1、1.(2015宁德,8,4分)如图,已知直线abc,直线m,n与a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,若AC=4,CE=6,BD=3,则 DF的值是 ( ) A.4 B.4.5 C.5 D.5.5,A组 20152019年福建中考题组,考点一 相似的性质与判定,答案 B 直线abc,AC=4,CE=6,BD=3, = ,即 = ,解得DF=4.5.故选B.,2.(2016年宁德,11,4分)如图,已知ADEABC,若ADE=37,则B= ,答案 37,解析 ADEABC,若 ADE=37，得B= ADE=37.,3.(2016厦门,13,4分)如图,在ABC中,DEBC,且AD=2,DB
2、=3,则 = .,答案,解析 DEBC, ADEABC, = , 又AD=2,DB=3,AB=5, = .,4.(2015漳州,14,4分)如图,ADBECF,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F, = ,DE=6,则 EF= .,解析 ADBECF, = , 即 = , EF=9.,答案 9,思路分析 根据平行线分线段成比例定理得到 = ,即 = ,然后根据比例性质求EF.,5.(2016南平,21,8分)如图,RtABC中,C=90,AB=14,AC=7,D是BC上一点,BD=8,DEAB,垂足为E,求线段 DE的长.,解析 DEAB, BED=90, BED=C,
3、 又B=B, BEDBCA, = , DE= = =4.,6.(2016福州,25,12分)如图,在ABC中,AB=AC=1,BC= ,在AC边上截取AD=BC,连接BD. (1)通过计算,判断AD2与ACCD的大小关系; (2)求ABD的度数.,解析 (1)AD=BC= , AD2= = . AC=1,CD=1- = , AD2=ACCD. (2)AD2=ACCD,AD=BC, BC2=ACCD,即 = . 又C=C, ABCBDC. = . 又AB=AC,BD=BC=AD. A=ABD,ABC=C=BDC. 设A=ABD=x,则BDC=A+ABD=2x, ABC=C=BDC=2x, A+A
4、BC+C=x+2x+2x=180. 解得x=36. ABD=36.,思路分析 (1)直接计算即可得结论;(2)由AD2=ACCD,得到BC2=ACCD,即 = ,从而得到ABC BDC,故有 = ,从而得到BD=BC=AD,故A=ABD,ABC=C=BDC.设A=ABD=x,则BDC= 2x,ABC=C=BDC=2x,由三角形内角和等于180可求得x,从而得出结论.,思路分析 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用, 证得ABCBDC是解题的关键.,1.(2016三明,13,4分)如图,在平面直角坐标系中,已知A(1,0),D(3,0),ABC与DEF
5、位似,原点O是位似中心. 若AB=1.5,则DE= .,考点二 图形的位似,解析 ABC与DEF是位似图形,它们的位似中心恰好为原点,已知A点坐标为(1,0),D点坐标为(3,0), AO=1,DO=3, = = , DE=3AB=4.5.,答案 4.5,思路分析 根据点的坐标得出AO,DO的长,进而得出 = = ,求出DE的长即可.,思路分析 此题主要考查了位似图形的性质,根据已知点的坐标得出 = = 是解题的关键.,2.(2015漳州,20,8分)如图,在1010的正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,以点A为位似中心画四边形ABC D,使其与四边形ABCD位似,且相似比为2. (1)
6、在图中画出四边形ABCD; (2)填空:ACD是 三角形.,解析 (1)如图所示: (2)等腰直角. AC2=42+82=16+64=80,AD=62+22=36+4=40,CD2=62+22=36+4=40, AD=CD,AD2+CD2=AC2, ACD是等腰直角三角形. 故填等腰直角.,1.(2018重庆,5,4分)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm和9 cm, 另一个三角形的最短边长为2.5 cm,则它的最长边为 ( ) A.3 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm,B组 20152019年全国中考题组,考点一 相似的性质与判定,
7、答案 C 设所求最长边为x cm,由题意知两个三角形相似,根据相似三角形的三边对应成比例,可列等式 = ,解得x=4.5,故选C.,2.(2018湖北黄冈,5,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5, 则CD= ( ) A.2 B.3 C.4 D.2,答案 C 在RtABC中,因为CE为AB边上的中线,所以AB=2CE=25=10,又AD=2,所以BD=8,易证ACD CBD,则CD2=ADDB=28=16,所以CD=4,故选C.,3.(2017黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DEBC,点
8、F为BC边上一点, 连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案 C 根据平行线分线段成比例定理可知 = , = , = , = ,所以选项A、B、D错 误,选项C正确.故选C.,4.(2016河北,15,2分)如图,ABC中,A=78,AB=4,AC=6.将ABC沿图示中的虚线剪下,剪下的阴影三角形 与原三角形 的是( ),答案 C 选项A与B中剪下的阴影三角形分别与原三角形有两组角对应相等,可得阴影三角形与原三角形 相似;选项D中剪下的阴影三角形与原三角形有两边之比都是23,且两边的夹角相等,所以两个三角形也 是相似的,故选C.,思路
9、分析 本题考查相似三角形的判定,熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键.,5.(2019天津,17,3分)如图,正方形纸片ABCD的边长为12,E是边CD上一点,连接AE.折叠该纸片,使点A落在 AE上的G点,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上.若DE=5,则GE的长为 .,答案,解析 根据题意可知DAE+BAE=90,BFAE,BAE+ABF=90,DAE=ABF,四边形ABCD 是正方形,AD=AB,BAF=D=90,AFBDEA,AF=DE=5,AD=12,根据勾股定理得AE=13. 设AE与BF交于点H,易知AFHAED, = ,即 = ,AH= ,AG=2AH= ,G
10、E=AE-AG = .,思路分析 首先根据题意确定BFAE,进而根据正方形的性质得出AFBDEA,故AF=DE=5,然后根据 两角对应相等两三角形相似得出AFHAED,求得AH= ,最后得出GE的长.,解题关键 本题考查正方形的性质,相似三角形的判定与性质,解题的关键是确定BFAE.,6.(2018吉林,12,3分)如图是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,B=C=90.测得BD=120 m,DC=60 m, EC=50 m,求得河宽AB= m.,答案 100,解析 易知ABDECD, = ,又BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,AB=100 m.,7.(2018北京,13,
11、2分)如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4,AD=3,则CF 的长为 .,答案,解析 四边形ABCD是矩形,ABCD,CD=AB=4,BC=AD=3,DCA=CAB,又DFC=AFE, CDFAEF, = .E是边AB的中点,AB=4,AE=2.BC=3,AB=4,ABC=90,AC=5. = ,CF= .,8.(2019黑龙江齐齐哈尔,23,12分)折纸是同学们喜欢的手工活动之一,通过折纸我们既可以得到许多美丽的 图形,同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识. 折一折:把边长为4的正方形纸片ABCD对折,使边AB与CD重合,展开后得到折痕EF,如图;
12、点M为CF上一 点,将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠,使点C落在EF上的点N处,展开后连接DN,MN,AN,如图.,(一)填一填,做一做: (1)图中,CMD= ;线段NF= ; (2)图中,试判断AND的形状,并给出证明; 剪一剪、折一折:将图中的AND剪下来,将其沿直线GH折叠,使点A落在点A处,分别得到图、图. (二)填一填: (3)图中阴影部分的周长为 ; (4)图中,若AGN=80,则AHD= ;,(5)图中的相似三角形(包括全等三角形)共有 对; (6)如图,点A落在边ND上,若 = ,则 = (用含m,n的代数式表示).,解析 (一)填一填,做一做: (1)75;4-2 . (
13、2分) 详解:如图,由题知CD=DN=2ED,EFAD,2=3, 1=30,4=60,NDC=30, 2=3,NDC=2+3,3=15,C=90, DMC=75. 在RtNED中,1=30,EN=4cos 30=2 ,EF=4, NF=4-2 .,(2)AND是等边三角形. (3分) 证明:由折叠可知DN=CD=AD, (4分) DE= AD,DE= DN, (5分) EFAD,END=30, (6分) ADN=60,ADN是等边三角形. (7分) (二)填一填: (3)12. (8分) 详解:由(2)可知AND为等边三角形, 由折叠可知AG=AG,AH=AH, 阴影部分周长=NG+GA+DH
14、+AH+ND =NG+GA+DH+AH+ND =AN+AD+ND,=12. (4)40. (9分) 详解:由折叠知,A=A=60, N=D=60,NPG=QPA,PQA=HQD, NGPAQP,AQPDQH, NGPDQH,AHD=NPG, N=60,NGP=80,NPG=40, AHD=40.,(5)4. (10分) 详解:由(4)知NGPAQPDQH, 再加上AGHAGH, 共有4对相似三角形. (6) . (12分) 详解: = , 可设AN=bm,AD=bn(b0), AND是等边三角形, AN=AD=ND=b(m+n),A=N=D=60, 由折叠可知AG=AG,AH=AH,A=GAH
15、=60, = , NGA+NAG=120,NAG+HAD=120,NGA=HAD,N=D,NGADAH, = = = , 即 = .,方法总结 图形折叠问题的解题关键是找出对称轴,再根据轴对称性得出全等三角形,同时可以得到折叠 前后两图形对应边及对应角相等的关系.,1.(2017四川成都,8,3分)如图,四边形ABCD和ABCD是以点O为位似中心的位似图形,若OAOA=23,则 四边形ABCD与四边形ABCD的面积比为 ( ) A.49 B.25 C.23 D. ,考点二 图形的位似,答案 A 由位似图形的性质知 = = ,所以 = = .故选A.,2.(2015甘肃兰州,5,4分)如图,线段
16、CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0),以原点为位似中心,将线段CD 放大得到线段AB,若点B的坐标为(5,0),则点A的坐标为 ( ) A.(2,5) B.(2.5,5) C.(3,5) D.(3,6),答案 B 设点A的坐标为(x,y),由位似图形的性质知, = = ,得x=2.5,y=5,则点A的坐标为(2.5,5).故选B.,3.(2017甘肃兰州,17,4分)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O, = ,则 = .,答案,解析 四边形ABCD与四边形EFGH位似,OEFOAB,OFGOBC, = = , = = .,4.(2018安徽,17,8分)如图
17、,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的1010网格中,已知点O,A,B均为网格 线的交点. (1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点分别为A1, B1).画出线段A1B1; (2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90得到线段A2B1.画出线段A2B1; (3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是 个平方单位.,解析 (1)线段A1B1如图所示. (3分) (2)线段A2B1如图所示. (6分) (3)20. (8分) 提示:根据(1)(2)可知四边形AA1B1A2是正方形,边长为 =2 ,以A,A1,B1,A
18、2为顶点的四边形AA1B1A2的 面积为(2 )2=20(个平方单位).,5.(2016广西南宁,21,8分)如图,在平面直角坐标系中,已知ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,- 4). (1)请画出ABC向左平移6个单位长度后得到的A1B1C1; (2)以点O为位似中心,将ABC缩小为原来的 ,得到A2B2C2,请在y轴右侧画出A2B2C2,并求出A2C2B2的 正弦值.,解析 (1)A1B1C1为所求作三角形. (2)A2B2C2为所求作三角形. 根据勾股定理得A2C2= = , sinA2C2B2= = .,1.(2016重庆,8,4分)ABC与DEF的相似比为
19、14,则ABC与DEF的周长比为 ( ) A.12 B.13 C.14 D.116,C组 教师专用题组,考点一 相似的性质与判定,答案 C 因为ABC与DEF的相似比为14,所以由相似三角形周长的比等于相似比,得ABC与 DEF的周长比为14,故选C.,2.(2016黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DEBC,BE与CD相交于点F, 则下列结论一定正确的是 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案 A DEBC,ADEABC, = = ,故选项A正确,故选A.,3.(2017重庆A卷,8,4分)若ABCDEF,相似比为32,则对应高的比为 (
20、 ) A.32 B.35 C.94 D.49,答案 A 相似三角形对应高的比等于相似比,所以选A.,4.(2018内蒙古包头,12,3分)如图,在四边形ABCD中,BD平分ABC,BAD=BDC=90,E为BC的中点,AE与 BD相交于点F.若BC=4,CBD=30,则DF的长为 ( ) A. B. C. D.,答案 D 如图,连接DE. BD平分ABC,CBD=30,1=2=30. 在RtBCD中,BD=BCcos 30=2 . 在RtABD中,AB=BDcos 30=3. E为BC的中点,ED=BE=2,3=2=1. DEAB,AFBEFD, = ,即 = ,DF= .故选D.,思路分析
21、根据题意得,在RtABD和RtBCD中,ABD=CBD=30,由BC=4,求得BD=2 ,进而求得AB =3,由E是BC的中点,得ED=BE,进而可得DEAB,所以AFBEFD,进而求出DF的长.,解题关键 本题考查了含30角的直角三角形的性质,三角形相似的判定和性质.解答本题的关键是作出Rt BCD斜边上的中线.,5.(2018云南,5,3分)如图,已知ABCD,若 = ,则 = .,答案,解析 ABCD,A=C,B=D, AOBCOD. = = .,6.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC. 若APD是等
22、腰三角形,则PE的长为 .,答案 3或,解析 在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD= =10,ABAD,根据PBE DBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,由相似可得 = = PE= ;当AP=PD时,P点为BD的中 点,PE= CD=3,故答案为3或 .,思路分析 根据ABAD及已知条件先判断P点在线段BD上,再根据等腰三角形腰的情况分两种情况:AD =PD=8;AP=PD,再由相似三角形中对应边的比相等求解即可.,难点突破 判断P点在线段BD上是解答本题的突破口.,7.(2018内蒙古包头,18,3分)如图,在ABCD中,AC是一条对角线,EFBC,且E
23、F与AB相交于点E,与AC相交 于点F,3AE=2EB,连接DF.若SAEF=1,则SADF的值为 .,答案,解析 3AE=2EB, = ,又EFBC,AEFABC, = = ,SAEF=1,SABC= . 在ABCD中,SACD=SABC= ,SADF= SACD= .,思路分析 根据3AE=2EB,得 = ,由EFBC,得AEFABC,根据相似三角形的性质及SAEF=1求得S ABC,由SACD=SABC及SADF= SACD可求得SADF.,8.(2019湖北黄冈,23,8分)如图,RtABC中,ACB=90,以AC为直径的O交AB于点D.过点D作O的切线 交BC于点E,连接OE. (1
24、)求证:DBE是等腰三角形; (2)求证:COECAB.,证明 (1)连接OD. DE是O的切线,ODE=90, ADO+BDE=90, 又ACB=90,OAD+B=90, OA=OD,OAD=ADO, BDE=B, EB=ED, DBE是等腰三角形. (2)ACB=90,AC是O的直径, CB是O的切线, 又DE是O的切线, DE=EC. DE=EB,EC=EB. 又OA=OC, OEAB. COECAB.,思路分析 (1)连接OD,根据直线与圆相切可推得ODE=90,再根据ACB=90及AOD是等腰三角形可 证BDE=B,问题解决;(2)由于DE、CB都与圆O相切,可得DE=CE,再根据(
25、1)的结论可判断出点E为BC的 中点,从而OE为ACB的中位线,问题解决.,9.(2019湖北武汉,23,10分)在RtABC中,ABC=90, =n,M是BC边上一点,连接AM. (1)如图1,若n=1,N是AB延长线上一点,CN与AM垂直.求证:BM=BN; (2)过点B作BPAM,P为垂足,连接CP并延长交AB于点Q. 如图2,若n=1,求证: = ; 如图3,若M是BC的中点,直接写出tanBPQ的值(用含n的式子表示).,解析 (1)证明:延长AM交CN于点H, AM与CN垂直,ABC=90, BAM+N=90,BCN+N=90, BAM=BCN. n=1,ABC=90, AB=BC
26、,ABC=CBN. ABMCBN, BM=BN.,(2)证明:过点C作CDBP交AB的延长线于点D, 则AM与CD垂直. 由(1)得BM=BD. CDBP, = ,即 = . tanBPQ= . 详解:过点C作CKBP交AB的延长线于点K,延长AM,交CK于点E,设BC=a, PBCK,QPB=QCK,AECK, tanBPQ=tanQCK= = = . PMBBMA, = = = . tanBPQ= .,解题关键 解决第(2)问第2小题的关键是要借助第(1)问的解题过程构造全等三角形,进而通过相似三角形 的判定与性质,发现对应边的比.,10.(2019云南,23,12分)如图,AB是C的直径
27、,M、D两点在AB的延长线上,E是C上的点,且DE2=DBDA.延 长AE至F,使AE=EF,设BF=10,cosBED= . (1)求证:DEBDAE; (2)求DA,DE的长; (3)若点F在B、E、M三点确定的圆上,求MD的长.,解析 (1)证明:DE2=DBDA, = . (1分) 又BDE=EDA, DEBDAE. (3分) (2)AB是C的直径,E是C上的点, AEB=90,即BEAF. 又AE=EF,BF=10, AB=BF=10. DEBDAE, EAD=BED,cosBED= ,cosEAD=cosBED= . 在RtABE中,由AB=10,cosEAD= , 得AE=ABc
28、osEAD=8,BE= =6. (5分) DEBDAE, = = = = . DB=DA-AB=DA-10, 解得 经检验, 是 的解. (8分),(3)连接FM. BEAF,即BEF=90, BF是B、E、F三点确定的圆的直径. 点F在B、E、M三点确定的圆上,即F、E、B、M四点在同一个圆上, 点M在以BF为直径的圆上. FMAB. (10分) 在RtAMF中,由cosFAM= , 得AM=AFcosFAM=2AEcosEAB=28 = . (11分) MD=DA-AM= - = . MD= . (12分),思路分析 (1)将DE2=DBDA转化为比例式 = ,又由BDE=EDA,即可证明
29、DEBDAE. (2)由直径所对的圆周角为90得出BEAF,由AE=EF,BF=10得出AB=BF=10,由DEBDAE得出BED =EAD,所以cosBED=cosEAD= ,即可求出AE,BE的长度,再利用 = = ,即可求出DA,DE的长. (3)连接FM,易得BEF=90,可得点F,E,B,M四点共圆,则点M在以BF为直径的圆上,FMAB,在RtAMF 中,利用锐角三角函数值求出AM的值,则MD=AD-AM.,11.(2019安徽,23,14分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=BC.P为ABC内部一点,且APB=BPC=135. (1)求证:PABPBC; (2)求证:PA=
30、2PC; (3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证: =h2h3.,证明 (1)在ABP中,APB=135,ABP+BAP=45, 又ABC为等腰直角三角形,ABC=45,即ABP+CBP=45,BAP=CBP. 又APB=BPC=135,PABPBC. (4分) (2)证法一:由(1)知PABPBC, = = = . 于是, = =2,即PA=2PC. (9分) 证法二:APB=BPC=135,APC=90,CAP45,故APCP.如图,在线段AP上取 点D,使AD=CP. 又CAD+PAB=45,且PBA+PAB=45,CAD=PBA, 又CBP+BCP=
31、CBP+PBA=45,PBA=BCP,CAD=BCP.AC=CB,ADCCPB, ADC=CPB=135,CDP=45,PDC为等腰直角三角形,CP=PD,又AD=CP,PA=2PC. (9分),(3)如图,过点P作边AB,BC,CA的垂线,垂足分别为Q,R,S,则PQ=h1,PR=h2,PS=h3,在RtCPR中, =tanPCR= tanCAP= = , = ,即h3=2h2.又PABPBC,且 = , = ,即h1= h2,于是 =h2h3. (14 分),思路分析 (1)结合题意易求ABC=45,从而得出PBA+PBC=45,进而求出PAB=PBC,结合APB =BPC=135,即可证
32、明;(2)证法一:由ABC是等腰直角三角形,即可得出AB和BC之间的关系,再利用(1)中 的相似得到 = = = ,问题解决;证法二:由已知易推APC=90,在线段AP上取点D,使得AD=CP, 然后证明CAD=BCP,从而证明ADCCPB,进一步得出PDC是等腰直角三角形,问题解决;(3)h1,h2 分别为第(1)问中的两个相似三角形中AB和BC边上的高,根据相似三角形的性质可得h1= h2.在RtCPR 中,CR=h3, =tanPCR=tanCAP= = .易证 =h2h3.,难点突破 第(3)问的突破口是h2h3=tanPCR=tanCAP= ,结合APBBPC可证 =h2h3. 以上
33、各题其他解法正确可参照赋分,12.(2019四川成都,27,10分)如图1,在ABC中,AB=AC=20,tan B= ,点D为BC边上的动点(点D不与点B,C重 合).以D为顶点作ADE=B,射线DE交AC边于点E,过点A作AFAD交射线DE于点F,连接CF. (1)求证:ABDDCE; (2)当DEAB时(如图2),求AE的长; (3)点D在BC边上运动的过程中,是否存在某个位置,使得DF=CF?若存在,求出此时BD的长;若不存在,请说 明理由.,解析 (1)证明:AB=AC, B=ACB. ADE+CDE=B+BAD,ADE=B, BAD=CDE. ABDDCE. (2)过点A作AMBC
34、于点M. 在RtABM中,设BM=4k,则AM=BMtan B=4k =3k, 由勾股定理,得AB2=AM2+BM2. 202=(3k)2+(4k)2. k=4. AB=AC,AMBC, BC=2BM=24k=32.,DEAB, BAD=ADE. 又ADE=B,B=ACB, BAD=ACB. 又ABD=CBA, ABDCBA. = . DB= = = . DEAB, = . AE= = = .,(3)D点在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF. 过点F作FHBC于点H.过点A作AMBC于点M,ANFH于点N. 易知NHM=AMH=ANH=90, 四边形AMHN为矩形, MAN=9
35、0,MH=AN. AB=AC,AMBC,BM=CM= BC= 32=16. 在RtABM中,由勾股定理,得AM= = =12. ANFH,AMBC, ANF=90=AMD. DAF=90=MAN, NAF=MAD. AFNADM. = =tanADF=tan B= . AN= AM= 12=9. CH=CM-MH=CM-AN=16-9=7. 当DF=CF时,由点D不与点C重合,可知DFC为等腰三角形. 又FHDC,CD=2CH=14. BD=BC-CD=32-14=18, 点D在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF,此时BD=18.,解后反思 由相似三角形的判定定理来判定相似.求
36、以相似图形为背景的某些线段的长,常常运用成比例 线段,勾股定理,解直角三角形等方面的知识求解.,13.(2018陕西,20,7分)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河对 岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖起标杆 BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C、A共线. 已知:CBAD,EDAD,测得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m.测量示意图如图所示. 请根据相关测量信息,求河宽AB.,解析 CBAD,EDAD, ABC=ADE=90. BAC=DAE, ABCAD
37、E, (3分) = . (5分) BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m. = , AB=17 m. 河宽AB为17 m. (7分),思路分析 首先根据ABC=ADE,BAC=DAE判定ABCADE,再根据相似三角形的性质得出 = ,进而可求得AB的值.,方法指导 解与三角形有关的实际应用题时应注意的事项.审题:结合图形通读题干,第一时间锁定采用 的知识点,如:观察题图是否含有已知度数的角,如果含有,考虑利用锐角三角函数解题.如果仅涉及三角形的 边长,则采用相似三角形的性质解题.筛选信息:由于实际问题文字阅读量较大,因此筛选有效信息尤为关 键.构造图形:只要是与三角形有关的实际问题都
38、会涉及图形的构造,如果题干中给出了相应的图形,则可 直接利用所给图形进行计算,必要时可添加辅助线;若未给出图形,则需要通过中获取的信息构造几何图 形进行解题.,14.(2018江西,14,6分)如图,在ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CDAB,BD是ABC的平分线,BD交AC于点E.求 AE的长.,解析 BD平分ABC, ABD=CBD. ABCD, ABD=D, ABECDE. CBD=D, = . BC=CD. AB=8,CA=6,CD=BC=4, = ,AE=4.,思路分析 根据角平分线性质和平行线的性质求出D=CBD,进而可得BC=CD=4,通过ABECDE, 得出含AE的比例
39、式,求出AE的值.,方法总结 证明三角形相似的常见方法:平行于三角形的一边的直线与其他两边或其延长线相交,所构成 的三角形与原三角形相似,相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型,如图所示.在应用时要善于从复 杂的图形中抽象出这些基本图形.,15.(2017安徽,23,14分)已知正方形ABCD,点M为边AB的中点. (1)如图1,点G为线段CM上的一点,且AGB=90,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点 E,F. 求证:BE=CF; 求证:BE2=BCCE; (2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BCCE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,求tanCBF 的值.
40、 图1 图2,解析 (1)证明:四边形ABCD为正方形, AB=BC,ABC=BCF=90. 又AGB=90,BAE+ABG=90. 又ABG+CBF=90,BAE=CBF. ABEBCF(ASA),BE=CF. (4分) 证明:AGB=90,点M为AB的中点, MG=MA=MB,GAM=AGM. 又CGE=AGM,从而CGE=CBG. 又ECG=GCB,CGECBG. = ,即CG2=BCCE. 由CFG=GBM=BGM=CGF,得CF=CG. 由知,BE=CF,BE=CG.BE2=BCCE. (9分),(2)解法一:延长AE,DC交于点N(如图1). 图1 四边形ABCD是正方形,ABCD
41、. N=EAB.又CEN=BEA,CENBEA. 故 = ,即BECN=ABCE. AB=BC,BE2=BCCE,CN=BE. 由ABDN知, = = .,又AM=MB,FC=CN=BE. 不妨令正方形的边长为1. 设BE=x,则由BE2=BCCE,得x2=1(1-x). 解得x1= ,x2= (舍去). = . 于是tanCBF= = = . (14分) 解法二:不妨令正方形的边长为1.设BE=x, 则由BE2=BCCE,得x2=1(1-x). 解得x1= ,x2= (舍去),即BE= . 作GNBC交AB于N(如图2),图2 则MNGMBC. = = . 设MN=y,则GN=2y,GM=
42、y. = ,即 = , 解得y= .GM= . 从而GM=MA=MB,此时点G在以AB为直径的圆上. AGB是直角三角形,且AGB=90.,由(1)知BE=CF,于是tanCBF= = = . (14分),16.(2018湖北武汉,23,10分)在ABC中,ABC=90. (1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:ABMBCN; (2)如图2,P是边BC上一点,BAP=C,tanPAC= ,求tan C的值; (3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,DEB=90,sinBAC= , = ,直接写出tanCEB的值.,解析 (1)证明:M=N=ABC
43、=90, MAB+MBA=NBC+MBA=90, MAB=NBC, ABMBCN. (2)过点P作PMAP交AC于点M,过点M作MNPC交BC于点N, 则PMNAPB. = =tanPAC= , 设PN=2t,则AB= t. BAP+APB=MPC+APB=90,BAP=C, MPC=C,CN=PN=2t. 易得ABPCBA, AB2=BPBC,( t)2=BP(BP+4t),BP=t,BC=5t, tan C= . (3)在RtABC中,sinBAC= = ,tanBAC= = . 过点A作AGBE于点G,过点C作CHBE交EB的延长线于点H, DEB=90,CHAGDE, = = ,同(1
44、)的方法得,ABGBCH, = = = , 设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,GH=BG+BH=4m+3n, AB=AE,AGBE,EG=BG=4m, = = ,n=2m,EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m, 在RtCEH中,tanCEB= = .,思路分析 (1)利用同角的余角相等判断出MAB=NBC,即可得出结论; (2)作PMAP,MNPC,先判断出PMNAPB,得出 = = ,设PN=2t,则AB= t,再判断出ABP CBA,根据相似三角形的性质可求得BP=t,则BC=5t,即可得出结论; (3)作AGBE,CHBE,先判断出 = = ,同(1)的方法得,ABGBCH,所以 = = = ,设BG =4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于m,n的等式,解得n=2m,最后得出结论.,方法指导 几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法,本题涉及的相似三角形,要寻找的比例关 系或添加的辅助线均类似.同时要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻找方法.,17.(2018福建,20,8分)求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比. 要求:根据给出的ABC及线段AB,A(A=A),以线段AB为一边,在给出的图形上用尺规作出AB C,使得ABCABC,不写作法,保留作图痕迹
