1、A组 20152019年浙江中考题组,考点一 等腰三角形,1.(2019衢州,7,3分)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角 仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固 定,OC=CD=DE,点D、E可在槽中滑动.若BDE=75,则CDE的度数是 ( ) A.60 B.65 C.75 D.80,答案 D OC=CD=DE, O=ODC,DCE=DEC, DCE=O+ODC=2ODC, O+OED=3ODC=BDE=75, ODC=25, CDE+ODC=180-BDE=105, CDE=105-O
2、DC=80.故选D.,2.(2018湖州,5,3分)如图,AD,CE分别是ABC的中线和角平分线.若AB=AC,CAD=20,则ACE的度数是 ( ) A.20 B.35 C.40 D.70,答案 B AD是ABC的中线,AB=AC,CAD=20, CAB=2CAD=40,B=ACB= (180-CAB)=70. CE是ABC的角平分线,ACE= ACB=35.故选B.,3.(2017湖州,6,4分)如图,已知在RtABC中,C=90,AC=BC,AB=6,点P是RtABC的重心,则点P到AB所在 直线的距离等于 ( ) A.1 B. C. D.2,答案 A,如图,连接CP并延长交AB于D,连
3、接BP并延长交AC于E,且延长到F,使EF=PE,连接AF, C=90,AC=BC,AB=6, AC=BC=3 , P为ABC的重心,CE=AE,AD=DB, CD= AB=3,CDB=90.,在AEF和CEP中, AEFCEP. FAE=ECP=45,CP=AF=3-DP. FAD=90,CDFA, BPDBFA. = . = .PD=1. 故选A.,关键提示 三角形的重心是三条中线的交点.,4.(2017杭州,10,3分)如图,在ABC中,AB=AC,BC=12,E为AC边的中点,线段BE的垂直平分线交边BC于点D. 设BD=x,tanACB=y,则 ( ) A.x-y2=3 B.2x-y
4、2=9 C.3x-y2=15 D.4x-y2=21,5.(2016杭州,9,3分)已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(mn),过锐角顶点把该纸片剪成两个 三角形.若这两个三角形都为等腰三角形,则 ( ) A.m2+2mn+n2=0 B.m2-2mn+n2=0 C.m2+2mn-n2=0 D.m2-2mn-n2=0,答案 C 根据题意画图,如图.在RtABC中,BCAB,且ABE和AEC均为等腰三角形,AB=BE=m,AE= EC=n-m,AE= AB,n-m= m,两边平方整理得,m2+2mn-n2=0,故选C.,关键提示 本题考查直角三角形与等腰三角形,涉及等式变形,关键是画出草图
5、,挖掘条件.,答案 (5+5 );4,解析 过O作ONAM,交AM于N,作OTCD,交MD于T, ONAM,AMMD,OTCD, ONMD,OT=MN,NOC=OCD(两直线平行,内错角相等), 又OC=OD,COD=60, OCD为等边三角形, OCD=60, NOC=60. 又AOC=90, AON=30,AN=OAsin 30=10 =5分米, 又MN=OT=OCsin 60=10 =5 分米, AM=(5+5 )分米. 作EKOF交FO的延长线于K. 则KOE=COD=60, 设OK=x分米,则KE= x分米, 在KEF中,( x)2+(x+4)2=62, 即3x2+x2+8x+16=
6、36,解得x1= -1,x2=- -1(舍),OE=2( -1)=(2 -2)分米, 作FNOB,交OB于N, 则FN=OFsin 60=2 分米,NE= =2 分米, ON=OFcos 60=4 =2分米, OE=(2 +2)分米, BE-BE=(OB-OE)-(OB-OE)=OE-OE=4分米.,7.(2017丽水,10,3分)等腰三角形的一个内角为100,则顶角的度数是 .,答案 100,解析 10090, 100的角是顶角, 故答案为100.,8.(2019宁波,26,14分)如图1,O经过等边ABC的顶点A,C(圆心O在ABC内),分别与AB,CB的延长线交于 点D,E,连接DE,作
7、BFEC交AE于点F. (1)求证:BD=BE; (2)当AFEF=32,AC=6时,求AE的长; (3)设 =x,tanDAE=y. 求y关于x的函数表达式; 如图2,连接OF,OB,若AEC的面积是OFB面积的10倍,求y的值.,解析 (1)ABC为等边三角形, BAC=C=60. DEB=BAC=60,D=C=60, DEB=D. BD=BE. (2)如图1,过点A作AGEC于点G. ABC为等边三角形,AC=6, BG= BC= AC=3, 在RtABG中,AG= BG=3 . BFEC,BFAG. = . AFEF=32,BE= BG=2. EG=BE+BG=2+3=5.,在RtAE
8、G中,AE= = =2 . 图1 (3)如图1,过点E作EHAD于点H, EBD=ABC=60, 在RtBEH中, =sin 60= , EH= BE,BH= BE., = =x, BG=xBE. AB=BC=2BG=2xBE. AH=AB+BH=2xBE+ BE= BE. 在RtAHE中,tanEAD= = = . y= . 如图2,过点O作OMEC于点M,过点E作EHBD于点H,过点A作AGBC于点G.,图2 设BE=a, = =x, CG=BG=xBE=ax. EC=CG+BG+BE=a+2ax. EM= EC= a+ax. BM=EM-BE=ax- a.,9.(2018绍兴、义乌,22
9、,12分)数学课上,张老师举了下面的例题: 例1 等腰三角形ABC中,A=110,求B的度数.(答案:35) 例2 等腰三角形ABC中,A=40,求B的度数.(答案:40或70或100) 张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题: 变式 等腰三角形ABC中,A=80,求B的度数. (1)请你解答以上的变式题; (2)解(1)后,小敏发现,A的度数不同,得到B的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,设A= x,当B有三个不同的度数时,请你探索x的取值范围.,解析 (1)若A为顶角,则B=(180-A)2=50; 若A为底角,B为顶角,则B=180-280=20; 若A为底角,B为底角
10、,则B=80. 故B=50或20或80. (2)分两种情况: 当90x180时,A只能为顶角,B的度数只有一个. 当0x90时, 若A为顶角,则B= ; 若A为底角,B为顶角,则B=(180-2x); 若A为底角,B为底角,则B=x. 当 180-2x且180-2xx且 x,即x60时,B有三个不同的度数. 综上所述,当0x90且x60时,B有三个不同的度数.,10.(2018杭州,21,10分)如图,在ABC中,ACB=90,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段AB于点D;以点A 为圆心,AD长为半径画弧,交线段AC于点E,连接CD. (1)若A=28,求ACD的度数; (2)设BC=a,
11、AC=b. 线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根吗?说明理由; 若AD=EC,求 的值.,解析 (1)ACB=90,A=28,B=62, 由题意知BD=BC, BCD=BDC=59,ACD=90-BCD=31. (2)线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根.理由如下: 由勾股定理得AB= = , AD= -a, 解方程x2+2ax-b2=0,得x= = -a, 线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根. AD=AE,AD=EC,AE=EC= , 由勾股定理得a2+b2= ,整理得 = .,思路分析 (1)根据三角形内角和定理求出B,再根据等腰三角形的性质求出BCD
12、,根据ACD为BCD 的余角计算即可;(2)根据勾股定理求出AB,进而得到AD,利用求根公式解方程,比较即可;根据勾股定理 及等量关系列出等式,化简、整理即可.,考点二 直角三角形,1.(2019绍兴,10,4分)如图1,长、宽均为3,高为8的长方体容器,放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高为6,绕 底面一棱进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图2是此时的示意图,则图2中水面高度为 ( ) A. B. C. D.,2.(2016宁波,12,4分)下图是一个由5张纸片拼成的平行四边形,相邻纸片之间互不重叠也无缝隙,其中两张 等腰直角三角形纸片的面积都为S1,另两张直角三角形纸片的面积都为S2
13、,中间一张正方形纸片的面积为S3, 则这个平行四边形的面积一定可以表示为 ( ) A.4S1 B.4S2 C.4S2+S3 D.3S1+4S3,答案 A 设等腰直角三角形纸片的直角边长为a,中间一张正方形纸片的边长为m,则S1= a2,S3=m2,S2= (a -m)(a+m)= (a2-m2),S2= (2S1-S3),即S3=2S1-2S2,所求平行四边形的面积为2S1+2S2+S3=2S1+2S2+(2S1-2S2)=4S1. 故选A.,解题关键 解决本题的关键是引入字母表示出纸片的边长,从而找出S1、S2、S3之间的关系.,3.(2019金华,16,4分)图2、图3是某公共汽车双开门的
14、俯视示意图,ME,EF,FN是门轴的滑动轨道,E=F= 90,两门AB,CD的门轴A,B,C,D都在滑动轨道上.两门关闭时(图2),A,D分别在E,F处,门缝忽略不计(即B,C重 合);两门同时开启,A,D分别沿EM,FN的方向匀速滑动,带动B,C滑动;B到达E时,C恰好到达F,此时两门 完全开启.已知AB=50 cm,CD=40 cm. (1)如图3,当ABE=30时,BC= cm; (2)在(1)的基础上,当A向M方向继续滑动15 cm时,四边形ABCD的面积为 cm2.,答案 (1)(90-45 ) (2)2 256,解析 AB=50 cm,CD=40 cm, EF=50+40=90 c
15、m, B到达E时,C恰好到达F,此时两门完全开启, B、C两点运动的路程之比为54. (1)ABE=30,E=90, BE=ABcos 30=25 cm, B运动的路程为(50-25 )cm. B、C两点运动的路程之比为54, 此时点C运动的路程为 (50-25 )=(40-20 )cm. BC=50-25 +40-20 =(90-45 )cm. (2)当A向M方向继续滑动15 cm时,设点A运动到点A处,点B、C、D分别运动到点B、C、D处.连接AD, 如图:,4.(2019舟山,16,4分)如图,一副含30和45角的三角板ABC和EDF拼合在一个平面上,边AC与EF重合,AC= 12 cm
16、.当点E从点A出发沿AC方向滑动时,点F同时出发沿射线BC方向滑动.当点E从点A滑动到点C时,点D 运动的路径长为 cm;连接BD,则ABD面积的最大值为 cm2.,答案 (24-12 );(36 +24 -12 ),解析 AC=12 cm,BAC=30,DEF=45, BC=4 cm,AB=8 cm,ED=DF=6 cm. 当点E沿AC方向下滑时,得EDF. 过点D作DNAC于点N,作DMBC于点M. MDN=90,又EDF=90, EDN=FDM,又DNE=DMF=90,ED=DF, DNEDMF(AAS), DN=DM,又DNAC,DMCM,CD平分ACM. 即点E沿AC方向下滑时,点D
17、在射线CD上移动. 当EDAC时,DD的长最大,最大值为 ED-CD=(12-6 )cm, 当点E从点A滑动到点C时,点D运动的路径长=2(12-6 )=(24-12 )cm. 连接BD,AD. SADB=SABC+SADC-SBDC,SADB= BCAC+ ACDN- BCDM=24 + (12-4 )DN. 当EDAC时,SADB有最大值, ABD面积的最大值=24 + (12-4 )6 =(36 +24 -12 )cm2.,5.(2017台州,24,14分)在平面直角坐标系中,借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根,比如对于方 程x2-5x+2=0,操作步骤是: 第一步:根据方程系数
18、特征,确定一对固定点A(0,1),B(5,2); 第二步:在坐标平面中移动一个直角三角板,使一条直角边恒过点A,另一条直角边恒过点B; 第三步:在移动过程中,当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时,点C 的横坐标m即为该方程的一个实数根 (如图1); 第四步:调整三角板直角顶点的位置,当它落在x轴上另一点D处时,点D 的横坐标n即为该方程的另一个实 数根. (1)在图2 中,按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹); (2)结合图1,请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2-5x+2=0的一个实数根; (3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置,若要以此方法
19、找到一元二次方程ax2+bx+c=0(a0,b2-4ac0) 的实数根,请你直接写出一对固定点的坐标; (4)实际上,(3)中的固定点有无数对,一般地,当m1,n1,m2,n2与a,b,c之间满足怎样的关系时,点P(m1,n1),Q(m2,n2)就,是符合要求的一对固定点? 图1 图2,图,图,(4)如图, P(m1,n1),Q(m2,n2). 解法一:设方程的根为x,根据三角形相似可得 = ,上式可化为x2-(m1+m2)x+m1m2+n1n2=0, 又ax2+bx+c=0即x2+ x+ =0, 比较系数可得m1+m2=- , m1m2+n1n2= . 解法二: =- , m1+m2=- ,
20、 根据三角形相似可得 = , 上式可化为m1m2+n1n2= .,解析 (1)当MN为最长线段时, 点M,N是线段AB的勾股分割点, BN= = = . 当BN为最长线段时, 点M,N是线段AB的勾股分割点, BN= = = . 综上,BN= 或 . (2)证明:FG是ABC的中位线,FGBC. = = =1. 点M,N分别是AD,AE的中点. BD=2FM,DE=2MN,EC=2NG. 点D,E是线段BC的勾股分割点,且ECDEBD,EC2=BD2+DE2. (2NG)2=(2FM)2+(2MN)2. NG2=FM2+MN2. 点M,N是线段FG的勾股分割点. (3)如图. (4)S四边形M
21、NHG=SAMF+SBEN. 理由:设AM=a,BN=b,MN=c, H是DN的中点,DH=HN= c.,MND,BNE均为等边三角形, D=DNE=60. 又DHG=NHE,DH=HN, DGHNEH. DG=EN=b.MG=c-b. GMEN,AGMAEN. = . = . c2=2ab-ac+bc. 点M,N是线段AB的勾股分割点,且MNAMBN, c2=a2+b2. a2+b2=2ab-ac+bc,整理得(a-b)(a-b+c)=0, 又a-b+c0,a=b. 在DGH和CAF中,D=C,DG=CA,DGH=CAF,DGHCAF. SDGH=SCAF. c2=a2+b2, c2= a2
22、+ b2. SDMN=SACM+SENB. SDMN=SDGH+S四边形MNHG,SACM=SCAF+SAMF, S四边形MNHG=SAMF+SBEN.,B组 20152019年全国中考题组,考点一 等腰三角形,1.(2019内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x +m+2=0的两根,则m的值是 ( ) A.34 B.30 C.30或34 D.30或36,答案 A 由根与系数的关系可得 当a=4时,b=8;当b=4时,a=8.这两种情况都不能构成三角形, a=b=6,m=34,故选A.,易错警示 本题易错选C,原因是未考虑到a
23、=4,b=8或b=4,a=8的情况下不能构成三角形.,2.(2019内蒙古包头,9,3分)下列命题: 若x2+kx+ 是完全平方式,则k=1; 若A(2,6),B(0,4),P(1,m)三点在同一条直线上,则m=5; 等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴; 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则这个多边形是六边形. 其中真命题个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案 B 由已知得x2+kx+ = =x2x+ ,则k=1,故错;由A、B两点的坐标可得过A、B、P三点的 直线解析式是y=x+4,当x=1时,y=5,m=5,故正确;等腰三角形两腰上的中线所在的直线不一定是它的对
24、 称轴,故错;设这个多边形的边数为n,则(n-2)180=2360,解得n=6,故正确.故选B.,3.(2018福建,5,4分)如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45,则ACE等于 ( ) A.15 B.30 C.45 D.60,答案 A 由等边三角形ABC中,ADBC,垂足为点D,可得ACB=60,且点D是BC的中点,所以AD垂直平 分BC,所以EC=EB,根据等边对等角,得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB-ECB=60-45=15.,4.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在
25、证明该结论 时,需添加辅助线,则作法不正确的是 ( ) A.作APB的平分线PC交AB于点C B.过点P作PCAB于点C且AC=BC C.取AB中点C,连接PC D.过点P作PCAB,垂足为C,答案 B 无论作APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB,垂足为C,都 可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.,5.(2017湖北武汉,10,3分)如图,在RtABC中,C=90,以ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个 顶点在ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7,答案
26、 D 如图1,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则BCD就是等腰三角形; 如图2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,则ACE就是等腰三角形; 如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点M,交AC于点F,则BCM、BCF就是等腰三角形; 如图4,作AC的垂直平分线交AB于点H,则ACH就是等腰三角形; 如图5,作AB的垂直平分线交AC于点G,则AGB就是等腰三角形; 如图6,作BC的垂直平分线交AB于I,则BCI就是等腰三角形. 故选D.,6.(2019黑龙江齐齐哈尔,16,3分)等腰ABC中,BDAC,垂足为点D,且BD= AC,则等腰ABC底角的度数 为 .,答案
27、15或45或75,解析 如图,当BA=BC时, BDAC, AD=CD= AC, BD= AC, AD=BD=CD,A=C= (180-90)=45. 如图,当AB=AC且A为锐角时,BD= AC= AB, A=30, ABC=ACB=75. 如图,当AB=AC且BAC为钝角时, BD= AC= AB, BAD=30, ABC=ACB= 30=15. 同理,当BC=AC时,可求得CBA=CAB=75或15. 故答案为15或45或75.,方法点拨 等腰三角形中没有指明顶角、底角或者没有指明底边、腰的都需要分类讨论.,7.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形A
28、BCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC. 若APD是等腰三角形,则PE的长为 .,答案 3或,解析 在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD= =10,ABAD,根据PBE DBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,由相似可得 = = PE= ;当AP=PD时,P点为BD的中 点,PE= CD=3,故答案为3或 .,思路分析 根据ABAD及已知条件先判断P点在线段BD上,再根据等腰三角形腰的情况分两种情况:AD =PD=8;AP=PD,再由相似三角形中对应边的比相等求解即可.,难点突破 判断P点在线段BD上是解答本题的突破口.,考点二 直角三角形,1.(2
29、017四川绵阳,11,3分)如图,直角ABC中,B=30,点O是ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点 E作EFAB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则 的值为 ( ) A. B. C. D.,2.(2017内蒙古包头,12,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,AF平分CAB,交CD于点E, 交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为 ( ) A. B. C. D.,3.(2019内蒙古包头,20,3分)如图,在RtABC中,ABC=90, BC=3,D为斜边AC的中点,连接BD,F是BC边上的 动点(不与点B,C重合),过点B作BEBD交DF延长线于
30、点E,连接CE.下列结论: 若BF=CF,则CE2+AD2=DE2; 若BDE=BAC,AB=4,则CE= ; ABD和CBE一定相似; 若A=30,BCE=90,则DE= . 其中正确的是 .(填写所有正确结论的序号),答案 ,解析 当BF=CF时,D为AC的中点,ABC=90,BD=AD=CD,DF垂直平分线段BC,CE=BE,而BE BD,BD2+BE2=AD2+CE2=DE2,故正确;当BDE=BAC时,D为AC的中点,ABC=90,BD=AD, DBA=BAC,BDE=DBA,DEAB,点F为BC的中点,由得CD2+CE2=DE2,DCE=90, 在RtABC中,AC= =5,CD=
31、 ,易证CDEBAC,可得 = ,解得CE= ,故正确;ABD 一定是等腰三角形,而CBE不一定是等腰三角形,故错;当A=30时,ABC=90,DBE=90, ABD=30,DBC=60,CBE=30,BD=BC=3,BCE=90,BE= =2 ,在RtDBE中,DE= = ,故正确.,难点突破 的突破口是抓住条件推出DF是线段BC的垂直平分线,并利用垂直平分线的性质推理;的突 破口是抓住条件推出DCE=90,从而利用相似比求出CE;的突破口是抓住A=30,ABC=90,DBE= 90,推出BD和BE的长.,4.(2019河北,21,9分)已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2,整式B0.
32、尝试 化简整式A. 发现 A=B2.求整式B. 联想 由上可知,B2=(n2-1)2+(2n)2,当n1时,n2-1,2n,B为直角三角形的三边长,如图.填写下表中B的值:,解析 尝试 A=n4-2n2+1+4n2 (2分) =n4+2n2+1. (4分) 发现 A=n4+2n2+1=(n2+1)2, 且A=B2,B0,B=n2+1. (7分) 联想 勾股数组 17 (8分) 勾股数组 37 (9分) 提示:勾股数组 2n=8,n=4. 由发现可知,B=n2+1=16+1=17. 勾股数组 n2-1=35,B=n2+1=(n2-1)+2=35+2=37.,5.(2018安徽,23,14分)如图
33、1,RtABC中,ACB=90.点D为边AC上一点,DEAB于点E.点M为BD的中点, CM的延长线交AB于点F. (1)求证:CM=EM; (2)若BAC=50,求EMF的大小; (3)如图2,若DAECEM,点N为CM的中点.求证:ANEM. 图1 图2,解析 (1)证明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M为斜边BD的中点, CM= BD. 又DEAB,同理,EM= BD, CM=EM. (4分) (2)由已知得,CBA=90-50=40. 又由(1)知CM=BM=EM, CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80, EMF=180-CME=100. (9分
34、) (3)证明:DAECEM, CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM. 又CM=DM=EM,DM=DE=EM,DEM是等边三角形, MEF=DEF-DEM=30.,证法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30, = , 又NM= CM= EM= AE, FN=FM+NM= EF+ AE= (AE+EF)= AF. = = . 又AFN=EFM,AFNEFM,NAF=MEF, ANEM. (14分) 证法二:连接AM,则EAM=EMA= MEF=15,AMC=EMC-EMA=75, 又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD, ACM= (180-30)=75. 由可知AC=AM
35、,又N为CM的中点, ANCM,又EMCF,ANEM. (14分),思路分析 (1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;(2)由直角三角形中两锐角互余求出 CBA,由等腰三角形的性质可得MEB=MBE,MCB=MBC,从而可得CME=DME+CMD= 2(CBM+EBM),最后由补角的性质求出EMF;(3)由DAECEM及CM=DM=EM可推出DEM为 等边三角形,从而可得MEF=30,下面证ANEM有两个思路:一是根据直角三角形30角所对直角边等 于斜边的一半可得 = ,又点N是CM的中点,可推出 = ,从而可证AFN EFM,进一步即可证 明ANEM;二是连接AM,计算可得AMC
36、=ACM,又N是CM的中点,从而ANCM,即可证明ANEM.,C组 教师专用题组,考点一 等腰三角形,1.(2015陕西,6,3分)如图,在ABC中,A=36,AB=AC,BD是ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连 接DE,则图中等腰三角形共有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个,答案 D 依题意,可知题图中的ABC,AED,BDC,BDE,ADB为等腰三角形,则共有5个等腰三角 形.故选D.,2.(2015广西南宁,7,3分)如图,在ABC中,AB=AD=DC,B=70,则C的度数为 ( ) A.35 B.40 C.45 D.50,答案 A AB=AD,ADB=B=7
37、0,AD=DC,C=DAC.ADB是ADC的外角,C= ADB =35.故选A.,3.(2015江苏苏州,7,3分)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC中点,BAD=35,则C的度数为 ( ) A.35 B.45 C.55 D.60,答案 C AB=AC,D为BC中点,CAD=BAD=35,ADDC,在ADC中,C=90-DAC=55,故 选C.,4.(2016湖北武汉,10,3分)平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0),若在坐标轴上取点C,使ABC为等腰三角形, 则满足条件的点C的个数是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8,答案 A 如图,当AB=AC时,以点A为圆心,AB长
38、为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除外),即O(0,0), C0(0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;当AB=BC时,以点B为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有 两个交点,均符合题意;当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有两个交点,均符合题意.所以满足条件 的点C有5个,故选A.,5.(2019内蒙古包头,17,3分)如图,在ABC中,CAB=55,ABC=25.在同一平面内,将ABC绕点A逆时针 旋转70得到ADE,连接EC,则tanDEC的值是 .,答案 1,解析 在ACB中,ACB=180-55-25=100,由旋转的性质可得AED=ACB =100,CAE=70
39、,AE= AC,AEC= =55,DEC=100-55=45,tanDEC=1.,解题关键 抓住旋转的性质得出AEC是等腰三角形且CAE=70是解答本题的关键.,6.(2017黑龙江绥化,20,3分)在等腰ABC中,ADBC交直线BC于点D,若AD= BC,则ABC的顶角的度数 为 .,答案 30或150或90,解析 BC为腰, ADBC于点D,AD= BC, AD= AC,ACD=30, 如图1,当AD在ABC内部时,C=30,即顶角的度数为30; 如图2,当AD在ABC外部时,ACB=180-30=150,即顶角的度数为150; BC为底,如图3, ADBC于点D,AD= BC, AD=B
40、D=CD, B=BAD,C=CAD,BAD+CAD= 180=90,BAC=90,即顶角的度数为90.,综上所述,等腰三角形ABC的顶角度数为30或150或90.,7.(2016杭州,14,4分)在菱形ABCD中,A=30,在同一平面内,以对角线BD为底边作顶角为120的等腰三角 形BDE,则EBC的度数为 .,答案 45或105,解析 根据题意,知点E所在位置有2种可能,如图. 四边形ABCD是菱形,且A=30, ABC=150,BD平分ABC, CBD=75, 又以DB为底边的等腰三角形DBE的顶角DEB=120, EDB=EBD=30,EBC=75-30=45或EBC=30+75=105
41、.,解题关键 解题的关键是画出草图,并对点E所处位置进行分类讨论.,评析 本题考查菱形和等腰三角形的性质,以及分类讨论思想.,8.(2015绍兴,13,5分)由于木质的衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使 用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm.当衣架收拢时,AOB=60,如图2, 则此时A,B两点间的距离是 cm.,答案 18,解析 OA=OB=18 cm,收拢后,AOB=60,连接AB,则AOB是正三角形,故AB=18 cm.,9.(2015嘉兴、舟山,14,4分)已知一张三角形纸片ABC,AB=AC=5.如图,折叠该纸
42、片,使点A落在BC的中点上, 折痕交AC、AB分别于点E、F,则AE的长为 .,答案 2.5,解析 连接AA,设AA与EF交于点O.折叠问题就是轴对称问题,所以EF所在直线是AA的中垂线,又由等腰 三角形的性质可知AABC,所以EFBC,又AO=AO,所以EF是ABC的中位线.所以AE= AC=2.5.,解题关键 证出EF是ABC的中位线是解题的关键.,10.(2017内蒙古包头,18,3分)如图,在矩形ABCD中,点E是CD的中点,点F是BC上一点,且FC=2BF,连接AE,EF. 若AB=2,AD=3,则cosAEF的值是 .,答案,解析 连接AF. 四边形ABCD是矩形,AB=CD,B=
43、C=90. 点E是CD的中点,AB=2,CE=1. FC=2BF,BC=3,BF=1,FC=2. 易证ABFFCE,AF=EF,AFB=FEC, FEC+EFC=90,AFB+EFC=90,AFE=90. AEF是等腰直角三角形,cosAEF=cos 45= .,11.(2019吉林,24,8分)性质探究 如图,在等腰三角形ABC中,ACB=120,则底边AB与腰AC的长度之比为 . 理解运用 (1)若顶角为120的等腰三角形的周长为8+4 ,则它的面积为 ; (2)如图,在四边形EFGH中,EF=EG=EH. 求证:EFG+EHG=FGH;,在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN.若FG
44、H=120,EF=10,直接写出线段MN的长. 类比拓展 顶角为2的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 (用含的式子表示).,类比拓展 2sin . (8分) 提示:如图,作ADBC于点D,BAD=,BD=ABsin , BC=2ABsin ,底边BC与腰AB的长度之比为2sin . 评分说明:结果写成 1,2sin 1不扣分.,12.(2018贵州贵阳,24,12分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD= ,P是BC边上的一点,且BP=2CP. (1)用尺规在图中作出CD边上的中点E,连接AE,BE(保留作图痕迹,不写作法); (2)如图,在(1)的条件下,判断EB是否平分AEC,并说明理
45、由; (3)如图,在(2)的条件下,连接EP并延长交AB的延长线于点F,连接AP.不添加辅助线,PFB能否由都经过P 点的两次变换与PAE组成一个等腰三角形?如果能,说明理由,并写出两种方法(指出对称轴、旋转中心、 旋转方向、旋转角或平移方向和平移距离);如果不能,也请说明理由.,解析 (1)如图所示,点E为所作的点,EA,EB为所连的线段. (2)EB平分AEC,理由如下: 如题图,由(1)及已知可知DE=1. 四边形ABCD是矩形,AD= , 在RtADE中,tanDEA= = ,AE=2, DEA=60, EAB=60,AEC=180-60=120. 由作图可知EA=EB,EAB是等边三角形, AEB=60, CEB=120-60=60,AEB=CEB, EB平分AEC. (3)PFB能由都经过P点的两
