1、 1信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔第第2章章 随机变量及其分布随机变量及其分布2.1 2.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数2.4 2.4 连续型随机变量及其密度函数连续型随机变量及其密度函数2.3 2.3 几种常见的离散型分布几种常见的离散型分布2.2 2.2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律2.6 2.6 随机变量函数及其分布随机变量函数及其分布2.5 2.5 正态分布正态分布信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔2.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数一、随机变量一、随机变量二、随机变量的分布函数二、随机变量的分布函数 3信息管理学院信息管理学院 徐晔徐
2、晔一、随机变量一、随机变量例例 袋中有袋中有3 3只黑球，只黑球，2 2只白球，从中任意取出只白球，从中任意取出3 3只球，观察只球，观察取出的取出的3 3只球中的黑球的个数我们将只球中的黑球的个数我们将3 3只黑球分别记只黑球分别记作作1 1，2 2，3 3号，号，2 2只白球分别记作只白球分别记作4 4，5 5号，则该试验的号，则该试验的样本空间为样本空间为 543542532432541531431521421321，4信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔我们记取出的黑球数为我们记取出的黑球数为 X，则，则X 的可能取值为的可能取值为1,2,31,2,3因此因此,X是一个变量是一个变量但是
3、，但是，X取什么值依赖于试验结果，即取什么值依赖于试验结果，即X的取值带有随的取值带有随机性，所以，我们称机性，所以，我们称 X 为随机变量为随机变量X 的取值情况可由下表给出：的取值情况可由下表给出：5信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量着变量 X 的一个确定的取值，因此变量的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空是样本空间间上的函数：上的函数：wwXX我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划情况来刻划随机事件随机事件例如例如 2 X 表示至少
4、取出2个黑球这一事件，等等 22 XwXw：表示取出2个黑球这一事件；样本点样本点黑球数黑球数 X样本点样本点黑球数黑球数 X321，3541，1421，2432，2521，2532，2431，2542，1531，2543，1 6信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例一大批产品中次品率为一大批产品中次品率为p，从中任取，从中任取n件，求件，求其中最多有其中最多有k件次品的概率。件次品的概率。niinAi,2,1,0 件件次次品品，件件产产品品中中有有为为设设nXnX,2,1,0 则则件产品中的次品数，件产品中的次品数，为为设设件件次次品品件件产产品品中中最最多多有有为为knBkAAAB10 则
5、则个次品个次品则可表示最多有则可表示最多有kkX 10kXXXkX 求求P(B)kXP 求求 7信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔Bernoulli试验中，试验中，A表示成功，可表示成功，可设设 不发生不发生发生发生AAX01 8信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔此处用此处用w表示样本空间，并非样本空间中只有一个表示样本空间，并非样本空间中只有一个元素元素w，而是用，而是用w表示所有的元素。表示所有的元素。随机变量的定义随机变量的定义定义定义：设随机试验：设随机试验E的样本空间是的样本空间是=w，如果对于，如果对于每一个每一个w，有一个实数，有一个实数X(w)与之对应，且对任何与之对应，且对任
6、何一个实数一个实数 是随机事件，这样是随机事件，这样就得到一个定义在就得到一个定义在上的上的单值实值单值实值函数函数X=X(w)，称，称X=X(w)为为随机变量随机变量,简记为简记为X。wxwXwx,9信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔说说 明明等来表示等来表示、希腊字母希腊字母或或、文字母文字母随机变量常用大写的英随机变量常用大写的英 ZYX常关心的是它的取值常关心的是它的取值对于随机变量，我们常对于随机变量，我们常的取值来描述随机事件的取值来描述随机事件的，是要用随机变量的，是要用随机变量我们定义随机变量的目我们定义随机变量的目 10信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例1 盒中有盒中有5
7、 5个乒乓球个乒乓球,其中其中2 2个白球，个白球，3 3个黄个黄球球,从中任取从中任取3 3个个,记记X=“=“取到白球的个数取到白球的个数”,则则X是一个随机变量是一个随机变量,且且X的可能取值是的可能取值是0,1,2,0,1,2,且且有有 )0(XP )1(XP )2(XP1.03533 CC6.0352312 CCC3.0351322 CCC 11信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例2 上午上午 8:009:00 在某路口观察，令在某路口观察，令Y：该时间间隔内通过的汽车数则该时间间隔内通过的汽车数则Y 就是一就是一个随机变量它的取值为个随机变量它的取值为 0，1，100 Y 表示通
8、过的汽车数小于表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；辆这一随机事件；10050 Y 表示通过的汽车数大于表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过辆但不超过 100辆这一随机事件辆这一随机事件 12信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 随机变量概念随机变量概念的产生是概率论发展史上的的产生是概率论发展史上的重大事件重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，使人们可利用数学分析的方法对规律的研究，使人们可利用数学分析的方法对随机试验结果进行广泛而深入的研究随机试验结果进行广泛而深入的研究.随机变量因其取值方式的不同，随机变量因其取值方式的不同，通常分为两类：
9、通常分为两类：离散型离散型随机变量随机变量连续型连续型非离散型非离散型其它其它 13信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔)(xXPxF 称为称为X的分布函数的分布函数0 xxX 设设X是一个随机变量是一个随机变量,是任意实数是任意实数,函数函数几何定义几何定义：二、随机变量的分布函数二、随机变量的分布函数x 14信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔发生的概率发生的概率本质上是事件本质上是事件分布函数分布函数)(xXxF 定义域为定义域为分布函数分布函数)(xF x取值范围为取值范围为分布函数分布函数)(xF1)(0 xF21xXxX 且且)(1221xXxXPxXxP 所以所以12xXPxXP )
10、()(12xFxF 1221xXxXxXx 由于由于 15信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔X的分布函数为的分布函数为出现的点数小于出现的点数小于x的概率的概率1,2,3,4,5,6例例3掷一枚骰子掷一枚骰子,设设X表示出现的点数表示出现的点数,其可能取值为其可能取值为没有可能的点数没有可能的点数包含出现包含出现1点点包含出现包含出现1,2点点包含出现包含出现1,2,3点点包含出现包含出现1,2,3,4点点包含出现包含出现1,2,3,4,5点点包含出现包含出现1,2,3,4,5,6点点616565543243213231216110)(xxxxxxxxXPxF 分布函数分布函数是累计概率是累计
11、概率 16信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔分布函数的性质分布函数的性质 ,上上是是一一个个不不减减函函数数在在 xF(1);,212121xFxFxxxx 都都有有且且即即对对 21F xF x 120P xXx(3)F(x)右连续，即右连续，即 000lim()()xxFxF xF x(2)()F limxF x limxF x()F 0 1）（xxXPxF),()(17信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 如果一个函数具有上述性质，则一定是某如果一个函数具有上述性质，则一定是某个个r.v X 的分布函数的分布函数.也就是说，性质也就是说，性质(1)-(3)是是鉴别一个函数是否是某鉴别一个函
12、数是否是某 r.v 的分布函数的充分的分布函数的充分必要条件必要条件.18信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例4 判别下列函数是否为某随机变量的分布函数判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?(1)(1)0,1;02,2/12,0)(xxxxF解解(1)(1)由题设由题设,)(xF在在),(上单调不减上单调不减,右连续右连续,并有并有,0)(lim)(xFFx,1)(lim)(xFFx所以所以)(xF是某一随机变量是某一随机变量X的分布函数的分布函数.19信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例4 判别下列函数是否为某随机变量的分布函数判别下列函数是否为某随机变量的分布函数?;,10,sin0
13、,0)(xxxxxF(2)(2)(2)(2)因因)(xF在在 上单调下降上单调下降,),2(不可能是分布函数不可能是分布函数.)(xF所以所以解解 20信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔都都有有、Rxxx 21)0()(xFxFxXPxXPxXP)(11xFxXPxXP )0(11 xFxXPxXP)0()(lim0 xFxxFxXPx 用分布函数用分布函数F(x)表示的事件概率计算公式表示的事件概率计算公式)()(1221xFxFxXxP )0()(1221 xFxFxXxP)()0(1221xFxFxXxP )0()0(1221 xFxFxXxP 21信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 3
14、031)(3xxxAxFX的分布函数为的分布函数为设随机变量设随机变量52)2(;)1(XPA概概率率系系数数求求：例例5解解(1)(1)因为分布函数右连续因为分布函数右连续,且且0)3(,)1(lim)(lim333 FxAxFxx27 A所以所以2552)2(XPXPXP)2()(lim5FxFx 12598052713 信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔2.2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数 23信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔定义定义 如果一个随机变量仅可能取
15、得有限个或可如果一个随机变量仅可能取得有限个或可数无穷多个数值，并且所有的数可按一定的顺序数无穷多个数值，并且所有的数可按一定的顺序排列，则称该随机变量为离散型随机变量排列，则称该随机变量为离散型随机变量.,21nkxxxxX设离散型随机变量设离散型随机变量X其可能的取值为其可能的取值为,3,2,1 ixXPpii称称为离散型随机变量为离散型随机变量X的概率分布或概率函数，也的概率分布或概率函数，也称为分布列或分布律称为分布列或分布律一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律 24信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔Xip1x2xnx1p2pnp表格形式表格形式分布列的性质：分布列的性
16、质：,2,1,0)1(kpi1)2(iip 25信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔概率直方图概率直方图另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图.0.20.40.60120.0750.3250.6线条图线条图0.20.40.6012PXPX0.075 0.325 0.6 0 1 2 Xip 26信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例1袋中有袋中有1 1个白球和个白球和4 4个黑球，每次不放回地从个黑球，每次不放回地从中任取一个球，直至取得白球为止，求取球中任取一个球，直至取得白球为止，求取球次数的概率分布次数的概率分布.解解设设X为取到白球时的
17、取球次数为取到白球时的取球次数X的可能取值为的可能取值为1,2,3,4,5不难求得不难求得)1(XP2.051 )2(XP2.04154 )3(XP2.0314354 )4(XP2.021324354 )5(XP2.0121324354 因此因此,所求的概率分布为所求的概率分布为XP1 2 3 4 50.2 0.2 0.2 0.2 0.2 27信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔Xip1x2xnx1p2pnp则则X的分布函数为的分布函数为)(xXPxF 即，即，,0)(xF当当21xxx 时，时，,)(1pxF ixxxXPi xxiip1xx 时，时，当当当当32xxx 时，时，,)(21pp
18、xF 当当nnxxx 1时，时，,)(121 npppxF二、离散型随机变量的分布函数二、离散型随机变量的分布函数 28信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔如图，如图，)(xF是一个阶是一个阶它在它在ixx ),2,1(i有跳跃，有跳跃，.iixXPp 反之，反之，若一个随机变量若一个随机变量X的分布函的分布函则则X一定是一个离散型随机变量，一定是一个离散型随机变量，其概率分布亦由其概率分布亦由分布亦由分布亦由)(xF唯一确定唯一确定.梯函数，梯函数，跳跃度恰为随机变量跳跃度恰为随机变量ixx 点处的概率点处的概率X在在数，数，数为阶梯函数为阶梯函)(xFxO2x1x3x.1p3p2p当当nnx
19、xx 1时，时，,)(121 npppxF 29信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 例例2 设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以信号灯，每盏信号灯以 1/2 1/2 的概率允许或禁止汽的概率允许或禁止汽车通过车通过.以以X表示汽车首次停下时，它已通过的信表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求号灯的盏数，求X的分布律的分布律.(.(信号灯的工作是相信号灯的工作是相互独立的互独立的).).PX=3=(1-p)3p 30信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔解解 以以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率
20、，则X的分布律为：的分布律为：pkp或写成或写成 PX=k=(1-p)kp，k=0,1,2,301234(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4 X PX=4=(1-p)4 31信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔以以p=1/2代入得代入得X的分布律：的分布律：Xpk 0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625 41439375.032875.02175.0105.000)(xxxxxxxFX的分布函数为的分布函数为 分布函数分布函数是累计概率是累计概率 32信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例3有人对随机变量有人对随机变量X X的分布列表述如下的
21、分布列表述如下:3.01021016.02aaaPX -1 0 1 2 3 求求 .a解解根据概率分布的性质根据概率分布的性质0 a151 iip且且所以所以13.01021016.02 aaa6.09.0 aa解得解得(舍去舍去)33信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔作业作业P47练习2.1 2P51练习2.2 1 2信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔2.3 几种常见的离散型分布几种常见的离散型分布一、两点分布一、两点分布二、二项分布二、二项分布三、三、泊松泊松(Poisson)(Poisson)分布分布四、超几何分布四、超几何分布*35信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔定义定义若一个随机变
22、量若一个随机变量X只有两个可能的取值只有两个可能的取值,其分布为其分布为),10(p且且,12pxXP ,1pxXP 特别地特别地,点分布点分布,即即参数为参数为p的两的两则称则称X服从服从21,xx处处p的的两点分布两点分布.参数为参数为若若X服从服从0,121 xx处处Xip01p 1p则称则称X服从参数为服从参数为p的的10 分布分布.一、两点分布一、两点分布 36信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一任何一个只有两种可能结果的随机现象个只有两种可能结果的随机现象,比如新生比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是婴儿是男还是女
23、、明天是否下雨、种籽是否发芽等否发芽等,都属于两点分布都属于两点分布.说明说明 37信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 HeTeX,1,0例例1 抛掷一枚质地均匀的硬币抛掷一枚质地均匀的硬币,有两种可能的结果：有两种可能的结果：H表示正面朝上，表示正面朝上，T表示背面朝上，引入变量表示背面朝上，引入变量X，令，令 pi=P X=i=0.5 (i=0,1)X 01p0.5 0.5X的概率分布表：的概率分布表：概率分布为概率分布为 38信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例2 200 件产品中件产品中,有有 196 件是正品件是正品,则则,0,1 取到次品取到次品取到正品取到正品XX服从参数为服从
24、参数为 0.98 的两点分布的两点分布.于是于是,4 件是次品件是次品,今从中随机地抽取一件今从中随机地抽取一件,若规定若规定1 XP200196,98.0 0 XP2004.02.0 39信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔二、二项分布二、二项分布定义定义 若随机变量若随机变量X的所有可能取值为的所有可能取值为0,1,2,n,其概其概率分布为率分布为 nkqpCkXPknkkn,2,1,0,),(,1,10pnBXpnXNnpqp记记为为项项分分布布为为参参数数的的二二服服从从以以则则称称其其中中 很显然很显然,n重重伯努利伯努利试验中成功的次数服从二项分布试验中成功的次数服从二项分布事实上事
25、实上,二项分布就是来源于二项分布就是来源于n重重伯努利伯努利试验模型试验模型 40信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔n=1时，时，即即 PX=0=1-p,PX=1=pPX=k=pk(1-p)1-k,(k=0,1)，(0-1)(0-1)分布分布性性质质0 kXP(1)1)(00 nnkknkknnkqpqpCkXP(2)nkqpCkXPknkkn,2,1,0,41信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔).,(pnBX二项分布的图形特点二项分布的图形特点:PknO对于固定对于固定n及及,p当当k增增加时加时,概率概率kXP 先先是随之增加直至达到最是随之增加直至达到最大值大值,随后单调减少随后单调减少
26、.,)1(knkknppCkXP 42信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔pknOn 13,p 0.5图图2在图在图1 1和图和图2 2中，中，分别给出了当分别给出了当7.0,10 pn和和5.0,13 pn时二项分布的图形时二项分布的图形.从图易从图易看出：看出：对于固定对于固定n及及,p当当k增加时，增加时，概率概率kXP 先是随之增加直至达到最大值，先是随之增加直至达到最大值，随后随后单调减少单调减少.pknOn 10,p 0.7图图1 43信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔注注：x为不超过为不超过x的最大整数的最大整数.当当pn)1(为整数时，为整数时，二项概率二项概率kXP 在在pnk
27、)1(和和1)1(pnk处达到最处达到最大值大值.可以证明，可以证明，一般的二项分布的图形也具有这一一般的二项分布的图形也具有这一性质，性质，二项概率二项概率kXP 在在)1(pnk 达到最大值；达到最大值；pn)1(不为整数时，不为整数时，且当且当pknOn 10,p 0.7图图1pknOn 13,p 0.5图图2 44信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例3 一张考卷上有一张考卷上有5 5道选择题，每道题列出道选择题，每道题列出4 4个个可能答案，其中只有一个答案是正确的某学可能答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测至少能答对生靠猜测至少能答对4 4道题的概率是多少？道题的概率是多少？
28、的的题题数数：该该学学生生靠靠猜猜测测能能答答对对设设X 41,5 BX 4 XP 道题道题至少能答对至少能答对4P 5 XP5445414341 C641 4 XP解解 每答一道题相当于做一次每答一道题相当于做一次伯努利伯努利试验，试验，则则 45信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例4 按规定按规定,某种型号电子元件的使用寿命超过某种型号电子元件的使用寿命超过15001500小时的为一级品小时的为一级品.已知某批产品的一级品率为已知某批产品的一级品率为0.2,0.2,现在从中随机地抽取现在从中随机地抽取2020只只,问问2020只元件中恰有只元件中恰有k(k=0,1,2,20)=0,1,2
29、,20)只为一级品的概率为多少？只为一级品的概率为多少？kXP记记X为为2020只元件中一级品的只数只元件中一级品的只数,解解 BX 2.0,20kkkC 2020)8.0()2.0(.20,1,0 k 46信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔解：将每次射击看成一次试验解：将每次射击看成一次试验,设击中的次数为设击中的次数为X,则则XB(400,0.02),399400)98.0)(02.0(400)98.0(1 )400,.,2,1,0()98.0()02.0(400400 kCkXPkkk1012 XPXPXP9972.0 某人进行射击，设每次射击的命中率为某人进行射击，设每次射击的命中率为
30、0.02，独立射击，独立射击400次，求至少击中两次次，求至少击中两次的概率。的概率。所求概率所求概率为为 47信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 0)2(kkXP是是常常数数其其中中0,.2,1,0,!kkekXPk随机变量随机变量X所有可能取值为所有可能取值为0,1,2,取各个值的概率取各个值的概率称称X服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布,记为记为XP().(1)P X=k 0.0!kkke 1!0 eekekk三、三、泊松泊松(Poisson)(Poisson)分布分布性性质质 48信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两
31、位科学家在观二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的察与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况粒子个数的情况时时,他们做了他们做了2608次观察次观察(每次时间为每次时间为7.5秒秒)发现发现放射性物质在规定的一段时间内放射性物质在规定的一段时间内,其放射的粒其放射的粒子数子数X服从泊松分布服从泊松分布.49信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中,泊
32、松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等,都服从泊松分布都服从泊松分布.50信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例5一输电网一年中意外输电中断的次数服从参数一输电网一年中意外输电中断的次数服从参数为为6的的Poisson分布，问一年中不多于两次意外分布，问一年中不多于两次意外断电的概率断电的概率.解解设一年中的意外断电次数为设一年中的意外断电次数为X)6(PX则则所以所以,一年中不多于两次断电的概率为一年中不多于两次断电的概率为2 XP0 XP1 XP2 XP60!06 e61!16 e62!26
33、e=0.06197查表查表(累积概率累积概率)51信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔二项分布的泊松逼近二项分布的泊松逼近对二项分布对二项分布),(pnB当试验次数当试验次数n很大时，很大时，计计算其概率很麻烦算其概率很麻烦.例如，例如，要计算要计算n=5000=5000 50006500065000kkkCkXP,1000999100015000 kk 5 XP故须寻求近似计算方法故须寻求近似计算方法.这里先介绍二项分布的这里先介绍二项分布的泊松逼近泊松逼近，在第五章中还将介绍二项分布的正态在第五章中还将介绍二项分布的正态逼近逼近.52信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔泊松定理泊松定理 在在n
34、重伯努利实验中，重伯努利实验中，事件事件A在在每次试验中发生的概率为每次试验中发生的概率为,np若当若当 n时，时，0(nnp为常数为常数),则有则有,!)1(lim ekppCkknnknknn,2,1,0 k该定理于该定理于1837年由法国数学家泊松引入！年由法国数学家泊松引入！53信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)(nnp 可见，当可见，当n充分大充分大,p又很小时又很小时,可用泊松可用泊松分布来近似二项分布！分布来近似二项分布！实际计算中，实际计算中，10,100 npn时近似效果变很好时近似效果变很好.54信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 由泊松
35、定理，由泊松定理，n重重伯努利伯努利试验中稀有事件试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布出现的次数近似地服从泊松分布.我们把在每次试验中出现概率很小的事我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作件称作稀有事件稀有事件.如地震、火山爆发、特大如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等洪水、意外事故等等 55信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例6 一家商店采用科学管理一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记由该商店过去的销售记录知道录知道,某种商品每月的销售数可以用参数某种商品每月的销售数可以用参数 的的泊松分布来描述泊松分布来描述,为了以为了以 95%以上的把握保证不脱以上的把握保证不脱销销
36、,问商店在月底至少应进该种商品多少件问商店在月底至少应进该种商品多少件?5 解解 设该商品每月的销售数为设该商品每月的销售数为,XX已知已知服从参数服从参数5 的泊松分布的泊松分布.设商店在月底应进该种商品设商店在月底应进该种商品m件件,求满足求满足95.0 mXP的最小的的最小的,m即即95.0!505 mkkke查泊松分布表查泊松分布表,得得,968172.0!5905 kkke931906.0!5805 kkke于是得于是得9 m件件.56信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 保保险险公司公司为为了估了估计计企企业业的利的利润润，需要，需要计计算投保算投保人在一年内死亡若干人的概率。人在一
37、年内死亡若干人的概率。设设某保某保险险公司的某人寿保公司的某人寿保险险险险种有种有1000人投保人投保,每个人一年内死亡的概率每个人一年内死亡的概率为为0.005个，个，试试求在未来一年中在求在未来一年中在这这些投保人中死亡人数不超些投保人中死亡人数不超过过10人的人的概率概率对每个人而言，在未来一年是否死亡相当于做一对每个人而言，在未来一年是否死亡相当于做一次次伯努利伯努利试验，试验，1000人就是做人就是做1000重重伯努利伯努利试验，试验，因此因此 XB(1000,0.005)，解解)5(PX 9862.0!5101005 kkkeXP由泊松定理由泊松定理 57信息管理学院信息管理学院
38、徐晔徐晔作业作业P58练习2.3 1 2信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔2.4 连续型随机变量及其密度函数连续型随机变量及其密度函数一、密度函数一、密度函数二、有关事件的概率二、有关事件的概率三、几种常见的连续型分布三、几种常见的连续型分布 59信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔,),(RxxFX 的的分分布布函函数数为为设设随随机机变变量量,),(Rxxf 如如果果存存在在非非负负可可积积函函数数有有使使得得,Rx xdttfxF)()(为为连连续续型型随随机机变变量量，则则称称 Xf()为为X的概率密度函数的概率密度函数,x简称简称密度函数或分布密度密度函数或分布密度.(或或分布密度函数
39、分布密度函数),),一、密度函数一、密度函数定义定义 60信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔-10-550.020.040.060.08xf(x)xF(x)分布函数与密度函数几何意义)(xfy xdttfxF)()(61信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔是是一一个个可可变变上上限限函函数数)(xF是是一一个个连连续续函函数数所所以以)(xF根据定义根据定义,可以得到密度函数的如下性质可以得到密度函数的如下性质Rxxf ,0)()1(1)()()2(Fdxxf)()()()3(xfxFxxf 处处连连续续，则则在在若若常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续型常利用这两个性质检验一个函数能否作为
40、连续型随机变量随机变量的密度函数的密度函数.62信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔二、有关事件的概率二、有关事件的概率有有、两两个个实实数数的的密密度度函函数数，则则对对任任意意为为连连续续型型随随机机变变量量若若),()(.1babaXxf bXaP aXPbXP )()(aFbF abdxxfdxxf)()(badxxf)(，即即取取某某一一点点值值的的概概率率为为零零连连续续型型随随机机变变量量 X.2RaaXP ,0limxXPaXPaXPax )(lim)(xFaFax =0事实上事实上 63信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔)(.3xFxXPxXP )(1.4xFxXPxXP xx
41、dttfdttf)()(1 badxxf)(.5bXaP bXaP bXaP bXaP 有有对任意对任意,.6Rx xXxxP xxxdttf)(xf )()(xxx 积分中值定理积分中值定理 64信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔)2(2(A1 xarctgt|1 例例1 1设随机变量设随机变量X的密度函数为的密度函数为21)(xAxf 求常数求常数A及及X的分布函数和的分布函数和 .10 XP解解dxxAdxxf 21)(|Aarctgx所以所以 1 AdttdttfxFxx )1(1)()(2)1(1)(2xxf 211 arctgx 10 XP)0()1(FF 0111arctgarc
42、tg 41 65信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔1.1.如果随机变量如果随机变量X的密度函数为的密度函数为 其其它它01)(bxaabxf上上的的均均匀匀分分布布服服从从区区间间则则称称,baX,baUX记记为为从密度函数的意义可知从密度函数的意义可知上上的的任任意意一一点点等等可可能能落落在在区区间间,baX三、几种常见的连续型分布三、几种常见的连续型分布xo)(xf a b 66信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 其它其它01)(bxaabxf)(11)(bxdtabdttfbax )(1)(bxaabaxdtabdttfxax )(00)(axdtdttfxx bxbxaabaxaxx
43、F10)(均匀分布的分布函数为均匀分布的分布函数为xo)(xF a b 1 67信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔均匀分布的意义均匀分布的意义,),(Xba变量变量上服从均匀分布的随机上服从均匀分布的随机在区间在区间.),(性是相同的性是相同的内的可能内的可能中任意等长度的子区间中任意等长度的子区间落在区间落在区间baxo)(xf a bab 1 lablp l 68信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例2 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时起时起,每每15分钟来一分钟来一班车班车,即即7:00,7:15,7:30,7:45 等时刻有汽车到达等时刻有汽车到达此站此站,如果乘客到达此站时间
44、如果乘客到达此站时间X是是7:00到到7:30之之间的均匀随机变量间的均匀随机变量,试求他候车时间少于试求他候车时间少于5分钟的分钟的概率概率.解解 以以7:00为起点为起点 0,以分为单位以分为单位,依题意依题意X),30,0(U 其它其它,0300,301)(xxf 69信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔解解 以以 7:00 为起点为起点 0,以分为单位以分为单位,依题意依题意X),30,0(U 其它其它,0300,301)(xxf为使候车时间少于为使候车时间少于 5 分钟分钟,乘客必须在乘客必须在 7:10 到到7:15 之间之间,或在或在 7:25 到到 7:30 之间到达车站之间到达
45、车站,故所故所求概率为求概率为30251510 XPXP3130130130251510 dxdx即乘客候车时间少于即乘客候车时间少于5分钟的概率是分钟的概率是 1/3.70信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例3 设随机变量设随机变量 X 在在 2,5 上服从均匀分布上服从均匀分布,现现对对 X 进行三次独立观测进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值试求至少有两次观测值大于大于3 的概率的概率.X 的分布密度函数为的分布密度函数为 .,0,52,31)(其他其他xxf X 3 表示表示“对对 X 的观测值大于的观测值大于 3 的概率的概率”,解解2 YP.2720 因而有因而有设设Y 表示
46、表示3次独立观测中观测值大于次独立观测中观测值大于3的次数的次数,则则.32,3 BY 32132223C033332132 C,32d31353 xXP由于由于 71信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔2.如果随机变量如果随机变量 X的密度函数为的密度函数为)(EX记为记为则称则称X服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布 为常数为常数0000)(xxexfxOx)(xf)(xf的几何图形如图的几何图形如图.注：注：指数分布常用来描述对某指数分布常用来描述对某一事件发生的等待时间一事件发生的等待时间.例如例如，乘客在公交车站等车的时间，电子元件的寿命等，乘客在公交车站等车的时间，电子元件的寿
47、命等，因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用因而它在可靠性理论和排队论中有广泛的应用.72信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔 0001)()(xxedttfxFxx 指数分布的重要作用指数分布的重要作用,是常用它来作为各种是常用它来作为各种“寿命寿命”的近似的近似,如通讯、保险、随机服务系统等方面如通讯、保险、随机服务系统等方面)(,0 EXa 设设aeaF )(1aXP 3.分布分布(略略)易求得易求得X的分布函数的分布函数为常数为常数0000)(xxexfx 73信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔例例4某保险公司想开展一种新的寿险业务，被保险某保险公司想开展一种新的寿险业务，被保险人需一
48、次性缴纳保费人需一次性缴纳保费1000元，若被保险人在元，若被保险人在10年内死亡，保险公司将赔负年内死亡，保险公司将赔负5000元，假设人的元，假设人的寿命服从参数为寿命服从参数为1/65的指数分布的指数分布.试帮保险公司试帮保险公司做出决策做出决策.解解假设某人的寿命为假设某人的寿命为X65/1)(，则则EX假设某人投保时年龄超过假设某人投保时年龄超过S岁岁则此人再活则此人再活10年以上的概率为年以上的概率为|10sXsXP 10sXPsXsXP 10sXPsXP ssee )10(10 e8574.0 74信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔因此，被保险人在因此，被保险人在10年内死亡的概
49、率为年内死亡的概率为|101sXsXP 1426.08574.01 所以保险公司对该被保险人的预期收益为所以保险公司对该被保险人的预期收益为1000-0.1426*5000=287(元元)结论结论:保险公司可以开展这种保险业务保险公司可以开展这种保险业务.|10sXsXP 10 e10 XP一般化一般化|sXtsXP te tXP 在已活在已活s年的基础上年的基础上,再活再活t年的年的概率等于寿命大于概率等于寿命大于t年的概率年的概率.指数分布指数分布永远年轻永远年轻 75信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔作业作业P63 练习2.4 1 2 4信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔2.5 正态分布
50、正态分布一、正态分布的密度函数及其特点一、正态分布的密度函数及其特点二、标准正态分布二、标准正态分布三、一般正态分布与标准正态分布的关系三、一般正态分布与标准正态分布的关系 77信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔).,(,)0(,e21)(22)(22NXXxxfXx记为记为的正态分布或高斯分布的正态分布或高斯分布服从参数为服从参数为则称则称为常数为常数其中其中的概率密度为的概率密度为设连续型随机变量设连续型随机变量定义定义 一、正态分布的密度函数及其特点一、正态分布的密度函数及其特点 78信息管理学院信息管理学院 徐晔徐晔正态概率密度函数的几何特征正态概率密度函数的几何特征;)1(对称对称曲
