1、 逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具。学习一些常用逻辑用语，可以使我们正确理解数学概念、合理推证数学结论、准确表达数学内容。逻辑用语也是日常交往、学习和工作中必不可少的工具。接下来我们将通过逻辑用语的学习，理解使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理的方法，体会逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用。复习与引入 问题1：在初中，我们已经对命题的有了一些初步的认识，你还能否想起下列知识：(1)什么是命题？这个概念的核心是什么？什么是真命题？什么是假命题？一般地，用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。命题定义的核心是能判断真假。在判断标准确定的情况下，判
2、断的结果可真可假。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。假命题也是命题(2)命题表达形式一般是怎样的？若p，则q。其中P叫命题的条件，q叫命题的结论下面我们就来进一步研究这种形式中p和q之间的关系？(3)你能将下列命题改写成”若p，则q“的形式吗？它们是真命题还是假命题？两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两条对角线相等的四边形是平行四边形；对顶角相等；空集是任意集合的子集。若一个四边形的两组对边分别相等(p)，则这个四边形是平行四边形(q).真命题 若一个四边形的两条对角线相等(p)，则这个四边形是平行四边形(q).假命题 若两个角是对顶角(p)，则这两个角相等(q).假
3、命题 若一个集合是空集(p)，则这个集合是任意集合的子集(q).真命题 问题2：下列”若p，则q“形式的命题中，哪些是真命题，哪些是假命题，你是如何判定的？（1）若平行四边形的对角线相互垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若x2-4x+3=0,，则x=1；（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l ，则a/b。思考1：在(1)(4)中，由条件p通过推理可以推出结论p，因此它们是真命题。请问，对于一般的”若p，则q“的命题，如果能由p推出q，那它是否一定是真命题?反之成立吗？探究新知(一)真命题真命题假命题假命题由p可以推出q，由p不能推出q，由
4、p不能推出q，一般地，由p通过推理可以推出结论q，则“若p，则q”是真命题，反过来也成立。由p可以推出q，思考2：在(2)(3)中，由条件p通过推理不能推出结论p，因此它们是假命题。同样，对于一般的”若p，则q“的命题，如果能由不能推出q，那它是否一定是假命题？反之成立吗？一般地，如果由p通过推理不能推出结论q，则“若p，则q”是假命题，反过来也成立。思考3：在”若p，则q“形式的命题中，”命题的真假”与”由p推出q”之间的关系是怎样的？一般地，如果“若p，则q”为真命题，则由p可以推出q。pq并且称p是q的充分条件，q是p的必要条件如果“若p，则q”是假命题，则由p不能推出q。pq 并且说p
5、不是q的充分条件，q不是p的必要条件记作记作充分条件，必要条件 (1)“p是q的充分条件”意味着：只要p成立就足以推出q成立；(2)“q是p的必要条件”意味着：若p要成立则q必须成立；(3)对同一个真命题“若p，则q”而言：“p是q的充分条件”就意味着”q是p的必要条件”，反之，“q是p的必要条件就意味着”p是q的充分条件”思考4：当p是q的充分条件时，若q不成立，则p一定不成立，对不对？举例说明。如p(两个角是对顶角)是 q(这两个角相等）的充分条件 但若q不成立，即这两个角不相等，则这两个角不可能是对顶角，因此p一定不成立。又如p(AB=)是 q(A、B同为空集）的充分条件 但若q不成立，
6、即A、B不同为空集，则AB，因此p一定不成立。思考5：根据以上，说说如何理解充分条件和必要条件？对。若q不成立，则p一定不成立 例1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；(2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线相互垂直；(4)若x2=1，则x=1；(5)若a=b，则ac=bc；(6)若x、y为无理数，则xy为无理数。例析解：(1)这是平行四边形的一个判定定理，p是q的充分条件。(2)这是相似三角形的一个判定定理，p是q的充分条件。(3)这是菱形的一个性质定
7、理，p是q的充分条件。例1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？(1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；(2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；(3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线相互垂直；(4)若x2=1，则x=1；(5)若a=b，则ac=bc；(6)若x、y为无理数，则xy为无理数。解：(4)x2=1时，则x可以为-1p不是q的充分条件。(5)这是等式的一个性质，p是q的充分条件。p不是q的充分条件。要说明一个命题是假命题，一般采用举反例的方法。例1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？(1)若四边形
8、的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；.思考1：在(1)中给出“四边形是平行四边形”的一个充分条件：“四边形的两组对角分别相等”，这样的充分条件唯一吗？若不唯一，你能再给出几个不同的充分条件吗？若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形;若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形;若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形.这些都是平行四边形的判定定理。每一个判定定理都给出“四边形是平行四边形”的一个充分条件 思考2：你能说说以上四个命题（例1中的(1)和）都是初中学过的平行四边形的什么定理吗？“探究新知(二)思考3：事实上，每一个判定定理都都给出了相
9、应数学结论成立的一个充分条件.你能举例说明吗？比如三角形全等的判定？结论：一般来说，数学中的每一个判定定理都给出了相应数学结论成立的充分条件。若两个三角形的三条边对应相等，则这两个三角形全等；(SSS)若两个三角形有两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等；(SAS)若两个三角形有两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等；(ASA)若两个三角形有两个角及其一角的对边对应相等，则这两个三角形全等.(AAS)这四个判定定理都给出了“三角形全等”的充分条件。例2.下列若p，则q形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；(2)若两个三角相
10、似形，则这两个三角形的三边成比例；(3)若四边形的对角线相互垂直，则这个四边形是菱形；(4)若x=1，则x2=1；(5)若ac=bc，则a=b；(6)若xy为无理数，则x、y为无理数。例析解：(1)这是平行四边形的一个性质定理，q是p的必要条件。(2)这是相似三角形的一个性质定理，q是p的必要条件。(3)如图，q不是p的必要条件。BDAC 四边形ABCD中，ACBD，但ABCD不是平行四边形 思考：怎样判定q是不是P的必要条件？例2.下列若p，则q形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；(2)若两个三角相似形，则这两个三角形的三边
11、成比例；(3)若四边形的对角线相互垂直，则这个四边形是菱形；(4)若x=1，则x2=1；(5)若ac=bc，则a=b；(6)若xy为无理数，则x、y为无理数。解：(4)显然成立，q是p的必要条件。(5)若取c=0，a=1，b=-1，q不是p的必要条件。q不是p的必要条件。则ac=bc，但abxy是无理数，但x、y不全是无理数。例2.下列若p，则q形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；.思考1：在(1)中给出“四边形是平行四边形”的一个必要条件：“四边形的两组对角分别相等”，这样的必要条件唯一吗？若不唯一，你能再给出几个不同的必要
12、条件吗？若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等;若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等;若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分.探究新知(三)思考2：你能说说以上四个命题（例2中的(1)和）都是初中学过的平行四边形的什么定理吗？“这些都是平行四边形的性质定理。每一个判定定理都给出“四边形是平行四边形”的一个必要条件 结论：一般来说，数学中的每一个性质定理都给出了相应数学结论成立的必要条件。思考3：事实上，每一个性质定理都都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.你能举例说明吗？比如相似三角形的性质？若两个三角形相似，则这两个三角形的对应边成比例全等；
13、若两个三角形相似，则这两个三角形的对应角相等。这两个性质定理都给出了“三角形相似”的必要条件。练习 1.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？(1)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB；(2)若两个三角形的两边及一边的对角分别相等，则这两个三角形全等；(3)若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于周长的平方比。解：(1)由“点P在线段AB的垂直平分线上”可以推出“PA=PB”，(2)由“两个三角形的两边及一边的对角分别相等”不能推出“这两个三角形全等”，(3)由“两个三角形相似”可得得到周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，p是q的充分条件。p不是
14、q的充分条件。p是q的充分条件。即pq，即pq，即pq，3.直线a与b被直线l 所截，分别得到了1，2，3，4，请根据这些信息，写出几个a/b的充分条件和必要条件？2.下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若直线l 与O有且仅有一个交点，则l 是O的一条切线；(2)若x是无理数，则x2也是无理数。解：(1)由“直线l 与O有且仅有一个交点”可以推出“l 是O的一条切线”，(2)由“x是无理数”不能推出“x2是无理数”，即pq，p是q的充分条件。p不是q的充分条件。即pq，a/b的充分条件有：1=4；1=2；1+3=180Oa/b的必要条件有：1=4；1=2；1+3
15、=180O 解：若，是的什么条件？是的什么条 ：件？思考1PQxPxQxQxP PQ 中的任意元素都属于，PQ即xPxQ 是的 充 分 条 件xPxQ 是的 必 要 条 件xQxP 探究新知(四)QP你能写出a的一个充分条件 思和必要条件吗？考2：3 a的个充分条件可以是：3 a10 a的个必要条件可以是：3 a 0”的一个充分条件和必要条件。2.设ABCD为平行四边形，试写出ABCD为矩形的两个充分条件。3.设CD是圆O的弦，一直线过圆心O且与圆交于A、B两点，并与AB交于点M。试写出”ABCD”的两个必要条件。4.已知集合A=x|a+1x2a+3，B=x|-1x4，若xB是xA的必要条件。求实数a的取值范围。
