1、1.(2018黑龙江齐齐哈尔,24,14分)综合与探究 如图1所示,直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0),与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经过点A,C. (1)求抛物线的解析式; (2)点E在抛物线的对称轴上,求CE+OE的最小值; (3)如图2所示,M是线段OA上的一个动点,过点M垂直于x轴的直线 与直线AC和抛物线分别交于点P、N. 若以C,P,N为顶点的三角形与APM相似,则CPN的面积为 ; 若点P恰好是线段MN的中点,点F是直线AC上一个动点,在坐标 平面内是否存在点D,使以点D,F,P,M为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明 理由. 注
2、:二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的顶点坐标为 .,解析 (1)将A(-4,0)代入y=x+c得c=4, (1分) 将A(-4,0)和c=4代入y=-x2+bx+c得b=-3, (2分) 抛物线的解析式为y=-x2-3x+4. (3分) (2)如图所示,抛物线的对称轴为直线l,作点C关于l的对称点C,连接OC,交直线l于点E,连接CE,此时CE+OE 的值最小. 抛物线的对称轴为直线x=- =- , (4分) 则CC=3,由勾股定理可得,OC=5, (5分) CE+OE的最小值为5. (6分),(3) 或4(答对一个得2分). (10分) 存在,D1 , D2(-4,3),D3 , D
3、4 . (14分) 详解:如图a,当CNx轴时,PCNPAM, 令y=4,代入y=-x2-3x+4,解得x1=0(舍去), x2=-3,N(-3,4),当x=-3时,由y=x+4得y=1,P(-3,1),PN=3, SPNC= PNNC= . 图a,如图b,当CNAC时,PCNPMA, 作CDMN,OA=OC, OAC=45, APM=NPC=PNC=45, NP=2CD,设点P(m,m+4),N(m,-m2-3m+4), 则PN=-m2-3m+4-(m+4)=-m2-4m, CD=-m, -m2-4m=-2m,解得m1=0(舍去),m2=-2, CD=2,PN=4, SPNC= PNCD=4
4、.,图b 设点P(m,m+4),N(m,-m2-3m+4), 则PN=-m2-3m+4-(m+4)=-m2-4m, 当点P是MN的中点时,PN=PM, -m2-4m=m+4,解得m1=-4(舍去),m2=-1, P(-1,3),PM=3. 如图c,当PM为菱形的边,PM=PF时,过点P作PEFD,设F(x,x+4).易证PF=PM= PE, PE= ,点F的横坐标是-1+ 或-1- ,当x=-1+ 时, x+4=3+ ,点F ,点D ; 当x=-1- 时, x+4=3- ,点F ,点D . 图c 如图d,当PM为菱形的边,PM=MF时,点F与点A重合,此时点D(-4,3). 图d,如图e,当P
5、M为对角线时,作PM的垂直平分线,交AC于点F,作点F关于PM的对称点D,连接MF,MD,PD,易证四 边形PFMD是菱形,易知F点纵坐标为 .令y= 时,代入y=x+4,解得x=- ,点F ,点D . 图e 综上所述, D1 , D2(-4,3), D3 , D4 . 说明:以上各题,如果有其他正确解法,可酌情给分.,2.(2018山西,23,13分)综合与探究 如图,抛物线y= x2- x-4与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第四象限内 抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m,过点P作PMx轴,垂足为点M,PM交BC于点Q,过点P作PEAC交x
6、轴于点E,交BC于点F. (1)求A,B,C三点的坐标; (2)试探究在点P运动的过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请 写出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由; (3)请用含m的代数式表示线段QF的长,并求出m为何值时QF有最大值.,解析 (1)由y=0,得 x2- x-4=0, (1分) 解得x1=-3,x2=4. 点A,B的坐标分别为(-3,0),(4,0). (3分) 由x=0,得y=-4, 点C的坐标为(0,-4). (4分) (2)Q1 ,Q2(1,-3). (8分) 详解:当CA=CQ时,如图1, 图1,AC= =5, BC= =4
7、, BQ=4 -5.OB=OC,OCB=OBC=45. MQ=MB= =4- , OM=OB-MB= , 点Q的坐标为 . 当AC=AQ时,如图2,AQC=ACQ, 图2,ACO+OCB=QAB+QBA. OB=OC,OCB=OBC,ACO=QAM. 又AOC=QMA,AOCQMA, OC=AM=4,OA=QM=3, OM=1,点Q的坐标为(1,-3). 综上所述,点Q1 或Q2(1,-3). (3)解法一:如图3,过点F作FGPQ于点G, 图3,则FGx轴. (9分) 由B(4,0),C(0,-4),得OBC为等腰直角三角形. OBC=QFG=45. GQ=FG= FQ. (10分) PEA
8、C,1=2. FGx轴,2=3.1=3. FGP=AOC=90,FGPAOC. = ,即 = . GP = FG= FQ= FQ. (11分) QP=GQ+GP= FQ+ FQ= FQ.FQ= QP. PMx轴,点P的横坐标为m,MBQ=45,解法二:如图4,点P的横坐标为m, 点P的坐标为 ,BM=4-m. 图4 BMQ是等腰直角三角形, BQ= BM=4 - m. (9分),3.(2018天津,25,10分)在平面直角坐标系中,点O(0,0),点A(1,0).已知抛物线y=x2+mx-2m(m是常数),顶点为P. (1)当抛物线经过点A时,求顶点P的坐标; (2)若点P在x轴下方,当AOP
9、=45时,求抛物线的解析式; (3)无论m取何值,该抛物线都经过定点H.当AHP=45时,求抛物线的解析式.,解析 (1)抛物线y=x2+mx-2m经过点A(1,0), 0=1+m-2m,解得m=1. 抛物线的解析式为y=x2+x-2. y=x2+x-2= - , 顶点P的坐标为 . (2)抛物线y=x2+mx-2m的顶点P的坐标为 . 由点A(1,0)在x轴正半轴上,点P在x轴下方,AOP=45,知点P在第四象限. 过点P作PQx轴于点Q, 则POQ=OPQ=45. 可知PQ=OQ,即 =- ,解得m1=0,m2=-10. 当m=0时,点P不在第四象限,舍去.,m=-10. 抛物线的解析式为
10、y=x2-10x+20. (3)由y=x2+mx-2m=(x-2)m+x2可知, 当x=2时,无论m取何值, y都等于4. 点H的坐标为(2,4). 过点A作ADAH,交射线HP于点D,分别过点D,H作x轴的垂线,垂足分别为E,G,则DEA=AGH=90. DAH=90,AHP=45, ADH=45,AH=AD. DAE+HAG=AHG+HAG=90, DAE=AHG. ADEHAG. DE=AG=1,AE=HG=4. 可得点D的坐标为(-3,1)或(5,-1).,当点D的坐标为(-3,1)时, 可得直线DH的解析式为y= x+ . 点P 在直线y= x+ 上, - = + . 解得m1=-4
11、,m2=- . 当m=-4时,点P与点H重合,不符合题意, m=- . 当点D的坐标为(5,-1)时, 可得直线DH的解析式为y=- x+ . 点P 在直线y=- x+ 上,- =- + . 解得m1=-4(舍), m2=- . m=- . 综上,m=- 或m=- . 故抛物线的解析式为y=x2- x+ 或y=x2- x+ .,思路分析 (1)把点A(1,0)代入抛物线,求出m的值,确定抛物线的解析式,可求出顶点P的坐标;(2)由函数解析 式得出顶点坐标为 ,作PQx轴于点Q,则PQ=OQ,建立方程求出m的值,得出抛物线的解析式; (3)由y=x2+mx-2m=(x-2)m+x2可知,定点H的
12、坐标为(2,4),过点A作ADAH,交射线HP于点D,分别过点D,H作x 轴的垂线,垂足分别为E,G,由AHP=45,得出AH=AD,可证ADEHAG,再求得点D的坐标,分类讨论求 出抛物线的解析式.,解题关键 本题为二次函数的综合题,属压轴题.三个问题分别给出不同条件,再用待定系数法求二次函数 关系式.第(1)问代入点A的坐标即可得解;第(2)问关键是构造直角三角形,根据顶点P的位置特点,建立方程 求解;第(3)问难度较大,找到定点H的坐标是关键,再依据点H,点A的坐标以及AHP=45构造“一线三等 角”的模型确定点D的坐标,最后根据点P在直线DH上,分类讨论求出m的值,即可求出抛物线的解析
13、式.,解析 (1)由 解得 故顶点M的坐标为 . (2)m=6,二次函数图象的顶点为(3,2),抛物线的解析式为y=(x-3)2+2,函数y有最小值为2,当t-1xt+3时,二次函数y最小值=2,t-13且t+33,解得0t4. (3)平移后:抛物线为y=(x-3)2+2,其顶点坐标为(3,2). 平移前:抛物线为y=x2+px+q,其顶点坐标为 ,由题意可知,将 向右平移1个单位,再向 下平移2个单位后与(3,2)重合, 解得 故p、q的值分别为-4,8.,4.已知抛物线y=x2+px+q的顶点M为直线y= x+ 与y=-x+m-1的交点. (1)用含m的代数式来表示顶点M的坐标; (2)若
14、m=6,当t-1xt+3时,二次函数y最小值=2,求t的取值范围; (3)将抛物线y=x2+px+q向右平移1个单位,再向下平移2个单位后,与抛物线y=(x-3)2+2重合,求p、q的值.,5.已知抛物线y=x2-2bx+c. (1)若抛物线的顶点坐标为(2,-3),求b、c的值; (2)若b+c=0,是否存在实数x,使得相应的y的值为1,请说明理由; (3)若c=b+2且函数y=x2-2bx+c在-2x2时的最小值是-3,求b的值.,解析 (1)抛物线的顶点坐标为(2,-3), y=(x-2)2-3,y=(x-2)2-3=x2-4x+1, b=2,c=1. (2)存在.理由如下: 由y=1得
15、x2-2bx+c=1, x2-2bx+c-1=0,b+c=0,c=-b, =4b2-4(c-1)=4b2+4b+4=(2b+1)2+30, 存在实数x,使得相应的y值为1.,(3)因为c=b+2,所以抛物线为y=x2-2bx+b+2,其对称轴为直线x=b. 当b-2时,该函数在x=-2时取得最小值-3,此时-3=(-2)2-2(-2)b+b+2,解得b=- ,不合题意; 当b2时,函数在x=2时取得最小值-3,此时-3=22-22b+b+2,解得b=3,符合题意; 当-2b2时,则 =-3,化简得b2-b-5=0,解得b1= (不合题意,舍去),b2= . 综上,b=3或 .,6.已知抛物线y
16、=x2-(m+1)x+ (m2+1). (1)若抛物线与x轴有交点,求m的值; (2)在(1)的条件下,先作y=x2-(m+1)x+ (m2+1)的图象关于x轴的对称图形,然后将所作图形向左平移3个单位 长度,再向上平移2个单位长度,写出变换后的图象的解析式; (3)在(2)的条件下,当直线y=2x+n(nm)与变换后的图象有公共点时,求n2-4n的最大值和最小值.,解析 (1)抛物线与x轴有交点,令x2-(m+1)x+ (m2+1)=0,=(m+1)2-2(m2+1)=-m2+2m-1=-(m-1)2, 方程有实数根, -(m-1)20, m=1. (2)由(1)可知y=x2-2x+1=(x
17、-1)2, 图象如图实线所示: 平移后的图象的解析式为y=-(x+2)2+2=-x2-4x-2. (3)由 消去y得到x2+6x+n+2=0,由题意知0, 36-4n-80, n7, nm,m=1, 1n7, 令y=n2-4n=(n-2)2-4, n=2时,y的值最小,最小值为-4, n=7时,y的值最大,最大值为21, n2-4n的最大值为21,最小值为-4.,7.如图,已知点A(0,2)、B(2,2),C(-1,-2),抛物线y=x2-2mx+m2-2与直线x=-2交于点P. (1)当抛物线经过点C时,求它的表达式; (2)抛物线上有两点M(x1,y1)、N(x2,y2),若-2x1x2,
18、y1y2,求m的取值范围; (3)设点P的纵坐标为yp,求yp的最小值,此时抛物线上有两点M(x1,y1)、N(x2,y2),若x1x2-2,比较y1与y2的大小; (4)当抛物线与线段AB有公共点时,直接写出m的范围.,解析 (1)抛物线经过点C(-1,-2), -2=1+2m+m2-2,m=-1, 抛物线的表达式是y=x2+2x-1. (2)抛物线的对称轴为直线x=m,当xm时, y随x的增大而增大,又点M , N均在直线x=-2的右侧, 且y随x的增大而增大, 直线x=-2必在直线x=m右侧或与之重合,m-2. (3)当x=-2时,yp=4+4m+m2-2=(m+2)2-2. yp的最小值为-2,此时m=-2, 当xy2. (4)-2m0或2m4.,
