1、第二章第二章 二次函数二次函数2.1 2.1 二次函数二次函数函函 数数函数知多少函数知多少变量之间的关系变量之间的关系.0kxky喷泉(1)某果园有某果园有100100棵橙子树棵橙子树,平均每棵树结平均每棵树结600600个橙子个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果但是如果多种树多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少光就会减少.根据经验估计根据经验估计,每多种一棵树每多种一棵树,平均每平均每棵树就会少结棵树就会少结5 5个橙子。个橙子。某果园有某果园有100100棵橙子树棵橙子树,平均每棵树结
2、平均每棵树结600600个橙子个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种但是如果多种树树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少会减少.根据经验估计根据经验估计,每多种一棵树每多种一棵树,平均每棵树平均每棵树就会少结就会少结5 5个橙子个橙子.(1)(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？是因变量？自变量：橙子树的数量，橙子树之间的距离，橙自变量：橙子树的数量，橙子树之间的距离，橙子树接受阳光的多少等；因变量：橙子的个数，子树接受阳光的多少等；因变量：
3、橙子的个数，橙子的质量等。橙子的质量等。某果园有某果园有100100棵橙子树棵橙子树,平均每棵树结平均每棵树结600600个橙子个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种但是如果多种树树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少会减少.根据经验估计根据经验估计,每多种一棵树每多种一棵树,平均每棵树平均每棵树就会少结就会少结5 5个橙子个橙子.(2)(2)假设果园增种假设果园增种x x棵橙子树棵橙子树,那么果园共有多少棵那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？果
4、园共有（果园共有（100+x100+x）棵树）棵树,平均每棵树结（平均每棵树结（600-5x600-5x）个橙子个橙子(3)(3)如果果园橙子的总产量为如果果园橙子的总产量为y y个个,那么请你写出那么请你写出y y与与x x之间的关系式之间的关系式.600001005:)5600)(100(2xxyxxyxy化简，得；的关系式为：与y=(100+x)(600-5x)=-5x+100 x+60000y=(100+x)(600-5x)=-5x+100 x+60000在上述问题中在上述问题中,种多少棵橙子树种多少棵橙子树,可以使果园橙子可以使果园橙子的总产量最多？的总产量最多？想一想：想一想：在种
5、树问题中在种树问题中,种多少棵橙子树种多少棵橙子树,可以使果园橙子可以使果园橙子的总产量最多？的总产量最多？我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况。你能根据表格中的数据做出猜测而变化的情况。你能根据表格中的数据做出猜测吗？自己试一试。吗？自己试一试。x x 6 67 78 89 910101111y y x x121213131414y y6042060420604456044560480604806049560495605006050060495604956048060480604456044560420604206037560455
6、604806049560500604956048060455604206037560420你发现了吗？你发现了吗？银行银行的储蓄利率是随时的储蓄利率是随时间变化间变化的的,也就是说，利率也就是说，利率是一个变量是一个变量.在我国在我国,利率的调整是由中国人民银利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的行根据国民经济发展的情况而决定的.设设人民币一年定期储蓄的年利率是人民币一年定期储蓄的年利率是x,x,一年到期后一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果如果存款是存款是100100元元,那么请你写出两年后的本息和那么请你写出两年后
7、的本息和y(y(元元)的的表达式表达式。y=100(x+1)=100 x+200 x+100y=100(x+1)=100 x+200 x+100做一做做一做：想一想想一想（1 1）已知矩形的周长为）已知矩形的周长为40cm,40cm,它的面积可能是它的面积可能是100cm100cm2 2吗？可能是吗？可能是75cm75cm2 2吗？还可能是多少？你能吗？还可能是多少？你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗？表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗？当矩形为正方形且边长为当矩形为正方形且边长为10cm10cm时，面积是时，面积是100cm100cm2 2;当矩形的长和宽分别是当矩形的长和宽分别是1
8、5cm15cm和和5cm5cm时，面积是时，面积是75cm75cm2 2;还有很多其他可能。设矩形的一边长为还有很多其他可能。设矩形的一边长为xcmxcm,面积为面积为ycmycm2 2,则另一边长为（则另一边长为（20-x20-x）cm,cm,根据题意根据题意得得y=xy=x（20-x20-x）=20 x-x=20 x-x2 2.(2)(2)两数的和是两数的和是2020，设其中一个数是，设其中一个数是x,x,你能写出这你能写出这两个数之积两个数之积y y的表达式吗？的表达式吗？y=xy=x（20-x20-x）=20 x-x=20 x-x2 2.y y是是x x的函数吗的函数吗？y y是是x
9、x的一次函数？是反比例函数？的一次函数？是反比例函数？二次函数定义：二次函数定义：一般一般地地,若两个变量若两个变量x,yx,y之间的对应关系可以表示之间的对应关系可以表示成成y=ax+bx+c(y=ax+bx+c(a,b,ca,b,c是常数是常数,a 0),a 0)的形式，则称的形式，则称y y是是x x的的二次函数二次函数.y=-5x+100 x+60000y=-5x+100 x+60000；y=100 x+200 x+100y=100 x+200 x+100；y=20 x-xy=20 x-x2 2.例如，例如，y=-y=-5x+100 x+600005x+100 x+60000，y=10
10、0 x+200 x+100y=100 x+200 x+100和和y=-x2-20 xy=-x2-20 x都是二次函数。我们以前学过的正都是二次函数。我们以前学过的正方形面积方形面积A A与边长与边长a a的关系的关系A=a2,A=a2,圆面积圆面积S S与半径与半径r r的关系的关系S=S=r2,r2,自由落体运动物体下落的高度自由落体运动物体下落的高度h h与与下落的时间下落的时间t t的关系的关系 等也是二次函数的等也是二次函数的例例子。子。221gth 提示提示:(1)(1)关于关于x x的代数式一定是整式的代数式一定是整式,a,b,ca,b,c为常数为常数,且且a a0.0.(2)(2
11、)等式的右边最高次数为等式的右边最高次数为2,2,可以没有一次可以没有一次项和项和常常数项数项,但不能没有二次项但不能没有二次项.二次函数定义：二次函数定义：一般地一般地,若两个变量若两个变量x,yx,y之间的对应关系可以表示之间的对应关系可以表示成成y=ax+bx+c(y=ax+bx+c(a,b,ca,b,c是常数是常数,a 0),a 0)的形式，则称的形式，则称y y是是x x的二次函数的二次函数.二次函数二次函数(1)y=ax-(a0,b=0,c=0).(1)y=ax-(a0,b=0,c=0).(2)y=ax+c-(a0,b=0,c0)(2)y=ax+c-(a0,b=0,c0)(3)y=
12、ax+bx-(a0,b0,c=0(3)y=ax+bx-(a0,b0,c=0）下列下列函数中函数中,哪些是二次函数？哪些是二次函数？(1(1）y=3(x-1)+1y=3(x-1)+1(3)(3)s=3-2ts=3-2t2 2(5)y=(x+3)-x(5)y=(x+3)-x(6)v=10r(6)v=10rxxy21)4(xxy1)2(（是）（是）（是）（是）（不是）（不是）（是）（是）（不是）（不是）（不是）（不是）议一议议一议上述问题中，自变量能取那些值？上述问题中，自变量能取那些值？练习练习下列是二次函数的是：下列是二次函数的是：_22222226.2.23.2)1(2.)2)(1(.65.2
13、.xyxyxxyxxyxxyxyxycbxaxy底面为正方形的长方体，已知底面边长是底面为正方形的长方体，已知底面边长是a a，长方，长方体的高为体的高为5 5，体积为体积为v v，(1)(1)求求v v与与a a之间的函数表达式：之间的函数表达式：_,v_,v是是a a的的_函数函数,其中二次项系数其中二次项系数为为_._.一一次项系数次项系数为为_,_,常数常数项项为为_._.(2)(2)当当a=2a=2时，时，v=v=_._.a525av 二次二次50020某商场将进价为某商场将进价为4040元的某种服装按元的某种服装按5050元售出时，每元售出时，每天可以售出天可以售出300300套据
14、市场调查发现，这种服装每套据市场调查发现，这种服装每提高提高1 1元售价，销量就减少元售价，销量就减少5 5套，如果商场每件提价套，如果商场每件提价x x元，请你得出每天销售利润元，请你得出每天销售利润y y与售价的函数表达式与售价的函数表达式：化为一般式为：化为一般式为：_,_,y y是是x x的的_函数函数)5300)(4050(xxy300025052xxy二次二次下列下列函数中，不是二次函数（函数中，不是二次函数（）16.2 xyA261.xyB1.2xyC)2)(1(.xxyD函数函数 是是二次函数的条件是二次函数的条件是（）A Am m、n n为常数，且为常数，且m0m0B Bm
15、m、n n为常数，且为常数，且mnmnC Cm m、n n为常数，且为常数，且n0n0D Dm m、n n可以为任何常数可以为任何常数nmxxnmy2)(CB2)23(xS半径半径为为3 3的圆，如果半径增加的圆，如果半径增加2x2x，面积，面积S S与与x x之间之间的的函数函数表达式为表达式为:_:_某某公司公司1 1月份营业额月份营业额100100万元，三月份营业额为万元，三月份营业额为y y万万元元,如果每月的增长率为如果每月的增长率为x x，则，则y y与与x x的的关系式关系式为为:_:_ 2)1(100 xy如如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有图，校园要建苗圃，其形状如直角
16、梯形，有两两边边借用夹角为借用夹角为135135的两面墙，另外两边是总长的两面墙，另外两边是总长为为3030米的铁栅栏，米的铁栅栏，（1 1）B=_ B=_（2 2）用含有）用含有x x代数式分别表示：代数式分别表示：BC=BC=_ _ AD=_AD=_45x30 x230如如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两两边边借用夹角为借用夹角为135135的两面墙，另外两边是总长的两面墙，另外两边是总长为为3030米的铁栅栏，米的铁栅栏，（3 3）求梯形的面积）求梯形的面积y y与高与高x x的表达式的表达式.xX EX解：过点解：过点A A作作ADBC,A
17、DBC,依题意得依题意得,xxyxxyxxxAEBCADyxxxADBEBCECADxAEBE3023)360(21)30230(21)(21230)30(,45BADB2又已知已知一张三角形纸片一张三角形纸片ABCABC，面积为，面积为2525，BCBC边的长为边的长为1010，A A和和B B都是锐角，都是锐角，M M为为ABAB边上的一个动点，边上的一个动点，且且M M不与点不与点A A点点B B重合），过点重合），过点M M作作MNBCMNBC交交ACAC于点于点N N，设设MN=x,MN=x,请用请用x x表示表示AMNAMN的面积的面积S S.AMNBC22222241100251
18、025xSxSxSMNBCAMNSABCS解：x10A AB BC CD D如如图，四边形图，四边形ABCDABCD中，中，BADBAD=ACB=90ACB=90，AB=ADAB=AD，AC=4BCAC=4BC，设，设CDCD的长为的长为x x，四边形四边形ABCDABCD的面积为的面积为y y，则则y y与与x x之间的函数关系式是（）之间的函数关系式是（）【答案答案】选选C.C.2225yx2425yx225yx245yxA.C.D.B.用用总长为总长为60m60m的篱笆围成矩形场地，场地面积的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m)S(m)与矩形一边长与矩形一边长a(m)a(m)之间的关系是什
19、么？是函数关之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？系吗？是哪一种函数？是二次函数关系式是二次函数关系式.解：解：S=a(-a)=a(30-a)S=a(-a)=a(30-a)=30a-a=30a-a=-a=-a+30a+30a.圆圆的半径是的半径是1cm,1cm,假设半径增加假设半径增加xcmxcm时时,圆的面积增加圆的面积增加ycm.ycm.（1 1）写出）写出y y与与x x之间的函数关系表达式；之间的函数关系表达式；（2 2）当圆的半径分别增加）当圆的半径分别增加1cm,1cm,2cm 2cm时时,圆的圆的面积各增加面积各增加多少？多少？2cm.8,)21(2,32;212222c
20、mcmcmxxy）（）（如果函数如果函数y=(k-3)y=(k-3)+kx+1kx+1是二是二次函数次函数,则则k k的值一定是的值一定是_ _ 232kkx0如果函数如果函数y=+kx+1y=+kx+1是二次函数是二次函数,则则k k的值一定是的值一定是_ _ 232kkx0或或31 1、定义：一般地、定义：一般地,形如形如y=ax+bx+c(a,y=ax+bx+c(a,b,cb,c是常数是常数,a0),a0)的函数叫做的函数叫做x x的的二次函数二次函数.2 2、y=ax+bx+c(y=ax+bx+c(a,b,ca,b,c是常数是常数,a0),a0)的几种不同表示形式的几种不同表示形式:(
21、1)y=ax-(1)y=ax-(a0,b=0,c=0,).(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax+c-(a0,b=0,c0).(2)y=ax+c-(a0,b=0,c0).(3)y=ax+bx-(3)y=ax+bx-(a0,b0,c=0).(a0,b0,c=0).小结：小结：学完本课后你有哪些学完本课后你有哪些收获？收获？3 3、定义、定义的实质是：的实质是：ax+bx+cax+bx+c是是整式整式,自变量自变量x x的最的最高次数是二次高次数是二次作业：作业：习题习题2.1 1、2、3、4题。题。课本习题课本习题.51)4(;22)3(;2521)2(;3211,22322ttsxyxxy
22、xytx）（次函数？是自变量），哪些是二下列函数中（1 1）和（）和（4 4）是二次函数。）是二次函数。物体从某一高度落下，已知下落的高度物体从某一高度落下，已知下落的高度h h（m m）和）和下落的时间下落的时间t t（s s）的关系是：）的关系是：h=4.9th=4.9t2 2,填表表示物填表表示物体在前体在前5s5s下落的高度：下落的高度：t/s12345h/m4.919.644.178.4122.5某工厂计划为一批长方体形状某工厂计划为一批长方体形状的产品表面涂上油的产品表面涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m.0.5m.（1 1）长方体的长和
23、宽用）长方体的长和宽用x x（m m）表示，长方体的表）表示，长方体的表面积面积S S（m m2 2）的表达式是什么？）的表达式是什么？（2 2）如果涂漆每平方米所需要的费用是）如果涂漆每平方米所需要的费用是5 5元，油元，油漆每个长方体所需要费用用漆每个长方体所需要费用用y y（元）表示，那么（元）表示，那么y y的表达式是什么？的表达式是什么？（1 1）S=6xS=6x2 2+2x;+2x;（2 2）y=30 xy=30 x2 2+10 x.+10 x.某超市欲购进一种今年新上市的某超市欲购进一种今年新上市的产品，购进价为产品，购进价为2020元元/件。为了调查这种新产品的销路，该超市进件
24、。为了调查这种新产品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量行了试销售，得知该产品每天的销售量t t（件）与（件）与每件的销售价每件的销售价x x（元（元/件）之间有如下关系：件）之间有如下关系：t=-3x+70.t=-3x+70.请写出该超市销售这种产品每天的销售请写出该超市销售这种产品每天的销售利润利润y y（元）与（元）与x x之间的函数关系式。之间的函数关系式。y y=(x-20)t=(x-20)t =(x-20)(-3x+70)=(x-20)(-3x+70)=-3x=-3x2 2+130 x-1400+130 x-1400 有关的数学名言有关的数学名言 数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明
