1、6.2.3平面向量的坐标及其运算必备知识必备知识自主学习自主学习1.1.平面向量的坐标平面向量的坐标(1)(1)向量的垂直向量的垂直:平面上的两个非零向量平面上的两个非零向量a,b,如果它们所在的直线如果它们所在的直线_,_,则称向量则称向量a,b垂直垂直,记作记作ab.规定规定_与任意向量都垂直与任意向量都垂直.导思导思1.1.平面向量如何用坐标表示平面向量如何用坐标表示?如何进如何进行向量的坐标运算行向量的坐标运算?2.2.如何利用向量的坐标表示两点距离如何利用向量的坐标表示两点距离和向量的平行和向量的平行?互相垂直互相垂直零向量零向量(2)(2)向量的正交分解向量的正交分解:如果平面向量
2、的基底如果平面向量的基底 e1 1,e2 2 中中,e1 1e2 2,则称这组基底为则称这组基底为_,_,在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.(3)(3)向量的坐标向量的坐标:给定平面内两个相互垂直的给定平面内两个相互垂直的_,_,对于平面内的向量对于平面内的向量a,如果如果a=_,=_,则称则称(x,y)(x,y)为向量为向量a的坐标的坐标,记作记作a=_.=_.正交基底正交基底单位向量单位向量e1 1,e2 2x xe1 1+y+ye2 2(x,y)(x,y)【思考思考】(1)(1)正交分解与平面向量基本定理有何联系正交分解与平面向量基本定理有
3、何联系?提示提示:正交分解是平面向量基本定理的特殊形式正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时基底垂直时).).(2)(2)平面中平面中,若以若以e1 1的方向为的方向为x x轴的正方向轴的正方向,以以e2 2的方向为的方向为y y轴的正方向轴的正方向,则则e1 1,e2 2的的坐标分别是什么坐标分别是什么?提示提示:e1 1=(1,0),=(1,0),e2 2=(0,1).=(0,1).(3)(3)向量的坐标就是其终点的坐标吗向量的坐标就是其终点的坐标吗?提示提示:不一定不一定,以坐标原点以坐标原点O O为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标为始点的向量坐标就是该向量的终点坐标,如果向
4、量如果向量不是以坐标原点为始点不是以坐标原点为始点,则向量坐标就跟终点坐标不同则向量坐标就跟终点坐标不同,而对同一向量或相等向而对同一向量或相等向量量(向量坐标相同向量坐标相同),),若选择不同的始点坐标若选择不同的始点坐标,则终点坐标也不同则终点坐标也不同.(4)(4)符号符号(x,y)(x,y)表示点与表示向量有什么不同表示点与表示向量有什么不同?提示提示:符号符号(x,y)(x,y)在直角坐标系中有双重意义在直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点它既可以表示一个固定的点,又可又可以表示一个向量以表示一个向量,为了加以区分为了加以区分,在叙述中在叙述中,就常说点就常说点(x,y)
5、(x,y)或向量或向量(x,y).(x,y).给定一给定一个向量个向量,它的坐标是唯一的它的坐标是唯一的,给定一对实数给定一对实数,由于向量可以平移由于向量可以平移,以这对实数为坐以这对实数为坐标的向量有无数个标的向量有无数个.根据坐标的意义可得根据坐标的意义可得,当且仅当两个向量的坐标相同时当且仅当两个向量的坐标相同时,两两个向量相等个向量相等.2.2.平面上向量的运算与坐标的关系平面上向量的运算与坐标的关系(1)(1)向量加法与减法运算向量加法与减法运算设设a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则a+b=_,=_,a-b=_,=_,a=_.=
6、_.(x(x1 1+x+x2 2,y,y1 1+y+y2 2)(x(x1 1-x-x2 2,y,y1 1-y-y2 2)(x x1 1,y y1 1)向量相等的充要条件向量相等的充要条件:a=b_且且_._.u ua+v+vb=(u x=(u x1 1+v x+v x2 2,u y,u y1 1+v y+v y2 2););u ua-v-vb=(u x=(u x1 1-v x-v x2 2,u y,u y1 1-v y-v y2 2).).(2)(2)模长公式模长公式:设设a=(x,y),=(x,y),则则|a|=|=x x1 1=x=x2 2y y1 1=y=y2 222xy.3.3.平面直
7、角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式 如图所示如图所示,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则:(1)(1)向量向量 =(x=(x1 1,y,y1 1),=(x),=(x2 2,y,y2 2),),向量向量 =_.=_.(2)(2)它们之间的距离它们之间的距离:AB=|=:AB=|=_.(3)(3)设设ABAB的中点的中点M(x,y),M(x,y),则则x=x=_,y=,y=_.OAOB AB AB(x(x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1
8、)222121xxyy（）（）12xx212yy2【思考思考】“若若A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则 =(x=(x1 1-x-x2 2,y,y1 1-y-y2 2)”)”对吗对吗?提示提示:不对不对,应该用终点坐标减去始点坐标应该用终点坐标减去始点坐标.AB 4.4.向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示设向量设向量a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则ab_._.x x2 2y y1 1=x=x1 1y y2 2【思考思考】(1)(1)把把x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0
9、=0写成写成x x1 1y y1 1-x-x2 2y y2 2=0=0或或x x1 1x x2 2-y-y1 1y y2 2=0=0可以吗可以吗?怎样记忆此公式的表达怎样记忆此公式的表达式式?提示提示:写成写成x x1 1y y1 1-x-x2 2y y2 2=0=0或或x x1 1x x2 2-y-y1 1y y2 2=0=0都是不对的都是不对的,这一公式可简记为这一公式可简记为:纵横交错积纵横交错积相减相减.(2)(2)在向量平行的坐标表示中在向量平行的坐标表示中,改为改为ab ,即用语言可以表述为即用语言可以表述为:两个两个向量平行的条件是相应坐标成比例向量平行的条件是相应坐标成比例.对
10、不对对不对?提示提示:不正确不正确.当当x x2 2=0=0或或y y2 2=0=0时不成立时不成立.1122xyxy【基础小测基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)两个向量的终点不同两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同则这两个向量的坐标一定不同.()(2)(2)当向量的始点在坐标原点时当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标向量的坐标就是向量终点的坐标.(.()(3)(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关两向量差的坐标与两向量的顺序无关.()(4)(4)向量向量(2,3)(2,3)与向量与向量(-4,-6)(-4,
11、-6)同向同向.()【提示提示】(1)(1).对于同一个向量对于同一个向量,无论位置在哪里无论位置在哪里,坐标都一样坐标都一样.(2).(2).根据向量的坐标表示根据向量的坐标表示,当始点在原点时当始点在原点时,终点与始点坐标之差等于终点坐终点与始点坐标之差等于终点坐标标.(3)(3).根据两向量差的运算根据两向量差的运算,两向量差的坐标与两向量的顺序有关两向量差的坐标与两向量的顺序有关.(4)(4).因为因为(-4,-6)=-2(2,3),(-4,-6)=-2(2,3),所以向量所以向量(2,3)(2,3)与向量与向量(-4,-6)(-4,-6)反向反向.2.2.已知已知a=(2,1),=(
12、2,1),b=(3,-2),=(3,-2),则则3 3a-2-2b的坐标是的坐标是()A.(0,-7)A.(0,-7)B.(0,7)B.(0,7)C.(-1,3)C.(-1,3)D.(12,-1)D.(12,-1)【解析解析】选选B.3B.3a-2-2b=3(2,1)-2(3,-2)=(6,3)-(6,-4)=(0,7).=3(2,1)-2(3,-2)=(6,3)-(6,-4)=(0,7).3.(3.(教材二次开发教材二次开发:例题改编例题改编)已知向量已知向量a=,b=(x,1),=(x,1),其中其中x0,x0,若若(a-2-2b)(2)(2a+b),),则则x x的值为的值为()A.4
13、A.4 B.8B.8C.0C.0D.2D.2【解析解析】选选A.A.a-2-2b=2=2a+b=(16+x,x+1),=(16+x,x+1),由已知由已知(a-2-2b)(2)(2a+b),),则则(8-2x)(x+1)=(16+x),(8-2x)(x+1)=(16+x),解得解得x x2 2=16,=16,因为因为x0,x0,所以所以x=4.x=4.1(8x)2，1(82xx2)2，1(x2)2关键能力关键能力合作学习合作学习类型一向量的坐标表示类型一向量的坐标表示(直观想象直观想象)【题组训练题组训练】1.1.已知已知e1 1,e2 2是平面内两个相互垂直的单位向量是平面内两个相互垂直的单
14、位向量,且且a=4=4e1 1-3-3e2 2,则向量则向量a的坐标的坐标为为()A.(4A.(4e1 1,3,3e2 2)B.(4B.(4e1 1,-3,-3e2 2)C.(4,3)C.(4,3)D.(4,-3)D.(4,-3)2.2.已知已知O O是坐标原点是坐标原点,点点A A在第二象限在第二象限,|=6,xOA=150,|=6,xOA=150,向量向量 的坐标为的坐标为_._.3.3.如图如图,在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中中,OA=4,AB=3,AOx=45,OA=4,AB=3,AOx=45,OAB=105,OAB=105,=,=a,=b.四边形四边形OABCOABC
15、为平行四边形为平行四边形.(1)(1)求向量求向量a,b的坐标的坐标;(2)(2)求向量求向量 的坐标的坐标;(3)(3)求点求点B B的坐标的坐标.OAOAOAAB BA【解析解析】1.1.选选D.D.由向量坐标的定义可知由向量坐标的定义可知,向量向量a的坐标为的坐标为(4,-3).(4,-3).2.2.设点设点A(x,y),A(x,y),则则x=|cos 150 x=|cos 150=6cos 150=6cos 150=-3 ,=-3 ,y=|sin 150y=|sin 150=6sin 150=6sin 150=3,=3,即即A(-3 ,3),A(-3 ,3),所以所以 =(-3 ,3)
16、.=(-3 ,3).答案答案:(-3 ,3)(-3 ,3)OAOAOA33333.(1)3.(1)作作AMxAMx轴于点轴于点M,M,则则OM=OAOM=OAcos 45cos 45=4=4 =2 ,=2 ,AM=OAAM=OAsin 45sin 45=4=4 =2 ,=2 ,所以所以A(2 ,2 ),A(2 ,2 ),故故a=(2 ,2 ).=(2 ,2 ).因为因为AOC=180AOC=180-105-105=75=75,AOy=45,AOy=45,所以所以COy=30COy=30.又又OC=AB=3,OC=AB=3,所以所以 22222222223 3 3C()22，3 3 33 3 3
17、AB OC().222233 32 BAAB).223 3 33 OB OA AB2 2 2 2)2233 333 32 22 2B(2 22 2).2222 所以 ，即(，（）(，（）（，）(，(，)，即，b【解题策略解题策略】求向量坐标的方法求向量坐标的方法(1)(1)定义法定义法:将向量用两个相互垂直的单位向量将向量用两个相互垂直的单位向量e1 1,e2 2表示出来表示出来.(2)(2)平移法平移法:把向量的始点移至坐标原点把向量的始点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标终点坐标即为向量的坐标.(3)(3)求差法求差法:先求出这个向量的始点、终点坐标先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用
18、终点坐标减去始点坐标再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标即得该向量的坐标.类型二向量的坐标运算类型二向量的坐标运算(数学运算数学运算)【典例典例】已知已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且且求求M,NM,N及及 的坐标的坐标.【思路导引思路导引】方法一方法一:先求先求 ,设出设出M,NM,N的坐标的坐标,根据根据 列方程求解列方程求解.方法二方法二:设设O O为坐标原点为坐标原点,用向量线性运算的几何意义直接计算用向量线性运算的几何意义直接计算 ,的坐标的坐标.CM 3CA CN 2CB ，MN CA CB CM 3CA
19、 CN 2CB ，OMON【解析解析】方法一方法一:(:(待定系数法待定系数法)由由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),可得可得 =(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3),=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3),所以所以 =3 =3(1,8)=(3,24),=3 =3(1,8)=(3,24),=2 =2(6,3)=(12,6).=2 =2(6,3)=(12,6).设设M(xM(x1 1,y,y1 1),N(x),N(x2 2,y,y2 2
20、),),则则 =(x=(x1 1+3,y+3,y1 1+4)=(3,24),+4)=(3,24),所以所以x x1 1=0,y=0,y1 1=20;=20;=(x =(x2 2+3,y+3,y2 2+4)=(12,6),+4)=(12,6),所以所以x x2 2=9,y=9,y2 2=2,=2,所以所以M(0,20),N(9,2),M(0,20),N(9,2),=(9,2)-(0,20)=(9,-18).=(9,2)-(0,20)=(9,-18).CA CB CMCN CA CB CMCN MN 方法二方法二:(:(几何意义法几何意义法)设点设点O O为坐标原点为坐标原点,所以所以 =3(-2
21、,4)-2(-3,-4)=(0,20),=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20),=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2),=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2),即点即点M(0,20),N(9,2),M(0,20),N(9,2),故故 =(9,2)-(0,20)=(9,-18).=(9,2)-(0,20)=(9,-18).CM 3CA CN 2CBOM OC 3OA OCON OC 2OB OCOM 3OA2OCON2OB OC 则由，可得（），（），从而，OMONMN【解题策略解题策略】平面向量坐标的线性运算的方法平面向量坐标的线性运算的方法(1)(1)若已知向量的坐标若
22、已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行计算行计算.(2)(2)若已知有向线段两端点的坐标若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的然后再进行向量的坐标运算坐标运算.(3)(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.【跟踪训练跟踪训练】若若A,B,CA,B,C三点的坐标分别为三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),(2,-4),(0,6),(-8,10),求求的坐标的坐标.【解析解析】因为因为 =(-2,10),=(-8,4),
23、=(-10,14),=(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),所以所以 +2 =(-2,10)+2(-8,4)+2 =(-2,10)+2(-8,4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18),=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18),-=(-8,4)-(-10,14)-=(-8,4)-(-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3).1AB 2BC BCAC2 ，AB BC AC AB BC BC 1AC2 12类型三向量坐标运算的综合应用类型三向量坐标运算的综合应用(数学运算、逻辑推理数学运算、逻辑推理)
24、角度角度1 1向量共线的判定向量共线的判定【典例典例】已知两点已知两点A(4,1),B(7,-3),A(4,1),B(7,-3),则与向量则与向量 共线的单位向量是共线的单位向量是()A.(3,-4)A.(3,-4)B.B.C.(-6,8)C.(-6,8)D.D.【思路导引思路导引】利用向量共线的坐标表示判断利用向量共线的坐标表示判断.3 4)5 5(，43()55，AB【解析解析】选选B.B.因为因为 =(7,-3)-(4,1)=(3,-4),=(7,-3)-(4,1)=(3,-4),由向量共线的条件可知由向量共线的条件可知,A,B,C,A,B,C选项中的向量均与选项中的向量均与 共线共线,
25、但但A,CA,C中向量不是单位向量中向量不是单位向量.AB AB【变式探究变式探究】本例选项中有哪些向量与本例选项中有哪些向量与 共线共线,其中有反向的向量吗其中有反向的向量吗?提示提示:因为因为 =(7,-3)-(4,1)=(3,-4),=(7,-3)-(4,1)=(3,-4),故故A.(3,-4),B.,C.(-6,8)A.(3,-4),B.,C.(-6,8)均与均与 共线共线,且且B,CB,C选项的向量与选项的向量与 反向反向.AB AB 3 4)5 5(，AB AB 角度角度2 2利用向量共线的坐标表示求参数利用向量共线的坐标表示求参数【典例典例】已知已知a=(1,2),=(1,2),
26、b=(-3,2),=(-3,2),当当k k为何值时为何值时,k,ka+b与与a-3-3b平行平行?平行时它们平行时它们是同向还是反向是同向还是反向?【思路导引思路导引】方法一方法一:根据共线向量定理知存在唯一实数根据共线向量定理知存在唯一实数,使使k ka+b=(=(a-3-3b)列方程求解列方程求解.方法二方法二:写出写出k ka+b和和a-3-3b的坐标的坐标,利用平行向量的坐标关系求解利用平行向量的坐标关系求解.【解析解析】方法一方法一:(:(共线向量定理法共线向量定理法)k)ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2)
27、,a-3-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),当当k ka+b与与a-3-3b平行时平行时,存在唯一实数存在唯一实数,使使k ka+b=(=(a-3-3b).).由由(k-3,2k+2)=(10,-4),(k-3,2k+2)=(10,-4),所以所以 解得解得k=-.k=-.当当k=-k=-时时,k,ka+b与与a-3-3b平行平行,这时这时k ka+b=-=-a+b=-(=-(a-3-3b),),因为因为=-0,=-0,所以所以k ka+b与与a-3-3b反向反向.k310,2k24,1313131313方法二方法二:(:(坐标法坐
28、标法)由题意得由题意得k ka+b=(k-3,2k+2),=(k-3,2k+2),a-3-3b=(10,-4),=(10,-4),因为因为k ka+b与与a-3-3b平行平行,所以所以(k-3)(k-3)(-4)-10(-4)-10(2k+2)=0,(2k+2)=0,解得解得k=-.k=-.这时这时k ka+b=-(=-(a-3-3b),),所以当所以当k=-k=-时时,k,ka+b与与a-3-3b平行平行,并且反向并且反向.13131210 4(3,2)333 3(，13角度角度3 3三点共线问题三点共线问题【典例典例】已知已知A(1,-3),BA(1,-3),B ,且且A,B,CA,B,C
29、三点共线三点共线,则则C C的坐标可以是的坐标可以是()A.(-9,1)A.(-9,1)B.(9,-1)B.(9,-1)C.(9,1)C.(9,1)D.(-9,-1)D.(-9,-1)【思路导引思路导引】设出点设出点C C的坐标的坐标,因为因为A,B,CA,B,C三点共线三点共线,写出向量写出向量 (或或 ),),由向量共线的条件结合选项求解由向量共线的条件结合选项求解.1(8)2，AB,AC BC【解析解析】选选C.C.设点设点C C的坐标是的坐标是(x,y),(x,y),因为因为A,B,CA,B,C三点共线三点共线,所以所以 因为因为 =(x,y)-(1,-3)=(x-1,y+3),=(x
30、,y)-(1,-3)=(x-1,y+3),所以所以7(y+3)-(x-1)=0,7(y+3)-(x-1)=0,整理得整理得x-2y=7,x-2y=7,经检验可知点经检验可知点(9,1)(9,1)符合要求符合要求.ABAC.17AB(8)(13)(7)22，AC 72【解题策略解题策略】1.1.利用向量共线的条件处理求值问题的思路利用向量共线的条件处理求值问题的思路(1)(1)利用共线向量定理利用共线向量定理a=b(b0)列方程组求解列方程组求解.(2)(2)利用向量平行的坐标表达式利用向量平行的坐标表达式x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0直接求解直接求解.2.2.由共线
31、的坐标条件求参数的解题步骤由共线的坐标条件求参数的解题步骤(1)(1)分别写出共线的两个向量的坐标分别写出共线的两个向量的坐标.(2)(2)通过共线条件列出方程通过共线条件列出方程(组组).).(3)(3)解方程解方程(组组)求出参数求出参数.3.3.三点共线问题的实质是向量共线问题三点共线问题的实质是向量共线问题,只要利用三点构造出两个向量只要利用三点构造出两个向量,再使再使用向量共线的条件解决即可用向量共线的条件解决即可.【题组训练题组训练】1.(20201.(2020宜昌高一检测宜昌高一检测)已知点已知点A(3,7),B(0,11),A(3,7),B(0,11),单位向量单位向量e=,(
32、0),=,(0),则则e=()【解析解析】选选B.B.由已知由已知 =（3,43,4）=-5 ,=-5 ,故故e=AB 3 434A.(,)B.(,)5 5553 434C.(,)D.(,)5 555AB 34(,)5534(,).552.2.若若A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线三点共线,则则y=y=()A.13A.13B.-13B.-13C.9C.9D.-9D.-9【解析解析】选选D.D.因为因为A,B,CA,B,C三点共线三点共线,所以所以(-5-3)(y+6)-(6-3)(2+6)=0,(-5-3)(y+6)-(6-3)(2
33、+6)=0,所以所以y=-9.y=-9.3.3.若向量若向量a=(1,1),=(1,1),b=(x,1),=(x,1),u=a+2+2b,v=2=2a-b.(1)(1)若若u=3=3v,求求x.x.(2)(2)若若uv,求求x,x,并判断并判断u与与v是同向还是反向是同向还是反向.【解析解析】因为因为a=(1,1),=(1,1),b=(x,1),=(x,1),所以所以u=(1,1)+2(x,1)=(1,1)+(2x,2)=(2x+1,3);=(1,1)+2(x,1)=(1,1)+(2x,2)=(2x+1,3);v=2(1,1)-(x,1)=(2-x,1).=2(1,1)-(x,1)=(2-x,
34、1).(1)(1)u=3=3v(2x+1,3)=3(2-x,1)(2x+1,3)=3(2-x,1)(2x+1,3)=(6-3x,3)(2x+1,3)=(6-3x,3)2x+1=6-3x.2x+1=6-3x.解得解得x=1.x=1.(2)(2)uv(2x+1)(2x+1)1-3(2-x)=0.1-3(2-x)=0.解得解得x=1.x=1.所以所以u=(3,3),=(3,3),v=(1,1).=(1,1).所以所以u与与v同向同向.【补偿训练补偿训练】已知点已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10).A(2,3),B(5,4),C(7,10).若若 (R),(R),试求试求为何值时为何值时,
35、(1)(1)点点P P在一、三象限的角平分线上在一、三象限的角平分线上;(2)(2)点点P P在第三象限内在第三象限内.AP ABAC 【解析解析】设点设点P P的坐标为的坐标为(x,y),(x,y),则则 =(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),=(5,4)-(2,3)+(7,10)-(2,3)=(5,4)-(2,3)+(7,10)-(2,3)=(3,1)+(5,7)=(3+5,1+7).=(3,1)+(5,7)=(3+5,1+7).因为因为 ,所以所以AP ABAC AP ABAC x235x55y3 17y47.，则 ，(1)(1)若若
36、P P在一、三象限的角平分线上在一、三象限的角平分线上,则则5+5=4+7,5+5=4+7,所以所以=,=,所以当所以当=时时,点点P P在一、三象限的角平分线上在一、三象限的角平分线上.(2)(2)若若P P在第三象限内在第三象限内,则则 所以所以-1,-1,所以当所以当-1-1时时,点点P P在第三象限内在第三象限内.1212550470 ，【方法总结方法总结】1.1.解答本题可用待定系数法解答本题可用待定系数法.此法是最基本的数学方法之一此法是最基本的数学方法之一,实实质是先将未知量设出来质是先将未知量设出来,建立方程建立方程(组组)求出未知数的值求出未知数的值,这是待定系数法的基这是待
37、定系数法的基本形式本形式,也是方程思想的一种基本应用也是方程思想的一种基本应用.2.2.坐标形式下向量相等的条件坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等相等向量的对应坐标相等;对应坐标相等的向对应坐标相等的向量是相等向量量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值由此可建立相等关系求某些参数的值.备选类型向量的模备选类型向量的模(逻辑推理、数学运算逻辑推理、数学运算)【典例典例】(2020(2020鄂尔多斯高一检测鄂尔多斯高一检测)设点设点A(2,0),B(4,2),A(2,0),B(4,2),若点若点P P在直线在直线ABAB上上,则点则点P P的坐标为的坐标为()A.(3,1)A
38、.(3,1)B.(1,-1)B.(1,-1)C.(3,-1)C.(3,-1)或或(-1,1)(-1,1)D.(3,1)D.(3,1)或或(1,-1)(1,-1)|AB|2|AP|，【解析解析】选选D.D.因为因为A(2,0),B(4,2),A(2,0),B(4,2),所以所以 =(2,2),=(2,2),因为点因为点P P在直线在直线ABAB上上,且且|=2|,|=2|,故故P P点坐标为点坐标为(3,1)(3,1)或或(1,-1).(1,-1).AB AB AP AB2APAB2APAP1,1AP1,1 所以或，故（），或（），【解题策略解题策略】求向量的模的两种基本策略求向量的模的两种基本
39、策略(1)(1)字母表示下的运算字母表示下的运算:利用利用|a|2 2=a2 2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题(后续学习向后续学习向量的数量积运算后会有此种类型的题目量的数量积运算后会有此种类型的题目).).(2)(2)坐标表示下的运算坐标表示下的运算:若若a=(x,y),=(x,y),则则aa=a2 2=|=|a|2 2=x=x2 2+y+y2 2,于是有于是有|a|=|=.22xy【跟踪训练跟踪训练】(2020(2020宿州高一检测宿州高一检测)已知向量已知向量a=(x,2)=(x,2)，b=(-1,1)=(-1,1)，若，若|a
40、-b|=|=|a+b|，则，则x x的值的值为为_._.【解析解析】因为因为a=(x,2)=(x,2)，b=(-1,1)=(-1,1)，所以所以a+b=（x-1,3x-1,3）,a-b=x+1,1.=x+1,1.因为因为|a-b|=|=|a+b|，所以有所以有答案：答案：2 222x11x19x2.（）（）【点评点评】如果如果|a-b|=|a+b|,则则a,b是互相垂直的两个向量是互相垂直的两个向量,记住此结论有助于记住此结论有助于解决此类问题解决此类问题.课堂检测课堂检测素养达标素养达标1.1.已知已知 =a,且且A A ,B ,B ,又又=,则则a等于等于()【解析解析】选选A.A.因为因
41、为a=所以所以a=a=AB 1(4)2，1(2)4，1211A.(1)B.(3)8411C.(1)D.(3)84，12111AB2)4)2)424(，(，(，11).8(，2.2.若向量若向量 =(1,2),=(3,4),=(1,2),=(3,4),则则 等于等于()A.(4,6)A.(4,6)B.(-4,-6)B.(-4,-6)C.(-2,-2)C.(-2,-2)D.(2,2)D.(2,2)【解析解析】选选A.=(1,2)+(3,4)=(4,6).A.=(1,2)+(3,4)=(4,6).AB BC AC AC AB BC 3.(3.(教材二次开发教材二次开发:练习改编练习改编)已知向量已知
42、向量a=(1,2),=(1,2),b=(2,-2),=(2,-2),c=(1,).=(1,).若若c(2(2a+b),),则则=_.=_.【解析解析】2 2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,),=(1,),由由c(2(2a+b),),得得4-2=0,4-2=0,得得=.=.答案答案:12124.(20204.(2020上海高一检测上海高一检测)设设 =(k,12),=(4,5),=(10,k),=(k,12),=(4,5),=(10,k),则则k=_k=_时时,点点A,B,CA,B,C共线共线.PA PBPC【解析解析】因为因为
43、 =(k,12),=(4,5),=(10,k),=(k,12),=(4,5),=(10,k),所以所以 =(4-k,-7),=(6,k-5);=(4-k,-7),=(6,k-5);又又 与与 共线共线,所以所以(4-k)(k-5)-(-7)(4-k)(k-5)-(-7)6=0,6=0,即即k k2 2-9k-22=0,-9k-22=0,解得解得k=-2k=-2或或k=11;k=11;所以当所以当k=-2k=-2或或1111时时,点点A,B,CA,B,C共线共线.答案答案:-2-2或或1111PA PBPCAB BC AB BC 5.5.已知边长为已知边长为2 2的正三角形的正三角形ABC,AB
44、C,顶点顶点A A在坐标原点在坐标原点,AB,AB边在边在x x轴上轴上,C,C在第一象在第一象限限,D,D为为ACAC的中点的中点,分别求向量分别求向量 的坐标的坐标.ABAC BC BD ，【解析解析】如图如图,正三角形正三角形ABCABC的边长为的边长为2,2,则顶点则顶点A(0,0),B(2,0),C(2cos 60A(0,0),B(2,0),C(2cos 60,2sin 60,2sin 60),),所以所以C(1,),D C(1,),D 所以所以 =(2,0),=(1,),=(2,0),=(1,),313(,22)，AB AC 3BC123 0131333BD2,0),).2222 （，）（，），(
