1、第10单元 空间向量在立体几何中的应用第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是，那么这条斜线与平面所成的角是（ ）A90B30C45D60【答案】D【解析】，又由题意知，答案D2平面经过三点，则平面的法向量可以是（ ）ABCD【答案】D【解析】设平面的法向量为，对于A选项，故A选项错误；对于B选项，故B选项错误；对于C选项，故C选项错误；对于D选项，由于，故D选项符合题意所以本题选D3若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）ABCD与相交【答案】C【解析】直线l的方向向量为，平
2、面的法向量为，故选C4如图，在平行六面体中，为的中点，设，则（ ）ABCD【答案】A【解析】根据向量的三角形法则得到故选A5在长方体中，点为的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）ABCD【答案】A【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，设异面直线与所成角为，则，异面直线与所成角正切值为，故选A6正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ）ABCD【答案】A【解析】如图，以点为坐标原点，以，方向分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设棱长2，则，所以，因为在正方体中，平面，所以，又，所以平面，因此向量为平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则故选A7对于空间任意一点和不
3、共线的三点，且有，则，是四点共面的（ ）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】B【解析】空间任意一点和不共线的三点，且，则四点共面等价于，若，则，所以四点共面，若四点共面，则，不能得到，所以，是四点共面的充分不必要条件，故选B8已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为（ ）ABC或D【答案】C【解析】，设与之间的夹角为，二面角的大小可能为和9已知在平行六面体中，则的长为（ ）ABCD【答案】D【解析】在平行六面体中，则，故选D10如图，已知矩形与矩形全等，二面角为直二面角，为中点，与所成角为，且，则（ ）A1BCD【答案】C【解
4、析】以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，设AB2a，BC2b，则F（2b，0，0），M（0，a，0），B（0，2a，0），D（0，0，2b），（2b，a，0），（0，2a，2b），FM与BD所成角为，且，整理得，解得，或（舍），故选C11在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，则该四面体外接球的表面积是（ ）ABCD【答案】B【解析】如图，在空间坐标系里画出四个点，可得面，因此可以把四面体补成一个长方体，其外接球的半径，所以外接球的表面积为，故选B项12如图，四边形，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【解析】
5、取BD中点O，连结AO，CO，ABBDDA4BCCD，COBD，AOBD，且CO2，AO，AOC是二面角的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），设二面角的平面角为，则，连AO、BO，则AOC，设AB、CD的夹角为，则，cos的最大值为故选C第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知点关于坐标原点的对称点为，关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则线段的中点的坐标为_【答案】【解析】点关于坐标原点的对称点A1的坐标为，点关于xOz平面的对称点A2的坐标为，点关于z轴的对称点A3
6、的坐标为，线段AA3的中点M的坐标为14在直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为_【答案】【解析】因为，所以角为直角，又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以两两垂直，以点为坐标原点，以方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设异面直线与所成角为，则故答案为15如图，在正方体中，、分别为的中点，则平面和平面所成二面角的正弦值为_【答案】【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则E(1，0，0)，F(0，0，1)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，设平面EFC1B的法向量，则，取，得，平面BCC1的法向量，设平面EFC
7、1B和平面BCC1所成二面角为，则，所以，故填16将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是_（1）平面平面；（2）四面体的体积是；（3）二面角的正切值是；（4）与平面所成角的正弦值是，【答案】（3）（4）【解析】画出图像如下图所示，由图可知（1）的判断显然错误；由于，故是二面角的平面角且平面，故过作交的延长线于，由于，故是三棱锥的高在原图中，所以，故（2）错误；以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，则，令，则，即平面的法向量是设二面角的平面角为，由图可知为锐角，故，则其正切值为故（3）判断正确；平面的法向量为，设直线和平面所成的角为，则，故（
8、4）判断正确综上所述，正确的有（3），（4）三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）如图，在正四棱柱中，分别为棱的中点，（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：在正四棱柱中，底面，又，平面，则，则，平面又平面，平面平面（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设是平面的法向量，即，令，得，由（1）知，平面ABE的一个法向量为，故平面与平面ABE所成锐二面角的余弦值为18（12分）如图，是以为直径的半圆上异于的点，矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面，且，（1）
9、求证：平面平面；（2）若的长度为，求二面角的正弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：平面平面，两平面交线为，平面，平面，平面，是直角，平面，平面，平面平面（2）如图，连结，以点为坐标原点，在平面中，过作的垂线为轴，所在的直线为轴，在平面中，过作的垂线为轴，建立空间直角坐标系的长度为，则，设平面的一个法向量为，则，令，解得，平面的一个法向量，二面角的正弦值为19（12分）如图，在多面体中，四边形是边长为的菱形，与交于点，平面平面，（1）求证：平面；（2）若为等边三角形，点为的中点，求二面角的余弦值【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）证明：取的中点，连结、，因为，所以，因为平面
10、平面，平面平面，平面，所以平面，因为、分别为、的中点，所以且又，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面（2）因为菱形，所以所以，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，所以，设平面的法向量为，由，得，取，可得，平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为20（12分）已知四棱锥的底面是菱形，底面，是上的任意一点（1）求证：平面平面；（2）设，是否存在点使平面与平面所成的锐二面角的大小为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）证明：平面，平面，四边形是菱形，平面平面，平面平面（2
11、）设与的交点为，以、所在直线分别为、轴，以过垂直平面的直线为轴建立空间直角坐标系（如图），则，设，则，设，设平面的法向量，求得为平面的一个法向量同理可得平面的一个法向量为，平面与平面所成的锐二面角的大小为，解得为的中点21（12分）如图所示，等腰梯形ABCD中，ABCD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，AE与BD交于点O，将ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P平面ABCE）（1）证明：平面POB平面ABCE；（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：在等腰梯形ABCD中，易知DAE为等边三角形，所以ODAE，O
12、BAE，即在PAE中，OPAE，AE平面POB，AE平面ABCE，所以平面POB平面ABCE（2）在平面POB内作PQOB=Q，PQ平面ABCE直线PB与平面ABCE夹角为，又OP=OB，OPOB，O、Q两点重合，即OP平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，设平面PCE的一个法向量为，则，即，设，则，由题意得平面PAE的一个法向量，设二面角为，即二面角为的余弦值为22（12分）如图，已知四棱锥的底面为边长为的菱形，为中点，连接（1）求证：平面平面；（2）若平面平面，且二面角的余弦值为，求四棱锥的体积【答案】（1）见证明；（2）2【解析】（1）连接，菱形中，为等边三角形，又为中点，又，则，又，平面，又，平面，又平面，平面平面（2）平面平面，且交线为，平面，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，则，设平面的一个法向量为，则，即，可取，又平面的法向量可取，由题意得，解得，即，又菱形的面积，四棱锥的体积为9
