1、第三章 数系的扩充与复数的引入测评(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.计算:i(1+i)2=()A.-2B.2C.2iD.-2i解析:i(1+i)2=i2i=-2.答案:A2.在复平面内,复数(i是虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限解析:,其共轭复数为,对应的点位于第一象限,故选D.答案:D3.若z=4+3i(i是虚数单位),则=()A.1B.-1C.iD.i解析:,故选D.答案:D4.若i是虚数单位,则等于()A.iB.-iC.1D.-1解析:因为=i,所以=i4=1.答案:C5.复数z=+
2、(a2+2a-3)i(aR)为纯虚数,则a的值为()A.a=0B.a=0且a-1C.a=0或a=-2D.a1或a-3解析:依题意得解得a=0或a=-2.答案:C6.设复数z=,其中a为实数,若z的实部为2,则z的虚部为()A.-B.-iC.-D.-i解析:z=a-i,因为z的实部为2,所以a=2,所以z的虚部为-=-.答案:C7.“m=1”是“复数z=(1+mi)(1+i)(mR,i为虚数单位)为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:z=(1+mi)(1+i)=1+i+mi-m=(1-m)+(1+m)i,若m=1,则z=2i为纯虚数;若z为
3、纯虚数,则m=1.答案:C8.已知z1=1+i(其中i为虚数单位),设为复数z1的共轭复数,则复数z2在复平面所对应点的坐标为()A.(0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(2,0)解析:因为z1=1+i,所以=1-i,由得,=1,得z2=1,z2在复平面内对应的点为(1,0),故选B.答案:B9.若z=cos +isin (i为虚数单位),则使z2=-1的值可能是()A.B.C.D.解析:z2=(cos +isin )2=(cos2-sin2)+2isin cos =cos 2+isin 2=-1,所以所以2=2k+(kZ),故=k+(kZ),令k=0知选D.答案:D10.复数z在复平面
4、内对应的点为A,将点A绕坐标原点,按逆时针方向旋转,再向左平移一个单位,向下平移一个单位,得到B点,此时点B与点A恰好关于坐标原点对称,则复数z为()A.-1B.1C.iD.-i解析:设z=a+bi,B点对应的复数为z1,则z1=(a+bi)i-1-i=(-b-1)+(a-1)i,因为点B与点A恰好关于坐标原点对称,所以于是z=1.答案:B11.设zC,若z2为纯虚数,则z在复平面上的对应点落在()A.实轴上B.虚轴上C.直线y=x(x0)上D.以上都不对解析:设z=a+bi(a,bR),因为z2=a2-b2+2abi为纯虚数,所以所以a=b,即z在复平面上的对应点在直线y=x(x0)上.答案
5、:C12.复数z=(x-2)+yi(x,yR)在复平面内对应向量的模为2,则|z+2|的最大值为()A.2B.4C.6D.8解析:因为|z|=2,所以=2,即(x-2)2+y2=4,故点(x,y)在以(2,0)为圆心,2为半径的圆上,而|z+2|=|x+yi|=,它表示点(x,y)到原点的距离,结合图形易知|z+2|的最大值为4,故选B.答案:B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若(i为虚数单位),则复数z等于.解析:因为,所以z=-2i.答案:-2i14.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,bR,i是虚数单位,则|a+bi|=.解析:由题意得-2a+i=1-bi,所以
6、解得a=-,b=-1,所以|a+bi|=.答案:15.在复平面内,复数1+i与-1+3i分别对应向量,其中O为坐标原点,则|=.解析:=(-1+3i)-(1+i)=-2+2i,所以|=2.答案:216.导学号40294030若复数z满足z+z+=3,则复数z在复平面内对应点的轨迹所围成图形的面积等于.解析:设z=x+yi(x,yR),则有(x+yi)(x-yi)+(x+yi)+(x-yi)=3,即x2+y2+2x-3=0,因此(x+1)2+y2=4,故复数z在复平面内对应点的轨迹是一个圆,其面积等于22=4.答案:4三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知复数z=(
7、2+i)m2-2(1-i),当实数m取什么值时,复数z是:(1)虚数;(2)纯虚数.解:z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i,(1)当m2-3m+20,即m2且m1时,z为虚数.(2)当即m=-时,z为纯虚数.18.(本小题满分12分)若z满足z-1=(1+z)i,求z+z2的值.解:因为z-1=(1+z)i,所以z=-i,因此z+z2=-i+=-i+=-1.19.(本小题满分12分)已知复数z满足z=(-1+3i)(1-i)-4.(1)求复数z的共轭复数;(2)若w=z+ai,且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模,求实数a的取
8、值范围.解:(1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i,所以复数z的共轭复数为-2-4i.(2)w=-2+(4+a)i,复数w对应的向量为(-2,4+a),其模为.又复数z所对应向量为(-2,4),其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模,得20+8a+a220,a2+8a0,所以实数a的取值范围是-8a0.20.(本小题满分12分)复数z=,若z2+0,求纯虚数a.解:由z2+0可知z2+是实数且为负数.z=1-i.因为a为纯虚数,所以设a=mi(mR,且m0),则z2+=(1-i)2+=-2i+=-i0,故所以m=4,即a=4i.21.(本小题满分12分)已知等腰梯形OA
9、BC的顶点A,B在复平面上对应的复数分别为1+2i,-2+6i,OABC.求顶点C所对应的复数z.解:设z=x+yi(x,yR),因为OABC,|OC|=|BA|,所以kOA=kBC,|zC|=|zB-zA|,即解得因为|OA|BC|,所以x2=-3,y2=4(舍去),故z=-5.22.导学号40294031(本小题满分12分)已知虚数z满足|2z+5|=|z+10|.(1)求|z|.(2)是否存在实数m,使为实数,若存在,求出m值;若不存在,说明理由.(3)若(1-2i)z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上,求复数z.解:(1)设z=x+yi(x,yR,且y0),则(2x+5)2+(2y)2=(x+10)2+y2,化简得x2+y2=25,|z|=5.(2)i为实数,=0.又y0,x2+y2=25,=0,解得m=5.(3)(1-2i)z=(1-2i)(x+yi)=(x+2y)+(y-2x)i,依题意得x+2y=y-2x,y=-3x.又x2+y2=25,由得z=i或z=-i.- 5 -
