1、方法实现都有字长限制，系数都会有量化误差。8.3 滤波器系数量化效应滤波器系数量化效应在前面的讨论中，都默认系统函数 H(z)的各个系数是具有无限精度的。实际在实现系统函数时，若用软件完成，系数的精度要受到计算机存储器字长的限制。用硬件完成时，从成本等诸多因素考虑，也要最大限度的减少存取系数的寄存器的长度。总之，不论何种系数量化产生的影响，称为系数的量化效应。系数量化到底会对滤波器的性能产生多大的影响？实现高阶滤波器时应采用什么样的网络结构，使量化效应尽可能小？这些都是在实际应用中要涉及的问题。下面讨论的重点是IIR系统，所得的一些分析结果可以直接用于FIR系统。分析方法同模拟系统的分析类似，
2、可用敏感度表征系数量化的影响。xHxxxHSHx/xzxxxzSkkzxk/伯德(Bode)给出第k条支路系数 x 变化引起系统函数H及极点 zk 变化的敏感度分别为：(8.3-1)(8.3-2)kkNkkkMkzazbzH101 kkNkkkMkzazbzH110kkkbbb，k=ak+ak。IIR系统函数的一般形式 系统函数H(z)的一般形式的系数ak、bk是无限精度的系数，如果系数被量化，则量化后的系统函数为：(8.3-3)式中情况。由于系数的量化，使系统函数的零、极点会偏离原来的准确位置。如果系数量化使零、极点的移动太大，就会使滤波器的性能指标达不到设计的技术要求。甚至可能使原来在单位
3、圆内的极点移至单位圆或单位圆外，稳定系统成为不稳定系统。本节先介绍基本IIR滤波器基本二阶节字长对零、极点位置的限制，再讨论系统一般的 221111zazazH8.3.1 基本二阶节系数量化效应基本二阶节系数量化效应系统的极点由系数a1、a2确定。a1a2x(n)y(n)z-1z-1如图8.3-1所示最少延迟二阶节系统，由图可得该系统的H(z)为若H(z)有一对共轭极点z1,2=rej，则比较等式两边，得到坐标值 r cos 取决于系数a1。当a1、a2被量化时，显二阶IIR系统极点的半径 r由系数a2确定，而在实轴上的然只能得到有限个极点值。1+a1 z1+a2 z2=(1rej)(1rej
4、)=12rcos z1+r2 z2a1/2=rcosa2=r2对应具体的量化情况，极点必然位于z平面同心圆(对应r2的量化)和垂直线(对应rcos 的量化)确定的栅格交点上。例如当a1、a2用3位字长表示时，即b=3(不考虑符号位)，则 r2、rcos都只能取8个值，如表8-1所列。例：1+a1 z1+a2 z2=11.5 z1+0.625z2=(10.791e j18.5z 1)(10.791e j18.5z 1)r2=0.625，rcos=0.75，r=0.791、三位二进制码0.000000.0010.1250.3540.0100.250.50.0110.3750.6120.1000.5
5、0.7030.1010.6250.7910.1100.750.8660.1110.8750.935rcosr表8-110.8660.7030.6120.3540.510.50.250.75极点分布的位置(只画出第一象限)示意图如图所示。jImzRez如果系统所需要的极点不在这些网眼的节点上，就只能以最靠近的一个节点来代替这一极点，这就引入了误差。例二阶节的原极点为由此得出a2=r2 0.533，系数 a1、a2在三位字长的栅格网上，实际只能取rcos=a1/2=0.73cos 10=0.72 rcos=0.75=1/2，r2=0.5=2 z1,2=0.73ej1011z5.02z即在三位字长的
6、情况下，实际实现的系统函数为：即量化后的极点为，其中一个极点移至单位圆上，系统不稳定。rcos=0.75=1/2，r2=0.5=2 1 1 z1 2 z2=11.5 z1+0.5z2=(1 z1)(10.5 z1)戈尔德雷达(GoldRader)二阶节这个网络的系统函数 2211cos21sinzrzrzrzH z1x(n)y(n)z1rcosrcosrsinrsin极点与前面的二节阶相同，但在实现系统时，各乘法0.25、0.875 。的系数为rcos、r2、rsin，且都可以取0、0.125、极点分布的位置如图所示。0.750.2510.50.750.2510.50jImzRez极点分布的位
7、置图对零、极点位置的影响，最适合的是即将讨论的零、从上述的讨论可见，结构不同的系统，有不同的极点位置栅格网。如最少延迟二阶节结构的栅格在原点及实轴附近误差大，而在单位圆附近的误差小。要求总误差小，就要加长字长，使栅格密集。否则误差就有可能引起系统性能的改变。不过上述涉及的仅限二阶系统，更清楚反映系数量化极点位置敏感度。11111zzzazPiNikkNk8.3.2 IIR系统的极点位置敏感度系统的极点位置敏感度影响，零点位置敏感度可以类推。令H(z)的分母多项式为因为在IIR系统中极点对系统的性能影响较大，所以下面重点讨论极点位置敏感度即系数量化对极点的一般式中 zi 为极点，i=1,2,N。
8、kkkzzz系数量化后的极点为，i=1,2,N。(8.3-4)kkkzzzzi是由系数量化产生的。kkiaazkkiNkiaazz1某个ak的误差ak引起任一极点zi的误差为：，i=1,2,N。(8.3-6)(8.3-5)当ak很小时，上式仅有一项，否则用泰勒级数展开后，还有高次项。则所有ak变化引起极点zi的误差为：kkiNkiaazz1上式表明，zi/ak的大小，决定着误差ak对极点zi的影响程度。zi/ak越大，ak对zi的影响越大，反之亦然。因此定义zi/ak为极点zi对ak 变化的敏感度。利用系统的分母多项式P(z)，可得到这个敏感度的表达式，由于 ikkiiizzazPazzzzz
9、P(8.3-7)kiikiP zazzzaP zz所以 ikzzazP11Nkkkkia zazz(8.3-8)其中上式表明极点zi对系数ak的敏感度是P(z)对系数ak及P(z)对极点zi的偏导之比。ikkz zizz iiNlliizzzzzzzzzP111iNilllzzzzz1111NillliNizzz1(8.3-9)所以NilllikNizzz1(8.3-10)1kkiiNNikiiilll iP zazzzzaP zzzzzkkiNkiaazz1NkkNilllikNiazzz11从而得到系数量化后误差与极点的关系为(8.3-11)以上是N个(所有)系数量化对极点 zi 影响的计
10、算公式，其它极点可由此类推。因为(zi zl)是一个极点指向另一个极点的矢量，所以上式的分母正是所有极点指向该极点的矢量积。这些矢量越长(两个极点相距越远)，极点位置敏感度越低，即zi/ak与zi zl成反比。因此，极点之间越靠近，极点之间的距离越小，系数量化效应就越大。系统阶数越高，极点越多，极点的分布越密，距离越小，系数量化效应也就越大。对量化误差要求越高，字长就越长；系统阶数越高，量化误差要求不变，字长也要越长。所以高阶直接形式结构网络的极点对系数量化误差非常敏感。3219508.08934.29425.211zzzzH例8.3-1 已知某系统的系统函数为分析该系统的系数量化影响。提示：
11、为了简化讨论，设 a1、a2无误差。解 分母多项式一般形式P(z)=1 a1 z1 a2 z2 a3 z3 a1=2.9425，a2=2.8934，a3=0.9508，其中：z1=0.99，z2=0.98 e j5，z3=0.98e-j5，一般情况，总的移动是所有ak变化，导致zi的变化之和。这样各系数量化引起 zi 总的移动，必然大于某一个系数量化产生的移动。P(z)=1 a1 z1 a2 z2 a3 z3 P(z)=(10.99z 1)(10.98ej5z 1)(10.98e j5z 1)111 zz=0。在此条件下，讨论将 z1移至单位圆上需要的字长。z1=0.01，使得导致系统不稳定。
12、为了既简化讨论，又说明问题，提示已假设a1=a3 已知系数量化后误差与极点的关系为11N kNiikNkilll izzazz(8.3-11)这可令z1=0.01，求出a2，即a2有多大时，231211azzzlllkN25598.099.098.099.099.0aeeoojj550.01 0.990.980.990.980.99oojjee5107556.7代入公式(8.3-11)，且N=3，k=2z1=0.01a2计算结果说明，a2的量化误差为7.7556105，就会使所以要满足量化误差不至于引起该系统不稳定的要求，系统的极点z1移到单位圆上。因为214 7.7556105，从计算的结果
13、可知字长至少要14位。如果不采用直接形式结构，而是采用基本二阶节(一阶节是二阶节的特例)的级联或并联实现。由基本二阶节分别实现每一对共轭极点，使一个已知极点的误差与它到系统其它基本节极点的距离无关。因此所需字长可以低很多。所以对高阶网络，一般由于每一个基本节的极点稳定性变化不会影响另一节，不用直接形式的结构，而是分解为基本二节阶的级联或并联形式。级联或并联形式的量化误差效应优于直接形式，对零、极点聚在一起的窄带滤波器这种优点尤为突出。递函数Fnm发生变化时，网络的系统函数Tab对Fnm的变8.3.3 系统的敏感度系统的敏感度在8.3.2中讨论的是系统系数量化引起系统函数零、极点的变化。但没有得
14、到某个系数变化，引起系统函数变化的一般形式。当系统很复杂时，实际上很难得到零、极点和系统系数的一般关系。这时可用系统的敏感度反映系统的量化效应。系统敏感度定义为n、m支路的传化率。mbannmabTFTTFTSabnm(8.3-12)WaFnmWmWnWbXY系数Fnm的敏感度为：如图8.3-5所示任意数字系统，设a为输入节点，Wa为输入节点变量的z变换；b为输出节点，Wb为输出节由伯德敏感度定义，定义数字网络H(z)对某一支路传递点变量的z变换；系统函数H(z)为Tab=Wb/Wa。式中：Tana点输入、n点输出的传递函数；Tmbm点输入、b点输出的传递函数；Taba点输入、b点输出的传递函
15、数；Fnm任一支路n、m的传递系数。与极点位置敏感度类似，系统的敏感度越低，当系数有量化误差时，系统函数的变化越小。同样的，不同结构的系统敏感度是不同的，高阶系统的级联、并联形式比直接形式的敏感度低。3214例：如图所示二阶数字网络，传递系数已在图中标明。41121241TTSTT求支路41传递系数-a1变化时网络的敏感度x(n)y(n)z1 z1a1b1b0a2解：由敏感度的一般公式 mbannmabTTFT121441121241TTTTSTT22111141zazazT2211110121zazazbbT2221111101214411211241zazazzbbTTTTSTT所以141
16、21241TTSTT直接得到系统的敏感度，2211110121zazazbbTzH 2211110111zazazbbaazH2221111101zazazzbb此例也可以利用因为T14=a1，且T12=H(z)，而所以与前面结果相同。当Fnm较大时，引起系统函数Tab的变化Tab为 nmmnnmmbanabFTFTTT1Tab的推导留作习题。(8.3-13)8.3.4系数量化对系数量化对IIR系统频响的影响系统频响的影响系统的系数量化对零、极点位置的改变，将导致系统频响特性的改变。在以下讨论中为分析简便，只考虑系数量化误差，不涉及运算误差。无限精度的理想系统函数一般形式为 zAzBzazbz
17、HkkNkkkMk101(8.3-14)kkkbbbbk、ak是系数量化误差，如果系数kb有效字长b位、定点舍入量化，bk、ak的误差范围设量化后的系数为q/2 bk，ak q/2(8.3-15)为、k采用k=ak+ak kkNkkkMkzazbzH110kkNkkkNkkkMkkkMkzazazbzb11001 zAzAzBzB kkMkzbzB1 kkNkzazA1量化后的实际系统函数为式中，(8.3-16)zAzAzAzBzAzBzAzBzAzAzBzBzH/zAzAzHzAzBzH zAzAzHzAzBzHzHzHE将H(z)代入上式并整理由上式得到实际系统与理想系统的偏差HE(z)(
18、8.3-17)(8.3-18)实际系统，可以由如图8.3-7所示的理想系统与偏差系统系统的频响误差为HE(z)的并联组合而成。x(n)y(n)e(n)H(z)HE(z)(n)=y(n)+e(n)HE(e j)=(e j)H(e j)但实际上计算时，很难知道bk、ak的准确值。为了22j1ed2EH 11dj2EEczHz Hzz 频响的均方误差为(8.3-19)将HE(z)代入，可以计算频响的均方误差。理论上可以频响的均方误差即误差能量度量频响偏差。为了估计 2的大小，假设bk、ak是独立均匀等概分布的随机变量。在舍入情况下，其均值与方差分别为(8.3-20)(8.3-21)求均方误差2 的均
19、值，得到频响误差的方差2222j1ed2EEEH 11dj2EEczEHz Hzz 为2222/12ekkEbEaqm e=Ebk=Eak=0，对HE(z)作一阶近似 zAzHzAzBzAzAzHzAzBzHE zAzazHzbkkMkkkMk00 12000011dj2MMMMkkkkkkkkkkkkcb zH za zb zH za zzEA zzA z 210112MkckdzEbjzA z A z zdzzAzAzHzHjaEckMk11021若bk系数共有M1项，ak系数共有N1项，则1210/12MkkEbM q1210/12NkkEaN q考虑bk、ak是统计独立的，有所以Ebi
20、aj=Eaiaj=Ebibj=0，ij，2 zdzzAzAzHzHjNzdzzAzAjMqcc11111222121222最后频响误差的方差为数所需的字长。或者按一定的偏差方差系统设计一旦完成，H(z)、A(z)、M1、N1就是已知的，可以利用上式估计在一定系数字长b之下(q=2b)，频响(8.3-22)的偏离方差确定系2实际上系数量化误差与运算误差不同，对一个确定的滤波器，其系数的量化误差是确定值，其频响的均方差 2也是固定值不变的。在上述分析中将其假设为随机变量，是为了对 2的大小作概率估计，即最有可能出现的估值。是 2系统的阶数越高，这种估计的收敛性越好，(8.3-22)式的计算结果越接
21、近实验结果。8.3.5系数量化对系数量化对FIR系统的影响系统的影响上面详细讨论了系数量化对IIR系统的影响，如果将只有零点，没有极点的FIR系统看作IIR系统的特例，以上所讨论的相关结果可以直接用于FIR系统。例如IIR系统的极点位置敏感度，可以类推FIR系统的零点位置敏感度，在这不再讨论，因此FIR系统讨论要简单的多。FIR系统的系统函数为 nNnznhzH0当上式的各个系数h(n)被量化成为(n)=h(n)+e(n)时，nNnnNnzneznhzH00 nNnznezE0则令为系统误差函数，则E(z)=(z)H(z)(8.3-23)(8.3-24)(8.3-25)(8.3-26)jnNnezjenezEeEj0 00NNjjnnnE ee nee n系统误差函数的频响特性为从而有上式表明对FIR系统量化时，产生的误差不会超过(N+1)e(n)。=(N+1)e(n)qNneeENnj210舍入处理时，因为e(n)q/2，所以(8.3-27)利用上式可根据给定的误差指标，确定系数的字长。
