1、 第一章 二、二、极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节极限运算法则时,有,min21一、一、无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.证证:考虑两个无穷小的和.设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当100 xx时,有2,02当200 xx时,有2取则当00 xx22因此.0)(lim0 xx这说明当0 xx 时,为无穷小量.思考思考:无限个无限个无穷小之和是否为是否为无穷小？例如，例如，22221limnnnnn类似可证:有限个有限个无穷小之和仍为无穷小.定
2、理定理2.有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证:设,),(10 xxMu 又设,0lim0 xx即,0,02当),(20 xx时,有M取,min21则当),(0 xx时,就有uuMM故,0lim0uxx即u是0 xx 时的无穷小.推论推论 1.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 2.有限个无穷小的乘积是无穷小.oyx例例1.求.sinlimxxx解解:1sinx01limxx利用定理 2 可知.0sinlimxxxxxysin说明说明:y=0 是xxysin的渐近线.二、二、极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(lim
3、xgxf证证:因,)(lim,)(limBxgAxf则有BxgAxf)(,)(其中,为无穷小)于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理 1 可知也是无穷小,再利用极限与无穷小BA的关系定理,知定理结论成立.定理定理 3.若推论推论:若,)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf则.BA(P45 定理定理 5)()()(xgxfx利用保号性定理证明.说明说明:定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形.提示提示:令定理定理 4.若,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示:利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明.说
4、明说明:定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形.推论推论 1.)(lim)(limxfCxfC(C 为常数)推论推论 2.nnxfxf)(lim)(lim(n 为正整数)例例2.设 n 次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证).()(lim00 xPxPnnxx证证:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnBA为无穷小(详见详见P44)B2B1)(1xg)(0 xx定理定理 5.若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0,则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证:因,)(lim,)(limBxgAxf有,)(,)(BxgAxf其
5、中,设BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB无穷小有界BA因此由极限与无穷小关系定理,得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(为无穷小,定理定理6.若,lim,limByAxnnnn则有)(lim)1(nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA提示提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由定理3,4,5 直接得出结论.x=3 时分母为 0!31lim3xxx例例3.设有分式函数,)()()(xQxPxR其中)(,)(xQxP都是多项式,0)(0 xQ试证:.)()(lim00 xRxRxx证证:)(li
6、m0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR说明说明:若,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则.例例4.934lim223xxxx)3)(3()1)(3(lim3xxxxx6231 若例例5.求.4532lim21xxxx解解:x=1 时3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母=0,分子0,但因例例6.求.125934lim22xxxxx解解:x时,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则54分母“抓大头抓大头”原式一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数)nmba,0(00mn 当(如
7、如P47 例例5)(如如P47 例例6)(如如P47 例例7)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当三、三、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理7.设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有)(lim0 xfxxAufau)(lim证证:Aufau)(lim,0,0当au0时,有 Auf)(axxx)(lim0,0,02当200 xx时,有ax)(对上述取,min21则当00 xx时ax)(au 故0Axf)(Auf)(,因此式成立.例例7.求求解解:令.93lim23xxx932xx
8、u已知ux3lim61 原式=uu61lim6166例例8.求求解解:方法方法 1.11lim1xxx,xu 则,1lim1ux令11112uuxx1 u 原式)1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1)1)(1(lim1xxxx)1(lim1xx2内容小结内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法0)1xx 时,用代入法(分母不为 0)0)2xx 时,对00型,约去公因子x)3时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5思考及练
9、习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在?为什么?答答:不存在.否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在,与已知条件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解:原式22)1(limnnnn)11(21limnn212.问3.求.)1(lim2xxxx解法解法 1 原式=xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021则原式=22011limttt111lim20tt 0tEx:设)(xf解解:利用前一极限式可令bxaxxxf2322)(再利用后一极限式,得xxfx)(lim30可见0,3ba是多项式,且,22)(lim23xxxfx,3)(lim0 xxfx求.)(xf)(lim0 xbax故xxxxf322)(23
