1、专题01 二次根式及其乘除运算知识网络重难突破一、二次根式的定义及二次根式有意义的条件1次根式的定义：一般地，我们把形如a（a0）的式子叫做二次根式2二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义典例1 （2018春怀远县期末）在式子2，x2-2，x+3，3x2+1，-3x（x0）中，一定是二次根式的有（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】解：在所列式子中一定是二次根式的是2，-3x（x0）这2个，故选：B【点睛】理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围典例2 （2018春莱城区期末）
2、使代数式有意义的x的取值范围是_【答案】x-43且x0【解析】解：代数式有意义：则3x+40且x0，解得：x-43且x0故x的取值范围是：x-43且x0故答案为：x-43且x0二. 二次根式的性质与化简 二次根式的性质：（a）2=a（a0）；a=| a |=；ab=ab（a0，b0）；ab=ab（a0，b0）.总结：由定义可知，二次根式有意义的条件是：被开方数大于等于0；二次根式具有双重非负性（即被开方数大于等于0，二次根式的值大于等于0）.典例1.（2017秋宝丰县期末）把式子m-1m中根号外的m移到根号内得（）A-mB-mC-mD-m2【答案】C【解析】解：-1m0，m0，则原式=-m2(
3、-1m)=-m，故选：C【点睛】由-1m0知m0，据此知原式=-m2(-1m)，进一步化简可得此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键典例2 （2016秋成都期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简下列代数式的值a2-(c-a+b)2+|b+c|-3b3=_【答案】b 【解析】解：从数轴可知：ab0c，|c|a|b|，原式|a|ca+b|+|b+c|bac+ab+b+cbb，故答案为：b【点睛】根据数轴得出b0c，|c|a|b|，根据二次根式的性质得出|a|ca+b|+|b+c|b，去掉绝对值符号后合并即可本题考查了二次根式的性质，绝对值，数轴的应用，主要考
4、查学生的计算和化简能力典例3（2017秋崇川区期末）若式子4-4a+a2+a2-8a+16的值为2，那么a的取值范围是（）Aa4Ba2Ca2或a4D2a4【答案】D 【解析】解：原式=(2-a)2+(a-4)2|a2|+|a4|由题意可知：|a2|+|a4|2，当a2时，原式（a2）（a4）a+2a+42a+6，2a+62，a2，不符合条件，舍去，当a4时，原式（a2）+（a4）a2a42a6，2a62，a4，不符合条件，舍去，当2a4时，a20，a40，原式a2（a4）2，满足条件，故选：D【点睛】本题考查二次根式与绝对值，解题的关键是熟练运用二次根式与绝对值的性质，本题属于基础题型典例4（
5、2018春抚顺期末）观察下列各式：1+13=213，2+14=314；3+15=4，（1）请观察规律，并写出第个等式：_；（2）请用含n（n1）的式子写出你猜想的规律：_；（3）请证明（2）中的结论【答案】（1）4+16=516；（2）n+1n+2=（n+1）1n+2【解析】解：（1）4+16=516；（2）n+1n+2=（n+1）1n+2；（3）n+1n+2=n2+2nn+2+1n+2 =n2+2n+1n+2 =(n+1)2n+2 （n+1）1n+2故答案为：（1）4+16=516；（2）n+1n+2=（n+1）1n+2【点睛】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第个等式；
6、（2）根据规律写出含n的式子即可；（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律进行求解即可三. 最简二次根式最简二次根式满足的条件：被开方数不含分母；被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.典例1（2018春天津期末）下列二次根式1.2；5x+y；4a3；x2-4；15；28其中，是最简二次根式的有（）A2个B3个C4个D5个【答案】B【解析】解：1.2=305，4a3=12a3，28=27 5x+y、x2-4、15是最简二次根式，故选：B【点睛】解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型
7、典例2（2018春番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式:（1）3100；（2）32；（3）4x33.【答案】见解析【解析】解：（1）3100=310；（2）32=42；（3）4x33=2xx3=2x3x3【点睛】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案四. 二次根式的乘除积的算术平方根性质：ab=ab(a0,b0).二次根式的乘法法则：ab=ab(a0,b0).商的算术平方根的性质：ab=ab(a0,b0).二次根式的除法法则：ab=ab(a0,b0).典例1（2018春全椒县期末
8、）计算：2123432【答案】见解析【解析】解：原式（23413）122，=126【点睛】根据二次根式的乘除法法则，系数相乘除，被开方数相乘除，根指数不变五. 分母有理化1分母有理化是指把分母中的根号化去2分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化简成最简二次根式或有理式3分母有理化的2种常见方式：1a=1aaa=；1a+b=1（a-b）（a+b）（a-b）=a-ba-b（1a-b=1（a+b）（a-b）（a+b）=a+ba-b）.典例1（2018春全椒县期末）在进行二次根式的运算时，如遇到23+1这样的式子，还
9、需做进一步的化简：23+1=2(3-1)(3+1)(3-1)=2(3-1)(3)2-12=2(3-1)3-1=3-1还可以用以下方法化简：23+1=3-13+1=(3)2-123+1=(3+1)(3-1)3+1=3-1这种化去分母中根号的运算叫分母有理化分别用上述两种方法化简：25-3【答案】见解析【解析】解：25-3=2(5+3)(5-3)(5+3)=2(5+3)(5)2-(3)2=2(5+3)2=5+3；或：25-3=5-35-3=(5)2-(3)25-3=(5+3)(5-3)5-3=5+3【点睛】本题考查的是分母有理化，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公
10、式典例2（2018春张家港市期末）已知a=3+2，b=3-2（1）求a2b2的值；（2）求ba+ab的值【答案】见解析【解析】解：（1）a=3+2，b=3-2，a+b=3+2+3-2=2，ab22，a2b2（a+b）（ab）2322=46；（2）a=3+2，b=3-2，ab（3+2）（3-2）321，则原式=b2+a2ab=(a+b)2-2abab =(23)2-211 10【点睛】（1）先计算出a+b、ab的值，再代入a2b2（a+b）（ab）计算可得；（2）先计算ab的值，再代入原式计算可得解题的关键是掌握分式与二次根式的运算法则及完全平方公式、平方差公式巩固练习1（2018春阆中市期末）
11、下列的式子一定是二次根式的是（）A-x-2BxCx2+2Dx2-2【答案】C【解析】解：A、当x0时，x20，-x-2无意义，故本选项错误；B、当x1时，x无意义；故本选项错误；C、x2+22，x2+2符合二次根式的定义；故本选项正确；D、当x1时，x2210，x2-2无意义；故本选项错误；故选：C【点睛】本题考查了二次根式的定义一般形如a（a0）的代数式叫做二次根式当a0时，a表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）2（2017秋遂平县期末）式子-2x+1x+1有意义的x的取值范围是（）Ax12Bx1Cx12且x1Dx12且x1【答案】C【
12、解析】解：由题意得，2x+10且x+10，解得x12且x1故选：C【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义3（2018秋南开区期末）若a3+3a2=-aa+3，则a的取值范围是（）A3a0Ba0Ca0Da3【答案】A【解析】解：由题意得，a0，a+30，解得，a0，a3，则a的取值范围是3a0，故选：A【点睛】本题考查的是二次根式的性质和化简，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键4（2016春文安县期末）二次根式12、12、30、40x2、x2+y2中，最简二次根式有（）个A1B2C3D4【答案】C【解析】解：二次根式12、30、x+2
13、、40x2、x2+y2中，最简二次根式有30、x+2、x2+y2故选：C【点睛】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式5（2018春岑溪市期末）计算183443结果为（）A32B42C52D62【答案】B【解析】解：原式=184343=32=42，故选：B【点睛】本题主要考查对二次根式的乘除法，二次根式的性质，最简二次根式等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算和化简是解此题的关键6（2018春梁子湖区期末）在日常生活中，取款、上网都要密码为了保密，有人发明了“二次根式法”来产生密码，如对
14、于二次根式169，计算结果为13，中间加一个数字0，于是就得到一个六位数的密码“169013”，对于二次根式0.25，用上述方法产生的六位数密码是_【答案】025005【解析】解：0.25=0.5，产生的六位数密码是025005故答案为：025005【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知算术平方根的意义是解答此题的关键7（2018春静安区期末）化简12+1=_【答案】2-1【解析】解：12+1=2-1(2+1)(2-1)=2-1，故答案为：2-1【点睛】本题考查了分母有理化，利用二次根式的乘法8（2018春罗平县期末）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|-(a+c)2+
15、(c-a)2-b2【答案】见解析【解析】解：如图所示：a0，a+c0，ca0，b0，则原式a+a+c（ca）bab【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各部分符号是解题关键9（2018春岱岳区期末）已知x2，y=5-2（1）求代数式的值；（2）求x2+y2+7的平方根【答案】见解析【解析】解：（1）x2-2xy+y2x2-y2=(x-y)2(x+y)(x-y)=x-yx+y 原式=5+2-5+25+2+5-2 =425=255；（2）原式（x+y）22xy+7x=5+2，y=5-2原式（5+2+5-2）22（5+2）（5-2）+7（25）22（54）+725，x2+y2+7的平方根为5【点睛】本题考查了分式的化简求值、代数式的变形和平方根及二次根式的混合运算先约分再代入能使（1）简便，恒等变形后代入求值能使（2）简便
