1、专题10 正方形知识网络重难突破一. 正方形的性质正方形：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 如图：正方形ABCD.正方形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形和菱形的所有性质，如下： 正方形的对边平行且相等；（ABCD，AB=CD；BCAD，BC=AD）正方形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）正方形的四个角都是直角；（BAD=ADC=DCB=CBA=90）正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（AC=BD，ACBD，OA=OB=OC=OD，AC是DAB和DCB的角平分线，BD是ADC和CBA的角平分线）对称性：正方形是一个轴对称
2、图形，它有四条对称轴.（对称轴是它对边中点的连线和它的两条对角线所在的直线（AC，BD）典例1（2018春随县期末）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE，过点A作AE的垂线交DE于点P若AEAP1，PB=5下列结论：APDAEB；点B到直线AE的距离为；EBED；SAPD+SAPB1+6其中正确结论的序号是（）ABCD【答案】A【解析】解：EAB+BAP90，PAD+BAP90，EABPAD，又AEAP，ABAD，在APD和AEB中，APDAEB（SAS）；故此选项成立；APDAEB，APDAEB，AEBAEP+BEP，APDAEP+PAE，BEPPAE90，EBED；
3、故此选项成立；过B作BFAE，交AE的延长线于F，AEAP，EAP90，AEPAPE45，又中EBED，BFAF，FEBFBE45，又BE，BFEF，故此选项正确；如图，连接BD，在RtAEP中，AEAP1，EP，又PB，BE，APDAEB，PDBE=3，SABP+SADPSABDSBDP=12S正方形ABCDDPBE=12（4）故此选项不正确综上可知其中正确结论的序号是，故选：A【点睛】利用同角的余角相等，易得EABPAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；过B作BFAE，交AE的延长线于F，利用中的BEP90，利用勾股定理可求BE，结合AEP是等腰直角三角形，可证BEF是等腰直角三
4、角形，再利用勾股定理可求EF、BF；利用中的全等，可得APDAEB，结合三角形的外角的性质，易得BEP90，即可证；连接BD，求出ABD的面积，然后减去BDP的面积即可典例2（2018春宿松县期末）如图，正方形ABCD的边长为2，MNBC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是_【答案】2【解析】解：由图知，阴影部分的面积等于正方形的面积减去AQD和BCP的面积而点P到BC的距离与点Q到AD的距离的和等于正方形的边长，即AQD和BCP的面积的和等于正方形的面积的一半，故阴影部分的面积222故答案为：2【点睛】阴影部分的面积等于正方形的面积减去AQD和BCP的
5、面积和而两个三角形等底即为正方形的边长，它们的高的和等于正方形的边长，得出阴影部分的面积正方形面积的一半即可本题考查正方形的性质，正方形的面积，三角形的面积公式灵活运用，注意图形的特点典例3（2018春长清区期末）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去记正方形ABCD的边为a11，按上述方法所作的正方形的边长依次为a2、a3、a4、an，根据以上规律写出an2的表达式_【答案】2n1【解析】解：a2AC，且在直角ABC中，AB2+BC2AC2，a2a1，同理a3a22，a4a322，由此可知：an（）n1，则2
6、n1故答案为：2n1【点睛】求a2的长即AC的长，根据直角ABC中AB2+BC2AC2可以计算，同理计算a3、a4由求出的a2a1，a3=2a2，an=2，an1（2）n1，可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式本题考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到an的规律是解题的关键典例4（2018春东城区期末）正方形ABCD中，点P是边CD上的任意一点，连接BP，O为BP的中点，作PEBD于E，连接EO，AE（1）若PBC，求POE的大小（用含的式子表示）；（2）用等式表示线段AE与BP之间的数量关系，并证明【答案】见解析【解析】解：（1）在正方
7、形ABCD中，BCDC，C90，DBCCDB45，PBC，DBP45， PEBD，且O为BP的中点，EOBO，EBOBEO，EOPEBO+BEO902 ；（2）连接OC，EC，在正方形ABCD中，ABBC，ABDCBD，BEBE，ABECBE，AECE， 在RtBPC中，O为BP的中点，COBO=12BP，OBCOCB，COP2 ， 由（1）知EOP902，EOCCOP+EOP90，又由（1）知BOEO，EOCOEOC是等腰直角三角形，EO2+OC2EC2，ECOC，即BP，BP 【点睛】（1）先根据正方形的性质得：DBCCDB45，则DBP45，根据直角三角形斜边中线的性质可得EOBO，由等
8、腰三角形性质和外角的性质可得结论；（2）作辅助线，证明ABECBE，则AECE，根据直角三角形斜边中线的性质得：OCOBOPOE，证明EOC是等腰直角三角形，最后由勾股定理可得：BP，所以BP本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，第（2）问有难度，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形是解决问题的关键典例5（2018春永康市期末）如图，点A是x轴上的一个动点，点C在y轴上，以AC为对角线画正方形ABCD，已知点C的坐标是C（0，4），设点A的坐标为A（n，0）（1）当n2时，正方形ABCD的边长AB_（2）连结OD，当OD时，n_【答案】见
9、解析【解析】解：（1）当n2时，OA2，在RtCOA中，AC2CO2+AO220ABCD为正方形，ABCBAC2AB2+CB22AB220，AB故答案为：10（2）如图所示：过点D作DMy轴，DNx轴ABCD为正方形，A、B、C、D四点共圆，DAC45又COA90，点O也在这个圆上，CODCAD45又OD=2，DNDM1D（1，1）在RtDNA和RtDMC中，DCAD，DMDN，DNADMCCMANOCMO3D（1，1），A（2，0）n2如下图所示：过点D作DMy轴，DNx轴ABCD为正方形，A、B、C、D四点共圆，DAC45又COA90，点O也在这个圆上，AODACD45又OD，DNDM1D
10、（1，1）同理：DNADMC，则ANCM5OAON+AN1+56A（6，0）n6综上所述，n的值为2或6故答案为：2或6【点睛】（1）在RtAOC中，利用勾股定理求出AC的长度，然后再求得正方形的边长即可；（2）先求得OD与y轴的夹角为45，然后依据OD的长，可求得点D的坐标，过点D作DMy轴，DNx轴，接下来，再证明DNADMC，从而可得到CMAN，从而可得到点A的坐标本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质、四点共圆，证得OD与两坐标轴的夹角为45是解题的关键典例6（2018春鹿泉区期末）如图（1），正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AMB
11、E，垂足为M，AM与BD相交于点F（1）求证：OEOF；（2）如图2若点E在AC的延长线上，AMBE于点M，AM交DB的延长线于点F，其他条件不变，结论“OEOF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由【答案】见解析【解析】证明：（1）四边形ABCD是正方形BOEAOF90，OBOA又AMBE，MEA+MAE90AFO+MAE，MEAAFO在BOE和AOF中，BOE=AOFBO=AOBEO=AFO，BOEAOFOEOF（2）OEOF成立四边形ABCD是正方形，BOEAOF90，OBOA又AMBE，F+MBF90，E+OBE90，又MBFOBE，FE在BOE和AOF中，BOE=A
12、OFBO=AOF=E，BOEAOFOEOF【点睛】（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OBOA，又因为AMBE，所以MEA+MAE90AFO+MAE，从而求证出RtBOERtAOF，得到OEOF（2）根据第一步得到的结果以及正方形的性质得到OBOA，再根据已知条件求证出RtBOERtAOF，得到OEOF本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，将待求线段放到两个三角形中，通过证明三角形全等得到对应边相等是解题的关键典例7（2018春梁山县期末）以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G（1）当四边形ABCD为正方形时（如图1
13、），EB和FD的数量关系是_；（2）当四边形ABCD为矩形时（如图2），EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出EGD的度数【答案】见解析【解析】（1）EBFD，理由如下：四边形ABCD为正方形，ABAD，以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，AFAE，FABEAD60，FADBAD+FAB90+60150，BAEBAD+EAD90+60150，FADBAE，在AFD和ABE中，AF=AEFAD=BAEAD=AB，AFDABE，E
14、BFD；（2）EBFD证：AFB为等边三角形AFAB，FAB60ADE为等边三角形，ADAE，EAD60FAB+BADEAD+BAD，即FADBAEFADBAEEBFD；（3）解：同（2）易证：FADBAE，AEBADF，设AEB为x，则ADF也为x于是有BED为（60x），EDF为（60+x），EGD180BEDEDF180（60x）（60+x）60【点睛】（1）EBFD，利用正方形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的证明方法可证明AFDABE，由全等三角形的性质即可得到EBFD；（2）当四边形ABCD为矩形时，EB和FD仍旧相等，证明的思路同（1）；（3）四边形ABCD由正方形到矩形到一
15、般平行四边形的变化过程中，EGD不发生变化，是一定值，为60本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质以及矩形的性质，题目的综合性很强，难度也不小，解题的关键是对特殊几何图形的性质要准确掌握 二. 正方形的判定正方形的判定方法：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形.典例1（2018春宿豫区期末）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件下面给出了五组条件：ABAD，且ACBD；ABAD，且ACBD；ABAD，且ABAD；ABBD，且ABBD；OBOC，且OBOC其中正确的是_（填写序号）【答案】【解
16、析】解：四边形ABCD是平行四边形，ABAD，四边形ABCD是菱形，又ACBD，四边形ABCD是正方形，正确；四边形ABCD是平行四边形，ABAD，四边形ABCD是矩形，又ACBD，四边形ABCD是正方形，正确；四边形ABCD是平行四边形，ABAD，四边形ABCD是矩形，又ABAD，四边形ABCD是正方形，正确；ABBD，且ABBD，无法得出四边形ABCD是正方形，故错误；四边形ABCD是平行四边形，OBOC，四边形ABCD是矩形，又OBOC，四边形ABCD是正方形，正确；故答案为：典例2 （2018春浦东新区期末）已知：如图，在等边三角形ABC中，过边AB上一点D作DEBC，垂足为点E，过边
17、AC上一点G作GFBC，垂足为点F，BECF，联结DG（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）连接AF，当BAF3FAC时，求证：四边形DEFG是正方形【答案】见解析【解析】证明：（1）在等边三角形ABC中，DEBC，GFBC，DEFGFC90，DEGF，BC60，BECF，DEBGFC90，BDECGF，DEGF，四边形DEFG是平行四边形；（2）在平行四边形DEFG中，DEF90，平行四边形DEFG是矩形，BAC60，BAF3FAC，GAF15，在CGF中，C60，GFC90，CGF30，GFA15，GAFGFA，GAGF，DGBC，ADGB60，DAG是等边三角形，GAGD，GDG
18、F，矩形DEFG是正方形【点睛】（1）根据等边三角形的性质和平行四边形的判定证明即可；（2）根据等边三角形的判定和性质以及正方形的判定解答即可此题考查正方形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质以及正方形的判定解答典例3（2017秋南海区期末）如图，以ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG（1）求证：BDEBAC；（2）求证：四边形ADEG是平行四边形（3）直接回答下面两个问题，不必证明：当ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？当ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？【答案】见解析【解析】解析：（1）证明：四边形ABDI、四边形BCFE、四边形
19、ACHG都是正方形，ACAG，ABBD，BCBE，GACEBCDBA90ABCEBD（同为EBA的余角）在BDE和BAC中， BD=BADBE=ABCBE=BC，BDEBAC（SAS），（2）BDEBAC，DEACAG，BACBDEAD是正方形ABDI的对角线，BDABAD45EDABDEBDABDE45，DAG360GACBACBAD36090BAC45225BACEDA+DAGBDE45+225BAC180DEAG，四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）（3）当四边形ADEG是矩形时，DAG90则BAC360BADDAGGAC360459090135，即当BAC135时，平行四边
20、形ADEG是矩形；当四边形ADEG是正方形时，DAG90，且AGAD由知，当DAG90时，BAC135四边形ABDI是正方形，ADAB又四边形ACHG是正方形，ACAG，AC=2AB当BAC135且ACAB时，四边形ADEG是正方形【点睛】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得BDEBAC，（2）由BDEBAC，可得全等三角形的对应边DEAG然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知EDA+DAG180，易证EDGA；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；（3）根据“矩形的内角都是直角”易证DAG90然后由周角的定义求得BAC135；由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证DA
21、G90，且AGAD由ABDI和ACHG的性质证得，ACAB巩固练习1（2018春琼中县期末）如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CEAC，连接AE交CD于F，则AFC等于（）A112.5B120C135D145【答案】A【解析】解：四边形ABCD为正方形，ACD90，DCE90，又AC是正方形ABCD的对角线，ACF45，ACEDCE+ACF135，CECA，FACE=12（180135）22.5AFDFAC+ACF22.5+4567.5，AFC18067.5112.5，故选：A2（2018春花都区期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC1，CE3，H是
22、AF的中点，那么CH的长是（）ABCD2【答案】A【解析】解：连接AC、CF，如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，ACD45，FCG45，ACBC=2，CFCE32，ACF45+4590，在RtACF中，AF25，H是AF的中点，CHAF=5故选：A3（2018春济南期末）如图，P为边长为2的正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PEBC于点E，PFCD于点F，连接EF，给出以下4个结论：APEF；APEF；EF最短长度为3； 若BAP30时，则EF的长度为2其中结论正确的有（）ABCD【答案】B【解析】解：如图，连接PC，四边形ABCD为正方形，ABBC，ABPCBP45，
23、在ABP和CBP中，AB=CBABP=CBPBP=BPABPCBP（SAS），APPC，PEBC，PFCD，且FCE90，四边形PECF为矩形，PCEF，APEF，故正确；延长AP交BC于点G，由可得PCEPFEBAP，PEAB，EPGBAP，EPGPFE，EPF90，EPG+PEFPEG+PFE90，APEF，故正确；当APBD时，AP有最小值2，此时P为BD的中点，由可知EFAP，EF的最短长度为，故错误；当点P在点B或点D位置时，APAB2，EFAP2，当BAP30时，AP2，即EF的长度不可能为2，故错误；综上可知正确的结论为故选：B4（2018春苍南县期末）如图，点B在线段AC上，且
24、BC2AB，点D，E分别是AB，BC的中点，分别以AB，DE，BC为边，在线段AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）其面积分别记作S1，S2，S3，若S1+S315，则S2_【答案】6【解析】解：设DBx，则S1x2，S2x2x2x2，S32x2x4x2由题意得，S1+S315，即x2+4x215，解得x23，所以S22x26，故答案为：65（2018春丰台区期末）菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件，使得菱形ABCD成为正方形，这个条件可以是_（写出一种情况即可）【答案】ACBD（或ABC90）【解析】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：ACBD；
25、根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：ABC90；故添加的条件为：ACBD或ABC90故答案为ACBD（或ABC90）6（2018秋普宁市期末）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去第n个正方形的边长为_【答案】（2）n1【解析】解：四边形ABCD为正方形，ABBC1，B90，AC212+12，AC=2同理可得：AE（2）2，AG（2）3，第n个正方形的边长an（2）n1故答案为（2）n17（2018春惠山区期末）如图，正方形ABCD的边长为2，顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，则OD的最大值是_【答案】1
26、【解析】解：取AB的中点K，连接OK、DK根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OK1，再根据正方形的性质可得DK=22+12=5，OK+DKOD，当O、K、D三点共线时OD最长，OD的最大值为1，故答案为：1+58（2018春洛宁县期末）如图，在ABC中，ACB90，四边形ABDE、AGFC都是正方形求证：BGEC【答案】见解析【解析】证明：四边形ABDE，AGFC都是正方形，AEAB，ACAG，EABCAG90.EAC+CABEAB90，GAB+CAB90，EACBAG，在EAC和BAG中，AE=AB，EAC=BAG，AG=AC， EACBAG（SAS），BGCE9（2018春庆云县
27、期末）探究：如图，分别以ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P求证：ANCABE应用：Q是线段BC的中点，若BC6，则PQ的长度是多少？【答案】见解析【解析】证明：四边形ANMB和ACDE是正方形，ANAB，ACAE，NABCAE90，NACNAB+BAC，BAEBAC+CAE，NACBAE，在ANC和ABE中，ANANAB，NACBAE，ACAEANCABE（SAS），ANCABE解：如图所示：四边形NABM是正方形，NAB90，ANC+AON90，BOPAON，ANCABE，ABP+BOP90，BPCABP+BOP90，Q为BC中点，BC6，PQ
28、BC310（2018春徐州期末）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、AD、CD上，AB6，AE2，DGAE，BFEG，BF与EG交于点P（1）求证：BFEG；（2）连接DP，则DP的最小值为_【答案】见解析【解析】（1）证明：如图1，过点E作EMCD于M，交BF于点N，四边形ABCD是正方形，ABAD，ADDME90，四边形ADME是矩形，EMADAB，BFEG，RtBAFRtEMG（HL），ABFMEG，在RtBEN中，ABF+ENB90，MEG+ENB90，EPF90，BFEG；（2）如图2，取BE的中点O，连接OP、OD，EPB是直角三角形，OPBE，AB6，AE2，
29、BE624，OBOE2，ODOPDP，当O、P、D共线时，DP有最小值，如图3，PO=BE2=2，OD213，PD22，即DP的最小值为22；故答案为：22；11（2018春平定县期末）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PMAD，PNAB，垂足分别为点M和N，PEPB交AD于点E（1）求证：四边形MANP是正方形；（2）求证：EMBN【答案】见解析【解析】证明：（1）四边形ABCD是正方形，DAB90，AC平分DAB，PMAD，PNAB，PMAPNA90，四边形MANP是矩形，AC平分DAB，PMAD，PNAB，PMPN，（3分）四边形MANP是正方形；（2）四边形ABCD是
30、正方形，PMPN，MPN90，EPB90，MPE+EPNNPB+EPN90，MPENPB，在EPM和BPN中，EPMBPN（ASA），EMBN12（2018春秦淮区期末）如图，在矩形ABCD中，Q是BC的中点，P是AD上一点，连接PB、PC，E、F分别是PB、PC的中点，连接QE、QF（1）求证：四边形PEQF是平行四边形（2）当点P在什么位置时，四边形PEQF是菱形？证明你的结论；矩形ABCD的边AB和AD满足什么条件时，中的菱形PEQF是正方形？（直接写出结论，不需要说明理由）【答案】见解析【解析】解：（1）证明：在PBC中，E、F分别是PB、PC的中点，Q是BC的中点，QE、QF为PBC的中位线，QEPF，QFPE，四边形PEQF是平行四边形；（2）当点P为AD的中点时，四边形PEQF是菱形，理由是：当P为AD的中点时，APPD，由勾股定理得：PB，PC=CD2+PD2，四边形ABCD是矩形，ABCD，PBPC，E、F分别是PB、PC的中点，PEPF，由（1）知：四边形PEQF是平行四边形，四边形PEQF是菱形；矩形ABCD的边AB和AD满足AD2AB时，中的菱形PEQF是正方形，理由是：AD2AB，AD2AP，ABAP，ABP是等腰直角三角形，APB45，同理可得CPD45，EPF90，中的菱形PEQF是正方形
