1、1.(2017大连)在平面直角坐标系xOy中,线段AB的两个端点坐标分别为A(-1,-1),B(1,2),平移线段AB,得到线段 AB,已知A的坐标为(3,-1),则点B的坐标为 ( ) A.(4,2) B.(5,2) C.(6,2) D.(5,3),答案 B A(-1,-1)平移后得到点A的坐标为(3,-1),所以平移方法为沿x轴向右平移3-(-1)=4个单位,B(1, 2)的对应点B的坐标为(5,2).,方法技巧 此题主要考查了坐标与图形的平移变换,关键是掌握横坐标,右移加,左移减;纵坐标,上移加, 下移减.,2.(2017台州)如图,矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上,B
2、E=BF.将AEH,CFG分别沿边 EH,FG折叠,若重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的 ,则 为 ( ) A. B.2 C. D.4,3.(2019无锡,17,2分)如图,在ABC中,ACBCAB=51213,O在ABC内自由移动,若O的半径为1, 且圆心O在ABC内所能到达的区域的面积为 ,则ABC的周长为 .,答案 25,解析 如图,由题意得点O所能到达的区域是EFG及其内部,连接AE,延长AE交BC于H,作HMAB于M,EK AC于K,FJAC于J. EGAB,EFAC,FGBC, EGF=ABC,FEG=CAB, EFGACB, EFFGEG=ACBCAB=51213. 设EF
3、=5k(k0),则FG=12k,EG=13k,(5k)2+(12k)2=(13k)2,EFG与ABC为直角三角形. 5k12k= , k= 或- (舍去),EF= , 易证四边形EKJF是矩形, KJ=EF= . 设AC=5m(m0),则BC=12m,AB=13m, ACH=AMH=90,HAC=HAM,AH=AH, HACHAM(AAS), AM=AC=5m,CH=HM,BM=8m.设CH=HM=x(x0), 在RtBHM中,有x2+(8m)2=(12m-x)2,x= m. EKCH, = , = ,AK= ,AC=AK+KJ+CJ= + +1= , BC= 12=10,AB= 13= ,
4、ABC的周长=AC+BC+AB= +10+ =25.,疑难突破 本题是一道动图形问题,考查相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角 形等知识点.解决问题的关键是确定圆心O的轨迹,学会添加常用辅助线,构造相似三角,综合运用上述知识 点,即可突破该问题的难点,属于中考填空题中的压轴题.,4.(2018宿迁,18,3分)如图,将含有30角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系,顶点A、B分别落在x、y轴的 正半轴上,OAB=60,点A的坐标为(1,0).将三角板ABC沿x轴向右做无滑动的滚动(先绕点A按顺时针方向 旋转60,再绕点C按顺时针方向旋转90,),当点B第一次落在x轴上时,
5、点B运动的路径与两坐标轴围成 的图形面积是 .,答案 + ,解析 由点A的坐标为(1,0),得OA=1, 又OAB=60,AB=2, ABC=30,AB=2,AC=1,BC= , 在旋转过程中,三角板的长度和角度不变, 点B运动的路径与两坐标轴围成的图形面积为 SAOB+S扇形BAB+SABC+S扇形BCB= 1 + 22+ 1 + ( )2= + .,思路分析 先求出三角形ABC各边长度,画出点B的运动轨迹,然后求面积.,解题关键 本题考查了点的运动轨迹和图形面积,关键是作出图形,将不规则图形的面积进行转化.,5.(2017内江,25,3分)如图,已知直线l1l2,l1、l2之间的距离为8,
6、点P到直线l1的距离为6,点Q到直线l2的距离为 4,PQ=4 ,在直线l1上有一动点A,直线l2有一动点B,满足ABl2,且PA+AB+BQ最小,此时PA+BQ= .,答案 16,解题关键 本题考查平行线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会构建 平行四边形解决问题,属于中考常考题型.,6.(2019扬州,27,12分)如图1,四边形ABCD是矩形,AB=20,BC=10,以CD为一边向矩形外部作等腰直角 GDC,G=90.点M在线段AB上,且AM=a,点P沿折线ADDG运动,点Q沿折线BCCG运动(与点G不重合), 在运动过程中始终保持线段PQAB.设PQ与AB之
7、间的距离为x. (1)若a=12. 如图2,当点P在线段AD上时,若四边形AMQP的面积为48,则x的值为 ; 在运动过程中,求四边形AMQP的最大面积; (2)如图3,若点P在线段DG上,要使四边形AMQP的面积始终不小于50,求a的取值范围.,解析 (1)P在线段AD上,PQ=AB=20,AP=x,AM=12, 四边形AMQP的面积= (12+20)x=48,解得x=3. 当P在AD上运动时,P运动到D点时四边形AMQP面积最大,最大面积为 (12+20)10=160. 当P在DG上运动时,10x20,四边形AMQP为不规则梯形, 作PKAB于K,交CD于N,作GFAB于F,交PQ,CD于
8、H,E,如图所示: 则PK=x,PN=x-10,EF=BC=10, GDC是等腰直角三角形, DE=CE=GE= CD=10, GF=GE+EF=20,GH=20-x, 由题意得PQCD, GPQGDC, = ,即 = , PQ=40-2x, 梯形AMQP的面积= (12+40-2x)x=-x2+26x =-(x-13)2+169, 当x=13时,四边形AMQP的面积最大,为169. 综上,四边形AMQP的最大面积为169. (2)P在DG上,则10x20,AM=a,PQ=40-2x, 设梯形AMQP的面积为S,则S= (a+40-2x)x=-x2+ x,对称轴为直线x=10+ , 0a20,
9、1010+ 15, 10x20,二次函数图象开口向下, -202+ 2050, a5. 综上所述,a的取值范围为5a20.,评析 本题是四边形综合题目,考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、 梯形面积公式、二次函数的性质等知识,综合性强,有一定难度.,7.(2018无锡,27,10分)如图,矩形ABCD中,AB=m,BC=n,将此矩形绕点B顺时针方向旋转(090)得到矩形 A1BC1D1,点A1在边CD上. (1)若m=2,n=1,求在旋转过程中,点D到点D1所经过路径的长度; (2)将矩形A1BC1D1继续绕点B按顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2,点D2在BC的
10、延长线上,设边A2B与CD交于 点E,若 = -1,求 的值.,解析 (1)作A1HAB于H,连接BD,BD1,则四边形ADA1H是矩形. AD=HA1=n=1, 在RtA1HB中,BA1=BA=m=2, BA1=2HA1,ABA1=30, 旋转角为30, BD= = , D到点D1所经过路径的长度= = .,(2)易知BCEBA2D2, = = ,CE= , = -1, = , A1C= , BH=A1C= = , m2-n2=6 , 1- =6 , = (负根已经舍去).,解题关键 本题考查旋转变换、解直角三角形、弧长公式等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学 知识解决问题,属于中考常
11、考题型.,8.(2018湖北黄冈,24,14分)如图,在直角坐标系xOy中,菱形OABC的边OA在x轴正半轴上,点B,C在第一象限, C=120,边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度做匀速运动,点N从A出发沿边 ABBCCO以每秒2个单位长的速度做匀速运动.过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P,交对角线 OB于Q,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,点N运动到原点O时,M和N两点同时停止运动. (1)当t=2时,求线段PQ的长; (2)求t为何值时,点P与N重合; (3)设APN的面积为S,求S与t的函数关系式及t的取值范围.,解析 (1)在菱形OABC
12、中,易知AOC=60,AOQ=30, 当t=2时,OM=2,PM=2 ,QM= ,PQ= . (2)当t4时,AN=PO=2OM=2t,t=4时,P点与C点重合,N到达B点,故点P,N在边BC上相遇. 设t秒时P与N重合,则(t-4)+2(t-4)=8,解得t= . 即t= 秒时,P与N重合. (3)当0t4时,PN=OA=8,且PNOA,PM= t, SAPN= 8 t=4 t. 当4t 时,PN=8-3(t-4)=20-3t, SAPN= 4 (20-3t)=40 -6 t. 当 t8时,PN=3(t-4)-8=3t-20,SAPN= 4 (3t-20)=6 t-40 . 当8t12时,O
13、N=24-2t,N到OM的距离为12 - t,N到CP的距离为4 -(12 - t)= t-8 ,CP=t-4, BP=12-t, SAPN=S菱形OABC-SAON-SCPN-SAPB =32 - 8(12 - t)- (t-4)( t-8 )- (12-t)4 =- t2+12 t-56 . 综上,S与t的函数关系式为 S= 注:第一段函数的定义域写为0t4,第二段函数的定义域写为4t 也可以,9.(2017衡阳)如图,正方形ABCD的边长为1,点E为边AB上一动点,连接CE并将其绕点C顺时针旋转90得到 CF,连接DF,以CE,CF为邻边作矩形CFGE,GE与AD,AC分别交于点H,M,
14、GF交CD延长线于点N. (1)证明:点A,D,F在同一条直线上; (2)随着点E的移动,线段DH是否有最小值?若有,求出最小值;若没有,请说明理由; (3)连接EF,MN,当MNEF时,求AE的长.,解析 (1)证明:如图,由旋转的性质知,CF=CE, 又1+2=2+3=90,1=3, 又CD=CB,CBECDF, CDF=CBE=90,ADF=180. 故点A,D,F三点共线. 图 (2)设DH=y,AE=x,则AH=1-y,在RtCBE和RtEAH中,4+5=90,1+4=90,1=5. RtCBERtEAH, = ,即 = ,y=x2-x+1= + ,当x= ,即当点E是AB的中点时,
15、DH最小,最小值为 . (3)如图,记AC与EF交于点P,连接CG.由(1)知CE=CF,矩形CFGE是正方形,对角线CG所在的直线是其对 称轴, 图 FG=GE,又EFMN, GN=GM,CN=CM, 又CNM=45+3,NMC=45+ECM,CNM=NMC, 又ECM+CPE+45=180,EFH+FPA+45=180,CPE=FPA,ECM=EFH,3=EFH=1,RtCBERtFAE, = , 又BC=1,BE=1-AE,AF=1+1-AE=2-AE, = ,AE2-4AE+2=0, 解得AE=2+ 1(不合题意,舍去)或AE=2- .,思路分析 (1)证明三点共线,一般是证明中间点与另两点连线的夹角等于180.由旋转不改变图形的形状 和大小,可证CBECDF,得到CDF=CBE=90,所以可证ADF=180,问题得证. (2)求DH的最值,需要建立适当的函数模型,考虑AE,AH是同一个直角三角形的边,所以设DH=y,AE=x,由 CBEEAH,利用对应边成比例,可以得出y与x的函数关系式,从而最值问题可解. (3)连接CG,根据正方形是轴对称图形,对角线所在的直线是对称轴,EFMN,所以NG=GM,所以CN=CM,从 而可推出EFD=ECA=1=3,所以RtCBERtFAE,所以 = ,因此AE可求.,
