1、无穷级数及其应用无穷级数及其应用 第八章第八章第八章第八章知识目标：知识目标：l理解无穷级数概念和性质理解无穷级数概念和性质l理解级数审敛法理解级数审敛法l掌握判别数项级数敛散性的审敛法掌握判别数项级数敛散性的审敛法l掌握幂级数展开式及其应用掌握幂级数展开式及其应用能力目标：能力目标：l会求幂级数的收敛域会求幂级数的收敛域l能将函数展开为幂级数能将函数展开为幂级数l会应用函数幂级数展开式会应用函数幂级数展开式l能运用能运用MATLABMATLAB软件进行级数运算软件进行级数运算第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 一、数项级数的概念一、数项级数的概念第一节第一节 数项级数的概念数项级数的
2、概念 第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 数项级数及其敛散性数项级数及其敛散性定义定义8.1 如果给定一个无穷数列 ，那么由该数列构成的表达式叫做(数项数项)无穷级数无穷级数，简称(数项数项)级数级数，记作其中第 项 叫做级数 的一般项一般项。nu123nuuuu+1231+nnnuuuuu+nnu1nnu第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 无穷级数是无穷多个数累加的结果。前面关于计算圆面积的方法告诉我们，可以先求有限项的和，然后应用极限的方法来解决这个无穷多项的累加问题。既然用到了极限，就必然要探讨敛散性的问题：什么是一个级数收敛（或发散)？如何判定一个级数是收敛的（或发散的
3、）？一个收敛的级数具有什么性质？请思考：第一节第一节 函数及其性质函数及其性质第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 定义定义8.2 对于无穷级数 ，其前 项之和 称为该级数的部分和部分和。若当 时，部分和数列 有极限 ，即则称级数 是收敛收敛的，并称 为该级数的和和，即 ；若当 时，没有极限，则称此级数是发散发散的。当级数收敛时，级数的和 与它的部分和 之差叫做级数的余项余项，以 做为 的近似值所产生的误差就是这个余项的绝对值 ，即1nnun123nnSuuuu+n nSlim,nnSSS1nnuS123nSuuuu+n nSSnSnSS12nnnnrSSuu+nr第一节第一节 函数及其
4、性质函数及其性质两个级数和的几何直观图例 1111112482nn1111114166443nn第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 例例 无穷级数 叫做等比级等比级数数(又称几何级数几何级数)，其中 ，叫做级数的公级数的公比比。试讨论该级数的敛散性。解：由于部分和 ，(1)当 时，所以级数收敛，其和等于 。(2)当 时，等比级数部分和 没有极限，所以级数是发散的。20nnnaqaaqaqaq0a qnS 12-1naaqaqaq(1)1-naqq1q(1)limlim1-nnnnaqSq1aq1aq1q nS请思考：9+0.09+0.009+0.0009+的和是多少？第一节第一节 数项
5、级数的概念数项级数的概念 1、求 ，可以观察 指数函数的图像，可得：当 时，；当 时，不存在。2 2、求级数 的和的方法：先求级数 部分和 ，再求极限 。limnnqxyq1q lim0nnq1q limnnq1nnu1nnu123nnSuuuu+limnnS第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 例例 判别级数 的敛散性。解：由于 ，因此 ，从而 ，即级数收敛，其和等于1。例例 证明级数 是发散的。证明：此级数的部分和为 ，显然 ，因此所给的级数是发散的。11111 22 3(1)nnunnLL111(1)1nunnnn1111 22 3(1)nSnn11111(1)()()2231nn
6、111n 1limlim(1)11nnnSn1 23n(1)1232nn nSn limnnS 第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 二、数项级数的性质二、数项级数的性质性质性质1 若级数 收敛，其和为 ，则对任一非零常数 ，级数 也收敛，其和为 。1nnuSC1nnC uCS证明：设级数 与 的部分和分别为 和 ,则1nnC u1nnunSn12nnnCu CuCuCS+于是 ，所以级数 收敛，其和为 。limlimlimnnnnnnCSCSCS1nnCuCSnnCS 由 可知，级数的每一项乘以同一个常数后，它的敛散性不变。第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 性质性质2 若级数
7、 和 都收敛,其和分别为 ，,则级数 也收敛,且其和为 。1nnu1nnvS1()nnnuvS 证明 设级数 ，的部分和分别为 ，,则级数 的部分和 1nnu1nnvnSn1()nnnuv1122()()()nnnuvuvuv1212()()nnuuuvvvnnS于是 ，所以 也收敛,其和为 limlim()nnnnnSS1()nnnuvS性质性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性。第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 性质性质4 如果级数 收敛，则对此级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。注意：如果加括号后所成的级数收敛，并不能断定原来的级数也收敛。例
8、如,级数 收敛于0,但去括号后得到的级数是 发散的。事实上，部分和 。1nnu(1 1)(1 1)(1 1)1 1 1 11 1 10nnSn，当 为奇数时，当 为偶数时第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 性质性质5 (级数收敛的必要条件)如果级数 收敛，则当 时,它的一般项 趋于零，即 。证明 对于级数 ,它的一般项可表示为1nnun nulim0nnu1nnu1nnnuSS如果级数 收敛,显然 和 有相同的极限 ，因此 1nnunS1nSS11limlim()limlim0nnnnnnnnnuSSSSSS 性质5中的 只是级数 收敛的必要条件而非充分条件，其逆否命题是“若 ，则级数
9、 必发散.”可以用来证明级数发散。lim0nnu1nnulim0nnu1nnu第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念 被称为调和级数调和级数，虽然一般项 ,但它是发散的。现用反证法证明如下：假设 收敛,部分和为 ,且 ,显然,该级数的部分和 也有 ,于是 ，但故 ，这与假设 收敛矛盾,因此 发散。11111234n10()nunn 11nnnS()nSS n 2nS2()nSS n 20()nnSSSSn 211111111222222nnSSnnnnnn20()nnSSn 11nn11nn请思考：lim0nnu1nnu第一节第一节 数项级数的概念数项级数的概念【小背景小背景】第二节第二节
10、 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1nnu0nu 许多级数的收敛问题可归结为各项均为正数的级数的收敛问题。这种各项均为正数的级数称为正项级数正项级数，即数项级数 的各项 。.定理定理8.1 正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列 有界。nS第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 证明：设级数 收敛于和 ,则级数 的部分和 1nnv1nnu1212(1,2,3,)nnnSuuuvvvn 即部分和数列 有界,由定理8.1知级数 收敛。nS1nnu 反之,设级数 发散,则级数 发散,因为若 收敛,由本定理,知也 收敛,与假设矛盾。1nnu1
11、nnv1nnv1nnu定理定理(比较审敛法比较审敛法)设 和 都是正项级数,且 （1）若级数 收敛,则级数 也收敛;（2）若级数 发散,则级数 也发散。(1,2,)nnuv n1nnu1nnu1nnu1nnv1nnv1nnv第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 例例 证明级数 是发散的11(1)nn n 证明 由比较审敛法可知,要证 发散,只需寻找一个与之相比一般项较小的发散级数.11(1)nn n 由 ,得 ，(1)1n nn111(1)nn n因为级数 是发散的,所以级数 也发散。111111231nnn11(1)nn n 推论推论(比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式)设
12、和 都是正项级数,如果 ,则级数 和 同时收敛或同时发散。1nnu1nnv1nnvlim(0)nnnullv 1nnu 比较审敛法，比较的是两个级数一般项的大小；得出的结论是一般项大的级数如果收敛，则小的也收敛。而要判断发散只需要写出上述命题的逆否形式即可，就是“一般项小的级数如果发散，则大的也发散。”第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 用比较审敛法判断一个级数的敛散性：需要找到另一个比它大的收敛级数来判断其收敛，找另一个比它小的发散级数来判断其发散。通常被我们用作比较的参考级数是一些已知敛散性的级数(如调和级数，几何级数，P-级数等)。定理定理(比值审敛法比值审敛法,达朗贝尔判别
13、法达朗贝尔判别法)设 为正项级数，且 ，则(1)当 时，级数 收敛;(2)当 时，级数 发散，(3)当 时，级数 可能收敛也可能发散。1nnu1nnu1nnu1nnu1limnnnuu1()或11第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 .例例 判别级数 的敛散性。解：因为 ，所以级数发散。23555555523nn155155limlimlim5()51(1)51nnnnnnnunnunn例例 判别级数 的敛散性。解：因为 ，所以级数收敛。1()21nnnn1limlim1212nnnnnun 定理定理(根值审敛法根值审敛法,柯西判别法柯西判别法)设 为正项级数，且 ，则 (1)当 时
14、，级数 收敛；(2)当 时，级数 发散；(3)当 时，级数 可能收敛也可能发散。limnnnu11()或1nnu1nnu1nnu1nnu1第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 判别正项级数的敛散性，选择恰当的敛散性判别法是关键。一般来说顺序如下：（1）首先如果通项不趋向于0，则级数肯定发散。（2）考虑部分和是否关于有界，如果有界则收敛，如果无界则发散。（3）根据正项级数的通项的形式选择“比值审敛法”、“根值审敛法”。（4）当“比值审敛法”或者“根值审敛法”极限都是1时，可寻找合适的级数用“比较审敛法极限形式”或“比较审敛法”来判定级数的敛散性。（5）综合利用收敛级数定义、性质直接判定
15、。第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 交错级数交错级数是指各项为正负交错的级数，可以写成如下形式 或 。1234(0)nuuuuu+-+1234(0)nuuuuu+-+L 交错级数一般可表示为 。11(1)nnnu定理定理(莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法)如果交错级数 满足条件 (1)，(2)，则交错级数 收敛。11(1)nnnulim0nnu1(1,2,3,)nnuun11(1)nnnu请思考：第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 例例 判别下列交错级数的敛散性。(1)，(2)解：(1)因为 为交错级数,且 ,所以此级数收敛。
16、(2)因为 ,所以交错级数 发散。111(1)nnn11(1)nnn111(1)nnn11(1,2,)1nnn1lim0nn1limlim(1)0nnnnun11(1)nnn第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 若级数 为任意项级数 ,把级数 的每一项取绝对值就构成一个正项级数 。例如,级数 ,由于 收敛,所以 为绝对收敛；而 收敛,但 发散,所以 为条件收敛。1nnu()nuR1nnu1nnu1211(1)nnn1221111(1)nnnnn1211(1)nnn111(1)nnn11111(1)nnnnn111(1)nnn 定义定义8.
17、3 若级数 收敛,则称级数 为绝对收敛绝对收敛；若 发散,而 收敛,则称级数 为条件收敛条件收敛。1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 例例 讨论级数 的敛散性若收敛,判断其绝对收敛还是条件收敛?解：为交错级数,且有 及 ,由莱布尼兹判别法知 收敛。因为 为 的 级数,所以 发散，综上所述,为条件收敛,而不是绝对收敛。11(1)nnn11(1)nnn111nn1lim0nn11(1)nnn1112(1)1nnnnn112P 1(1)nnnP 11(1)nnn请思考：1nnu第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 证明 设级数 收敛,令
18、，显然 且 ,由比较审敛法知 收敛,从而 也收敛,而 ,由比较审敛法可知 收敛。注意：若 收敛,不一定收敛。例如：收敛，而级数 发散。1nnu1()(1,2,)2nnnvuun0nv(1,2,)nnvun1nnv12nnv2nnnuvu1nnu1nnu1nnu111(1)nnn11111(1)nnnnn定理定理 如果级数 绝对收敛,则级数 必定收敛。1nnu1nnu请思考：1nnu第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 我们可以通过正项级数 的收敛来判断任意项级数 的收敛。对于一个任意项级数，如果我们用正项级数的审敛法判定 收敛,则 收敛，这就使得一大类任意项级数的收敛判别问题,转化为
19、正项级数的收敛判别问题。但是,当 发散时则不能断定 发散。1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu 例例 证明级数 收敛。证明：因为 ,而 为 的 级数,它是收敛的,所以 收敛,因而 收敛。41sinnnn44sin1nnn411nn41P P 41sinnnn41sinnnn第二节第二节 数项级数的审敛法数项级数的审敛法 18世纪的数学家不加辨别地使用无穷级数，然而在无穷级数收敛性未加证明的情况下，会得到一些可疑或者完全荒谬的结果，这就促使数学家去研究无穷级数运算的合法性。在1810年前后，Bolzano和Cauchy等数学家建立了级数收敛的正确概念，强调人们必须考虑收敛性，并且特别
20、批评了二项式定理的不严密的证明。【小背景小背景】第三节第三节 幂级数幂级数 一、幂级数的概念一、幂级数的概念 1.函数项级数函数项级数 定义定义8.4 我们称为定义在区间 上的函数项无穷级数函数项无穷级数,简称函数项级数函数项级数。函数项级数具体可表示为下面形式：(8.1)其中，为定义在区间 上以 为自变量的函数。对于每一个确定的值 ,函数项级数成为常数项级数 (8.2)如果式(8.2)收敛,称点 是函数项级数式(8.1)的收敛点收敛点；如果式(8.2)发散,称点 是函数项级数式(8.1)的发散点发散点；所有I123()()()()nu xuxuxux()1,2,nuxn L1020300()
21、()()()nu xuxu xux0 xIIx0 x0 x第三节第三节 幂级数幂级数 收敛点的全体组成的集合称为函数项级数的收敛域收敛域,所有发散点的全体组成的集合称为它的发散域发散域。对应于收敛域内的任一个元素 ,函数项级数式(8.1)都有一个确定的和 ,因此 是定义在收敛域上的函数,称为函数项级数的和函数和函数。()S x1()nnux()S xx 例如：几何级数 是定义在 上的函数项级数,当 时发散,当 时收敛级数在收敛域 内的和函数为 231nnnxx xxx1+(,)1x 1x 1()1S xx(1,1)请思考：的0()S x0 x()S x1()nnux第三节第三节 幂级数幂级数
22、2.幂级数幂级数定义定义8.5 形如 (8.3)的级数称为幂级数幂级数,其中 及 都是常数,称为幂级数的系数幂级数的系数。2010200()()()nnaa xxaxxaxx0 x012,na a aa012,a a a 当 时,幂级数式(8.3)成为 (8.4)对于幂级数式(8.3),经过变换 ,就可以转化为(8.4)的形式,因此,不失一般性,我们只讨论形如式(8.4)的幂级数 在级数式(8.4)中,考察它的绝对值级数 ,如果 （其中 ）存在,按正项级数的比值审敛法可知,当 时,级数式(8.4)是绝对收敛的,即当 时,令 ,则 ，级数式(8.4)在 收敛00 x 2012nnaa xa xa
23、 x0txx2012nnaa xa xa x111limlimnnnnnnnnaxaxxaa x1limnnnaa1x01R1limnnnaRa(,)xR R 第三节第三节 幂级数幂级数 定理定理8.7 设有幂级数 ,它的相邻两项的系数满足 ，(1)如果 ,则当 时幂级数收敛,当 时幂级数发散(2)如果 ,则幂级数在 上处处收敛(3)如果 ,则幂级数仅在 处收敛 0nnna x1limnnnaRa0R xRxRR (,)0R 0 x 定理告诉我们：当 时幂级数的收敛域只含有 一个点；当 时,这个幂级数在区间 内收敛,区间称为幂级数的收敛区间收敛区间,把 称为幂级数的收敛半径收敛半径。0R 0
24、x 0R(,)R R1limnnnaRa第三节第三节 幂级数幂级数 对于收敛区间 端点 ，需将 和 代入幂级数，按数项级数审敛法来判定敛散性，确定收敛域。(,)R RxR xRxR 例例 求幂级数 的收敛半径与收敛域。解 收敛半径 当 时,幂级数即为交错级数 ,级数收敛；当 时,幂级数成为 ,级数发散因此,收敛域为 。231(1)23nnxxxxn 111(1)1limlimlim11(1)1nnnnnnnannRann1x 11111(1)23nn 1x 1111111(1)2323nn (1,1请思考：第三节第三节 幂级数幂级数 例例 求幂级数 的收敛域。解：由于级数缺少奇次幂的项，定理不
25、能直接应用。如果设 ,则 转化为 ,因为 ,所以 的收敛半径为3,即使得 成立的 ,级数收敛,从而 的收敛半径 ,收敛区间为 时,此级数为 ，发散,于是此幂级数的收敛域为 另解另解 利用比值判别法 ，24622323413333nnnxxxx2xt2113nnnnx113nnnnt1113limlim323nnnnnnnana113nnnnt23xtx2113nnnnx3R(3,3)3x 2111113(1)33nnnnnnnnnxn(3,3)2222112()232limlimlim()3(1)3(1)3nnnnnnnnnxuxnnxxuxnxn第三节第三节 幂级数幂级数 求幂级数收敛区间的
26、方法：(1)由 得到收敛半径，写出收敛区间 ；(2)代换法：通过代换把级数化为能用定理形式的幂级数，再求收敛区间；(3)比值审敛法:由 ,解不等式 求出收敛区间。1limnnnaRa(,)R R111limlim1nnnnnnnnaxaxxaa x1x若级数收敛,则必有 ,即 时,级数收敛；而 时,此级数为 ，发散。故此级数的收敛区间为 。213x3x 3x 2111113(1)33nnnnnnnnnxn(3,3)第三节第三节 幂级数幂级数 二、幂级数的性质二、幂级数的性质 设 分别在 及 内收敛20120()nnnnnf xa xaa xa xa x20120()nnnnng xb xbb
27、xb xb x11(,)R R22(,)R R 性质性质1 两个幂级数在 与 中较小的区间内可逐项相加、相减或乘积 22012012()()()()nnnnf xg xaa xa xa xbb xb xb x2001122()()()()nnnabab xab xab x11(,)R R22(,)R R22012012()()()()nnnnf xg xaa xa xa xbb xb xb x2000 11 0021 120()()a ba ba b xa ba ba b x第三节第三节 幂级数幂级数 性质性质2 一个幂级数在收敛区间内可以逐项求导和逐项求积分。即若则 逐项求导和逐项求积分后所
28、得的幂级数与原级数有相同的收敛半径。20120()nnnnnS xa xaa xa xa xLL21123()23nnS xaa xa xna xLL2310120111()231xnnS x dxa xa xa xa xnLL例例 利用逐项求导、逐项求积分的方法求下列幂级数的和函数。(1)，(2)0(1)(1)nnnnx2111(1)21nnnxn第三节第三节 幂级数幂级数 解 (1)可以求得该级数的收敛区间为 ,设在 内它的和函数为 ,即 因为 ()，所以 ,即 (2)可以判定该级数的收敛区间为 ,在收敛区间内设它的和函数为 ,即 而 ，所以 ，即 (1,1)(1,1)()f x23()1
29、 234(1)(1)nnf xxxxnx 410()(1)1x23nnxf x dxxxxxxx 11x 201()()()1(1)xxf xf x dxxx23201(1)(1)1234(1)(1)(1)nnnnnnxxxxnxx LL(1,1)()g x35211()(1)3521nnxxxg xxn 24122()1(1)nng xxxx 211x0()()(0)xg t dtg xg2001()(0)()0arctan1xxg xgg t dtdxxx213521111(1)(1)arctan213521nnnnnxxxxxxnn LL第三节第三节 幂级数幂级数 在对幂级数进行求和函数
30、运算时，常常要参照已学过的常见级数的和函数，比如几何级数 当 时的和函数为 。0nnx1x 11x第三节第三节 幂级数幂级数 三、函数的幂级数展开三、函数的幂级数展开 【案例案例8.2 自然对数表的生成原理自然对数表的生成原理】然对数表查自然对数的值：如 可通过查表得其值为 ,那么这个值是怎样产生的呢？ln20.6931第三节第三节 幂级数幂级数 1.麦克劳林级数麦克劳林级数 一般地，若 能表示为一个幂级数,即 （8.5）为求得幂级数的系数 ,设 在包含 的一个区间内任意阶导数均存在对(8.5)式两边逐次求导,得 把 代入以上各式，得 ，代入式(8.5),得到幂级数。()f x2012()nn
31、f xaa xa xa x012,na a aa()f x0 x 21123()23nnfxaa xa xna x223()23 2(1)nnfxaa xn na x()()!nnfxn a0 x 0(0)af1(0)af 2(0)2!fa()(0)!nnfan第三节第三节 幂级数幂级数 定义定义8.6 (8.6)我们称 为的麦克劳林级数麦克劳林级数。称为余项余项。()2(0)(0)(0)(0)2!nnffffxxxnLL()f x()2(0)(0)()()(0)(0)2!nnnffR xf xffxxxn 可以证明，余项 ，其中 是介于0与 之间的一个数,余项 的上述表达式称为拉格朗日型余项
32、拉格朗日型余项。若 ,则幂级数(8.6)收敛于 。(1)1()()(1)!nnnfR xxnx()nR xlim()0nnR x()f x定义定义8.7 (8.7)我们称为函数 的麦克劳林级数展开式麦克劳林级数展开式,或称为 的幂级数展幂级数展开式开式。()2(0)(0)()(0)(0)2!nnfff xffxxxnLL()f x()f x第三节第三节 幂级数幂级数 2.泰勒级数泰勒级数 用类似的方法不难得到泰勒级数展式泰勒级数展式.若函数 在点 的某邻域内有任意阶连续导数,则()f x0 x定义定义8.8 (8.8)称为函数的泰勒级数泰勒级数()20000000()()()()()()()(
33、)2!nnfxfxf xf xfxxxxxxxn上式的充要条件是在含 的一个区间上 ,其中 (是介于 与 之间)0 xxlim()0nnRx(1)10()()()(1)!nnnfR xxxnx0 x请思考：第三节第三节 幂级数幂级数 2.函数展开成幂级数函数展开成幂级数 将函数展开成幂级数，常用的方法有直接法(公式法)和间接法。直接法直接法 函数 展开成 的幂级数可按照下列步骤进行：第一步 求出 的各阶导数 如果在 处某阶导数不存在,就停止进行,此时 不能展开为 的幂级数如 ,它在 处的三阶导数不存在,就不能展开成 的幂级数 第二步 求函数及各阶导数在 处的值 第三步 写出幂级数 并求出收敛半
34、径 ()f xx()f x()(),(),(),nfxfxfx0 x()f xx52()f xx0 x 0 x x()(0),(0),(0),(0),nffffLL()2(0)(0)(0)(0)2!nnffffxxxnLLR第三节第三节 幂级数幂级数 第四步 考察在 内的余项 的极限 (是介于 与 之间)是否为零若为零,则第三步中写出的幂级数就是 的幂级数展开式,即 (,)R R()nR x(1)1()lim()lim(1)!nnnnnfR xxn0 x()f x()2(0)(0)()(0)(0)2!nnfff xffxxxn()RxR 例例 将函数 展开为 的幂级数解 因为 ,所以于是得级数
35、 它的收敛半径 对任何有限的数 ,(是介于0与 之间),余项的绝对值为()xf xex()()(1,2,3,)nxfxen()(0)(0)(0)(0)1nffff212!nxxxnR xx第三节第三节 幂级数幂级数 因 有限,而 是收敛级数 的一般项,由收敛级数的必要条件有 ,所以 ,故 (8.9)如果在 附近,用级数(8.9)的部分和(即多项式)来近似代替 ,那么随着项数的增加,它们就越来越接近于 11()(1)!(1)!nxnnxeRxxennxe1(1)!nxn11(1)!nnxn1lim0(1)!nnxnlim()0nnR x212!nxxxexn()x 0 x xexe把函数展开成幂
36、级数时，要注意讨论其收敛域。第三节第三节 幂级数幂级数 间接法间接法代换法例例 将函数 展开成 的幂级数解 因为 把 换为 ,同时,由 ,得收敛域为 .21()1f xxx23111nxxxxx x2x242211(1)1nnxxxx LL211x 11x 请思考：第三节第三节 幂级数幂级数 逐项求导例例 将函数 展开成 的幂级数 解解 本题可以像展开 一样直接展开 但因为 对上式逐项求导就得 逐项求积分例例 将函数 展开成 的幂级数解解 因为 ,而 对上式从0到 逐项积分,得 上述展式对 也成立()cosf xxxsinxcosx35211sin(1)3!5!(21)!nnxxxxxn()x
37、 242cos1(1)2!4!(2)!nnxxxxn ()x()ln(1)f xxx1()1fxx2311(1)1nnxxxxx (11)x x2341ln(1)(1)2341nnxxxxxxn(11)x 1x 第三节第三节 幂级数幂级数 拆分例例 将函数 展为 的幂级数解 因此 1()ln1xf xxx2341ln(1)(1)234nnxxxxxxn 234ln(1)234nxxxxxxn (11)x (11)x 35211222lnln(1)ln(1)213521nxxxxxxxxn(11)x 函数展开成幂级数时，要注意讨论其收敛域。前面几例都是把函数 展开为麦克劳林级数，即在 处展开，如
38、果要把函数 展开为泰勒级数,即在 处展开,需要通过代换 把问题转化为展开关于 的麦克劳林级数。()f x()f x0 x 0 xx0 xxtt第三节第三节 幂级数幂级数 例例 将函数 展为 的幂级数。解 令 ,则 ,于是问题转化为把 在 处展开,而已知 ,于是 因此 将 换回 ,即得所求展式为 ()ln(1)f xx2x2xt2xtlnln(2)xt0t ln(2)ln2(1)ln2ln(1)22ttt2341ln(1)(1)234nnxxxxxxn 23411111ln(1)()()()(1)()222232422nnttttttn 23123ln(2)ln2(1)22 23 22nnntt
39、tttn tx212111lnln2(2)(2)(1)(2)22 22nnnxxxxn(04)x(22)t 第三节第三节 幂级数幂级数 4、函数幂级数展开式的应用、函数幂级数展开式的应用 利用函数的幂级数展开式,可进行近似计算 例例 试用 的幂级数的前八项求 的近似值,并估计误差 解 在展开式 中,令 ,得 现取前八项的和作为 的近似值，其误差为即 的近似值可精确到小数点第四位,得 利用幂级数不仅可计算一些函数值的近似值,而且还可以计算一些定积分的近似值。xee212!nxxxexn LL()x 1x 1111 12!3!en LL82111111()(1)8!9!10!8!88R 41110
40、.000031018!7!7181111 12.71832!3!7!e ee【小背景小背景】在18世纪，甚至直到今天，无穷级数一直被认为是微积分的一个不可缺少的部分。对于复杂一些的代数函数和超越函数，只有把它们展成无穷级数并进行逐项微分或积分，才能处理他们。牛顿、欧拉以及他们同时代的人，都大量依靠级数的使用来处理此类问题。级数仍然是某些函数的唯一表达式，且是计算初等超越函数的最有效的工具。第三节第三节 幂级数幂级数 第三节第三节 幂级数幂级数 例例 计算定积分 解：因为 不能用初等函数表示，故不能用牛-莱公式。将 的展开式中 的换成 ,得 故 积分结果是个交错级数,取其前七项之和作为 的近似值
41、,即210 xedx2xedxxex2x224621(1)1!2!3!nxnxxxxen LL()x 2246211001(1)1!2!3!nxnxxxxedxdxn LL1357210(1)3 1!5 2!7 3!(21)!nnxxxxxnn LL11111(1)31042!(21)nnn LL210 xedx第三节第三节 幂级数幂级数 其误差的绝对值为 21011111110.446853104221613209360 xedx 751127!157560010R 用幂级数进行近似计算时，精度问题由其余项决定。第四节第四节 傅里叶级数傅里叶级数 一、傅里叶级数的概念一、傅里叶级数的概念 周
42、期函数反映了客观世界中的周期运动。正弦函数是一种常见而简单的周期函数，例如描述简谐振动的函数 ，就是一个以 为周期的正弦函数，其中 表示动点的位置，为时间，为振幅，为角频率，为初相。在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦的周期函数，它们反映了较复杂的周期运动，所以用简单的周期函数逼近它们就极具有意义。()yAsint2ytA第四节第四节 傅里叶级数傅里叶级数 1.以为周期的函数的傅里叶级数以为周期的函数的傅里叶级数 函数系 统称为三角三角函数系函数系.容易看出三角函数系具有共同的周期 ，且具有下面两个性质：性质性质1：在三角函数系中，任何两个不同的函数的乘积在 上的积分都等于零，即 ，.
43、通常两个函数 与 在 上可积，且 =0，则称函数 与 在 正交.由此可以说三角函数系 上具有正交性，或者说是正交函数系。1,cos,sin,cos2,sin2,cos,sin,xxxxnxnx2,110sinnxdxcosnxdxcos0mx cosnxdxsin0mx sinnxdxcos0mx sinnxdxmn x x,a b baxx dx x x,a b,第四节第四节 傅里叶级数傅里叶级数 性质性质2：在三角函数系中，任何一个函数的平方在 上的积分都不等于零，即 .（8.11）并且假定上式右端可以进行逐项积分，则有 由三角函数系性质1知，等式右端除第一项外，其余各项均为零，所以 ，得
44、在（8.11）式的两边乘以 （为正整数）后在上 逐项积分，则得由三角函数性质1知，上式右端除 这一项外，其余各项的积分均为零.于是,222,12sin nxdxcos nxdxdx 01cossin2nnnafxanxbnx01()cossin2nnnaf x dxdxanxdxbnxdx00()22af x dxa01()af x dxcoskxn,01cos()coscoscossincos2nnnakxf x dxkxdxakxnxdxbnxkxdxkn第四节第四节 傅里叶级数傅里叶级数 即 .类似地，用 乘以（8.11）式后在 上逐项积分，则得 这样可得常数 的计算公式：2,nnaco
45、s nxdxa1()1,2,naf x cosnxdxncoskx,1()1,2,nbf x sinnxdxn0,1,2,nna a bn （8.12）01()af x dx1()1,2,naf x cosnxdxn1()1,2,nbfx sinnxdxn如果上面各式积分都存在，由此所确定的常数 称为函数 的傅里叶系数，把傅里叶系数代入(8.11)式的右端，所得三角级数 称为函数的傅里叶级数傅里叶级数。0,1,2,nna a bn()f x 01cossin2nnnafxanxbnx第四节第四节 傅里叶级数傅里叶级数 2.以以 为周期的函数的傅里叶级数为周期的函数的傅里叶级数 以实数 为周期的
46、函数展开成傅里叶级数，可通过变量代换可得如下以 为周期的函数的傅里叶级数。设 是以 为周期的函数，级数 ，其中：，.3.正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数 设 是以 为周期的可积偶函数，或 是定义在上的可积偶函数，则 可展成余弦级数余弦级数 ，其中 ，.设 是以 为周期的可积奇函数，或 是定义在上的可积奇函数，则 可展成正弦级数正弦级数 ，其中 ，.l 2l 22l 2 xf10sincos2nnnlxnblxnaa 01dllaf xxl 1cosdlnln xafxxll1,2,n 1sindlnln xbf xxll1,2,n xfl 2ll,xf f x lxnaanncos210
47、xlxnxflalndcos20,2,1,0n xf xfl 2ll,f x lxnbnnsin1 02sindlnn xbf xxll,2,1,0n第四节第四节 傅里叶级数傅里叶级数 二、函数展开为傅里叶级数的方法二、函数展开为傅里叶级数的方法 任何一个以 为周期的函数 ，只要（8.12）式的积分存在，总可以得到它的傅里叶级数，但是这个级数是否收敛于 ，或者说函数 能否展开成傅里叶级数？2 xf xf xf定理定理8.8（收敛定理，展开定理）（收敛定理，展开定理）设 就周期 为的周期函数，并满足狄利克雷条件：（1）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 （2）在一个周期内只有有限个极值点，
48、则 的傅里叶级数收敛，且有其中 称为函数 的傅里叶系数傅里叶系数.xf2 xf 01,cossin(0)(0)22nnnf xxaanxbnxf xf xx为连续点，为间断点0,1,2,nna a bn()f x第四节第四节 傅里叶级数傅里叶级数 例例 设 是周期为 的周期函数，它在 上的表达式为 ，将 展开成傅里叶级数。xf2，1,0()1,0 xf xx xf 解 先求傅里叶系数1()cosdnaf xnxx0011(1)cosd1 cosdnxxnxx0(0,1,2,)n1()sindnbf xnxx0011(1)sind1 sindnxxnx x01cosnxn01cosnxn21 c
49、osnn21(1)nn 4,1,3,5,02,4,6,nnn当，当第四节第四节 傅里叶级数傅里叶级数所以 4()sinf xx1sin33x1sin(21)21kxk),2,0,(xx取前6项傅里叶级数的和逼近 的情况如上图。xf第四节第四节 傅里叶级数傅里叶级数 例例 求函数 在 上的傅里叶展开式，并计算 .解 补充定义 ，再把延拓为周期为 的周期函数，则 在 上连续，且在 上按段光滑.由收敛定理知，可以展成傅里叶级数，由于 .，.所以当 时，当 时，上面等式也成立，于是 ，故 xxf2x121nn 2f2 xfR,xf22032d1xxanxnxxann2241dcos1,2,1n0dsin12xnxxbn,2,1nx.cos143122nxnxfnnx1222143nn.61212nn第四节第四节 傅里叶级数傅里叶级数 在电气工程领域，由于有大功率的电力电子装置的使用，使得电网中含有大量谐波，这造成电网的污染，使得有些仪器设备无法正常使用，这就需要进行电网的谐波治理。在电子通讯领域，常将复杂的信号进行分解，对响应频谱的信号进行处理，然后进行重构，得到我们需要的信号，如声音的还原、模拟、变声等技术。任何复杂的事情都可以进行分解，化整为零，分别加以解决，从而达到简化的目的。THANKS
