1、1.(2018河南,9,3分)如图,已知AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),点B在x轴正半轴上.按以下步骤作图:以点O为 圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;分别以点D,E为圆心,大于 DE的长为半径作弧,两 弧在AOB内交于点F;作射线OF,交边AC于点G.则点G的坐标为 ( ) A.( -1,2) B.( ,2) C.(3- ,2) D.( -2,2),A组 河南中考题组,思路分析 根据作图方法可知OF平分AOB,在AOBC中判定AOG为等腰三角形,用勾股定理可求相 关边长度,进而求得点G的坐标.,方法总结 本题考查了平行四边形的性质、基本作图、勾股定理,主要载
2、体为一种数学模型,如图,若存在3 个条件:ABCD,CB平分ACD,AC=AB.取任意两个作条件,一定能得出第三个.,2.(2015河南,7,3分)如图,在ABCD中,用直尺和圆规作BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=6,AB=5,则AE 的长为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10,答案 C 设AE与BF交于点O.由题意可知AF=AB,BAE=FAE,AEBF,OB= BF=3,在RtAOB中, AO= =4. 四边形ABCD是平行四边形,ADBC,FAE=BEA, BAE=BEA,AB=BE,AE=2AO=8.故选C.,思路分析 在ABCD中作BAD的平分线,得到等腰三角形ABF和
3、等腰三角形BAE,由等腰三角形的性质 和勾股定理求得AE的长.,3.(2016河南,10,3分)如图,在ABCD中,BEAB交对角线AC于点E,若1=20,则2的度数为 .,答案 110(或110),解析 在ABCD中,ABCD,所以BAC=1=20.又因为BEAB,所以ABE=90,故2=BAE+ABE =20+90=110.,B组 20152019年全国中考题组 考点一 多边形 1.(2019云南,9,4分)一个十二边形的内角和等于 ( ) A.2 160 B.2 080 C.1 980 D.1 800,答案 D 根据多边形的内角和公式(n-2)180,可得十二边形的内角和等于(12-2)
4、180=1 800.故选D.,2.(2019福建,5,4分)已知正多边形的一个外角是36,则该正多边形的边数为 ( ) A.12 B.10 C.8 D.6,答案 B 设该正多边形的边数为n,则n= =10,故选B.,3.(2018北京,5,2分)若正多边形的一个外角是60,则该正多边形的内角和为 ( ) A.360 B.540 C.720 D.900,答案 C 由多边形外角和为360,可知这个正多边形的边数为36060=6,由多边形内角和公式可知该正 多边形的内角和为180(6-2)=720.故选C.,4.(2015安徽,8,4分)在四边形ABCD中,A=B=C,点E在边AB上,AED=60,
5、则一定有 ( ) A.ADE=20 B.ADE=30 C.ADE= ADC D.ADE= ADC,答案 D 由三角形内角和等于180,AED=60,可得ADE=120-A,由四边形内角和为360,A=B= C,得ADC=360-3A,所以ADE= ADC,故选D.,评析 本题考查了三角形和四边形的内角和定理,难点在于借助A来判断ADE和ADC之间的数量关 系,属于基础题.,5.(2017福建,15,4分)两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆放方式如图所 示,则AOB等于 度.,答案 108,解析 如图,正五边形中每一个内角都是108, OCD=ODC=180-10
6、8=72. COD=36. AOB=360-108-108-36=108.,6.(2016河北,22,9分)已知n边形的内角和=(n-2)180. (1)甲同学说,能取360;而乙同学说,也能取630.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n;若不对,说明理由; (2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360,用列方程的方法确定x.,解析 (1)甲对,乙不对. (2分) =360,(n-2)180=360. 解得n=4. (3分) =630,(n-2)180=630,解得n= . n为整数,不能取630. (5分) (2)依题意,得(n-2)180+360=(n+x-2)180. (7分)
7、 解得x=2. (9分),评析 本题是一道典型的把方程思想与多边形的内角和结合在一起的题目,解题的关键是熟练掌握多边形 的内角和公式,以及隐含的一个重要条件多边形的边数是不小于3的正整数,另外,还要知道一个常识性 的结论:多边形边数每增加1,它的内角和增加180.,考点二 平行四边形 1.(2018内蒙古呼和浩特,8,3分)顺次连接平面上A、B、C、D四点得到一个四边形,从ABCD;BC=AD; A=C;B=D四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情 况共有 ( ) A.5种 B.4种 C.3种 D.1种,答案 C 能够得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结
8、论的情况有、,共3种.故选C.,2.(2016河北,13,2分)如图,将ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B处.若1=2=44,则B为 ( ) A.66 B.104 C.114 D.124,答案 C 设AB与CD相交于点P,由折叠知CAB=CAB,由ABCD,得1=BAB,CAB=CAB= 1=22.在ABC中,CAB=22,2=44,B=180-22-44=114.,评析 折叠问题是中考中的常见题目,在解决这类问题时,要抓住折叠前后图形的变化特征,从某种意义上 说,折叠问题其实就是轴对称问题.,3.(2019云南,6,3分)在平行四边形ABCD中,A=30,AD=4 ,BD=4,则平行四
9、边形ABCD的面积等于 .,答案 16 或8,解析 当ABD为锐角时,过D点作DEAB于点E.如图1. 图1 在RtADE中,A=30,AD=4 , DE= AD= 4 =2 , AE= AD= 4 =6. 在RtBDE中,由勾股定理得BE= = =2, AB=AE+BE=6+2=8,SABCD=ABDE=82 =16 .,当ABD为钝角时,如图2,同理可得DE=2 ,AE=6,BE=2, 图2 AB=AE-BE=6-2=4, SABCD=ABDE=42 =8 . 综上所述,平行四边形ABCD的面积为16 或8 .,4.(2017四川成都,14,4分)如图,在平行四边形ABCD中,按以下步骤作
10、图:以A为圆心,任意长为半径作弧,分 别交AB,AD于点M,N;分别以M,N为圆心,以大于 MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;作射线AP,交边 CD于点Q,若DQ=2QC,BC=3,则平行四边形ABCD的周长为 .,答案 15,解析 由作图知AQ平分DAB,所以DAQ=BAQ.在ABCD中,ABCD,所以DAQ=BAQ=DQA, 所以DQ=DA=BC=3.因为DQ=2QC,所以QC=1.5,所以DC=4.5.所以平行四边形ABCD的周长为2(4.5+3)=15.,5.(2019安徽,20,10分)如图,点E在ABCD内部,AFBE,DFCE. (1)求证:BCEADF; (2)设ABCD的面
11、积为S,四边形AEDF的面积为T,求 的值.,解析 (1)证明:如图1,延长FA与CB的延长线交于点M, ADBC,FAD=M, 又AFBE,M=EBC,FAD=EBC. 同理得FDA=ECB. 在BCE和ADF中,EBC=FAD, BC=AD,ECB=FDA,BCEADF. (5分) (2)解法一:如图1,连接EF,由(1)知BCEADF,AF=BE,又AFBE, 四边形ABEF为平行四边形,SAEF=SAEB. 同理SDEF=SDEC,T=SAEB+SDEC, 又T=SAED+SADF=SAED+SBCE,S=SAEB+SDEC+SAED+SBCE=2T. =2. (10分) 解法二:BC
12、EADF,T=SAED+SBCE. 如图2,过点E作HGBC交BC于G,交AD于H,则EGBC,EHAD.于是,T=SAED+SBCE= BC(EG+EH)= BC,GH= S,即 =2. (10分) 图1 图2,思路分析 (1)延长FA与CB的延长线交于M,根据平行四边形ABCD的性质可以证明EBC=FAD,ECB =FDA,从而证明BCEADF(ASA);(2)解法一:连接EF,易证四边形ABEF、CDFE都是平行四边形,从 而得T=S四边形AEDF=SAEF+SDEF=SAEB+SDEC,再证得T=SAED+SBCE,即可得出结果.解法二:利用BCEADF可 证T=SAED+SBCE,然
13、后作HG垂直BC,由三角形的面积公式及AD=BC得出结果.,方法总结 求不规则四边形的面积常将不规则四边形分割成三角形,求三角形的面积和或转化成求熟悉易 求的图形面积.,6.(2018湖北黄冈,20,8分)如图,在ABCD中,分别以边BC,CD作等腰BCF,CDE,使BC=BF,CD=DE, CBF=CDE,连接AF,AE. (1)求证:ABFEDA; (2)延长AB与CF相交于点G.若AFAE,求证:BFBC.,证明 (1)四边形ABCD是平行四边形,AB=CD=DE,BF=BC=AD,ABC=ADC, 又CBF=CDE,ABF=ADE, 在ABF与EDA中,AB=ED,ABF=EDA,BF
14、=DA, ABFEDA. (2)由(1)知EAD=AFB, GBF=AFB+BAF=EAD+BAF, 易知ADBC,DAG=CBG,AFAE,EAF=90, FBC=FBG+CBG=EAD+FAB+DAG=EAF=90, BFBC.,C组 教师专用题组 考点一 多边形 1.(2019河北,1,3分)下列图形为正多边形的是 ( ),答案 D 正多边形的各边相等,各角相等,故选D.,2.(2018内蒙古呼和浩特,3,3分)已知一个多边形的内角和为1 080,则这个多边形是 ( ) A.九边形 B.八边形 C.七边形 D.六边形,答案 B 设该多边形的边数为n,则由题意可得180(n-2)=1 08
15、0,解得n=8.故选B.,3.(2018云南,9,4分)一个五边形的内角和为 ( ) A.540 B.450 C.360 D.180,答案 A 由多边形内角和公式,得五边形的内角和为(5-2)180=540.,4.(2017云南,10,4分)若一个多边形的内角和为900,则这个多边形是 ( ) A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形,答案 C 设这个多边形的边数为n,由多边形内角和定理得(n-2)180=900,解得n=7,即这个多边形为七边 形.故选C.,5.(2017辽宁沈阳,10,2分)正六边形ABCDEF内接于O,正六边形的周长是12,则O的半径是 ( ) A. B.2 C.2
16、 D.2,答案 B 由正六边形的周长是12,可得BC=2,连接OB、OC,则BOC= =60,所以BOC为等边三角 形,所以OB=BC=2,即O的半径为2,故选B.,6.(2016江苏南京,5,2分)已知正六边形的边长为2,则它的内切圆的半径为 ( ) A.1 B. C.2 D.2,答案 B 正六边形一条边的两个端点与其内切圆圆心的连线及这条边构成一个等边三角形,正六边形的 内切圆半径即为这个等边三角形的高,所以内切圆半径=2sin 60= ,故选B.,7.(2016四川南充,10,3分)如图,正五边形ABCDE的边长为2,连接对角线AD,BE,CE,线段AD分别与BE和CE相 交于点M,N.
17、给出下列结论: AME=108;AN2=AMAD;MN=3- ;SEBC=2 -1.其中正确结论的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 C 如图,五边形ABCDE是正五边形,AB=EA=DE,EAB=DEA=108,EABDEA, AEB=EDA,AME=MED+EDA,AME=MED+AEB=DEA=108,故正确; 易得1=2=4=5=36,3=36,6=AEN=72,AE=AN,1=1,AED=AME=108, AEMADE, = ,AE2=AMAD,AN2=AMAD,故正确; 设AM=x,则AD=AM+MD=x+2,由得22=x(x+2),解得x1= -1,x2=- -
18、1(不合题意,舍去),AD= -1+2= + 1,MN=AN-AM=3- ,故正确; 作EHBC于点H,则BH= BC=1,EB=AD= +1,EH= = ,SEBC= BCEH= 2 = ,故错误.故选C.,评析 本题考查了正五边形的性质、相似多边形的判定及性质、勾股定理等知识.,8.(2016北京,4,3分)内角和为540的多边形是 ( ),答案 C 设边数为n,由多边形内角和公式得(n-2)180=540,解得n=5,所以该多边形为五边形,故选C.,9.(2018河北,19,6分)如图1,作BPC平分线的反向延长线PA,现要分别以APB,APC,BPC为内角作正 多边形,且边长均为1,将
19、作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案. 例如:若以BPC为内角,可作出一个边长为1的正方形,此时BPC=90,而 =45是360(多边形外角和)的 ,这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形,填充花纹后得到一个符合要求的图案,如图2所示. 图2中的图案外轮廓周长是 ; 在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标,则会标的外轮廓周长是 . 图1 图2,解析 题图2中的图案由两个边长均为1的正八边形和1个边长为1的正方形组成,且三个正多边形三边相 连,题图2中的图案外轮廓周长是6+6+2=14.由于三个正多边形的边长均为1,显然以APB,APC为内角的 两个正多边形的边数越多(即
20、以BPC为内角的正多边形的边数越少),会标的外轮廓周长越大.当以BPC 为内角的正多边形为等边三角形时,会标的外轮廓周长最大.此时APB=150,以APB,APC为内角的两 个正多边形均为正十二边形,会标的外轮廓周长为10+10+1=21.,答案 14;21,10.(2017陕西,14,3分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BAD=BCD=90,连接AC,若AC=6,则四边形ABCD 的面积为 .,答案 18,解析 过点A作AEAC交CD的延长线于点E,易知EAD=CAB.BAD=BCD=90,ADC+ABC =180.又ADE+ADC=180,EDA=CBA,又AD=AB,AEDACB
21、,AE=AC=6,四边形ABCD 的面积等于ACE的面积,故S四边形ABCD= ACAE= 66=18.,一题多解 本题也可以用旋转的方法作图.以点A为旋转中心,把ACB逆时针旋转90至AED的位置,则 AEDACB,EDA=B,AE=AC,根据DAB=DCB=90,得到ADC+B=180,即EDA+ADC= 180,故E,D,C三点在同一条直线上,故ACE是等腰直角三角形,接下来同上.,11.(2017上海,18,4分)我们规定:一个正n边形(n为整数,n4)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这 个正n边形的“特征值”,记为n,那么6= .,答案,解析 如图,在正六边形ABCDEF中,A
22、D为最长对角线,AE为最短对角线,可求得EAD=30,AED=90, =cos 30= ,6= .,思路分析 确定最长及最短对角线,构造直角三角形,利用锐角三角函数求 ,即6.,一题多解 如图,设正六边形ABCDEF的边长为1,可求得AE= ,AD=2, = ,即6= .,12.(2015天津,17,3分)如图,在正六边形ABCDEF中,连接对角线AC,BD,CE,DF,EA,FB,可以得到一个六角星. 记这些对角线的交点分别为H,I,J,K,L,M,则图中等边三角形共有 个.,答案 8,解析 题图中的等边三角形可分为两大类:第一类:分别以B,A,F,E,D,C为顶点的小等边三角形,有BHM,
23、 AML,FLK,EKJ,DJI,CIH,共6个; 第二类:分别以B,F,D和A,C,E为顶点的大等边三角形,有BFD和ACE,共2个. 故题图中等边三角形共有6+2=8(个).,13.(2015浙江杭州,16,4分)如图,在四边形纸片ABCD中,AB=BC,AD=CD,A=C=90,B=150.将纸片先沿 直线BD对折,再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪,剪开后的图形打开铺平.若铺平后的图形中 有一个是面积为2的平行四边形,则CD= .,答案 2 +4或2+,解析 四边形纸片ABCD中,A=C=90,B=150,D=30.根据题意对折、裁剪、铺平后有两种情 况得到平行四边形:如图1,
24、剪痕BM、BN,过点N作NHBM于点H,易证四边形BMDN为菱形,且MBN=D= 30.设BN=DN=x,则NH= x.根据题意,得x x=2x=2(负值舍去),BN=DN=2,NH=1.易证四边形BHNC是矩 形,BC=NH=1.在RtBCN中,CN= .CD=2+ . 图1 如图2,剪痕AE、CE,过点B作BHCE于点H,易证四边形BAEC是菱形,且BCH=30.设BC=CE=x,则BH= x.根据题意,得x x=2x=2(负值舍去),BC=CE=2,BH=1.在RtBCH中,CH= ,EH=2- .易证,BCDEHB, = ,即 = .CD= =4+2 . 综上所述,CD=2+ 或4+2
25、 . 图2,评析 本题主要考查剪纸问题,多边形内角和定理,轴对称的性质,菱形、矩形的判定和性质,含30度角的直 角三角形的性质,相似三角形的判定和性质,分类思想和方程思想的应用.,14.(2018江西,15,6分)如图,在四边形ABCD中,ABCD,AB=2CD,E为AB的中点.请仅用无刻度的直尺分别按 下列要求画图(保留画图痕迹). (1)在图1中,画出ABD的BD边上的中线; (2)在图2中,若BA=BD,画出ABD的AD边上的高.,解析 画法如图. (1)AF即为所求. (2)BF即为所求.,思路分析 (1)(见答案第一个图)连接EC,通过判断四边形BEDC是平行四边形得出EC和BD的交
26、点F为线段 BD的中点,进而画出所求; (2)(见答案第二个图)连接EC,ED,连接点A与EC和BD的交点,利用三角形重心的性质及等腰三角形三线合 一的知识画出ABD的AD边上的高.,解题关键 本题考查复杂作图,解题的关键是灵活运用平行四边形的性质和三角形的重心及等腰三角形三 线合一等知识解决问题.,15.(2017江西,16,6分)如图,已知正七边形ABCDEFG,请仅用无刻度的直尺,分别按下列要求画图. (1)在图1中,画出一个以AB为边的平行四边形; (2)在图2中,画出一个以AF为边的菱形.,解析 (1)如图.(画法有多种,正确画出一种即可,以下几种画法仅供参考),(3分),(2)如图
27、.(画法有两种,正确画出其中一种即可) (6分),16.(2015浙江温州,20,8分)各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形.如何 计算它的面积?奥地利数学家皮克(G.Pick,18591942)证明了格点多边形的面积公式:S=a+ b-1,其中a表 示多边形内部的格点数,b表示多边形边界上的格点数,S表示多边形的面积.如图1,a=4,b=6,S=4+ 6-1=6. (1)请在图2中画一个格点正方形,使它的内部只含有4个格点,并写出它的面积; (2)请在图3中画一个格点三角形,使它的面积为 ,且每条边上除顶点外无其他格点. 图1 图2 图3,解析 (1)画法不唯一
28、,如图或图. (2)画法不唯一,如图,图等.,考点二 平行四边形 1.(2015黑龙江哈尔滨,7,3分)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,点F在BC的延长线上,连 接EF,分别交AD,CD于点G,H,则下列结论错误的是 ( ) A. = B. = C. = D. =,答案 C 四边形ABCD是平行四边形,ADBC, EAGEBF, = ,A中结论正确, ABCD,GEAGHD, = ,B中结论正确, ABCD, = , 又BC=AD, = ,D中结论正确.故选C.,2.(2019四川成都,14,4分)如图,ABCD的对角线AC与BD相交于点O,按以下步骤作图:以点A为圆心
29、,以任 意长为半径作弧,分别交AO,AB于点M,N;以点O为圆心,以AM长为半径作弧,交OC于点M;以点M为圆 心,以MN长为半径作弧,在COB内部交前面的弧于点N;过点N作射线ON交BC于点E.若AB=8,则线段 OE的长为 .,答案 4,解析 由作图方法可得COE=CAB,OEAB.在ABCD中,AO=CO,线段OE为ABC的中位线, 线段OE的长为线段AB长的一半,为4.,思路分析 根据作图方法判断得出COE=CAB,由平行四边形的性质以及平行线的判定定理得出线段 OE是ABC的中位线,进而求得线段OE的长度.,3.(2019湖北武汉,14,3分)如图,在ABCD中,E,F是对角线AC上
30、两点,AE=EF=CD,ADF=90,BCD=63,则 ADE的大小是 .,答案 21,解析 设ADE=x,AE=EF,ADF=90,DE=AE=EF. DAE=x.DEC=2x. 又AE=EF=CD,DC=DE.DCE=2x. ADBC,BCA=DAE=x. BCD=3x=63.x=21.即ADE=21.,4.(2018陕西,14,3分)如图,点O是ABCD的对称中心,ADAB,E、F是AB边上的点,且EF= AB;G、H是BC边 上的点,且GH= BC.若S1,S2分别表示EOF和GOH的面积,则S1与S2之间的等量关系是 .,答案 2S1=3S2,解析 如图,连接AC,BD,交点为O,四
31、边形ABCD为平行四边形,AO=OC,SABO=SOBC,EF= AB, S1= SABO,GH= BC,S2= SOBC,所以2S1=3S2.,5.(2017内蒙古呼和浩特,15,3分)如图,在ABCD中,B=30,AB=AC,O是两条对角线的交点,过点O作AC的 垂线分别交边AD,BC于点E,F;点M是边AB的一个三等分点.则AOE与BMF的面积比为 .,答案 34,解析 如图,过点M作MPBC于点P,过点A作AQBC于点Q, 在平行四边形ABCD中,O是两条对角线的交点, AOECOF. B=30,AB=AC, ACB=B=30. ACEF, 在RtOFC中,设OF=x,则OC= x,F
32、C=2x. SAOE=SOFC= OFOC= x2.,AB=AC=2OC=2 x, 在RtABQ中,BQ=3x, BC=6x. BF=4x. 点M是边AB的一个三等分点, MB= x. 在RtBMP中,MP= MB= x, SBMF= BFMP= x2. SAOESBMF=34.,6.(2017湖北武汉,13,3分)如图,在ABCD中,D=100,DAB的平分线AE交DC于点E,连接BE.若AE=AB,则 EBC的度数为 .,答案 30,解析 四边形ABCD是平行四边形, BCAD,ABDC,ABC=D, DAB+D=180,D=100, DAB=80,ABC=100. 又DAB的平分线交DC
33、于点E, EAD=EAB=40. AE=AB, ABE= (180-40)=70, EBC=ABC-ABE=100-70=30.,7.(2016宁夏,13,3分)在平行四边形ABCD中,BAD的平分线AE交BC于点E,且BE=3,若平行四边形ABCD的 周长是16,则EC等于 .,答案 2,解析 在ABCD中,ADBC,DAE=AEB.AE平分BAD,BAE=DAE,BAE=AEB.AB =BE=3.BC= (16-2AB)=5.EC=BC-BE=2.,8.(2016内蒙古呼和浩特,15,3分)已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限,对角线AC的中点在坐标原点, 一边AB与x轴平行且AB=2
34、,若点A的坐标为(a,b),则点D的坐标为 .,答案 (-a-2,-b)或(-a+2,-b),解析 因为ABx轴,A(a,b),且AB=2,所以B的坐标为(a+2,b)或(a-2,b),因为ABCD是中心对称图形,其对称 中心与原点重合,所以点B与点D关于原点对称,所以点D的坐标为(-a-2,-b)或(-a+2,-b).,9.(2019吉林,18,5分)如图,在ABCD中,点E在边AD上,以C为圆心,AE长为半径画弧,交边BC于点F.连接BE, DF.求证:ABECDF.,证明 四边形 ABCD为平行四边形, AB=CD,A=C. (2分) 由作图,得AE=CF, (3分) ABECDF. (
35、5分),10.(2018福建,18,8分)如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AD,BC分别相交于点E,F.求 证:OE=OF.,证明 四边形ABCD是平行四边形, OD=OB,ADBC, ODE=OBF. 又DOE=BOF, DOEBOF,OE=OF.,解后反思 本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识.,11.(2018重庆,24,10分)如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是BC上一点,且AB=AE,连接 EO并延长交AD于点F.过点B作AE的垂线,垂足为H,交AC于点G. (1)若AH=3,HE=1,求ABE的
36、面积; (2)若ACB=45,求证:DF= CG.,解析 (1)AH=3,HE=1,AB=AE, AB=AE=AH+HE=4. BGAE, AHB=90. AB2=AH2+BH2. BH= = = . SABE= AEBH= 4 =2 . (4分) (2)证明:四边形ABCD为平行四边形, ADBC,AD=BC,FAO=ECO. 点O为AC的中点,AO=CO. 在AOF和COE中, FAO=ECO,AO=CO,AOF=COE,AOFCOE, AF=CE. DF=BE. (6分) 如图,过点A作AMBC交BC于点M,交BG于点Q,过点G作GNBC交BC于点N. AMB=AME=GNC=GNB=9
37、0. AHB=AMB. AQH=BQM,QAH=GBN. AB=AE,AMBE,思路分析 (1)根据勾股定理求出BH的长,进而利用三角形的面积公式求得ABE的面积;(2)根据平行四边 形的性质和全等三角形可得BE=DF.过点A作AMBC,过点G作GNBC,根据等腰三角形的性质得BAM= QAH,BM=ME= BE,通过求证BAM=GBN,可得BAG=BGA,进而可得AB=AE=BG,利用AME BNG,得出NG=ME= BE,最后利用CG= NG得出DF=BE= CG.,方法指导 对于以特殊四边形为背景的全等三角形的判定,一般都是通过特殊四边形的性质找出证全等所 需要的边或角的相等关系,从而进
38、行证明.,12.(2016陕西,19,7分)如图,在ABCD中,连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使BF =DE,连接AF、CE.求证:AFCE.,证明 如图,四边形ABCD是平行四边形, ADBC,AD=BC. 1=2. (2分) 又BF=DE, BF+BD=DE+BD.DF=BE. (4分) ADFCBE. (5分) AFD=CEB. AFCE. (7分),13.(2016山东青岛,21,8分)已知:如图,在ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE=CF,直线EF分别交BA 的延长线、DC的延长线于点G,H,交BD于点O. (1)求证:ABECDF;
39、(2)连接DG,若DG=BG,则四边形BEDF是什么特殊四边形?请说明理由.,解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, AB=CD,BAD=DCB. 又AE=CF, ABECDF. (4分) (2)菱形. 四边形ABCD是平行四边形, ADBC,AD=BC, AE=CF, AD-AE=BC-CF,即ED=BF, 四边形BEDF是平行四边形, OB=OD. 又DG=BG,OGBD. BEDF是菱形. (8分),14.(2016江苏南京,24,7分)如图,在ABCD中,E是AD上一点,延长CE到点F,使FBC=DCE. (1)求证:D=F; (2)用直尺和圆规在AD上作出一点P,使BPCCD
40、P(保留作图的痕迹,不写作法).,解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, ADBC. CED=BCF. CED+DCE+D=180,BCF+FBC+F=180, D=180-CED-DCE,F=180-BCF-FBC. 又DCE=FBC,D=F. (4分) (2) 图中P就是所求作的点. (7分),15.(2016北京,19,5分)如图,四边形ABCD是平行四边形,AE平分BAD,交DC的延长线于点E.求证:DA=DE.,证明 四边形ABCD为平行四边形, ABCD,BAE=E. AE平分BAD,BAE=DAE. E=DAE,DA=DE.,16.(2015辽宁沈阳,24,12分)如图,
41、在ABCD中,AB=6,BC=4,B=60,点E是边AB上一点,点F是边CD上一点, 将ABCD沿EF折叠,得到四边形EFGH,点A的对应点为H,点D的对应点为点G. (1)当点H与点C重合时. 填空:点E到CD的距离是 ; 求证:BCEGCF; 求CEF的面积; (2)当点H落在射线BC上,且CH=1时,直线EH与直线CD交于点M,请 写出MEF的面积.,解析 (1)2 . 证明:四边形ABCD是平行四边形, AD=BC,D=B,A=BCD, 由折叠可知,AD=CG,D=G,A=ECG, BC=GC,B=G,BCD=ECG, BCE=GCF,BCEGCF. 过点E作EPBC于P, B=60,
42、EPB=90,BEP=30,BE=2BP. 可设BP=m,则BE=2m,EP=BEsin 60=2m = m. 由折叠可知,AE=CE. AB=6,AE=CE=6-2m, BC=4,PC=4-m. 在RtECP中,由勾股定理得(4-m)2+( m)2=(6-2m)2, m= ,EC=6-2m=6-2 = . BCEGCF,CF=EC= , SCEF= 2 = . (2) 或4 .,答案 B BAD的平分线与DC交于点E,BFAE,BAE=FAE,AEF=AEB=90.AE=AE, AEFAEB,EF=BE,AB=AF.在ABCD中,DEBA,DF=AD,AD=BC= AF= .故选B.,2.(
43、2018西华一模,9)如图,ABC中,ABC=BAC,D是AB的中点,ECAB,DEBC,AC与DE交于点O.下列 结论中,不一定成立的是 ( ) A.AC=DE B.AB=AC C.AD=EC D.OA=OE,答案 B ECAB,DEBC, 四边形BDEC是平行四边形, BD=CE,B=E. 又ABC=BAC, CEO=DAO. 又D是AB的中点, AD=BD,AD=CE, AODEOC, AD=EC,OA=OE. BC=DE,BC=AC, AC=DE. 而无法证得AB=AC.故选B.,3.(2018镇平一模,5)如图,正六边形ABCDEF内接于O,半径为4,则这个正六边形的边心距OM的长为
44、 ( ) A.2 B.2 C. D.4,答案 B 如图所示,连接OB,OC, 多边形ABCDEF是正六边形,BOC=60. OB=OC,BOC是等边三角形,OBM=60. OM=OBsinOBM=4 =2 .故选B.,4.(2017郑州一模,6)如图,已知ABC中,ACB=90,BC=3,AC=4,小红按如下步骤作图:分别以A,C为圆心, 大于 AC的长为半径在AC两侧作弧,交于M,N两点;连接MN,分别交AB,AC于点D,O;过C作CEAB交 MN于点E,连接AE,CD.则四边形ADCE的周长为 ( ) A.10 B.20 C.12 D.24,答案 A 在RtABC中,ACB=90,BC=3
45、,AC=4,所以AB= =5.由作图知MN垂直平分AC,则ED CB,DC= AB= ,又CEAB,易得四边形ADCE为平行四边形,所以四边形ADCE的周长为4 =10,故选A.,二、填空题(每小题3分,共9分) 5.(2019新乡一模,12)如图,在ABCD中,点E在BC边上,且AEBC于点E,DE平分CDA,若BEEC=12,则 BCD的度数为 .,答案 120,解析 四边形ABCD是平行四边形,AB=CD,ADBC,ABCD,ADE=CED.DE平分CDA, ADE=CDE,CED=CDE.CD=EC.AB=EC.BEEC=12,BEAB=12.AEBC, AEB=90.BAE=30,B=60.B+BCD=180,BCD=120.,思路分析 由平行四边形的性质和已知条件得出CED=CDE,证出CD=EC=AB,进而求出BE= AB,在 RtABE中得BAE=30,B=60,即可求
