1、一、数字类 1.(2019廊坊广阳一模改编)若正整数按如图所示的规律排列,则第八行第五列的数字是 ( ),A.64 B.56 C.59 D.60,答案 D 由题意可得每行的第一列数字为行数的平方,所以第八行第一列的数字为82=64,则第八行第五 列的数字是64-5+1=60,故选D.,2.(2019湖北武汉,10,3分)观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;.已知按一定规律排列的一 组数:250,251,252,299,2100.若250=a,用含a的式子表示这组数的和是 ( ) A.2a2-2a B.2a2-2a-2 C.2a2-a D.2a
2、2+a,答案 C 2+22+2100=2101-2,2+22+249=250-2,-得250+251+2100=2101-250=2(250)2-250=2a2-a.故 选C.,3.(2017江苏扬州,7,3分)在一列数:a1,a2,a3,an中,a1=3,a2=7,从第三个数开始,每一个数都等于它前两个数之 积的个位数字,则这一列数中的第2 017个数是 ( ) A.1 B.3 C.7 D.9,答案 B 依题意得a3=1,a4=7,a5=7,a6=9,a7=3,a8=7,故周期为6, 2 0176=3361,所以a2 017=a1=3.故选B.,二、算式类 1.(2018四川成都,23,4分
3、)已知a0,S1= ,S2=-S1-1,S3= ,S4=-S3-1,S5= , 即当n为大于1的奇数时,Sn= ;当n为大于1的偶数时,Sn=-Sn-1-1 ,按此规律,S2 018= .(用含a的代数式表示),答案 -,解析 S1= ,S2=- -1=- ,S3=- ,S4=- ,S5=-(a+1),S6=a,S7= ,S2 018=S2=- .,2.(2017云南,16,6分)观察下列各个等式的规律: 第一个等式: =1, 第二个等式: =2, 第三个等式: =3, 请用上述等式反映出的规律解决下列问题: (1)直接写出第四个等式; (2)猜想第n个等式(用含n的代数式表示),并证明你猜想
4、的等式是正确的.,解析 (1)第四个等式为 =4. (2)第n个等式为 =n. 证明:左边= = =n, 所以左边=右边,所以等式成立.,三、图形排列类 1.(2018山东烟台,8,3分)如图所示,下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的,按此规律摆下去, 第n个图形中有120朵玫瑰花,则n的值为 ( ) A.28 B.29 C.30 D.31,答案 C 第1个图形中有41=4朵玫瑰花,第2个图形中有42=8朵玫瑰花,第3个图形中有43=12朵玫瑰花, ,根据这个规律,第n个图形有4n朵玫瑰花,根据题意得4n=120,解得n=30.,2.(2016重庆,10,4分)下列图形都是由同样大小
5、的小圆圈按一定规律所组成的,其中第个图形中一共有4个 小圆圈,第个图形中一共有10个小圆圈,第个图形中一共有19个小圆圈,按此规律排列下去,第个 图形中小圆圈的个数为( ) A.64 B.77 C.80 D.85,答案 D 通过观察,第个图形中小圆圈的个数为 +12=4,第个图形中小圆圈的个数为 +22=10,第个图形中小圆圈的个数为 +32=19,第个图形中小圆圈的个数为 +42=31,以此 类推,第 个图形中小圆圈的个数为 +n2,当n=7时, +72=85,故第个图形中小圆圈的 个数为85.故选D.,四、数形结合类 1.(2016河北,19,4分)如图,已知AOB=7,一条光线从点A发出
6、后射向OB边.若光线与OB边垂直,则光线沿原 路返回到点A,此时A=90-7=83. 当A83时,光线射到OB边上的点A1后,经OB反射到线段AO上的点A2,易知1=2.若A1A2AO,光线又会 沿A2A1A原路返回到点A,此时A= . 若光线从点A发出后,经若干次反射能沿原路返回到点A,则锐角A的最小值= .,答案 76;6,解析 由题图可知1=2=90-O=83,AA1A2=180-1-2=14,A=90-AA1A2=90-14=76. 设光线从点A发出后,经n次反射能沿原路返回到点A,记光线自A(A0)发出后与边的交点依次为A1,A2,A3,An, 即An-1AnO=90,则AnAn-1
7、An-2=14,An-3An-2An-1=28,An-4An-3An-2=42,依次为14的n倍(n=1,2,3,), 21=180-14n,即1=90-7n,A=1-7=83-7n,当n=11时,A最小,为6.,2.(2018石家庄质检,19)在平面直角坐标系xOy中,若干个半径为1个单位长度,圆心角是60的扇形按图中的 方式摆放,动点K从原点O出发,沿着“半径OA 半径CD半径DE”运动,若点K在线段上运 动的速度为每秒1个单位长度,在弧线上运动的速度为每秒 个单位长度,设第n秒运动到点Kn(n为自然数), 则K3的坐标为 ,K2 018的坐标是 .,答案 ;(1 009,0),解析 由题
8、意得 的长= = ,所以点K在每个圆弧上运动的时间为 =1秒.当n=3时,点K运动到 点C,过点C作CMx轴,连接BC,易得BC=1,BCM=30,BM=BCsin 30= ,CM=BCcos 30= ,K3的坐标 为 ,K2的坐标即点B的坐标为(1,0),K4的坐标即点D的坐标为(2,0),K6的坐标即点F的坐标为(3,0),以 此类推,点K2 018的坐标为(1 009,0).,3.(2018河北,22,9分)如图,阶梯图的每个台阶上都标着一个数,从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着-5, -2,1,9,且任意相邻四个台阶上数的和都相等. 尝试 (1)求前4个台阶上数的和是多少; (2)
9、求第5个台阶上的数x是多少. 应用 求从下到上前31个台阶上数的和. 发现 试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数.,解析 尝试 (1)-5-2+1+9=3. (2)由题意,得-5-2+1+9=-2+1+9+x, 解得x=-5. 应用 与(2)同理,得第6个到第8个台阶上的数依次是-2,1,9,可见台阶上的数从下到上按-5,-2,1,9四个数依 次循环排列. 31=74+3, 前31个台阶上数的和为73+(-5-2+1)=15. 发现 4k-1.,思路分析 尝试:(1)直接列式,计算算式的值即可;(2)根据任意相邻四个台阶上数的和相等列出方程,得解. 应用:同(2)的方法求出第
10、6,7,8个台阶上的数,发现规律为台阶上的数从下到上每四个一循环,进而求出从下 到上前31个台阶上数的和.发现:根据台阶上的数每四个一循环,可知数“1”所在的台阶数间隔为4,即可求 解.,五、阅读理解类 (2014河北,20,3分)如图,点O,A在数轴上表示的数分别是0,0.1. 将线段OA分成100等份,其分点由左向右依次为M1,M2,M99; 再将线段OM1分成100等份,其分点由左向右依次为N1,N2,N99; 继续将线段ON1分成100等份,其分点由左向右依次为P1,P2,P99. 则点P37所表示的数用科学记数法表示为 .,答案 3.710-6,解析 将线段OA分成100等份, 则O
11、M1= =0.001,再将线段OM1分成100等份, 则ON1= =0.000 01,再将线段ON1分成100等份, 则OP1= =0.000 000 1. 所以OP37=0.000 000 137=0.000 003 7, 则点P37所表示的数用科学记数法可表示为3.710-6.,评析 科学记数法是将一个数写成a10n的形式,其中1|a|10,n为整数.,六、归纳应用类 1.(2018湖北随州,9,3分)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1,3,6,10,) 和“正方形数”(如1,4,9,16,),在小于200的数中,设最大的“三角形数”为m,最大的“正方形数”为
12、n,则 m+n的值为 ( ) A.33 B.301 C.386 D.571,答案 C 由图形知第n个三角形数为1+2+3+n= ,第n个正方形数为n2, 当n=19时, =190200,所以最大的三角形数m=190; 当n=14时,n2=196200, 所以最大的正方形数n=196,则m+n=386,故选C.,2.(2019秦皇岛海港一模,22)“分块计数法”:对有规律的图形进行计数时,有些题可以采用“分块计数”的 方法. 尝试:图1有6个点,图2有12个点,图3有18个点,按此规律,问图10、图n分别有多少个点? 我们将每个图形分成完全相同的6块,每块黑点的个数相同(如图),这样图1中黑点的
13、个数是61=6个;图2中 黑点的个数是62=12个;图3中黑点的个数是63=18个;所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是 、 .,应用:请你参考以上“分块计数法”,先将下面的点阵进行分块,再完成问题. (1)第5个点阵中有 个圆圈;第n个点阵中有 个圆圈; (2)小圆圈的个数会等于271吗?如果会,请求出是第几个点阵.,解析 尝试:图10中黑点的个数是610=60;图n中黑点的个数是6n. (1),如图所示,第1个点阵中有1个圆圈,第2个点阵中有23+1=7个圆圈,第3个点阵中有36+1=19个圆圈,第4个点阵中有49+1=37个圆圈,第5个点 阵中有512+1=61个圆圈,第n个点阵中
14、有n3(n-1)+1=(3n2-3n+1)个圆圈.,(2)令3n2-3n+1=271,n2-n-90=0,(n-10)(n+9)=0,解得n1=10,n2=-9(舍),小圆圈的个数会等于271,它是第10个点阵.,解题关键 本题是图形类的规律题,采用“分块计数”的方法解决问题,仔细观察图形,根据图形中圆圈的 个数恰当地分块是关键.,教师专用题组 一、数字类 1.(2016湖南邵阳,10,3分)如图所示,下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律,根据此规律,最后一个 三角形中y与n之间的关系是 ( ) A.y=2n+1 B.y=2n+n C.y=2n+1+n D.y=2n+n+1,答案 B 根
15、据3=1+21,6=2+22,11=3+23,总结规律为y=n+2n,故选B.,2.(2018广西桂林,18,3分)将从1开始的连续自然数按如图规律排列:规定位于第m行,第n列的自然数记为(m, n).如:自然数8记为(2,1),自然数10记为(3,2),自然数15记为(4,2),按此规律,自然数2 018记为 .,答案 (505,2),解析 由题意可得,每一行有4个数,其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列,偶数行的数字从左往右是 由大到小排列. 2 0184=5042,504+1=505,2 018在第505行, 奇数行的数字从左往右是由小到大排列, 自然数2018记为(505,2).,3
16、.(2015安徽,13,5分)按一定规律排列的一列数:21,22,23,25,28,213,若x、y、z表示这列数中的连续三个数,猜 测x、y、z满足的关系式是 .,答案 xy=z(只要关系式对前六项是成立的即可),解析 2122=23,2223=25,2325=28,2528=213, x、y、z满足的关系式是xy=z.,二、算式类 1.(2019安徽,18,8分)观察以下等式: 第1个等式: = + , 第2个等式: = + , 第3个等式: = + , 第4个等式: = + , 第5个等式: = + , 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第6个等式: ; (2)写出你猜想的第n个等
17、式: (用含n的等式表示),并证明.,解析 (1) = + . (2分) (2) = + . (5分) 证明:右边= + = + = = =左边, 所以猜想正确. (8分),思路分析 观察各式子发现:等号左边式子分母的值从1开始后一项的值比前一项的值大2,分子不变.等号 右边式子的分子不变,第一个式子的分母等序增加,第二个式子的分母的值依次为1,6,15,28,45,根据顺序关 系可以记第n个等式等号右边第二个式子的分母为n(2n-1).,2.(2018山东滨州,20,5分)观察下列各式: =1+ , =1+ , =1+ , 请利用你所发现的规律,计算 + + + ,其结果为 .,答案 9,解
18、析 由题意可得: + + + =1+ +1+ +1+ +1+ =9+ =9+ =9 .,3.(2015湖南郴州,16,3分)请观察下列等式的规律: = , = , = , = , 则 + + + = .,答案,解析 原式= + + + = = = .,评析 本题属阅读理解型规律探究题,从所给信息中找出规律是解题关键,属中档题.,三、图形排列类 1.(2018重庆,4,4分)把三角形按如图所示的规律拼图案,其中第个图案中有4个三角形,第个图案中有6 个三角形,第个图案中有8个三角形,按此规律排列下去,则第个图案中三角形的个数为 ( ) A.12 B.14 C.16 D.18,答案 C 第个图案中
19、,三角形的个数为2+2=22=4;第个图案中,三角形的个数为2+2+2=23=6;第个 图案中,三角形的个数为2+2+2+2=24=8;,以此类推,第个图案中,三角形的个数为2+2+2+2+2+2+2+2 =28=16.故选C.,2.(2017重庆A卷,10,4分)下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的,其中第个图形中一共 有3个菱形,第个图形中一共有7个菱形,第个图形中一共有13个菱形,按此规律排列下去,第个图 形中菱形的个数为 ( ) A.73 B.81 C.91 D.109,答案 C 第个图形中有12+2个菱形, 第个图形中有22+3个菱形, 第个图形中有32+4个菱形, 第个
20、图形中有92+10个菱形, 92+10=81+10=91,故选C.,3.(2016山东临沂,11,3分)用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形,则第n个图形中小正方形的个数 是 ( ) A.2n+1 B.n2-1 C.n2+2n D.5n-2,答案 C 每个图形可分解成一个nn的大正方形与上方n个及右方n个小正方形,即第1个图形中小正方形 的个数为11+1+1=3; 第2个图形中小正方形的个数为22+2+2=8; 第3个图形中小正方形的个数为33+3+3=15; 第n个图形中小正方形的个数为nn+n+n=n2+2n. 故选C.,四、数形结合类 1.(2018广东广州,10,3分)在平面直角
21、坐标系中,一个智能机器人接到如下指令:从原点O出发,按向右,向上, 向右,向下的方向依次不断移动,每次移动1 m.其行走路线如图所示,第1次移动到A1,第2次移动到A2,第 n次移动到An,则OA2A2 018的面积是 ( ) A.504 m2 B. m2 C. m2 D.1 009 m2,答案 A 根据题图可知4个点为一个循环组,2 0184=5042,A2 018与A2的纵坐标相等,且在循环节里的 位置相同,所以线段A2A2 018= 2=1 008,则 = 1 0081=504(m2),故选A.,2.(2015浙江宁波,10,4分)如图,将ABC沿着过AB中点D的直线折叠,使点A落在BC
22、边上的A1处,称为第1次操 作,折痕DE到BC的距离记为h1;还原纸片后,再将ADE沿着过AD中点D1的直线折叠,使点A落在DE边上的A 2处,称为第2次操作,折痕D1E1到BC的距离记为h2;按上述方法不断操作下去,经过第2 015次操作后得到 的折痕D2 014E2 014到BC的距离记为h2 015.若h1=1,则h2 015的值为 ( ) A. B. C.1- D.2-,答案 D 根据题意得DE是ABC的中位线,D1E1是ADE的中位线,D2E2是AD1E1的中位线, h2=1+ =2- ,h3=1+ + =2- , h4=1+ + + =2- , h2 015=1+ + + =2-
23、.故选D.,评析 本题为探索规律题,主要考查折叠的性质及三角形中位线的性质等.,3.(2018黑龙江齐齐哈尔,17,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A( ,1)在射线OM上,点B( ,3)在射线ON上, 以AB为直角边作RtABA1,以BA1为直角边作第二个RtBA1B1,以A1B1为直角边作第三个RtA1B1A2, 依此规律,得到RtB2 017A2 018B2 018,则点B2 018的纵坐标为 .,答案 32 019,解析 如图,分别延长BA、B1A1交x轴于点C、C1, A( ,1),B( ,3), ABx轴,tanAOC= , tanBOC= , AOC=30,BOC=60, AO
24、B=30,OB=2OC, BA1BA, BA1x轴, BA1A=AOC=30, BA1A=AOB, OB=BA1=CC1, OC1=3OC,tanBOC= = , B1C1=3BC=32, 同理可得B2C2=3B1C1=33, B3C3=3B2C2=34, B2 018C2 018=3B2 017C2 017=32 019, 点B2 018的纵坐标为32 019.,五、阅读理解类 1.(2018山东日照,12,3分)定义一种对正整数n的“F”运算:当 n是奇数时,F(n)=3n+1;当n是偶数时,F(n) = ,两种运算交替重复进行.例如,取n=24,则: 24 3 10 5 若n=13,则第
25、2 018次“F运算”的结果是 ( ) A.1 B.4 C.2 018 D.42 018,答案 A 若n=13,第1次运算结果为3n+1=40,第2次运算结果为 =5,第3次运算结果为3n+1=16,第4次运 算结果为 =1,第5次运算结果为4,第6次结果为1,可以看出,从第四次开始,运算结果就只是1,4两个数循 环出现,且当次数为偶数时,结果是1,次数是奇数时,结果是4,而2018是偶数,因此最后结果是1.故选A.,2.(2018山东青岛,23,10分)问题提出:用若干相同的一个单位长度的细直木棒,按照下图方式搭建一个长方 体框架,探究所用木棒条数的规律. 问题探究: 我们先从简单的问题开始
26、探究,从中找出解决问题的方法. 探究一 用若干木棒来搭建横长是m,纵长是n的矩形框架(m、n是正整数),需要木棒的条数. 如图,当m=1,n=1时,横放木棒为1(1+1)条,纵放木棒为(1+1)1条,共需4条;,如图,当m=2,n=1时,横放木棒为2(1+1)条,纵放木棒为(2+1)1条,共需7条; 如图,当m=2,n=2时,横放木棒为2(2+1)条,纵放木棒为(2+1)2条,共需12条; 如图,当m=3,n=1时,横放木棒为3(1+1)条,纵放木棒为(3+1)1条,共需10条; 如图,当m=3,n=2时,横放木棒为3(2+1)条,纵放木棒为(3+1)2条,共需17条. 问题(一):当m=4,
27、n=2时,共需木棒 条. 问题(二):当矩形框架横长是m,纵长是n时,横放的木棒为 条,纵放的木棒为 条. 探究二 用若干木棒来搭建横长是m,纵长是n,高是s的长方体框架(m、n、s是正整数),需要木棒的条数.,如图,当m=3,n=2,s=1时,横放与纵放木棒之和为3(2+1)+(3+1)2(1+1)=34条,竖放木棒为(3+1)(2+1)1 =12条,共需46条; 如图,当m=3,n=2,s=2时,横放与纵放木棒之和为3(2+1)+(3+1)2(2+1)=51条,竖放木棒为(3+1)(2+1)2 =24条,共需75条; 如图,当m=3,n=2,s=3时,横放与纵放木棒之和为3(2+1)+(3
28、+1)2(3+1)=68条,竖放木棒为(3+1)(2+1)3 =36条,共需104条.,问题(三):当长方体框架的横长是m,纵长是n,高是s时,横放与纵放木棒条数之和为 条, 竖放木棒条数为 条. 实际应用:现在按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架,总共使用了170条木棒,则这个 长方体框架的横长是 . 拓展应用:若按照下图方式搭建一个底面边长是10,高是5的正三棱柱框架,需要木棒 条.,解析 问题(一):当m=4,n=2时,共需木棒4(2+1)+(4+1)2=12+10=22条. 问题(二):当矩形框架横长是m,纵长是n时,横放的木棒为m(n+1)条,纵放的木棒为n(m+1
29、)条. 问题(三):由题图探索发现:横放与纵放木棒条数之和为m(n+1)+(m+1)n(s+1)条,竖放木棒条数为s(m +1)(n+1)条. 实际应用:按探究二的搭建方式搭建一个纵长是2、高是4的长方体框架,总共使用了170条木棒,设这个长方 体框架的横长是x,根据规律可得2(x+1)+x(2+1)(4+1)+4(2+1)(x+1)=170,解得x=4, 所以这个长方体框架的横长是4. 拓展应用:若按照如题图方式搭建一个底面边长是10,高是5的正三棱柱框架,每层三角形从左到右的个数=1 +2+3+4+5+10,有两个腰,腰的总个数=2(1+2+3+4+5+10),共有6层,则需要横放与纵放木
30、棒条数之和 =6(1+2)(1+2+3+4+5+10)=990条,竖放木棒条数=5(1+2+3+4+5+10+11)=330条,故总共需要木棒 990+330=1 320条.,六、归纳应用类 (2015湖南邵阳,26,10分)如图,已知直线y=x+k和双曲线y= (k为正整数)交于A,B两点. (1)当k=1时,求A、B两点的坐标; (2)当k=2时,求AOB的面积; (3)当k=1时,OAB的面积记为S1,当k=2时,OAB的面积记为S2,依次类推,当k=n时,OAB的面积记为 Sn,若S1+S2+Sn= ,求n的值.,解析 (1)依题意得 得A(1,2),B(-2,-1). (3分) (2)依题意可得 得A(1,3),B(-3,-1), 设直线交x轴于C点,易得C点的坐标为(-2,0), SAOB=SBOC+SAOC= |-2|1+ |-2|3=4. (6分) (3)S1= 1(1+2)= , S2= 2(1+3)= , S3= 3(1+4)= , Sn= n(1+n+1)= n(n+2), (8分),从而得 + + + = , 即3+8+15+n(n+2)=133, 很显然n(n+2)133,从而n11. 通过取值验算,得n=6. (10分),
