB,PAB EAB.同理可得ABP ABC.P+PAB+PBA=180，P=180-PAB-PBA=180 (EAB
8、+ABC)=180 230=6512121212 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？BCD123A互补5180=900多边形的外角和2BCD123 4A五边形外角和=360=5个平角五边形内角和=5180(52)180结论：五边形的外角和等于360.问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和n边形外角和n边形的外角和等于360.(n2)180=360=n个平角-n边形内角和=n180
9、A2A3A4123 4A1思考：n边形的外角和又是多少呢？与边数无关问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？每个内角的度数是每个外角的度数是(2)180,nn 360.n练一练：(1)若一个正多边形的内角是120,那么这是正_边形.(2)已知多边形的每个外角都是45,则这个多边形是 _边形.六正八 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的边数.解：设多边形的边数为n.它的内角和等于(n2)180，多边形外角和等于360，(n2)180=2 360.解得 n=6.这个多边形的边数为6.例5 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2
10、，求这个多边形的边数.解法一：设这个多边形的内角为7x,外角为2x,根据题意，得7x+2x=180，解得x=20.即每个内角是140，每个外角是40.360 40=9.即这个多边形是九边形.还有其他解法吗？例6解法二：设这个多边形的边数为n,根据题意，得解得n=9.即这个多边形是九边形.18027,3602n【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60，求这个多边形的每个内角的度数及边数解：设该正多边形的内角是x，外角是y，则得到一个方程组 解得而任何多边形的外角和是360，则该正多边形的边数为360120=3，故这个多边形的每个内角的度数是60，边数是三条60,180,yxxy60,12
11、0.xy 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求BED的度数解：由题意得AB=AE,所以AEB=(180-A)=36，所以BED=AED-AEB=108-36=72.52180=1085AAED，12例71.判断(1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.()(2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.()(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等 ()2.一个正多边形的内角和为720，则这个正多边形的 每一个内角等于_1203.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24，照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是_米1504.
12、一个多边形的内角和不可能是（）A.1800 B.540 C.720 D.810 D5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形 内角和等于（）A.360 B.540 C.720 D.900 B6.一个多边形的内角和为1800，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.解：180018010，原多边形边数为10212.一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，新多边形的边数可能是11，12，13，新多边形的内角和可能是1620，1800，1980.如图，求1234567的度数.解：如图，3489，12345671289567五边形的内角和540.89拓展多边形的内角和内角和
13、计算 公 式(n-2)180(n 3的整数）外角和多边形的外角和等于360正多边形内角=，外角=(2)180nn 激励学生学习的名言格言激励学生学习的名言格言220、每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路。221、世界会向那些有目标和远见的人让路（冯两努香港著名推销商）222、绊脚石乃是进身之阶。223、销售世界上第一号的产品不是汽车，而是自己。在你成功地把自己推销给别人之前，你必须百分之百的把自己推销给自己。224、即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。225、积极思考造成积极人生，消极思考造成消极人生。226、人之所以有一张嘴，而有两只耳朵，原因是听的要比说的多一倍
14、。227、别想一下造出大海，必须先由小河川开始。228、有事者，事竟成；破釜沉舟，百二秦关终归楚；苦心人，天不负；卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。229、以诚感人者，人亦诚而应。230、积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。231、出门走好路，出口说好话，出手做好事。232、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。233、怠惰是贫穷的制造厂。234、莫找借口失败，只找理由成功。（不为失败找理由，要为成功找方法）235、如果我们想要更多的玫瑰花，就必须种植更多的玫瑰树。236、伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。237
15、、世上没有绝望的处境，只有对处境绝望的人。238、回避现实的人，未来将更不理想。239、当你感到悲哀痛苦时，最好是去学些什么东西。学习会使你永远立于不败之地。240、伟人所达到并保持着的高处，并不是一飞就到的，而是他们在同伴们都睡着的时候，一步步艰辛地向上爬241、世界上那些最容易的事情中，拖延时间最不费力。242、坚韧是成功的一大要素，只要在门上敲得够久、够大声，终会把人唤醒的。243、人之所以能，是相信能。244、没有口水与汗水，就没有成功的泪水。245、一个有信念者所开发出的力量，大于99个只有兴趣者。246、环境不会改变，解决之道在于改变自己。247、两粒种子，一片森林。248、每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。249、如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。250、大多数人想要改造这个世界，但却罕有人想改造自己。
