1、振振 动动 习习 题题xokm fmgcosmgkxxm cos 0mgkxox 时，)(0 xxkxm 0 xxxkxxm mk1.2.物理摆如图所示物理摆如图所示,设刚体对轴的转设刚体对轴的转 动惯量动惯量为为J.设设 t=0 时摆角向右最大为时摆角向右最大为 0.求求振动周期和振动方程振动周期和振动方程.解解JhmMsing0singJhm sin,5 时0gJhm JhmghmJTg2振动方程振动方程t cos0一弹簧振子放在一斜面上，如图所示一弹簧振子放在一斜面上，如图所示求求振动周期振动周期解解设设t 时刻，右边液面的位移为时刻，右边液面的位移为y，左边液面，左边液面的位移为的位移
2、为-y，系统的势能为，系统的势能为y-y截面为截面为s 的的U 形管中有适量液体形管中有适量液体,总长为总长为l,质量为质量为m,密度为密度为 ,求液面上下振动的频率求液面上下振动的频率(不计摩擦不计摩擦)y3.0dd 222tyymSglgmSg2 2consttymSgy22)dd(21 ySyg 解解（一）（一）机械能为机械能为求导求导（二（二）设设 t 时刻，右边液面的位移为时刻，右边液面的位移为y，左边液面的位移为，左边液面的位移为-y 系统的合外力为系统的合外力为gySf2Slmtymf ,dd2202dd22ylgtylg24.如图所示，一直角均质细杆，水平部分杆长如图所示，一直
3、角均质细杆，水平部分杆长为为 l，质量为，质量为 m，竖直部分杆长为，竖直部分杆长为 2l，质量，质量为为 2m，细杆可绕直角顶点处的固定轴，细杆可绕直角顶点处的固定轴 O 无无摩擦地转动，水平杆的未端与劲度系数为摩擦地转动，水平杆的未端与劲度系数为 k 的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置。的弹簧相连，平衡时水平杆处于水平位置。求求杆作微小摆动时的周期。杆作微小摆动时的周期。解解2g0lmlkxcos)(sing2cos2g0lxxklmlmMlx;sin;1cos)g2(2kllmMkllmtJ)g2(dd22222232)2(3131mllmmlJ）（03g2dd22mlklmtmlkl
4、m3g2klmmlTg232)cos(0t能量的方法能量的方法(t t 时刻系统的能量时刻系统的能量)sin21(g)(2121202lmxxkJEClm)cos1(g20sing2cos2g)(0lmlmxxxkJ 0)g2(2kllmJ（其它步骤同上）（其它步骤同上）如图所示如图所示,质量为质量为M盘和弹簧构成称，称质量为盘和弹簧构成称，称质量为m 的物体，物体从离盘的物体，物体从离盘底高底高 h 处静止下落，以盘处静止下落，以盘 和物体和物体 相碰瞬间为计时零点相碰瞬间为计时零点(t=0),令碰后平令碰后平衡位置为原点衡位置为原点,求振动方程。求振动方程。kmhMox(1)0 0lkMg
5、(2)0)(1lkgmM)()(1xlkgmMf(3)()()(1 xlkgmMxmM任意任意x 位置处受力有位置处受力有只静止时只静止时,弹簧伸长为弹簧伸长为l0 有有碰后平衡位置处碰后平衡位置处,弹簧伸长为弹簧伸长为l1 有有将将(2)代入代入(3)得得kxxmM )()(Mmk令振动方程为令振动方程为x=Acos(t+)解解系统固有特性系统固有特性5.ghMmm20v 0kmgx2020vxA)(arctg00 xv小结小结:0dd22xmktx2)由力的表示和能量关系求振动频率由力的表示和能量关系求振动频率3)由初始条件确定振幅和初相由初始条件确定振幅和初相kmgllx)(010kmh
6、Mox为第三象限角 0,000vx1)由以下三种等效形式都可确定为谐振动由以下三种等效形式都可确定为谐振动:思考思考:碰后运动只有保守力做功碰后运动只有保守力做功,用机械能用机械能如何解此题如何解此题?vvmMm)(0gh2 v)cos(tAxkxf有三个同方向、同频率的简谐振动，振动方程分别为有三个同方向、同频率的简谐振动，振动方程分别为:)(cos0.051tx)3(cos0.052tx)32(cos0.053tx求求 合振动的振动方程合振动的振动方程6.xOAA1A2A3332 23322112332211)sinsinsin()coscoscos(AAAAAAA220)32sin3si
7、n()32cos3cos(1 A0.10(m)310.05332211332211coscoscossinsinsinarctanAAAAAA3)3(cos0.10tx合振动方程合振动方程合振动初相位合振动初相位 为为合振动振幅为：合振动振幅为：解解 7.在图示系统中以系统的平衡位置算起的在图示系统中以系统的平衡位置算起的物块的向下位移当作广义坐标。求系统的物块的向下位移当作广义坐标。求系统的固有频率。固有频率。题7图 题8图 题题7解答解答xxkxkxUrxIxmT22222221212121srad1320rmk 8.一小球重一小球重P，系在完全弹性的钢丝，系在完全弹性的钢丝AB的的中部，
8、中部，AB的长度为的长度为2l。设钢丝张拉得很。设钢丝张拉得很紧，其张力的大小为紧，其张力的大小为F，当球作侧向微，当球作侧向微幅振动时，幅振动时，F保持不变。试求小球振动保持不变。试求小球振动的频率的频率 题题8解答解答 解解:gPmlxFxmsin0sin2 PlFgf221 9.在图在图(a)中，一重中，一重mg的物块悬挂于一的物块悬挂于一与悬臂梁端处相连接的弹簧上，在图与悬臂梁端处相连接的弹簧上，在图(b)中有同样重的物块连接在梁端处，并由中有同样重的物块连接在梁端处，并由两弹簧悬挂着，数据如图示。求两种情两弹簧悬挂着，数据如图示。求两种情况下的频率。况下的频率。题题9解答解答mkkl
9、EIkkEIlkeq03eq3eq,23(b),131(a)10.图示系统中，四个弹簧均未受力，图示系统中，四个弹簧均未受力，已知已知 试问：（试问：（1）若将支承缓）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？（慢撤去，质量块将下落多少距离？（2）若将支承突然撤去，质量块又将下落若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？多少距离？12350,9800/,4900/,mkgkN mkkN m 419600/kN m题题10解答解答24500111132114eeeekkkkkkkkcmxxkmgxcmxmgxkee4;212;020000 11.均质杆均质杆AB，质量为，质量为M，长为，长为3l，
10、B端端刚性连接一质量为刚性连接一质量为m的物体，其大小可的物体，其大小可略去不计。略去不计。AB杆在杆在O处用铰链连接，并处用铰链连接，并用弹簧刚度系数均为用弹簧刚度系数均为k的两弹簧加以约的两弹簧加以约束，如图示。试求系统自由振动的频率。束，如图示。试求系统自由振动的频率。题题11解答解答 解解:xvxkxkUlMlMIlvImvT;221221231212212122220202mMkf4221 12.如图所示，质量为如图所示，质量为 的均质圆盘在的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质，忽略绳子的弹性、
11、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。有频率。2m题题12解答解答 解解:22112222222222121212121212121xRRkxkURvIrvrmvmvmTsrad219920pprImk13.在图示系统中以系统的平衡位置开始在图示系统中以系统的平衡位置开始算起算起,盘的中央的位移当作广义坐标。盘的中央的位移当作广义坐标。假定盘很薄，并且做纯滚动。求系统假定盘很薄，并且做纯滚动。求系统的固有频率的固有频率 题题13解答解答 解解:22222222122122143221xkxkUrvIrvmrvmTppsrad219920pprImk14.
12、建立图示系统运动的微分方程。以建立图示系统运动的微分方程。以 作为广义坐标，并假定作为广义坐标，并假定 很小，试求系很小，试求系统的固有频率。统的固有频率。题题14解答解答 解解:lxlkxxMlxcImLI2221212 Mmkkxx cxMm33,0310 15.以以 作为广义坐标，建立图示系统的微作为广义坐标，建立图示系统的微分方程。假定分方程。假定 很小。很小。题题15图图题题16图图 题题15解答解答 解解:444243434343412122lmgllkllkllcIlmmlI 0)41611(169487222LmgkLcLmL 16.质量为质量为M30kg的电机，其转子有的电机
13、，其转子有偏心质量偏心质量 0.2kg，偏心距，偏心距e1.3cm。电机放置在不计质量、弹性刚度系数电机放置在不计质量、弹性刚度系数k294N/m的水平梁上。当电机转子以的水平梁上。当电机转子以角速度角速度90rad/s转动时，求系统受迫转动时，求系统受迫振动的振幅及电机的临界转速振动的振幅及电机的临界转速 1m题题16解答解答解解:212111,()90,0.013,0.2,3060*/2nnmekXMmkMmemMn 20.弹簧悬挂的物体，质量为弹簧悬挂的物体，质量为m，自由振，自由振动的周期为动的周期为。设在物体。设在物体m上附加上附加 一个一个质量质量 ，则弹簧的静伸长增加，则弹簧的静
14、伸长增加 ，求，求当地的重力加速度当地的重力加速度l1m题题20解：解：gkmmlkmgggfstststst)(421122 21.半径为半径为r的均质圆盘的均质圆盘,在地面上滚动在地面上滚动而无滑动而无滑动,圆盘与弹簧相联圆盘与弹簧相联,求系统求系统的固有频率的固有频率题题21解：解：mkxrkxUmrxmTn3221)21(21212222 22.求图示系统微幅扭振的周期。两个摩擦轮可分别求图示系统微幅扭振的周期。两个摩擦轮可分别绕水平绕水平 与与 转动，互相吻合，不能相对滑动，转动，互相吻合，不能相对滑动，在图示位置（半径在图示位置（半径 A与与 B在同一水平线上），在同一水平线上），
15、弹簧不受力，弹簧系数为弹簧不受力，弹簧系数为 与与 ，摩擦轮可看，摩擦轮可看为等厚均质圆盘，质量为为等厚均质圆盘，质量为 与与 。1o2o102o1k2k1m2m22220102011022221 12212212121111,222211,sin,222()ABABAABBAABBTIIIm rIm rrrUk xk xxrxrAtAkkmm 题题22解解：23.轮子可绕水平轴转动轮子可绕水平轴转动,对转轴的转动惯量为对转轴的转动惯量为J0，轮缘绕有软绳，下端挂有重是轮缘绕有软绳，下端挂有重是P的物体，绳与轮的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹
16、簧k维持维持平衡。半径平衡。半径R与与a都是已知的。求微幅振动的周期。都是已知的。求微幅振动的周期。22202220111,(),sin222pppTvJvRUk aAtgkapRJg题题23解：解：24.半径为半径为r的均质圆柱的均质圆柱,可以在半径为可以在半径为R的圆的圆筒内滚动而无滑动。圆柱与圆筒的轴线都筒内滚动而无滑动。圆柱与圆筒的轴线都成水平，试求圆柱在静平衡位置附近振动成水平，试求圆柱在静平衡位置附近振动的频率的频率 22201012211241()(1 cos)()22(),sin,3()TmvmrvrUmg Rrmg RrgRrrAtRr 题题24解解：25.求图示两个弹簧在点
17、求图示两个弹簧在点O的等值弹簧系数的等值弹簧系数k0，刚杆刚杆AB可以在图示平面内绕点可以在图示平面内绕点O偏转。偏转。1222201102201210000)()(),(,kbkabakbaxkbPbaxkaPabaxxxxxPk题题25解解：26.图示系统，设质量图示系统，设质量m可以略去不计，试求可以略去不计，试求在有初始位移后的运动。在有初始位移后的运动。tckexxdtckxdxkxxc0,0题题26解：解：27.求图示系统的运动方程并求临界阻尼系数求图示系统的运动方程并求临界阻尼系数与有阻尼固有频率与有阻尼固有频率.kmalcmlkamlcamlkamlcacakamlcnn2,2
18、022222222222 题题27解：解：28.求图示系统的固有频率求图示系统的固有频率.(杆质量不计杆质量不计)(,)(2121,)(21212122121222alkkmkkxlkakakxkUlxmTn题题28解：解：29.图示系统。设轮子无侧向摆动，图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质量为质量为M，重物质量，重物质量 m，试列出系统微，试列出系统微幅振动微分方程，求出其固有频率。幅振动微分方程，求出其固有频率。题题29解解：以以 x 为广义坐标（静平衡位置为为广
19、义坐标（静平衡位置为 坐标原点）坐标原点）RkgRmMst2)(gkmMst2则任意位置则任意位置x 时：时：kxgmMxkFst22)2(静平衡时：静平衡时：应用动量矩定理：应用动量矩定理：kxRRFgRmMFmxRmMRxMRRxMRxmLAA42)()()23(212由 ，有)(FmdtdLAAkxRxRmM4)23(振动微分方程：振动微分方程：固有频率：固有频率：mMkxmMkxn2380238 30.鼓轮：质量鼓轮：质量M，对轮心回转半径，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑，在水平面上只滚不滑，大轮半径大轮半径R，小轮半径，小轮半径 r，弹簧刚度，弹簧刚度 ，重物质量为，重物质量为m
20、,不计不计轮轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。21,kk 解解：取静平衡位置取静平衡位置O为坐标原为坐标原点，取点，取C偏离平衡位置偏离平衡位置x为广义为广义坐标。系统的最大动能为：坐标。系统的最大动能为：)()()(21 )(21212max21max22max21maxRkkrRmgxkkxRrRmgxkkUststst2max22222max2max22maxmax 21 )(21 )(21)(21xr)m(R)RM(RxRrRmRxMxMT系统的最大势能为：系统的最大势能为：设 则有)sin(nAxnAxAxma
21、xmax ,)(21 2)()(221max222222maxAkkUARrRmRMTn根据根据Tmax=Umax,解得解得222221)()()(rRmRMRkkn 31.质量弹簧系统，质量弹簧系统，W=150N，st=1cm,A1=0.8cm,A21=0.16cm。求阻尼系数求阻尼系数c。2021203221211)(dnTeAAAAAAAA解：解：20)(16.08.0dnTe21220205lnnndnT由于由于 很小，很小，405ln)s/cmN(122.0 98011502405ln2405ln22stWgWmkc 32.已知已知P=mg=3500N，k=20000N/m,Q=10
22、0N,f=2.5Hz,c=1600Ns/m,求求B,强迫振动方程。强迫振动方程。解解：rad/s 58.1035008.92000022Pkgmkeqn301002.5 10 m22 20000eqQQBkk485.158.105.222 ;212.058.1024.2rad/s 24.28.9/3500216002nnnfnmcn 22222220110.736(1)4(1 1.485)4 0.2121.4850.736 2.51.84 mmBB 222arctg2/(1)arctg(0.522)0.847 (rad)1.84sin(50.847)xt33.试用试用m的坐标的坐标 与与2m的
23、坐标的坐标 写出振系写出振系的运动微分方程。刚杆的运动微分方程。刚杆AB的重量可以不计。的重量可以不计。1x2x212221212221)(21)(2122121lxxlxklxxlxkUxmxmT题题33解：解：34.试求图示两个物体沿铅垂方向振动的固有试求图示两个物体沿铅垂方向振动的固有频率及主振型的振幅比频率及主振型的振幅比,设设 滑滑轮、弹簧与软绳的质量以及阻力都可以不轮、弹簧与软绳的质量以及阻力都可以不计。计。,11kkmm22221222112121111,(),0.618,2222111.618,1.6180.618kTmxmx Ukxk xxmkAAmBB 题34解：35.设有
24、图所示弹性结构模型，假设悬臂梁是设有图所示弹性结构模型，假设悬臂梁是均匀的，其截面弯曲刚度为均匀的，其截面弯曲刚度为EI，梁本身质，梁本身质量可略去不计。求系统的柔度矩阵与刚度量可略去不计。求系统的柔度矩阵与刚度矩阵。矩阵。悬臂梁在单位力作用下的挠度为悬臂梁在单位力作用下的挠度为75.1434115.1135.112025.33,271441485.245.213),3(6,0),3(63222lEIkEIlRLxaaxEIaaxxaEIx题题35解：解：36.设有图所示系统，在光滑水平面上，由刚杆连设有图所示系统，在光滑水平面上，由刚杆连结的三个质量结的三个质量 ，所组成所组成,其中其中 与
25、与 分别用弹簧分别用弹簧 与与 连于固定支点。刚杆本身的质连于固定支点。刚杆本身的质量可略去不计。再设三个质量都只能沿量可略去不计。再设三个质量都只能沿 x方向运方向运动。求系统的质量矩阵动。求系统的质量矩阵。1k2k1m2m3m1m2m4444212121),(21,2121323331233222211213222211mmmmmmMxmxmxmTxxxxkxkU题题36解解：37.设在光滑水平面上有质点设在光滑水平面上有质点m，分别由三个，分别由三个刚度各为刚度各为k的弹簧连结于三个固定点，静平的弹簧连结于三个固定点，静平衡时各弹簧无变形。试考察系统的主振型衡时各弹簧无变形。试考察系统的
26、主振型振动。振动。221222002121221,2121122111(cos45cos45)2223110,13012112,11TmxmxUkxkxk xxkkMmkkm m 题题37解解：38.三个质量由二根弹性梁对称地连结在一起，三个质量由二根弹性梁对称地连结在一起，可粗略地作为飞机的简化模型。设中间的可粗略地作为飞机的简化模型。设中间的质量为质量为M，二端的质量各为，二端的质量各为m，梁的刚度系，梁的刚度系数为数为 ，梁本身质量可略去不计。只考虑，梁本身质量可略去不计。只考虑各个质量沿铅垂方向的运动，求系统的固各个质量沿铅垂方向的运动，求系统的固有频率和主振型。有频率和主振型。k 2
27、222131232221,231231111,222222121112242,0,1212111120,11xxTmxMxmx Uk xmMMmkKkmMmM 题题38解：解：39.图所示系统中，质量为图所示系统中，质量为M用弹簧用弹簧 连结于活动支点连结于活动支点 0，质量，质量M与点与点 都限于在同一水平方向作直线运动设都限于在同一水平方向作直线运动设点点 0 的运动规律已知为的运动规律已知为 。在质量。在质量M上悬挂一物理上悬挂一物理摆，摆重为摆，摆重为 ，其重心，其重心C至悬挂点的距离为至悬挂点的距离为 ，摆绕其，摆绕其重心轴的迴转半径为重心轴的迴转半径为 。求系统的运动方程。求系统的
28、运动方程.kOmg)(0tax lmglkKlmmlmlmMMxxkxmglUxlxxx lmxmMxmxx lxx lxmxMT,)()(21)cos1()(cos2212121sincos2121222012222222121222222222121题题39解：解：40.一辆汽车重一辆汽车重17640N,拉着一个重拉着一个重15092N的拖车的拖车,若挂钩的弹簧常数为若挂钩的弹簧常数为171500N/m.,试求系统的固试求系统的固有频率与模态向量有频率与模态向量.1217640150921800,15409.89.8171500 1800171500det0171500171500 154
29、0mm题题40解：解：TTnn)856.0,1()1,1(38.140212141.试求系统固有频率试求系统固有频率,假定两圆盘直径相等假定两圆盘直径相等.09423221)(21,434322121222221212021mkkmkkxkxxkUxmxmT题题41解：解：42.一卡车简化为一卡车简化为 系统系统,停放在地上时停放在地上时受到以等速受到以等速v行驶的另一辆车行驶的另一辆车m的撞击的撞击,设撞设撞击后车辆击后车辆m不动不动,地面光滑地面光滑,求撞击后卡车的求撞击后卡车的响应响应.21mkm题题42解：解：121112222112121021001212001,11,;sincos
30、0:0,0,00:0,0,11,0,01(1)nnnmkkrMKmkkxXmrxXmAtBCtDtmvtxxxvxmvvtrrvvABCDrr 1212121221211(sin),(sin)(),nnnnnmvrmvXttXttmmmmk mmmrm mm 43.求图示系统的稳态响应求图示系统的稳态响应.1021,01XkmkFXkkm j ckmkkm j ckkkm j ckkm 题题43解：解：)(2sin,sin)(22242021mkcjkmmtkXtFcjmkX44.求图示系统的固有频率求图示系统的固有频率,不计滑轮质量不计滑轮质量02221212212112mmkkmkmkmk
31、题题44解：解：45.求图示系统的固有频率与振型求图示系统的固有频率与振型123123110,12101130,(1,1,1),(1,0,1),(1,2,1)TTTmMmKkmkkmm题题45解：解：46.质量可以不计的刚杆质量可以不计的刚杆,可绕点转动可绕点转动,中点支中点支以弹簧以弹簧,求振系的固有频率求振系的固有频率222211122121111(),()222220.344,1.46xTmxm xxUkkxkkmm题题46解：解：47.求图示系统的稳态响应求图示系统的稳态响应TNTNTNmkmkmkmkmkmkkKmmmM555.0,247.1,1863.21,802.0,445.0,
32、1837.11247.2,802.1,1296.91,247.3,555.1,198.0065,110121012,3213213223题题47解解：48.求系统自由振动通解求系统自由振动通解 121122121111222231(1)0.7962262331(1)1.5381882311,1.3660250.366025sin()sin()nnnnkkmmkkmmxAtBtx题题48解：解：49.求图示系统的振动响应求图示系统的振动响应,设设tPPPsin,021 正则振型矩阵为正则振型矩阵为:mkmkkKmMnn538188.1,796266.0,2112,200121tmPQmNNsin325057.0627963.0,325057.0627963.0888074.0459701.01)/11)(sin(sin325057.0)/11)(sin(sin1627963.022212222121111nnnnnnnnnnttmPqttmPq题题49解解：
