1、出题人：徐晓云2020年高考文科数学一轮复习大题篇-立体几何题型一平行、垂直关系的证明【例】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；(2)直线A1F平面ADE.【证明】(1)三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABC.AD平面ABC，ADCC1.又ADDE，DECC1E，DE，CC1平面BCC1B1，AD平面BCC1B1.AD平面ADE，平面ADE平面BCC1B1.(2)A1B1C1中，A1B1A1C1，F为B1C1的中点，A1FB1C1.CC1平
2、面A1B1C1，A1F平面A1B1C1，A1FCC1.又B1C1CC1C1，B1C1，CC1平面BCC1B1，A1F平面BCC1B1.又AD平面BCC1B1，A1FAD.A1F平面ADE，AD平面ADE，直线A1F平面ADE.【思维升华】 (1)平行问题的转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用(2)垂直问题的转化在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依
3、据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题【训练】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD；(3)求证：EF平面PCD.【证明】(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD.因为底面ABCD为矩形，所以BCAD，所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面
4、ABCDAD，AB平面ABCD，所以AB平面PAD，又PD平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，PAABA，PA，AB平面PAB，所以PD平面PAB.又PD平面PCD，所以平面PAB平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FGBC，FGBC，因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DEBC，DEBC.所以DEFG，DEFG.所以四边形DEFG为平行四边形，所以EFDG.又因为EF平面PCD，DG平面PCD，所以EF平面PCD.题型二立体几何中的计算问题【例】如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，A1CB
5、是等边三角形，ACAB1，B1C1BC，BC2B1C1.(1)求证：AB1平面A1C1C；(2)求多面体ABCA1B1C1的体积(1)【证明】如图，取BC的中点D，连接AD，B1D，C1D，B1C1BC，BC2B1C1，BDB1C1，BDB1C1，CDB1C1，CDB1C1，四边形BDC1B1，CDB1C1是平行四边形，C1DB1B，C1DB1B，CC1B1D，又B1D平面A1C1C，C1C平面A1C1C，B1D平面A1C1C.在正方形ABB1A1中，BB1AA1，BB1AA1，C1DAA1，C1DAA1，四边形ADC1A1为平行四边形，ADA1C1.又AD平面A1C1C，A1C1平面A1C1
6、C，AD平面A1C1C，B1DADD，B1D，AD平面ADB1，平面ADB1平面A1C1C，又AB1平面ADB1，AB1平面A1C1C.(2)【解】在正方形ABB1A1中，A1B，A1BC是等边三角形，A1CBC，AC2AAA1C2，AB2AC2BC2，AA1AC，ACAB.又AA1AB，AA1平面ABC，AA1CD，易得CDAD，又ADAA1A，CD平面ADC1A1.易知多面体ABCA1B1C1是由直三棱柱ABDA1B1C1和四棱锥CADC1A1组成的，直三棱柱ABDA1B1C1的体积为1，四棱锥CADC1A1的体积为1，多面体ABCA1B1C1的体积为.【思维升华】 (1)若所给定的几何体
7、是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解【训练】如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA底面ABCD，EDPA，且PA2ED2.(1)证明：平面PAC平面PCE；(2)若ABC60，求三棱锥PACE的体积(1)【证明】如图，连接BD，交AC于点O，设PC的中点为F，连接OF，EF.易知O为AC的中点，所以OFPA，且OFPA.因为DE
8、PA，且DEPA，所以OFDE，且OFDE，所以四边形OFED为平行四边形，所以ODEF，即BDEF.因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.因为四边形ABCD是菱形，所以BDAC.因为PAACA，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC.因为BDEF，所以EF平面PAC.因为EF平面PCE，所以平面PAC平面PCE.(2)【解】因为ABC60，所以ABC是等边三角形，所以AC2.又PA平面ABCD，AC平面ABCD，所以PAAC.所以SPACPAAC2.因为EF平面PAC，所以EF是三棱锥EPAC的高易知EFDOBO，所以三棱锥PACE的体积V三棱锥PACEV三棱锥EPACSP
9、ACEF2.题型三立体几何中的探索性问题【例】 如图，梯形ABCD中，BADADC90，CD2，ADAB1，四边形BDEF为正方形，且平面BDEF平面ABCD.(1)求证：DFCE；(2)若AC与BD相交于点O，那么在棱AE上是否存在点G，使得平面OBG平面EFC？并说明理由(1)【证明】连接EB.在梯形ABCD中，BADADC90，ABAD1，DC2，BD，BC，BD2BC2CD2，BCBD.又平面BDEF平面ABCD，平面BDEF平面ABCDBD，BC平面ABCD，BC平面BDEF，BCDF.又正方形BDEF中，DFEB，且EB，BC平面BCE，EBBCB，DF平面BCE.又CE平面BCE
10、，DFCE.(2)【解】在棱AE上存在点G，使得平面OBG平面EFC，且.理由如下：连接OG，BG，在梯形ABCD中，BADADC90，AB1，DC2，ABDC，.又，OGCE.又正方形BDEF中，EFOB，且OB，OG平面EFC，EF，CE平面EFC，OB平面EFC，OG平面EFC.又OBOGO，且OB，OG平面OBG，平面OBG平面EFC.【思维升华】 对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设【训练】如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D
11、的点(1)证明：平面AMD平面BMC.(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC平面PBD？说明理由(1)【证明】由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，又DM平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，BC，CM平面BMC，所以DM平面BMC.又DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)【解】当P为AM的中点时，MC平面PBD.证明如下：连接AC，BD，交于点O.因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点连接OP，因为P为AM的中点，所以MCOP.又MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC
12、平面PBD.专题突破训练1.如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角三角形ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，BACACD90，AECD，DCAC2AE2.(1)求证：平面BCD平面ABC；(2)求证：AF平面BDE.【证明】(1)平面ABC平面ACDE，平面ABC平面ACDEAC，CDAC，CD平面ACDE，DC平面ABC.又DC平面BCD，平面BCD平面ABC.(2)如图，取BD的中点P，连接EP，FP，则PFDC，PFDC，EADC，EADC，EAPF，EAPF，四边形AFPE是平行四边形，AFEP，AF平面BDE，EP平面BDE，AF平面BDE.2.如图所示，平面ABCD平面BCE，四
13、边形ABCD为矩形，BCCE，点F为CE的中点(1)证明：AE平面BDF；(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PMBE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由(1)【证明】连接AC交BD于点O，连接OF.四边形ABCD是矩形，O为AC的中点又F为EC的中点，OFAE.又OF平面BDF，AE平面BDF，AE平面BDF.(2)【解】当点P为AE的中点时，有PMBE，证明如下：取BE的中点H，连接DP，PH，CH.P为AE的中点，H为BE的中点，PHAB.又ABCD，PHCD，P，H，C，D四点共面平面ABCD平面BCE，且平面ABCD平面BCEBC，CDBC
14、，CD平面ABCD，CD平面BCE.又BE平面BCE，CDBE，BCCE，且H为BE的中点，CHBE.又CHCDC，且CH，CD平面DPHC，BE平面DPHC.又PM平面DPHC，PMBE.3如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB，AB1B1C1.求证：(1)AB平面A1B1C；(2)平面ABB1A1平面A1BC.【证明】(1)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1.因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形又因为AA1AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因
15、此AB1A1B.又因为AB1B1C1，BCB1C1，所以AB1BC.又因为A1BBCB，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1平面A1BC.4如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCBB1，AB1A1BE，D为AC上的点，B1C平面A1BD.(1)求证：BD平面A1ACC1；(2)若AB1，且ACAD1，求三棱锥ABCB1的体积(1)【证明】如图，连接ED，平面AB1C平面A1BDED，B1C平面A1BD，B1CED，E为AB1的中点，D为AC的中点，ABBC，BDAC，由A1A平面ABC，BD平面ABC，得A1AB
16、D，又ACA1AA，AC，A1A平面A1ACC1，BD平面A1ACC1.(2)【解】由AB1，得BCBB11，由(1)知ADAC，又ACAD1，AC22，AC22AB2BC2，ABBC，SABCABBC，SABCBB11.5如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90，ABCD，ADCDAB2，E为AC的中点，将ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，如图2.在图2所示的几何体DABC中：(1)求证：BC平面ACD；(2)点F在棱CD上，且满足AD平面BEF，求几何体FBCE的体积(1)【证明】AC2，BACACD45，AB4，在ABC中，BC2AC2AB22ACABcos 458
17、，AB2AC2BC216，ACBC，平面ACD平面ABC，平面ACD平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD.(2)【解】AD平面BEF，AD平面ACD，平面ACD平面BEFEF，ADEF，E为AC的中点，EF为ACD的中位线，由(1)知，VFBCEVBCEFSCEFBC，SCEFSACD22，VFBCE2.6.如图，在底面是菱形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABC60，AA1AC2，A1BA1D2，点E在A1D上(1)证明：AA1平面ABCD；(2)当为何值时，A1B平面EAC，并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离(1)【证明】因为四边形ABCD是菱形，ABC60，所以AB
18、ADAC2，在AA1B中，由AAAB2A1B2，知AA1AB，同理AA1AD，又ABADA，AB，AD平面ABCD，所以AA1平面ABCD.(2)【解】当1时，A1B平面EAC.证明如下：如图，连接BD交AC于点O，当1，即点E为A1D的中点时，连接OE，则OEA1B，又A1B平面EAC，OE平面EAC，所以A1B平面EAC.直线A1B与平面EAC之间的距离等于点A1到平面EAC的距离，因为E为A1D的中点，所以点A1到平面EAC的距离等于点D到平面EAC的距离，VDEACVEACD，设AD的中点为F，连接EF，则EFAA1，且EF1，所以EF平面ACD，可求得SACD，所以VEACD1.又AE，AC2，CE2，所以SEAC，所以SEACd(d表示点D到平面EAC的距离)，解得d，所以直线A1B与平面EAC之间的距离为.14
