1、类似地，沿类似地，沿-x方向的粒子流方向的粒子流因为粒子密度不均匀，所以有净粒子流因为粒子密度不均匀，所以有净粒子流 n设设 随随x变化缓慢，对变化缓慢，对x展开，只保留一级小展开，只保留一级小量项，量项，代入，经简单计算得代入，经简单计算得 00112xlxn x dx 000012xxlxlxn x dxn x dx n x 000 xnn xn xxxx 22ln xD n x 式中式中由于粒子运动速度分布近似服从麦克斯韦分布，由于粒子运动速度分布近似服从麦克斯韦分布，对麦克斯韦速度分布求平均后得对麦克斯韦速度分布求平均后得应用于等离子体，则扩散系数应用于等离子体，则扩散系数以上讨论的是
2、无磁场时的扩散系数以上讨论的是无磁场时的扩散系数。n当有磁场存在时，平行磁场方向的输运系数与无当有磁场存在时，平行磁场方向的输运系数与无磁场时相同。但在垂直磁场方向情况就不相同。磁场时相同。但在垂直磁场方向情况就不相同。222/2/2/2Dlvv22/T mv2/2/DT mv/DTm1/,i e 垂直磁场方向碰撞平均自由程与无磁场时完全不垂直磁场方向碰撞平均自由程与无磁场时完全不同。因为无磁场时两次碰撞间粒子运动是直线运同。因为无磁场时两次碰撞间粒子运动是直线运动，有磁场时，则是绕磁力线的回旋运动。无碰动，有磁场时，则是绕磁力线的回旋运动。无碰撞时回旋中心无横向位移，只有发生碰撞时，回撞时回
3、旋中心无横向位移，只有发生碰撞时，回旋中心才会从一根磁力线跳到另一跟磁力线上，旋中心才会从一根磁力线跳到另一跟磁力线上，如图所示。如图所示。（a）经碰撞，偏转）经碰撞，偏转180o，这时回旋这时回旋中心位移最大中心位移最大一般情况如（一般情况如（b），），回旋中心位移，回旋中心位移，平均讲，一次碰撞回旋中心横向移动近似为平均讲，一次碰撞回旋中心横向移动近似为 2coor2coor/ccrmq Bvv 现在用现在用 代替式中的平均自由程代替式中的平均自由程l，则横向扩散，则横向扩散系数系数 上式就是垂直磁场（横向）扩散系数，上式就是垂直磁场（横向）扩散系数，就是就是上面已给出的无磁场时的扩散系数
4、。一般在磁约上面已给出的无磁场时的扩散系数。一般在磁约束等离子体中，束等离子体中，所以有磁场时横向扩，所以有磁场时横向扩散系数比无磁场时小很多。必须指出，当取磁场散系数比无磁场时小很多。必须指出，当取磁场 时，时，不能回到无磁场时的结果，显然，这不能回到无磁场时的结果，显然，这是不合理的。是不合理的。222211222cccrD vv2/2Dv21cDD D1c 0B cr如果将式子改写为如果将式子改写为因为因为 ，这样，这样改写对改写对 无多大影响，无多大影响，但但当当 时，时，这样结果就合理了。这样结果就合理了。n下面从输运方程出发计算横向扩散系数，就可得下面从输运方程出发计算横向扩散系数
5、，就可得到这种合理的结果。到这种合理的结果。211cDD D0B DD1c 2.横越磁场扩散横越磁场扩散（1）扩散方程）扩散方程 当流体元无整体平均运动，而且又无外电场，只当流体元无整体平均运动，而且又无外电场，只是存在粒子数密度空间不均匀，则会引起粒子流。是存在粒子数密度空间不均匀，则会引起粒子流。根据动量输运方程根据动量输运方程 对于稳态情况对于稳态情况 ，并假定温度，并假定温度 为常量，为常量，则则 ，式中摩擦阻力，式中摩擦阻力 ，于是由于是由输运方程输运方程式可以得到粒子流式可以得到粒子流 0ddtuTdm npn qdt uuBRpTnRu,nttDnt rurr 代入连续性方程代入
6、连续性方程得得当当 近似地与近似地与r无关时，上式化为无关时，上式化为 这就是扩散方程，这就是扩散方程，为扩散系数，它可以从输为扩散系数，它可以从输运方程求解得到。运方程求解得到。0nnt u,nDnttrD2nDnt D（2 2）平行磁场方向扩散）平行磁场方向扩散 假定假定 ，为常量，则平行磁场方向动量为常量，则平行磁场方向动量输输运方程运方程 利用利用 得得 平行磁场方向扩散粒子流平行磁场方向扩散粒子流 平行磁场方向的扩散系数，结果与前面的式平行磁场方向的扩散系数，结果与前面的式子相同，子相同，因因0.51的修正因子，式中多了的修正因子，式中多了“2”因子。因子。0ddtuT0pR pTn
7、0.51m nRu2Tnn m u 2TnnDnm u 2TDmD（3）垂直磁场方向的扩散）垂直磁场方向的扩散 由稳态的由稳态的动量动量输运方程（垂直分量）输运方程（垂直分量）设设 ，=常量，常量，则输运方程则输运方程沿两个方向分量为沿两个方向分量为方程组中消去方程组中消去 ，得，得 ，则，则 0pquB+R zBBe pnx TTRm nu 00yxxynTq uBm nuxq u Bm nuyuxu 2211xxcnxTnx umx 即即式中式中 为垂直磁场方向的扩散系数为垂直磁场方向的扩散系数 一般一般 ，表明有了磁场，横向扩散系数大大减小了。横越表明有了磁场，横向扩散系数大大减小了。横
8、越磁场扩散系数与磁场的平方成反比。式中最后一磁场扩散系数与磁场的平方成反比。式中最后一个等式有个等式有1/2因子，是由修正因子因子，是由修正因子“0.51”引起的。引起的。上式表明，当磁场上式表明，当磁场 时，可以还原到无磁场时，可以还原到无磁场的结果。的结果。n关于横越磁场扩散，在第关于横越磁场扩散，在第4章章4.5节做过计算和讨节做过计算和讨论，其结果是类似的。在论，其结果是类似的。在4.5节是用（单）磁流节是用（单）磁流体模型，而这里是用双流体模型。体模型，而这里是用双流体模型。Dn r 222211121ccDTDm D1c DD0B 3.同类粒子碰撞不会引起横越磁场扩散同类粒子碰撞不
9、会引起横越磁场扩散 因为扩散粒子流因为扩散粒子流 ，实际上也就是动量流，实际上也就是动量流 ，由于同类粒子弹性碰撞动量是守恒的，由于同类粒子弹性碰撞动量是守恒的，不会改变其粒子的动量流，因而不引起横向磁场不会改变其粒子的动量流，因而不引起横向磁场扩散。扩散。下面考察两个同类粒子的碰撞，如图：下面考察两个同类粒子的碰撞，如图：设在设在A点相碰，点相碰，和和 为碰撞前后两粒子的为碰撞前后两粒子的 回旋半径，回旋半径，和和 为为 碰撞前后两粒子的动量，碰撞前后两粒子的动量，因为回旋半径因为回旋半径 nu m nu12r,r12 r,r12p,p12p,p/crmqBv211/qBrpB222/qBr
10、pB碰撞前碰撞前碰撞后碰撞后动量守恒动量守恒则得则得n结果表明结果表明，碰撞后二粒子的，碰撞后二粒子的回旋中心位置回旋中心位置 、,回旋半径回旋半径 、无论怎么发生变化，无论怎么发生变化，但但是是 是不变的！是不变的！这意味着这意味着碰撞前后回旋中心连线的中点碰撞前后回旋中心连线的中点M是固定是固定不动的，因此不引起横越磁场扩散。由此可见，不动的，因此不引起横越磁场扩散。由此可见，横越磁场扩散是由不同类粒子碰撞引起的。横越磁场扩散是由不同类粒子碰撞引起的。21212/qBAArrppB21212/qBrrppB1212pppp1212AArrrr1O2O1r2 r1212AArrrr4.双极扩
11、散双极扩散 密度不均匀引起的扩散，其扩散系数与碰撞频率密度不均匀引起的扩散，其扩散系数与碰撞频率有密切关系。由于离子、电子质量差别很大，相有密切关系。由于离子、电子质量差别很大，相应的碰撞频率也相差很大。因而电子和离子在无应的碰撞频率也相差很大。因而电子和离子在无磁场时或有外磁场时的平行磁场方向或垂直磁场磁场时或有外磁场时的平行磁场方向或垂直磁场方向的扩散系数相差很远。因此当等离子体中出方向的扩散系数相差很远。因此当等离子体中出现密度梯度时，就会有一种粒子扩散速度快（粒现密度梯度时，就会有一种粒子扩散速度快（粒子流大）、另一种粒子扩散速度慢（粒子流小），子流大）、另一种粒子扩散速度慢（粒子流小
12、），使原来准电中性的等离子体引起电荷分离，出现使原来准电中性的等离子体引起电荷分离，出现电场，这种电场也会引起粒子的输运（称迁移），电场，这种电场也会引起粒子的输运（称迁移），其效果是使原来扩散快的粒子速度减慢，扩散慢其效果是使原来扩散快的粒子速度减慢，扩散慢的粒子速度加快，达到准稳态时这两种粒子流速的粒子速度加快，达到准稳态时这两种粒子流速度相等。这种扩散称度相等。这种扩散称双极扩散，它是密度梯度扩双极扩散，它是密度梯度扩散与电场迁移产生的总的效果。散与电场迁移产生的总的效果。相应的电场称双相应的电场称双极电场，而等效的扩散系数称双极扩散系数。极电场，而等效的扩散系数称双极扩散系数。离子和电
13、子的扩散系数之比（设离子和电子的扩散系数之比（设 ）为）为 结果说明结果说明：在平行磁场方向电子扩散系数比离子：在平行磁场方向电子扩散系数比离子的快得多，而在垂直磁场方向电子的扩散系数比的快得多，而在垂直磁场方向电子的扩散系数比离子的慢得多。这样等离子体会引起电荷分离，离子的慢得多。这样等离子体会引起电荷分离，出现电场，因此就会出现前面分析的双极扩散。出现电场，因此就会出现前面分析的双极扩散。可以证明，双极扩散方程为可以证明，双极扩散方程为 式中式中 为双极扩散系数。为双极扩散系数。ieTT1eiiiieeeDmmDmm2221eeeciieieiiceeiieiDDDmmDDDmm Dn 双
14、双 D双2TDm/eieimmn用输运方程研究双极扩散问题。稳态的输运方程用输运方程研究双极扩散问题。稳态的输运方程 式中式中 是由等离子体空间电荷产生的是由等离子体空间电荷产生的，摩擦力摩擦力 设设 ，则稳态的输运方程可写为则稳态的输运方程可写为 0dm npn qdt uEuBR Em n RuuzBBexEEeTTTxxpnpTxxee 0yxxypn q En q uBRxn q u BR 由此解得由此解得 第第2式，是忽略了高级小量项式，是忽略了高级小量项 后得到的，因后得到的，因为此项多个因子为此项多个因子 。由此得。由此得 2111yxxxpun q Em nuun q Bxpm
15、puq Bn qxn qx 2/1cxxnnn qn uDxn qx 221cTDm/cq B mn现在分别讨论几种情况：现在分别讨论几种情况：（1 1）同类粒子同类粒子碰撞，即碰撞，即 ，说明同类粒子碰撞不引起横越磁场扩散，现在从说明同类粒子碰撞不引起横越磁场扩散，现在从输运方程证明了前面论述过的结论。输运方程证明了前面论述过的结论。（2）不同类粒子不同类粒子碰撞，令碰撞，令=p（质子），（质子），=e（电（电子），假定子），假定 ，因为因为 则得则得 0 xpennnpennnxxx/eppepemm221/epeexpxpemeTnuuTTe B nx expxexnnuDx 双221/
16、eepepemTDTTe B双n结果与第结果与第4章用磁单流体力学得到的章用磁单流体力学得到的（4.4.16）式式扩散系数扩散系数 相同相同。现在现在 、给出的横越磁场扩散系数，那里没考虑等给出的横越磁场扩散系数，那里没考虑等离子体空间电荷产生的电场作用。离子体空间电荷产生的电场作用。现在结果表明现在结果表明，垂直磁场方向电子、离子是以相，垂直磁场方向电子、离子是以相同的速度向同的速度向 方向扩散，称双极扩散；双极方向扩散，称双极扩散；双极扩散系数不依赖于电场强度，而且比扩散系数不依赖于电场强度，而且比 大一倍，大一倍，但比但比 小很多，即原先扩散很慢的电子，现在小很多，即原先扩散很慢的电子，
17、现在稍微加快了，为原来的两倍，而原先扩散很快的稍微加快了，为原来的两倍，而原先扩散很快的离子，现在减慢了很多，最终电子、离子扩散速离子，现在减慢了很多，最终电子、离子扩散速度一致，粒子流相同，度一致，粒子流相同，双极扩散系数主要取决于双极扩散系数主要取决于扩散较慢的粒子成分。扩散较慢的粒子成分。D212eepeepceepTDDDm 双eDpDn eDpD6.8 环形磁场的新经典扩散环形磁场的新经典扩散 n前面讨论的输运过程理论，通常称为前面讨论的输运过程理论，通常称为经典理论经典理论，它的，它的基础是碰撞十分频繁，碰撞频率远大于其它特征频率，基础是碰撞十分频繁，碰撞频率远大于其它特征频率，平
18、均自由程远小于系统内的其它特征长度，因而可以平均自由程远小于系统内的其它特征长度，因而可以应用磁流体力学方法处理等离子体中的输运过程。应用磁流体力学方法处理等离子体中的输运过程。n经典输运理论可以解释一些等离子体中的输运现象，经典输运理论可以解释一些等离子体中的输运现象，但在热核等离子体中，如环形的磁场装置，但在热核等离子体中，如环形的磁场装置，经典理论经典理论与实验结果相差甚远与实验结果相差甚远，经典理论的输运系数比实验测，经典理论的输运系数比实验测量结果要小几个量级。其主要原因是在环形装置中粒量结果要小几个量级。其主要原因是在环形装置中粒子运动轨道对输运系数有很大影响，因此子运动轨道对输运
19、系数有很大影响，因此输运理论必输运理论必需考虑粒子运动轨道的特征需考虑粒子运动轨道的特征。这种考虑了等离子体环。这种考虑了等离子体环形效应的经典输运理论称形效应的经典输运理论称新经典输运理论新经典输运理论。第第4 4章用磁流体力学得到的扩散系数和上节应用章用磁流体力学得到的扩散系数和上节应用双流体力学方程得到的双极扩散系数完全相同双流体力学方程得到的双极扩散系数完全相同:现在称现在称 为为经典扩散系数经典扩散系数，其中，其中 为电子特为电子特征热速度，征热速度，就是特征热速度相应的电子回旋就是特征热速度相应的电子回旋半径。半径。经典扩散系数可以解释为经典扩散系数可以解释为：电子每经历一：电子每
20、经历一次碰撞在垂直磁场方向无规地移动一个电子回旋次碰撞在垂直磁场方向无规地移动一个电子回旋半径，而扩散系数就是单位时间内碰撞（碰撞频半径，而扩散系数就是单位时间内碰撞（碰撞频率）产生的无规移动平方平均值的总和。率）产生的无规移动平方平均值的总和。221/1/eeieiecliemTDT TDT Te B222eeieclteeim eTDre BclD/tetecerv/teeeTmvtevtern经典扩散系数公式都只是适用于平直磁场情况。经典扩散系数公式都只是适用于平直磁场情况。对于环形磁场系统，应当考虑粒子运动轨道的影对于环形磁场系统，应当考虑粒子运动轨道的影响。响。n托卡马克装置中粒子的
21、轨道运动。由于环向磁场托卡马克装置中粒子的轨道运动。由于环向磁场 的不均匀性和磁力线旋转变换，在环的外侧磁场的不均匀性和磁力线旋转变换，在环的外侧磁场较弱，环的内侧磁场较强，因此在磁面上沿一根较弱，环的内侧磁场较强，因此在磁面上沿一根磁力线运行的粒子感受到磁场强弱变化，相当于磁力线运行的粒子感受到磁场强弱变化，相当于磁镜场结构。当粒子的初始速度平行分量和垂直磁镜场结构。当粒子的初始速度平行分量和垂直分量比值较大时，这种磁场强弱变化不影响粒子分量比值较大时，这种磁场强弱变化不影响粒子的的“通行通行”，可以在整个环形等离子体中运动，可以在整个环形等离子体中运动，称称通行粒子通行粒子或环形粒子。但当
22、较小时，就会出现或环形粒子。但当较小时，就会出现粒子由外侧到内侧运动时被强磁场区域反射，被粒子由外侧到内侧运动时被强磁场区域反射，被捕获在磁场较弱的磁阱中，称这种粒子为捕获在磁场较弱的磁阱中，称这种粒子为捕获粒捕获粒子子。01cosBB0/1r Rn根据磁矩守恒，可得到划分这根据磁矩守恒，可得到划分这两类粒子的界线两类粒子的界线。n设在外侧设在外侧 粒子的初始速度为粒子的初始速度为v，平行分量平行分量v、垂直分量、垂直分量v 到内侧到内侧 粒子速度为粒子速度为v，平行分量平行分量v=0，垂直分量垂直分量v=v 即全部速度都是垂直分量。即全部速度都是垂直分量。n磁矩守恒磁矩守恒因因 ，由此得由此
23、得通行粒子：通行粒子：捕获粒子：捕获粒子：001BB01BB2222111vvvv1/2vv/2vv/2vvcot2cccn如果在速度空间粒子分布是各向同性的，则捕获如果在速度空间粒子分布是各向同性的，则捕获粒子所占的比例粒子所占的比例 因此捕获粒子所占的比例是很小的。若因此捕获粒子所占的比例是很小的。若n0 为粒子为粒子数密度，则捕获粒子密度数密度，则捕获粒子密度 。n两类粒子运动轨道特性两类粒子运动轨道特性 /2/20sin/sin21cbddd 02bnnn设由磁面上设由磁面上A点出发的通行粒子，由于磁力线曲点出发的通行粒子，由于磁力线曲率和梯度引起漂移，当率和梯度引起漂移，当v0 时，
24、粒子的导向中时，粒子的导向中心沿磁面内的一个小圆形漂移面运动，当心沿磁面内的一个小圆形漂移面运动，当v0时，则沿磁面外的一个大圆时，则沿磁面外的一个大圆漂移面运动，小圆漂漂移面运动，小圆漂移面中心向外侧移动，大圆漂移面中心向内侧移移面中心向外侧移动，大圆漂移面中心向内侧移动动n从磁面上从磁面上A点出发的捕获粒子，其导向中心轨道点出发的捕获粒子，其导向中心轨道是一个香蕉形，是一个香蕉形，v0时，粒子的导向中心轨道时，粒子的导向中心轨道是沿磁面内的小香蕉，是沿磁面内的小香蕉，v0时，时，是沿磁面外的是沿磁面外的大香蕉，大小香蕉的半宽度大致相等，可近似地大香蕉，大小香蕉的半宽度大致相等，可近似地取为
25、取为 crqr 2/q/bcrqrn根据根据经典扩散系数经典扩散系数公式，公式，粒子经历粒子经历1 1次碰撞平均无规移动次碰撞平均无规移动 现在考虑粒子运动轨道影响，即现在考虑粒子运动轨道影响，即新经典扩散新经典扩散，通行粒子平均无规移动是通行粒子平均无规移动是 捕获粒子平均无规移动是捕获粒子平均无规移动是 由于扩散系数是与平均无规移动的平方成正比，由于扩散系数是与平均无规移动的平方成正比，应该应该用新的平均无规移动来代替用新的平均无规移动来代替，因而粒子运动，因而粒子运动轨道对扩散有很大影响，而且扩散系数与碰撞频轨道对扩散有很大影响，而且扩散系数与碰撞频率也有密切关系。率也有密切关系。n现在
26、考察这两类粒子的特征频率现在考察这两类粒子的特征频率 （i）通行粒子特征频率）通行粒子特征频率 cxr crqr/bcrqr（i）通行粒子特征频率）通行粒子特征频率 通行粒子绕小圆环一周时在大环上走过的距离通行粒子绕小圆环一周时在大环上走过的距离 是旋转变换角。是旋转变换角。粒子沿磁力线的速度为粒子沿磁力线的速度为 ，所以通行粒子绕小环一，所以通行粒子绕小环一周所需的时间周所需的时间 因为通行粒子的因为通行粒子的 较大，粒子沿磁力线运动时较大，粒子沿磁力线运动时变化不大，上式变化不大，上式 可用特征热速度可用特征热速度 代替。因代替。因此通行粒子绕小环的周期和频率分别为此通行粒子绕小环的周期和
27、频率分别为 式中式中 、为通行粒子的特征时间与特征频率。为通行粒子的特征时间与特征频率。2/LRqR2/q v/LqRvvvvtv/pqRtv1/ppqRtvpp（ii）捕获粒子特征频率）捕获粒子特征频率 捕获粒子绕香蕉轨道一周所需的时间捕获粒子绕香蕉轨道一周所需的时间 但是捕获粒子的但是捕获粒子的 较小，而且在香蕉轨道一周较小，而且在香蕉轨道一周内内 变化很大，它应作为变量，而且在反射点变化很大，它应作为变量，而且在反射点 ，所以上式中，所以上式中 应该用香蕉轨道一周上应该用香蕉轨道一周上的平均值的平均值 代替。即代替。即绕香蕉轨道一周的平均时间绕香蕉轨道一周的平均时间 捕获粒子满足条件捕获
28、粒子满足条件 由此估计由此估计n捕获粒子特征时间捕获粒子特征时间 与与 相比相比 /bqRvvv0vvv/bqRv2vvtvvvv（因为）（因为）/btqRvp/1/1bpbpn表明，捕获粒子绕一个完整的香蕉轨道所需的时表明，捕获粒子绕一个完整的香蕉轨道所需的时间比环行粒子绕小环一周的时间要长。现在定义间比环行粒子绕小环一周的时间要长。现在定义捕获粒子有效碰撞时间和有效碰撞频率。捕获粒子有效碰撞时间和有效碰撞频率。n有效碰撞时间为捕获粒子在香蕉轨道中经历碰撞有效碰撞时间为捕获粒子在香蕉轨道中经历碰撞而破坏了原有捕获条件的时间，即图中捕获粒子而破坏了原有捕获条件的时间，即图中捕获粒子 偏转角改变
29、偏转角改变 、使、使 所需的时间，而不是电子碰撞使所需的时间，而不是电子碰撞使 在速度空间偏在速度空间偏转转 、需要的时间需要的时间 因此因此 有效碰撞频率有效碰撞频率22/vv/221ei/effei1/1/effeffeieiv vv vn有效碰撞频率实际就是捕获粒子逃脱一个香蕉轨有效碰撞频率实际就是捕获粒子逃脱一个香蕉轨道而跳到另一香蕉轨道的频率。道而跳到另一香蕉轨道的频率。n为使一个捕获粒子能够完成一个香蕉轨道的运动，为使一个捕获粒子能够完成一个香蕉轨道的运动，有效碰撞时间有效碰撞时间 有效碰撞频率有效碰撞频率 利用利用 ，上式条件变为，上式条件变为 为为捕获粒子的特征频率捕获粒子的特
30、征频率，其意义是当电子碰，其意义是当电子碰撞频率撞频率 时，捕获粒子至少可以完成一个时，捕获粒子至少可以完成一个完整的香蕉轨道运动。完整的香蕉轨道运动。effb1/1/effeffbtqRv3/23/2/btpqRveib3/2/eitbqRvbeib/effein根据以上两类粒子的特征频率根据以上两类粒子的特征频率 和，和，而且而且 ，可以把电子碰撞频率分为三个区域：，可以把电子碰撞频率分为三个区域：（i）称称流体区流体区 在流体区，碰撞频繁，磁流体力学方法可以适用。在流体区，碰撞频繁，磁流体力学方法可以适用。在这个区域，只有饶小环形的通行粒子可以存在，在这个区域，只有饶小环形的通行粒子可以
31、存在，而绕大一点环形的通行粒子和捕获粒子都完不成而绕大一点环形的通行粒子和捕获粒子都完不成一个闭合的轨道就被碰撞离开原有的环形或香蕉一个闭合的轨道就被碰撞离开原有的环形或香蕉轨道。这部分粒子的扩散仍可用经典扩散公式，轨道。这部分粒子的扩散仍可用经典扩散公式，但仍有大量绕小环形粒子存在，其扩散系数应考但仍有大量绕小环形粒子存在，其扩散系数应考虑轨道效应。因此经典扩散系数公式中的电子回虑轨道效应。因此经典扩散系数公式中的电子回旋半径旋半径 （电子特征热速度相应的值）应改用（电子特征热速度相应的值）应改用 bppbeipterterqr 即即新经典扩散系数新经典扩散系数 由于在这个区域还有大量粒子，
32、在碰撞时间内没由于在这个区域还有大量粒子，在碰撞时间内没有完成任何闭合轨道，应考虑这部分粒子的经典有完成任何闭合轨道，应考虑这部分粒子的经典扩散的贡献，所以在流体区的总扩散系数应为部扩散的贡献，所以在流体区的总扩散系数应为部分新经典扩散公式和部分经典扩散公式相加，即分新经典扩散公式和部分经典扩散公式相加，即 上式称斐斯上式称斐斯-舒鲁特（舒鲁特（Pfirsch-Schluter）扩散系）扩散系数。这个公式可以直接由磁流体力学方程导出。数。这个公式可以直接由磁流体力学方程导出。因此上式结果比经典扩散的公式增加了因此上式结果比经典扩散的公式增加了 因子。如果设因子。如果设 ，则扩散系数增加了，则扩
33、散系数增加了1个量级。个量级。22.p seiteeiDrqr 22.(1)p steeiDqr21q3q（ii）,称称香蕉区香蕉区 在这个区域电子碰撞频率很低，捕获粒子有足够在这个区域电子碰撞频率很低，捕获粒子有足够时间完成整个香蕉轨道运动。因为每一次有效碰时间完成整个香蕉轨道运动。因为每一次有效碰撞无规移动撞无规移动 ，有效碰撞频率，有效碰撞频率 还应考虑捕获粒子在总粒子数密度中占的比例还应考虑捕获粒子在总粒子数密度中占的比例 根据根据经典扩散系数公式经典扩散系数公式，捕获粒子扩散系数，捕获粒子扩散系数 上式与碰撞频率很大时的流体区新经典扩散系数上式与碰撞频率很大时的流体区新经典扩散系数相
34、比，增加了因子相比，增加了因子 ，对大部分约束区，对大部分约束区域域 。因此，尽管捕获粒子占的比例很。因此，尽管捕获粒子占的比例很小，但它比经典扩散系数大了小，但它比经典扩散系数大了2个量级。通行粒子个量级。通行粒子的新经典扩散虽然比经典情况大的新经典扩散虽然比经典情况大1个量级，但还比个量级，但还比捕获粒子的新经典扩散小捕获粒子的新经典扩散小1个量级，个量级，eib/Tterqr/effei223/22.G STeffteeiDrqr3/23/2(/)R r23/2100qn所以在托卡马克装置中，研究微观不稳定性的作所以在托卡马克装置中，研究微观不稳定性的作用机制时，捕获粒子效应往往是起决定
35、性作用。用机制时，捕获粒子效应往往是起决定性作用。（iii），称过渡区，也称，称过渡区，也称平台区平台区。在这个区域电子不能完成香蕉轨道，上面简单的在这个区域电子不能完成香蕉轨道，上面简单的处理方法不适用，而且磁流体力学方法也不适用。处理方法不适用，而且磁流体力学方法也不适用。严格讲，香蕉区和平台区的输运过程都应该从动严格讲，香蕉区和平台区的输运过程都应该从动理学方程出发来研究，得到过渡区的扩散系数理学方程出发来研究，得到过渡区的扩散系数 在这个区域扩散系数与电子碰撞频率无关，平台在这个区域扩散系数与电子碰撞频率无关，平台区就是由此而得名。流体区的公式，当取，时和区就是由此而得名。流体区的公式
36、，当取，时和香蕉区公式，当取时的扩散系数与香蕉区公式，当取时的扩散系数与平台区公式平台区公式相相等。等。beip22ptepDq rbeipn三个区域扩散系数随电子碰撞频率的关系如图所示。三个区域扩散系数随电子碰撞频率的关系如图所示。这就是托卡马克系统中的新经典扩散系数的结果。这就是托卡马克系统中的新经典扩散系数的结果。n在过渡区，扩散系数曲线为平台型，在物理上可做在过渡区，扩散系数曲线为平台型，在物理上可做些定性说明些定性说明:首先在平台区两端分界点首先在平台区两端分界点 和和 扩散扩散系数相等，这为平台区形成的前提。系数相等，这为平台区形成的前提。eibeip香蕉区香蕉区流体区流体区平台区
37、平台区n从下端分界点从下端分界点 开始，随电子碰撞频率开始，随电子碰撞频率 逐渐逐渐增加，相应的捕获粒子的有效碰撞频率增加，相应的捕获粒子的有效碰撞频率 也相应增加，这个因素使扩散系数增大，但也相应增加，这个因素使扩散系数增大，但 的增加，最初使许多大香蕉粒子完不成香蕉轨道的增加，最初使许多大香蕉粒子完不成香蕉轨道运动，频率再增高，中香蕉粒子、小香蕉粒子也运动，频率再增高，中香蕉粒子、小香蕉粒子也相继消失，这样香蕉粒子效应逐渐减弱以致完全相继消失，这样香蕉粒子效应逐渐减弱以致完全消失，使扩散系数逐渐减小。这消失，使扩散系数逐渐减小。这两种因素的消长两种因素的消长相抵，大体保持扩散系数不随电子碰
38、撞频率变化相抵，大体保持扩散系数不随电子碰撞频率变化。bei/effeieff22.p seiteeiDrqr 223/22.G STeffteeiDrqr3/2eibpeipn从上端分界点从上端分界点 开始，随开始，随 减小，扩散系数也减小，扩散系数也相应减小，但绕环形的通行粒子数量不断增加，相应减小，但绕环形的通行粒子数量不断增加，开始是绕小环形的增加，后来绕中环形的、大环开始是绕小环形的增加，后来绕中环形的、大环形的通行粒子相继出现，数量也不断增长，于是形的通行粒子相继出现，数量也不断增长，于是绕环形的通行粒子效应增强使扩散系数增大绕环形的通行粒子效应增强使扩散系数增大。同同样，这两种因
39、素消长相抵，基本上保持扩散系数样，这两种因素消长相抵，基本上保持扩散系数为常量。因此在过渡区，扩散系数出现平台型曲为常量。因此在过渡区，扩散系数出现平台型曲线。线。pei6.9动理学方程动理学方程 n前面讨论的等离子体输运过程和输运系数的计算前面讨论的等离子体输运过程和输运系数的计算比较简单比较简单、但都、但都比较粗糙比较粗糙，因为输运过程是一个，因为输运过程是一个非平衡态过程，严格地讲，它必须从粒子分布函非平衡态过程，严格地讲，它必须从粒子分布函数的变化规律出发，用统计力学方法确定系统的数的变化规律出发，用统计力学方法确定系统的全部物理状态和性质及其随时间的变化过程。全部物理状态和性质及其随
40、时间的变化过程。n设系统的单粒子分布函数为设系统的单粒子分布函数为 ，则描述分，则描述分布函数在相空间中演化的布函数在相空间中演化的动理学方程动理学方程 ,ftrv vcfffftmtFrv vv v 表示表示类粒子的分布函数，类粒子的分布函数，表示一个表示一个类粒子所受的力场，它包括外场类粒子所受的力场，它包括外场和等离子体内部的平均场（自洽场）和等离子体内部的平均场（自洽场）碰撞项表示因碰撞引起的分布函数的变化，对于碰撞项表示因碰撞引起的分布函数的变化，对于多种类型粒子：多种类型粒子：表示表示各种类型粒子的碰撞效应总和，包括同类粒各种类型粒子的碰撞效应总和，包括同类粒子。碰撞项可以用各种模
41、型导出，由此得到相应子。碰撞项可以用各种模型导出，由此得到相应的碰撞积分，因而的碰撞积分，因而动理学方程就有各种不同的形动理学方程就有各种不同的形式式。,ftrv vF,ccfftt1.BGK方程（方程（Krook碰撞项）碰撞项）n碰撞项取为如下形式碰撞项取为如下形式 称称BGK（P.L.Bhatnagar,E.P.Groos,M.Krook）碰撞项或称碰撞项或称Krook碰撞项，式中碰撞项，式中 为特征时间，为特征时间，通常取为平均碰撞时间，通常取为平均碰撞时间，为平均碰撞频率。为平均碰撞频率。BGK碰撞项的意义为系统从初始的非平衡态速度碰撞项的意义为系统从初始的非平衡态速度分布，经过时间分
42、布，经过时间 趋向平衡态分布，所以趋向平衡态分布，所以 就就是这一过程的弛豫时间。取是这一过程的弛豫时间。取BGK碰撞项后的动理碰撞项后的动理学方程为学方程为(省略下标省略下标)00/cccffffft cccc 一般地一般地 或或 是速度的函数，而且与分布函数是速度的函数，而且与分布函数有关，现在碰撞项中的有关，现在碰撞项中的 或或 都取为常量都取为常量，这，这样碰撞项计算就大为样碰撞项计算就大为简化简化，因此，因此BGK碰撞项也称碰撞项也称弛豫时间近似弛豫时间近似。n例如：如果系统分布例如：如果系统分布偏离平衡态不远偏离平衡态不远，则分布函，则分布函数可以写成线性化形式数可以写成线性化形式
43、 f0 为平衡态速度分布，为平衡态速度分布，f1 为偏离平衡态的小量。为偏离平衡态的小量。f0 满足的动理学方程为满足的动理学方程为 0.cffffftm v vv vFrcccc01fff00000cfffftmtv vv vFrn对于对于局域性热力学平衡局域性热力学平衡情况，方程的解为情况，方程的解为 由于系统偏离平衡态不远，由于系统偏离平衡态不远，BGK动理学动理学方程线性化后为方程线性化后为 上式左方第上式左方第1项项 ，第，第2、3项忽略小量项忽略小量f1的贡的贡 献。对于献。对于定态定态情况，情况，则则方程的定态解方程的定态解为为 23/20,exp22mmfnTnTTv vu r
44、ru rrrrr10ff0011cfffftm v vv vFr00ft10ft0011cfffm v vv vFr式中式中 f0 为已知，于是各种输运流的表达式：为已知，于是各种输运流的表达式：将解将解 f1 代入上式，计算各种输运流，就可得到各代入上式，计算各种输运流，就可得到各种输运过程系数。种输运过程系数。11211 1 2 ijijf def dmwfmww f d粒子流电流热流粘滞张量vvvvvvvvv vv vjqw d2.玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程 n这是最早的一种碰撞模型，它是建立在这是最早的一种碰撞模型，它是建立在二体碰撞二体碰撞基础基础上的一种上的一种碰撞积分碰撞积分表示式
45、。表示式。n在质心系中，二粒子的碰撞相当于质量为在质心系中，二粒子的碰撞相当于质量为的一的一个粒子被固定的散射中心的作用而改变速度方向。个粒子被固定的散射中心的作用而改变速度方向。每秒入射到面积元每秒入射到面积元 上上粒子数粒子数场粒子数为场粒子数为 ，因此每秒单位体积中因此每秒单位体积中碰撞数碰撞数为为bdbdfbdbd dvvvvvvvvfdvvvvffbdbd ddvvvvvvvvvvvvn 粒子的粒子的减少率减少率 逆过程逆过程每秒单位体积内的碰撞数为每秒单位体积内的碰撞数为 上式为二粒子发生碰撞，使上式为二粒子发生碰撞，使粒子进入速度区间粒子进入速度区间 的粒子数，积分后为的粒子数，
46、积分后为 粒子粒子的增加率。因为的增加率。因为正逆过程的作用完全对称正逆过程的作用完全对称，所以，所以 ，由弹性碰撞动量能量守恒，由弹性碰撞动量能量守恒，根据刘维定理，根据刘维定理 因此，积分后，得因此，积分后，得 粒子的粒子的增加率增加率fdvvvvoutfdfbdbd ddtvvvvvvvvvvvvvv=fffb db dddvvvvvvvvvvvvdvvvvvvfdvvvvb db dbdbd uvvvvvvvvdddd vvvvvvvvfdvvvvinfdfbdbd ddtvvvvvvvvvvvvvv=fn碰撞项为（净增加率）碰撞项为（净增加率）利用微分截面定义利用微分截面定义则则碰撞
47、积分改写碰撞积分改写为为 这就是这就是玻尔兹曼碰撞积分玻尔兹曼碰撞积分。如果有多种粒子，碰。如果有多种粒子，碰撞项还应该对撞项还应该对求和（包括同类粒子）。用玻尔求和（包括同类粒子）。用玻尔兹曼碰撞积分的动理学方程称兹曼碰撞积分的动理学方程称玻尔兹曼方程玻尔兹曼方程，即，即 cfffffubdbd dtvvvvvvvvvv,bdbdud,cfffffuuddtvvvvvvvvvv,ffff ff fuuddtm vvvvv vFr 式中式中 为为 ，为为 ，其余类似。，其余类似。微分截面如用库伦作用微分截面如用库伦作用 也可用其他形式结果。也可用其他形式结果。注意注意：导出玻尔兹曼碰撞积分实际
48、导出玻尔兹曼碰撞积分实际含有如下假设含有如下假设：（i）所有碰撞都是二体碰撞；）所有碰撞都是二体碰撞；（ii）相互作用长度远小于发生显著变化的长度；）相互作用长度远小于发生显著变化的长度；（iii）碰撞持续时间远小于发生显著变化的时间）碰撞持续时间远小于发生显著变化的时间。ffv vffv v22401,8sin/2q quu 3.福克福克-普朗克方程普朗克方程 n玻尔兹曼碰撞积分应用于等离子体时的玻尔兹曼碰撞积分应用于等离子体时的主要缺点主要缺点是假定是是假定是短程二体碰撞短程二体碰撞。等离子体中的带电粒子。等离子体中的带电粒子是库仑长程相互作用，粒子间的碰撞大部分是小是库仑长程相互作用，粒
49、子间的碰撞大部分是小角度散射，而且每个粒子同时与周围许多粒子相角度散射，而且每个粒子同时与周围许多粒子相互作用，它的互作用，它的大角度偏转大部分是由小角度偏转大角度偏转大部分是由小角度偏转积累的效应积累的效应。因此引用。因此引用20世纪初在处理世纪初在处理布朗粒子布朗粒子运动时导出的碰撞积分比较合适。因为布朗粒子运动时导出的碰撞积分比较合适。因为布朗粒子质量大，受到周围流体分子碰撞时，每个时刻速质量大，受到周围流体分子碰撞时，每个时刻速度改变量都很小，度改变量都很小，因此可以把，因此可以把 作为小量对布朗粒子分布函数作泰勒展开，这样作为小量对布朗粒子分布函数作泰勒展开，这样得到得到碰撞项为微分
50、形式碰撞项为微分形式。用这种方法得到的动理。用这种方法得到的动理学方程称福克学方程称福克-普朗克（普朗克（Fokker-Planch）方程。）方程。vvvvv vn设速度为设速度为v v的粒子、由于碰撞在时间的粒子、由于碰撞在时间t 内速度增内速度增量为量为v v 的几率为的几率为 ，这里，这里假定假定w与时间无与时间无关关，即与粒子过去的历史无关，这种过程一般称，即与粒子过去的历史无关，这种过程一般称马尔科夫过程。由马尔科夫过程。由w的定义，可得的定义，可得粒子的分布函粒子的分布函数数上式上式对小量对小量v v做展开做展开所有可能的增量的总几率为所有可能的增量的总几率为1,wvvvv ,ft
