1、第七节第七节一、方向导数一、方向导数 二、梯度二、梯度 三、物理意义三、物理意义 方向导数与梯度方向导数与梯度l),(zyxP一、方向导数一、方向导数定义定义:若函数),(zyxff0lim则称lflf,)()()(222zyx,cosx,cosycosz为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数方向导数.),(),(lim0zyxfzzyyxxf在点 ),(zyxP处沿方向 l(方向角为,)存在下列极限:P记作记作,),(),(处可微在点若函数zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方
2、向角为其中l证明证明:由函数),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在点 P 可微,得P故coscoscoszfyfxf对于二元函数,),(yxf为,)的方向导数为方处沿方向在点(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyxPlxyoxflf特别特别:当 l 与 x 轴同向有时,2,0 当 l 与 x 轴反向有时,2,xflfl向角例例1.求函数 在点 P(1,1,1)沿向量zyxu2,1,2(l3)的方向导数.,142cosPlu)1,1,1(146,141co
3、s143cos1422zyx1412zx1432yx解解:向量 l 的方向余弦为例例2.求函数 在点P(2,3)沿曲线223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为2)2,1(xxPlz它在点 P 的切向量为,171cos1760 xoy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4,1(174cos1例例3.设是曲面n在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:方向余弦为,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得)1,3,2(2632222zyx方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467
4、111143826141Pyxzx22866zyxu2286在点P 处沿求函数nn二、梯度二、梯度 方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模:f 的最大变化率之值方向导数取最大值：zfyfxfG,)cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致时与当Gl:GGlfmax1.定义定义,fadrg即fadrg同样可定义二元函数),(yxf),(yxPyfxfjyfixff,grad称为函数 f(P)在点 P 处的梯度zfyfxf,kzfjyfixf记作(gradient),在点处的梯度 G说明说明:函数的方向导数为梯度
5、在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),面上的投在曲线xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影称为函数 f 的等值线等值线.,不同时为零设yxff则L*上点P 处的法向量为 Pyxff),(Pfgradoyx1cf 2cf 3cf)(321ccc设P同样,对应函数,),(zyxfu 有等值面(等量面),),(Czyxf当各偏导数不同时为零时,其上 点P处的法向量为.gradPf,),(yxfz 对函数指向函数增大的方向.3.梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugradg
6、rad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)例例4.,)(可导设rf),(222zyxPzyxr为点其中证证:xrf)()(rf yrf)()(gradrf)(1)(kzjyixrrfrrrf1)(rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(xrrf)(222zyxxPxozy,)(ryrf ixrf)(试证rxrf)(.)()(radg0rrfrf处矢径 r 的模,r三、物理意义三、物理意义函数(物理量的分布)数量场数量场(数性函数)场向量场向量场(矢性函数)可微函数)(Pf梯度场梯度场)(gradPf(势)如:
7、温度场,电位场等如:力场,速度场等(向量场)注意注意:任意一个向量场不一定是梯度场.例例5.已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点),(4222zyxrrqu),(zyxP试证证证:利用例4的结果 这说明场强:处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.Eugrad)4(02rrqE 场强04gradrrqu024rrqE0)()(gradrrfrf内容小结内容小结1.方向导数方向导数 三元函数),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l(方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l(方
8、向角为yfxfcossin2.梯度梯度 三元函数),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxff,grad 二元函数),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(,),(gradyxfyxffyx3.关系关系方向导数存在偏导数存在 可微0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.思考与练习思考与练习1.设函数zyxzyxf2),(1)求函数在点 M(1,1,1)处沿曲线 12 32tztytx在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在 M(1,1,1)处的梯度梯度与(1)中切线方向切线方向 的夹角 .2.P131 题 16,),(2zyxzyxf曲线 12 32tztytx1.(1)在点)
9、3,4,1(1dd,dd,ddttztytx)1,1,1(coscoscoszyxMffflf266解答提示解答提示:函数沿 l 的方向导数lM(1,1,1)处切线的方向向量)0,1,2(grad)2(MfMMflfgrad13061306arccosMfgradl cosMfgradl42042042020020020022222220czbyaxczzbyyaxxnuM4204204202czbyax2.P131 题 16Ex:1.函数)ln(222zyxu在点)2,2,1(M处的梯度Mugrad)2,2,1(,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令则xu21rx2注意 x,y,z 具有轮换对称性)2,2,1(2222,2,2rzryrx)2,2,1(92)2,2,1(92指向 B(3,2,2)方向的方向导数是 .在点A(1,0,1)处沿点Axd d2.函数)ln(22zyxu提示提示:31,32,32则cos,cos,cosAxu)1ln(x1x,21yd dAyu)11ln(2y0y,0,)1,2,2(AB0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu21
