1、考点一 等腰三角形,A组 20152019年湖南中考题组,1.(2019湖南长沙,9,3分)如图,RtABC中,C=90,B=30,分别以点A和点B为圆心,大于 AB的长为半径 作弧,两弧相交于M、N两点,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则CAD的度数是 ( ) A.20 B.30 C.45 D.60,答案 B 在RtABC中,B=30,C=90,BAC=180-B-C=60,由作图可知MN为线段AB的垂 直平分线,DA=DB,DAB=B=30,CAD=BAC-DAB=30,故选B.,2.(2019湖南郴州,7, 3分)如图,分别以线段AB的两端点A,B为圆心,大于 AB长为半径画弧,在线
2、段AB的两侧 分别交于点E,F,作直线EF交AB于点O.在直线EF上任取一点P(不与O重合),连接PA,PB,则下列结论不一定 成立的是 ( ) A.PA=PB B.OA=OB C.OP=OF D.POAB,答案 C 由作图可知,EF垂直平分线段AB, 则PA=PB,故A选项正确;OA=OB,故B选项正确;OE=OF,故C选项错误;POAB,故D选项正确. 故选C.,解题关键 本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质,解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法,利用 线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题.,3.(2016湖南湘西,14,4分)一个等腰三角形一边长为4 cm,另一边长为5 c
3、m,那么这个等腰三角形的周长是 ( ) A.13 cm B.14 cm C.13 cm或14 cm D.以上都不对,答案 C 当4 cm为等腰三角形的腰长时,三角形的三边长分别是4 cm,4 cm,5 cm,符合三角形的三边关系, 此时,等腰三角形的周长为13 cm; 当5 cm为等腰三角形的腰长时,三角形的三边长分别是5 cm,5 cm,4 cm,符合三角形的三边关系,此时,等腰 三角形的周长为14 cm,故选C.,思路分析 讨论4 cm为等腰三角形的腰长和5 cm为等腰三角形的腰长的情况,先判断是否符合三角形的三 边关系,再求周长.,易错警示 此题主要考查了等腰三角形的性质.易在两个方面出
4、错:忽视三角形的三边关系;没有进行 分类讨论.,4.(2018湖南湘潭,12,3分)如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则BAD= .,答案 30,解析 ABC是等边三角形, BAC=60,AB=AC. 又点D是边BC的中点, BAD= BAC=30.,思路分析 根据等腰三角形三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质求解.,5.(2018湖南邵阳,17,3分)如图所示,在等腰ABC中,AB=AC,A=36,将ABC中的A沿DE向下翻折,使点 A落在点C处.若AE= ,则BC的长是 .,答案,解析 AB=AC,A=36,B=ACB= =72, 将ABC中的A沿DE向下翻折,使点A
5、落在点C处, AE=CE,A=ECA=36, CEB=72,BCE是等腰三角形, BC=CE=AE= .,思路分析 由折叠的性质可知AE=CE,再证明BCE是等腰三角形即可得到BC=CE,问题得解.,解题关键 本题考查了等腰三角形的判定和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理,证明BCE是等腰 三角形是解题的关键.,6.(2016湖南长沙,17,3分)如图,ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则BCE 的周长为 .,答案 13,解析 DE垂直平分AB,AE=BE,BCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13.,评析 本题考查
6、了线段垂直平分线的性质,即线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.,7.(2017湖南株洲,22,8分)如图所示,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与BC相交 于点G,连接CF. 求证:DAEDCF.,证明 四边形ABCD是正方形,EDF是等腰直角三角形,ADC=EDF=90,AD=CD,DE=DF, ADE+ADF=ADF+CDF,ADE=CDF, 在DAE和DCF中, DAEDCF.,考点二 直角三角形,1.(2019湖南长沙,12,3分)如图,ABC中,AB=AC=10,tan A=2,BEAC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD + BD的最小
7、值是 ( ) A.2 B.4 C.5 D.10,答案 B 如图,作DHAB于H,CMAB于M. BEAC, AEB=90, tan A= =2, 可设AE=a(a0),BE=2a, 则有100=a2+4a2,a=2 , BE=2a=4 . AB=AC,BEAC,CMAB,A=A, AMCAEB,CM=BE=4 . sinDBH= = = , DH= BD,CD+ BD=CD+DH, CD+DHCM, CD+ BD4 , CD+ BD的最小值为4 .故选B.,解后反思 本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质,垂线段最短等知识,学会添加常用辅助线,用转化 的思想思考问题.,2.(2018湖南衡阳,
8、16,3分)将一副三角板如图放置,使点A落在DE上,若BCDE,则AFC的度数为 .,答案 75,解析 BCDE,FBC=EAB=45, AFC是AEF的外角, AFC=FAE+E=45+30=75.,3.(2018湖南湘潭,15,3分)九章算术是我国古代重要的数学著作之一,在“匀股”章中记载了一道“折 竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,ABC 中,ACB=90,AC+AB=10,BC=3,求AC的长.如果设AC=x,则可列方程为 .,答案 x2+32=(10-x)2,解析 AC=x,AC+AB=10, AB=10-x. 在RtABC
9、中,ACB=90, AC2+BC2=AB2,即x2+32=(10-x)2. 故可列方程为x2+32=(10-x)2.,4.(2017湖南益阳,10,3分)如图,ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB边上的中线,则CD= .,答案 6.5,解析 在ABC中,AC=5,BC=12,AB=13, AC2+BC2=52+122=132=AB2, ABC为直角三角形,且ACB=90, CD是AB边上的中线, CD= AB= 13=6.5.,B组 20152019年全国中考题组,考点一 等腰三角形,1.(2019内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于
10、x的一元二次方程x2-12x +m+2=0的两根,则m的值是 ( ) A.34 B.30 C.30或34 D.30或36,答案 A 由根与系数的关系可得 当a=4时,b=8;当b=4时,a=8.这两种情况都不能构成三角形, a=b=6, m=34,故选A.,易错警示 本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8或b=4,a=8的情况下不能构成三角形.,2.(2017吉林,5,2分)如图,在ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若B=40, C=36,则DAC的度数是 ( ) A.70 B.44 C.34 D.24,答案 C 由作图知BA=BD,BAD=BDA=70,
11、BDA=C+DAC,DAC=BDA-C=70-36 =34,故选C.,3.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50,则它的顶角的度数为 .,答案 80,解析 等腰三角形的两底角相等,180-502=80, 顶角为80.,4.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的中 点,连接DG,则DG的长为 .,答案,解析 连接DE,在等边ABC中, D、E分别是AB、BC的中点, DEAC,DE= AC=2=EC, DEB=C=60.,EFAC, EFC=90, FEC=30,EF= . DEG=180-60-3
12、0=90.,G是EF的中点, EG= , 在RtDEG中,DG= = = .,思路分析 连接DE,根据题意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度数,判断出DEG是直角三角形, 再根据勾股定理即可求解DG的长.,疑难突破 本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质求线段DG的长,DG与图 中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股定理求出DG的长.,5.(2017北京,19,5分)如图,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于点D. 求证:AD=BC.,证明 AB=AC,A=36,ABC=C=72. BD平分ABC,ABD=36,
13、ABD=A, AD=BD. BDC=A+ABD=72,BDC=C, BD=BC,AD=BC.,6.(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,连接AE、BD 交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. (1)如图1,求证:AE=BD; (2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.,图1,图2,解析 (1)证明:ACB和DCE都是等腰直角三角形, ACB=DCE=90,AC=BC,EC=DC, ACB+ACD=DCE+ACD,即ACE=BCD, ACEBCD, AE=BD. (2)AC
14、BDCE,AONDOM, AOBDOE,NCBMCE.,考点二 直角三角形,1.(2019吉林长春,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,RtABC的顶点A、C的坐标分别为(0,3),(3,0),ACB=90, AC=2BC,函数y= (k0,x0)的图象经过点B,则k的值为 ( ) A. B.9 C. D.,答案 D 过点B作BDx轴于点D,易得AOCCDB. AC=2BC,相似比为21,于是可得BD=CD= . OD=3+ = ,B ,k= = .,思路分析 过点B作x轴的垂线,构造两个相似的三角形,利用相似比求出边长,进而求出点B的坐标,最后可 得k的值.,解后反思 直角三角形的性质、勾股
15、定理、等腰三角形的性质和判定以及反比例函数图象上点的坐标特 征是解决问题的必备知识,恰当地将线段的长与坐标互相转化,使问题得以解决.,2.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交AD于 点E,则AE的长为 ( ) A.2 B.3 C. D.,答案 D AC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin 45=4 ,过点E作EFAB于点F,BE是ABC的平分 线,DE=EF,ABC=60,ADBC,BAE=30,在RtAEF中,EF= AE,又AD=4 ,DE=EF, AE= AD= ,故选D.,思路分析 首先利用AC的长及C
16、的正弦求出AD的长,进而通过角平分线的性质及直角三角形中30度角 的性质确定DE和AE的数量关系,最后求出AE的长.,3.(2017辽宁大连,8,3分)如图,在ABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的 长为 ( ) A.2a B.2 a C.3a D. a,答案 B CDAB,CD=DE=a,CE= a,在ABC中,ACB=90,点E是AB的中点,AB=2CE=2 a, 故选B.,4.(2019内蒙古呼和浩特,12,3分)下面三个命题:底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;两边及其 中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;斜边和斜边上的中线对应相
17、等的两个直角三角形全等.其 中正确的命题的序号为 .,答案 ,解析 等腰三角形的顶角相等,则它们的底角也相等,又因为底边对应相等,所以由AAS或ASA判定两等腰 三角形全等,命题正确;先由SSS证明两三角形中线同侧的三角形全等,得两边的夹角对应相等,再由SAS 证得原两三角形全等,命题正确;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以仅有斜边相等不能证得 两个直角三角形全等,命题错误.故正确的命题是.,5.(2018福建,13,4分)如图,RtABC中,ACB=90,AB=6,D是AB的中点,则CD= .,答案 3,解析 依题意可知CD是RtABC斜边上的中线,由“直角三角形斜边上的中线等于斜边
18、的一半”可得CD = AB=3.,6.(2017山西,15,3分)一副三角板按如图方式摆放,得到ABD和BCD,其中ADB=BCD=90,A=60, CBD=45.E为AB的中点,过点E作EFCD于点F.若AD=4 cm,则EF的长为 cm.,答案 ( + ),解析 如图,连接DE,过点E作EMBD于点M, 设EF交BD于点N, ADB=90,AD=4 cm,A=60, AB=8 cm,DB=4 cm, 点E为AB的中点,EMBD, DE= AB=4 cm,EM= AD=2 cm, 由等腰直角三角形的性质可知ENM=FND=45, 在RtENM中,EN= EM=2 cm,MN=EM=2 cm,
19、 DN=DM-MN= DB-MN=(2 -2)cm, 在RtDFN中,FN= DN=( - )cm, EF=EN+FN=2 + - =( + )cm.,一题多解 过点A作AGCD的延长线于点G,CDB=CBD=45,ADB=90,ADG=45,AG= =2 cm,ABD=30,BD= AD=4 cm,CBD=45,BC= =2 cm,AGCG,EFCG,CB CG,AGEFBC,E是AB的中点,点F为CG的中点,EF= (AG+BC)= (2 +2 )=( + )cm.,7.(2019贵州贵阳,25,12分) (1)数学理解:如图,ABC是等腰直角三角形,过斜边AB的中点D作正方形DECF,分
20、别交BC,AC于点E,F,求 AB,BE,AF之间的数量关系; (2)问题解决:如图,在任意直角ABC内,找一点D,过点D作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,若AB=BE +AF,求ADB的度数; (3)联系拓广:如图,在(2)的条件下,分别延长ED,FD,交AB于点M,N,求MN,AM,BN的数量关系.,解析 (1)四边形DECF为正方形且D为等腰直角ABC斜边AB的中点, AF=FC=CE=EB=DE=FD, 在RtAFD和RtBED中, AD= AF,BD= BE, AB=AD+BD= (AF+BE). (2)四边形DECF是正方形, DF=DE, 将ADF以点D为旋转中心,逆
21、时针旋转90得到ADE,如图, AD=AD,AF=AE,且ADA=90. AB=BE+AF,AB=BE+AE=AB. 在ABD和ABD中, ,ABDABD,ADB=ADB, ADB= = =135. (3)由(2)得,AD,BD分别是CAB和CBA的平分线, MAD=FAD,NBD=EBD, 由题意得EMCA,FNCB, MDA=FAD,NDB=EBD, MDA=MAD,NDB=NBD,AM=MD,ND=BN. 在RtMDN中,MN2=MD2+ND2, MN2=AM2+BN2.,思路分析 (1)根据题意得出ADF和BDE均为等腰直角三角形,AD= AF,BD= BE,进而得出结果;(2) 将A
22、DF绕点D逆时针旋转90,得到ADE,进一步证明ABD与ABD全等,得出ADB=ADB,进而求 出ADB的度数;(3)由(2)易得AD平分BAC,BD平分ABC,结合EMAC,FNBC,得出AM=DM,DN=BN, 最后根据勾股定理得出结论.,难点突破 对于第(3)问,三条线段在同一直线上,利用“角平分线+平行”得出等腰ADM和等腰BDN, 把所求三条线段转化为直角三角形DMN的三边,问题迎刃而解.,C组 教师专用题组,考点一 等腰三角形,1.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论 时,需添加辅助线,则作法不正确的
23、是 ( ) A.作APB的平分线PC交AB于点C B.过点P作PCAB于点C且AC=BC C.取AB中点C,连接PC D.过点P作PCAB,垂足为C,答案 B 无论作APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB,垂足为C,都 可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.,2.(2017湖北武汉,10,3分)如图,在RtABC中,C=90,以ABC的一边为边画等腰三角形,使得等腰三角形 的第三个顶点在ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7,答案 D 如图1,以B为圆心,BC长为半
24、径画弧,交AB于点D,则BCD就是等腰三角形; 如图2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,则ACE就是等腰三角形; 如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点M,交AC于点F,则BCM、BCF是等腰三角形; 如图4,作AC的垂直平分线交AB于点H,则ACH就是等腰三角形; 如图5,作AB的垂直平分线交AC于点G,则AGB就是等腰三角形; 如图6,作BC的垂直平分线交AB于I,则BCI就是等腰三角形.故选D.,3.(2016湖南邵阳,8,3分)如图所示,点D是ABC的边AC上一点(不含端点),AD=BD,则下列结论正确的是 ( ) A.ACBC B.AC=BC C.AABC D.
25、A=ABC,答案 A AD=BD, A=ABD, ABC=ABD+DBC, ABCA, ACBC.,4.(2019辽宁大连,13,3分)如图,ABC是等边三角形,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD.AB=2,则AD的长为 .,解析 ABC是等边三角形,AB=2, BC=CA=AB=2,ABC=BCA=BAC=60. CA=CD=2, CAD=D,BD=CB+CD=4, ACB=CAD+D, 2D=ACB=60, D=60 =30, BAD=180-B-D=180-60-30=90. 在RtABD中, AD= = =2 , 故答案为2 .,答案 2,5.(2016湖南邵阳,13,3分)将等边
26、CBA绕点C顺时针旋转得到CBA,使得B,C,A三点在同一直线上,如 图所示,则的大小是 .,答案 120,解析 CBA是等边三角形,CBA旋转得到CBA, ACB=ACB=60,ACB=60. 由题意可知,BCB是旋转角,=BCB=120.,6.(2017湖北武汉,21,8分)如图,ABC内接于O,AB=AC,CO的延长线交AB于点D. (1)求证:AO平分BAC; (2)若BC=6,sinBAC= ,求AC和CD的长.,解析 (1)证明:连接BO. AB=AC,OB=OC, A、O在线段BC的中垂线上,AOBC. 又AB=AC,AO平分BAC. (2)如图,延长AO交BC于点H,过点D作D
27、KAO,交AO于点K. 由(1)知AOBC,OB=OC,BC=6, BH=CH= BC=3,COH= BOC, BAC= BOC,COH=BAC.,在RtCOH中,OHC=90,sinCOH=sinBAC= = . CH=3,CO=AO=5, OH= = =4, AH=AO+OH=5+4=9,tanCOH=tanDOK= . 在RtACH中,AHC=90,AH=9,CH=3, tanCAH= = = , AC= = =3 , 由(1)知CAH=BAH,tanBAH=tanCAH= . 设DK=3a(a0),在RtADK中,tanDAK= , 在RtDOK中,tanDOK= , OK=4a,DO
28、=5a,AK=9a,AO=OK+AK=13a=5, a= ,DO=5a= , CD=OC+DO=5+ = .,一题多解 (1)证明:连接OB. AO=AO,BO=CO,AB=AC, AOBAOC,BAO=CAO. 即AO平分BAC. (2)过点C作CEAB,交AB于点E, sinBAC= = ,可设AC=5m(m0),则EC=3m, AE=4m,BE=m.,在RtCBE中,BE2+EC2=BC2,即m2+(3m)2=36, 解得m= (舍负),AC=3 . 延长AO交BC于点H,则AHBC,且BH=CH=3, 过点O作OFAH,交AB于点F,BOC=2BAC,BOC=2HOC,BAC=HOC,
29、 sinHOC=sinBAC= ,又HC=3, OC=5,OH=4,AH=OA+OH=9, tanBAH= = = ,OF= OA= . OFBC, = ,即 = ,解得DC= .,7.(2017四川成都,27,10分)问题背景:如图1,等腰ABC中,AB=AC,BAC=120,作ADBC于点D,则D为BC 的中点,BAD= BAC=60,于是 = = ; 图1 迁移应用:如图2,ABC和ADE都是等腰三角形,BAC=DAE=120,D,E,C三点在同一条直线上,连接 BD.,图2 求证:ADBAEC; 请直接写出线段AD,BD,CD之间的等量关系式; 拓展延伸:如图3,在菱形ABCD中,AB
30、C=120,在ABC内作射线BM,作点C关于BM的对称点E,连接AE并延 长交BM于点F,连接CE,CF.,图3 证明:CEF是等边三角形; 若AE=5,CE=2,求BF的长.,解析 迁移应用 证明:ABC和ADE都是等腰三角形, AD=AE,AB=AC, 又DAE=BAC=120, DAE-BAE=BAC-BAE,即DAB=EAC. ADBAEC(SAS). DC= AD+BD. 详解:由问题背景可知,在ADE中,有DE= AD, 由可知,BD=EC, DC=DE+EC= AD+BD. 拓展延伸 证明:如图所示,连接BE.,C,E关于BM对称, BE=BC,FE=FC,EBF=CBF,EFB
31、=CFB, 四边形ABCD是菱形,且ABC=120, AB=BC=BE. 过B作BGAE,则AG=GE,ABG=GBE, GBF=GBE+EBF= ABC= 120=60.,CFB=EFB=30,即EFC=60. CEF为等边三角形. AE=5,GE=GA= ,EF=CE=2,GF=GE+EF= , 在RtGBF中,GFB=30, BF= = =3 .,思路分析 迁移应用:根据SAS证全等.由问题背景可知,DE= AD,由可得,EC=BD,DC=DE+EC= AD+BD. 拓展延伸:要证明CEF为等边三角形,根据对称性可知,FE=FC,EFB=CFB,那么我们只需证明EFB =30即可.在的基
32、础上,易得GE= AE= ,EF=2,则GF=GE+EF= .在RtGBF中,BF= =3 .,8.(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线. (1)求证:BD=CE; (2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等 时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.,解析 (1)证明:AB,AC是等腰ABC的两腰, AB=AC, BD,CE是中线, AD= AC,AE= AB, AD=AE, 又A=A,ABDACE, BD=CE. (2)四边形DEMN为正方形. 提示:由MN、DE分别是
33、OBC、ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,由(1)知BD=CE,故可证 OE=OD,从而四边形DEMN是矩形,再由ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等可知四边形DEMN为正 方形.,考点二 直角三角形,1.(2019贵州贵阳,9,3分)如图,在ABC中,AB=AC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交AB于点B和点D,再分别 以点B,D为圆心,大于 BD长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM交AB于点E,若AE=2,BE=1,则EC的长度 是 ( ) A.2 B.3 C. D.,答案 D 由作图叙述可知CEAB,AE=2,BE=1,AB=AC=3,在RtACE中,CE= = ,故
34、选D.,2.(2017内蒙古包头,12,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,AF平分CAB,交CD于点E, 交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 过F作FGAB于点G, AF平分CAB,ACB=90,FC=FG. 易证ACFAGF,AC=AG. 5+6=90,B+6=90,5=B. 3=1+5,4=2+B,1=2, 3=4,CE=CF.AC=3,AB=5,BC=4. 设CF=x(x0), 则FG=x,BF=4-x.BG=AB-AG=5-3=2.,在RtBFG中, 由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22
35、,解得x= , CE=CF= .选A.,3.(2018河南,15,3分)如图,MAN=90,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,ABC与ABC 关于BC所在直线对称.点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交AB所在直线于点F,连接AE.当AEF 为直角三角形时,AB的长为 .,答案 4或4,思路分析 由题意知,点B为边AN上的动点,A点的对称点A可以在直线DE的下方或上方.分类讨论,当点A 在DE的下方时,AEF不可能为直角三角形,当点A在直线DE上方时,AEF或AFE为90时分别计算AB 的长,显然EAF90,可以排除.,方法总结 解对称(折叠)型问题,当对称轴
36、过定点时,一般要找出对称中的定长线段,以定点为圆心,定长为 半径作辅助圆来确定对称点的轨迹是较为有效的方法.再根据题目中所要求的条件,结合全等、相似或勾 股定理等计算得出结果.,4.(2017河南,15,3分)如图,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC= +1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN 所在的直线折叠B,使点B的对应点B始终落在边AC上.若MBC为直角三角形,则BM的长为 .,答案 或1,解析 在RtABC中,A=90,AB=AC,B=C=45. (1)当MBC=90时,BMC=C=45. 设BM=x,则BM=BC=x,在RtMBC中,由勾股定理得MC= x, x+x=
37、 +1,解得x=1,BM=1. (2)如图,当BMC=90时,点B与点A重合, 此时BM=BM= BC= .,综上所述,BM的长为1或 .,5.(2018浙江杭州,21,10分)如图,在ABC中,ACB=90,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段AB于点D;以 点A为圆心,AD长为半径画弧,交线段AC于点E,连接CD. (1)若A=28,求ACD的度数; (2)设BC=a,AC=b. 线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根吗?说明理由; 若AD=EC,求 的值.,解析 (1)ACB=90,A=28, B=62, 由题意知BD=BC,BCD=BDC=59, ACD=90-BCD=31
38、. (2)线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根.理由如下: 由勾股定理得AB= = , AD= -a, 解方程x2+2ax-b2=0,得x= = -a, 线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根. AD=AE,AD=EC, AE=EC= ,由勾股定理得a2+b2= ,整理得 = .,思路分析 (1)根据三角形内角和定理求出B,再根据等腰三角形的性质求出BCD,根据ACD为BCD 的余角计算即可;(2)根据勾股定理求出AB,进而得到AD,利用求根公式解方程,比较即可;根据勾股定理 及等量关系列出等式,化简、整理即可.,方法总结 本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法,掌握一
39、元二次方程的求根公式、熟练应用勾股 定理是解题的关键.,20分钟 30分,一、选择题(每小题3分,共9分),1.(2017湖南株洲三模,6)等腰三角形顶角是84,则一腰上的高与底边所成的角的度数是 ( ) A.42 B.60 C.36 D.46,答案 A 如图,ABC中,AB=AC,BD是边AC上的高. A=84,且AB=AC, ABC=C=(180-84)2=48. 在RtBDC中, BDC=90,C=48, DBC=90-48=42.故选A.,2.(2018湖南益阳模拟,8)直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角的度数为 ( ) A.150 B.135 C.120 D.120或135,答案
40、 B 直角三角形中,两锐角的度数和为90,则两锐角的各一半的度数和为45,根据三角形内角和为 180,可得钝角度数为135,故选B.,3.(2018湖南长沙周南中学模拟,8)如图,MON=90,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上,当B在边 ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,则运动过程中,点D到点O 的最大距离为 ( ) A. +1 B. C. D.,答案 A 如图,取AB的中点E,连接OE、DE、OD, ODOE+DE,当O、E、D三点共线时,点D到点O的距离最大,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,OE=AE = AB=1,D
41、E= = = ,OD的最大值为 +1.故选A.,解题关键 取AB的中点E,连接OE、DE、OD,根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、E、D三 点共线时,点D到点O的距离最大,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长,再根据勾股 定理求出DE的长,两者相加即可得解.,评析 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,三角形的三边关系,矩形的性质,勾股 定理,根据三角形的三边关系判断出O、E、D三点共线时,点D到点O的距离最大是解题的关键.,二、填空题(每小题3分,共15分),4.(2019湖南长沙五模,17)如图,ABC中,A=36,AB=AC,BD平分ABC,DE
42、BC,则图中的等腰三角形有 个.,答案 5,解析 AB=AC,A=36, ABC是等腰三角形,ABC=ACB= =72, BD平分ABC,EBD=DBC=36. EDBC,AED=ADE=72,EDB=CBD=36, AD=AE,ADE为等腰三角形, A=ABD=36,AD=BD,ABD是等腰三角形, EBD=EDB=36,ED=BE,BED是等腰三角形, C=BDC=72,BD=BC,BDC是等腰三角形, 故图中共有5个等腰三角形.,5.(2019湖南长沙周南二模,15)若方程x2-4x+3=0的两根是等腰三角形的底和腰,则它的周长为 .,答案 7,解析 由x2-4x+3=0知(x-1)(x
43、-3)=0, 解得x=1或x=3, 当1为腰长,3为底边长时,1+13,不能构成三角形; 当3为腰长,1为底边长时,3,3,1能构成等腰三角形, 周长=3+3+1=7. 故答案为7.,思路分析 先求出方程的根,再根据三角形的三边关系确定所求的根是否符合题意,然后求解.,解后反思 本题考查了等腰三角形的性质和分情况讨论的思想,注意根据三角形的三边关系确定是否可以 构成三角形,不可盲目讨论.,6.(2019湖南保靖模考,16)如图,在ABC中,CD是ACB的平分线,DEBC交AC于点E,若DE=6 cm,AE=5 cm,则AC= cm.,答案 11,解析 CD是ACB的平分线, ACD=BCD.
44、又DEBC, BCD=EDC,ACD=EDC,DE=CE=6 cm. AC=AE+CE=5+6=11 cm. 故答案为11.,思路分析 由CD是ACB的平分线,可得ACD=BCD,又DEBC,则BCD=EDC,于是ACD =EDC,再利用等角对等边可得DE=CE,从而求出AC的长.,解题关键 本题考查了角平分线的性质以及等腰三角形的性质.得到DE=EC是正确解答本题的关键.,7.(2018湖南株洲模拟,16)如图,在ABC中,C=90,BAC=60,D为BC上一点,过点D作DEAB,垂足为E, 连接AD,若CD=DE=1,则AB的长为 .,解析 在ABC中,C=90,DEAB,CD=DE=1,
45、BAC=60, CAD=BAD= BAC=30, 在ADE中,AED=90,EAD=30, AD=2DE=2, 在ADC中,C=90, AC= = , 在ABC中,C=90,B=90-BAC=30, AB=2AC=2 .,答案 2,8.(2018湖南永州模拟,15)如图,已知ABC中,AB=AC,C=30,ABAD,AD=4,则BC= .,答案 12,解析 AB=AC,C=30, B=30, 又ABAD,ADB=60, DAC=30,AD=DC=4, 在RtABD中,B=30,AD=4, BD=8,BC=BD+DC=8+4=12.,三、解答题(共6分),9.(2019湖南湘西模考,21)如图,已知点B、E、F、C依次在同一条直线上,AFBC,DEBC,垂足分别为F、 E,且AB=DC,BE=CF.试证明ABDC.,证明 BE=CF,BE+EF=CF+EF,即BF=CE. AFBC,DEBC,AFB=DEC=90, 在RtAFB和Rt
