1、 高二上学期数学期中联考试卷 高二上学期数学期中联考试卷一、单选题一、单选题1已知经过两点，的直线斜率为 1，则（）A3B3C1D12已知圆的圆心在直线上，则该圆的半径为（）A2BC4D153若向量，互相垂直，则（）ABC2D34已知点 P 为圆：上任一点，点 Q 为圆：上任一点，则的最小值为（）A1BC2D45已知，为空间向量，若已知，则（）ABCD6已知三条直线：，：，：所围成的图形为直角三角形，则该三角形的面积为（）ABC或D或7已知圆经过椭圆 C：的右焦点，上顶点与右顶点，则（）ABCD8在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4 米
2、，短轴长为 2 米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（）ABC2D39直线与圆的大致图象可能正确的是（）ABCD10已知边长为 2 的正方体中，E，F 分别为，的中点，则点 B 到平面 AEF 的距离为（）ABCD11某玩具台球桌为矩形（设为 ABCD），一小球从边 AB 上异于 A，B 的一点 M 出发，经 BC，CD，DA 反弹后恰好到达 B 点，已知，则该小球的运动轨迹的长为（）AB8CD912已知正方形的边长为 2，分别为，的中点，沿，将三角形，折起，使得点，恰好重合，记为点，则与平面所成角的正弦值为（）ABCD二、填空题二、填空题13设
3、，分别是平面，的法向量若，则 14已知圆直径的两个端点为，则该圆的标准方程为 15已知椭圆 C：的左焦点为 F，右顶点为 A，上顶点为 B，O 为坐标原点，点 P 为椭圆上一点，且直线 PA 恰好经过 OB 中点，则该椭圆的离心率为 16已知点是空间直角坐标系 O-xyz 中的一点，则点 P 关于 x 轴的对称点为 Q 的坐标为 若点 P 在平面 xOy 上的射影为 M，则四面体 O-PQM 的体积为 三、解答题三、解答题17已知直线 l 经过点且斜率为（1）求直线 l 的方程；（2）若直线平行于直线 l，且点 P 到直线的距离为，求直线的方程18已知圆 C 经过两点，且圆心 C 在 x 轴上
4、（1）求圆的标准方程；（2）已知直线 l 与直线 AB 垂直，且与圆 C 相交所得弦长为，求直线 l 的方程19如图，三棱柱中，D 为中点，设，（1）试用，表示向量；（2）若，求异面直线 AE 与所成角的余弦值20如图，ABCD 为圆柱的轴截面，P 为底面半圆周上一点，E 为 PC 中点，（1）求证：；（2）若，求平面 PAD 与平面 ABE 所成锐二面角的余弦值21已知圆 M 与圆 N：相外切，与 y 轴相切原点 O（1）求圆 M 的方程；（2）若圆 M 与圆 N 的切点在第一象限，过原点 O 的两条直线与圆 M 分别交于 P，Q 两点，且两直线互相垂直，求证：直线 PQ 过定点，并求出该定
5、点坐标22已知椭圆 E：的上顶点到焦点距离为 2，且过点（1）求椭圆 E 的方程；（2）设斜率为的直线 l 与 E 交于 A，B 两点直线 l 与 x 轴的交点为 M，三角形 ABC 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，CM 的中点为 P，AB 的中点为 Q，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由答案解析部分答案解析部分1【答案】D【解析】【解答】由题意知，得故答案为：D.【分析】利用斜率公式列出等式，求解可得 a 的值.2【答案】B【解析】【解答】解：的圆心坐标为，由于圆心在直线上所以可得，即圆的方程为所以圆的半径为故答案为：B【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程的形式，求出
6、圆的圆心，又由圆的圆心在直线即可得 a 的值，由此可得圆的半径.3【答案】B【解析】【解答】因为向量，互相垂直，所以，即，解得，故所以故答案为：B【分析】根据向量垂直可得，即，求出 a，可求出 的值.4【答案】A【解析】【解答】解：由题知，圆半径为，圆心坐标为，圆半径为，圆心坐标为，所以两圆的位置关系为内含，所以，所以的最小值为故答案为：A【分析】确定两圆的圆心坐标与半径，判定两圆内含，即可求出的最小值.5【答案】D【解析】【解答】解：因为，平方可得，所以，所以，因为，所以故答案为：D【分析】由，平方可得，再利用可求出 的值.6【答案】C【解析】【解答】解：由题意知，若，则，与的交点坐标为，则
7、此时三角形的面积为，若，则，与的交点坐标为，所以此时三角形的面积为所以该三角形的面积为或故答案为：C【分析】分和两种情况，得出三角形顶点的坐标，可得三角形面积.7【答案】A【解析】【解答】椭圆 C：，右焦点为，上顶点为，右顶点为，代入圆的方程，得，解得，所以该圆的方程为故答案为：A【分析】先得出椭圆的右焦点，上顶点与右顶点，代入圆的方程，解出 b 的值.8【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，建立如图所示的坐标系，因为窗户就是长轴长为 4 米，短轴长为 2 米的椭圆形状，所以椭圆的标准方程为，因为其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，所以当时，所以最短窗棂的长度为故答案为：B【分析】根据题意
8、，建立坐标系得椭圆的标准方程为，再结合题意计算可得答案.9【答案】B【解析】【解答】解：对于 A，因为，所以圆过原点，A 不正确；对于 B，圆心坐标在第一象限，直线的截距与圆心纵坐标相符合，故正确；对于 C，圆心坐标在第三象限，故直线过一三四象限，C 不正确；对于 D，由题知直线的截距与圆心纵坐标相等，D 不符合，故不正确；故答案为：B【分析】根据直线在坐标轴上的截距以及直线斜率的正负情况，以及圆心的坐标的正负情况，进行判断，先由直线位置得到 a，b 的符号，再由圆心的位置确定是否满足条件，由此得到答案.10【答案】C【解析】【解答】以 DA，DC，分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，如
9、图，则，.设平面的法向量为，则，即令，则，得.又，所以点 B 到平面 AEF 的距离为故答案为：C【分析】以 DA，DC，分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积求出平面 AEF 的法向量，进而可求出点 B 到平面 AEF 的距离.11【答案】C【解析】【解答】如图，建立平面直角坐标系，其中，设，直线 BC 方程为，则可求得点 M 关于 BC 的对称点为，关于的对称点为，点 B 关于 y 的对称点为，连接，交CD，AD 于 Q，R 连接，交 BC 于 P，则可得 P，Q，R 为反射点，所以轨迹长为.故答案为：C.【分析】建立平面直角坐标系，设，直线 BC 方程为，则可求得
10、点 M 关于 BC 的对称点为，关于的对称点为，点 B 关于 y 的对称点为，轨迹长为，进而可求出该小球的运动轨迹的长.12【答案】B【解析】【解答】由题意知，故，故 PA，PE，PF 三线互相垂直，故以 PA，PE，PF 分别为轴建立空间直角坐标系，可以求得，设，根据，则，则，则可得，设平面的法向量为.所以可以求得平面的法向量为，所求与平面所成角的正弦值为故答案为：B.【分析】以 PA，PE，PF 分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法可求出与平面所成角的正弦值.13【答案】5【解析】【解答】，则，故答案为：5【分析】根据向量垂直，数量积等于 0，即可求出 t 的值.14【
11、答案】【解析】【解答】解：因为圆直径的两个端点为，所以圆心坐标为，直径为，所以圆的方程为故答案为：【分析】由题意可知圆心坐标为，直径为，再根据标准方程公式求解，即可得出该圆的标准方程.15【答案】【解析】【解答】因为 OB 中点，直线 PA 恰好经过 OB 中点，所以直线 PA 方程为，联立，消去 x 得，得，从而得到，所以，因为，所以，即，得，所以椭圆得离心率为故答案为：【分析】求得直线 PA 的方程，与椭圆方程联立，再利用韦达定理进而得出 F 点坐标，由题意得可得关于 a 的方程，从而求出椭圆得离心率.16【答案】（1，-1，-2）；【解析】【解答】点，点 Q 到平面 OPM 距离即为点到
12、平面 OPM 距离，即为点到 OM 距离，可以求得该距离为即为，因为，所以故答案为：（1，-1，-2）；.【分析】根据空间坐标系点关于坐标轴对称的特征得出点 Q 的坐标，利用点到平面的距离的定义可得点 Q 到平面 OPM 距离为，结合三棱锥的体积公式计算即可得四面体 O-PQM 的体积.17【答案】（1）解：因为直线 l 经过点且斜率为，所以直线 l 的方程为，整理得；（2）解：因为直线平行于直线 l，直线 l 的方程为，所以设直线的方程为，因为点 P 到直线的距离为，所以，解得或，所以直线的方程为或【解析】【分析】(1)由点斜式写出直线 l 的方程为，化为一般式即可；(2)由直线 与直线 l
13、 平行，可设直线 的方程为，由点到直线的距离公式得到关于 c 的方程，求解即可得直线的方程18【答案】（1）解：已知圆心 C 在 x 轴上，故设圆的标准方程为，因为圆 C 经过两点，所以，解之得，所以；（2）解：由题意知，所以直线 l 的斜率为，所以设直线 l 的方程为，得圆心 C 到直线 l 的距离为，因为直线 l 与圆 C 相交所得弦长为，所以，所以，即，求得或，所以直线 l 的方程为或【解析】【分析】(1)已知圆心 C 在 x 轴上，故设圆的标准方程为，将，代入上式，即可求解出圆的标准方程；(2)根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解出直线 l 的方程19【答案】（
14、1）解：因为 D 为中点，所以因为，所以，所以；（2）解：由题意知，所以，又因为，所以，所以，所以异面直线 AE 与所成角的余弦值为【解析】【分析】(1)由，根据空间向量的加法和数乘的运算法则，即可求解出用，表示向量；(2)先计算，和的值，从而求得 的值，进而得 的值，然后由，即可求解出异面直线 AE 与所成角的余弦值20【答案】（1）证明：因为 ABCD 为圆柱的轴截面，所以平面 ABP，所以，又因为，所以平面 PBC，所以，又因为，所以平面 PAC，所以，因为 E 为 PC 中点，所以三角形 PBC 为等腰三角形，即；（2）解：如图，以 P 为坐标原点，以 PA，PB 为 x，y 轴建立空
15、间直角坐标系，设，则，可得，设平面 PAD 的法向量为，可得，设平面 ABE 的法向量为，则，即，不妨令，可得为平面 ABE 的一个法向量，所以，平面 PAD 与平面 ABE 所成锐二面角的余弦值为【解析】【分析】(1)平面 ABP，则有，再结合已知条件可得 平面 PBC，则PABE，再利用线而垂直的判定定理可得 平面 PAC，则，从而可证得；(2)以 P 为坐标原点，以 PA，PB 为 x，y 轴建立空间直角坐标系，求出平面 PAD 的法向量和平面 ABE 的一个法向量，利用空间向量法求解出平面 PAD 与平面 ABE 所成锐二面角的余弦值.21【答案】（1）解：由题意知，圆 M 与 y 轴
16、相切原点 O，所以设圆 M 的方程为因为圆 M 与圆 N：相外切，且 N：，所以，所以或，所以 M：或 M：；（2）证明：由题意知 M：，设 OP 所在直线方程为，联立，得，同理把 k 换做，可得，所以 PQ 所在直线方程为，化简为：故直线 PQ 过定点【解析】【分析】（1）设圆 M 的方程为，由题意可得 ，求解可得 a 的值，即可求得圆 M 的方程；（2）设 OP 所在直线方程为，与圆方程联立可得 P，Q 点坐标，进而得出 PQ 所在直线方程，可证得直线 PQ 过定点.22【答案】（1）解：由题意知上顶点到焦点距离为，又椭圆过点，所以，得，所以椭圆 E 的方程为；（2）解：设直线 l：，联立，消去 y 得，解得，设，则，得，则，l 与 x 轴的交点为，所以，所以，因为，CM 的中点为 P，所以，所以为定值【解析】【分析】（1）由题意知上顶点到焦点距离为，将点代入椭圆方程得 ，解得，即可求出椭圆 E 的方程；（2）设直线 l：，代入 得，利用韦达定理得，得，即可求出 为定值.
