1、算法分析与设计算法分析与设计常熟理工学院计算机学院刘在德第第1章章 绪论绪论l掌握三种渐近符号（O、）的含义；l会用三种渐近符号表示算法的时间复杂度；l会用扩展递归技术分析算法时间的复杂性；对于表示算法时间的简单递推式，能够用扩展递归技术求出最终结果。lP15：例1.6lP18：实验1lP22：习题1.7三种渐近符号的含义三种渐近符号的含义l大大O符号符号：若存在两个正的常数c和n0，对于任意nn0，都有T(n)cf(n)，则称T(n)=O(f(n)l大大符号符号：若存在两个正的常数c和n0，对于任意nn0，都有T(n)cg(n)，则称T(n)=(g(n)l符号符号：若存在三个正的常数c1、c
2、2和n0，对于任意nn0都有c1f(n)T(n)c2f(n)，则称T(n)=(f(n)渐近符号表示算法时间复杂度渐近符号表示算法时间复杂度l定理定理1.1 若T(n)=amnm+am-1nm-1+a1n+a0(am0)，则有T(n)=O(nm)，且T(n)=(nm)，从而T(n)=(nm)l例例 T(n)5n28n1当n1时，5n28n15n28nn5n29n5n29n214n2O(n2)当n1时，5n28n15n2(n2)当n1时，14n25n28n15n2则：5n28n1(n2)用扩展递归技术分析算法时间的用扩展递归技术分析算法时间的复杂性复杂性l扩展递归技术扩展递归技术：将递推关系式中右
3、边项根据递推式进行逐次替换，得到求和表达式l例例 271()2(/2)51nT nT nnn22222211 222112221002222()2(/2)52(2(/4)5(/2)52(2(2(/8)5(/4)5(/2)52(1)25(/2)2 5(/2)575/275275(2 1/2)75(22/)10310()kkkkkiikiiT nT nnT nnnT nnnnTnnnnnnnnnnnnnnnO n 第第2章章 NP完全理论完全理论 l对于简单的判定问题，会画判定树。l判定树判定树（Decision Trees）是一棵二叉树：它的每一个内部结点对应一个形如xy的比较，如果关系成立，则
4、控制转移到该结点的左子树，否则，控制转移到该结点的右子树，它的每一个叶子结点表示问题的一个结果。例例 对三个数进行排序的判定树对三个数进行排序的判定树 第第3章章 蛮力法蛮力法 l掌握改进的串匹配算法KMP算法l理解n个元素的生成排列对象l理解n个元素组成的集合的生成子集l理解0/1背包问题l理解TSP问题KMP算法算法lKMP算法思路：l如果某趟在Si和Tj匹配失败后，指针i不回溯；模式T向右滑动至某个位置k，使得tk对准si继续进行匹配。l怎么求k？l模式T=“t1t2tm”中的每一个字符tj都对应一个k，显然k与S无关。用nextj表示tj对应的k值，则t1tk-1既是t1tj-1的真前
5、缀，又是t1tj-1的真后缀的最长子串，称k是tj的前缀函数值，它等于最长子串长度加1。next数组的定义数组的定义lnext数组定义如下：1 211210 1next max|1,1 Otherkj kj kjjjkkjt ttttt t1t2t3t4t5t6a b a b a c真前缀 真后缀t1=t5,t1t2t3=t3t4t5a和aba都是ababa的真前缀和真后缀，但aba的长度最大next6=3+1=4，即当t6和si匹配失败后，将t4和si比较l一个求k的例子：next数组的求法：数组的求法：l已求出next1,nextj，咋求nextj+1?l设k是tj的前缀函数值，从而有t1
6、t2tk-1=tj-k+1tj-k+2tj-1l比较tk和tj，得2种情况：l(1)tk=tj：说明t1tk-1tk=tj-k+1tj-1tj，则nextj+1=k+1；l(2)tktj：此时要找出t1tj-1的后缀中第2大真前缀nextnextj=nextk,t1tnextk-1=tj-nextk+1tj-1，再比较tnextk和tj，又会出现2种情况：next数组的求法：数组的求法：l当tnextk=tj时，与(1)类似，nextj+1=nextk+1；当不等时，找第3大真前缀，重复(2)的过程，直至找到t1tj-1后缀中的最大真前缀，l或确定t1tj-1的后缀中没有最大真前缀，此时nex
7、tj+1=1。算法算法3.4 KMP算法中求算法中求next数组数组lvoid GetNext(char T,int next)/下标从1开始lnext1=0;j=1;k=0;lwhile(j=m)lIf(k=0)|(Tj=Tk)j+;k+;nextj=k;llelse k=nextkl算法算法3.5 KMP算法算法l1.在串S和T中分别设定比较的起始下标i和j；l2.循环直到S中所剩字符长度小于T的长度或T中所有字符均比较完毕l2.1 如Si=Tj，则继续比较S和T的下一字符；否则l2.2 将j向右滑动到nextj位置，即j=nextj；l2.3 如果j=0，则将i和j分别加1，准备下一趟比
8、较；l3.如果T中所有字符均比较完毕，则返回匹配的起始下标，否则返回0。生成排列对象生成排列对象l思路：假定已生成了1,2,n-1的所有(n-1)!个排列，可以把n插入到n-1个元素的每一种排列的n个位置中去，得到问题规模为n的所有排列。这时排列总数为n(n-1)!=n!。l时间复杂性：O(n!)l算法3.9 生成排列对象（伪代码）l1.生成初始排列1；l2.for(i=2;i=n;i+)lfor(j=1;j=1;k-)将i插入到第j个排列中的第k个位置；生成子集生成子集l思路：n个元素组成的集合A=a1,a2,an的所有2n个子集与长度为n的所有2n个比特串之间存在一一对应关系。建立这种关系
9、的方法是为每个子集指定一个比特串b1b2bn，如果ai属于该子集，则bi=1，否则bi=0(1in)。如3个元素组成的集合，比特串110表示a1a2，比特串000表示。算法算法3 3.10 10 生成子集生成子集l1.初始化一个长度为n的比特串s=000，并将对应的子集输出；l2.for(i=1;i1;l bm=m1;l bm=m1;l product=rmul(halfn,bm)+m;l l return product;llint rmul(int n,int m)/*方法方法2：非递归法非递归法*/l int result=0;l while(n!=0)l l if(n%2=0)m=m1
10、;l elsel l result=result+m;m=m1;l l return result;l第第6章章 动态规划法动态规划法l掌握动态规划法的设计思想l掌握动态规划法在TSP问题和0/1背包问题中的应用。l给出一个TSP或者0/1背包问题的实例，能够写出它的动态规划过程。lP134：实验6动态规划法的设计思想动态规划法的设计思想 动态规划法将待求解问题分解成若干个动态规划法将待求解问题分解成若干个相互重相互重叠叠的子问题，每个子问题对应决策过程的一个的子问题，每个子问题对应决策过程的一个阶段阶段，一般来说，子问题的重叠关系表现在对给定问题求一般来说，子问题的重叠关系表现在对给定问题求
11、解的解的递推关系递推关系（也就是动态规划函数）中，将子问（也就是动态规划函数）中，将子问题的解求解一次并题的解求解一次并填填入入表表中，当需要再次求解此子中，当需要再次求解此子问题时，可以通过查表获得该子问题的解而不用再问题时，可以通过查表获得该子问题的解而不用再次求解，从而避免了大量重复计算。次求解，从而避免了大量重复计算。原问题的解 原问题 填 表子问题1子问题2子问题n动态规划法的求解过程n=5时分治法计算斐波那契数的过程。F(5)F(4)F(3)F(3)F(2)F(2)F(1)F(2)F(1)F(1)F(0)F(1)F(0)F(1)F(0)例：计算斐波那契数：2)2()1(1100)(
12、nnFnFnnnF01234567890112358132134动态规划法求解斐波那契数F(9)的填表过程：注意到，计算F(n)是以计算它的两个重叠子问题 F(n-1)和F(n-2)的形式来表达的，所以，可以设计一张表填入n+1个F(n)的值。TSP问题问题 TSP问题是指旅行家要旅行问题是指旅行家要旅行n个城市，要求各个个城市，要求各个城市经历且仅经历一次然后回到出发城市，并要求城市经历且仅经历一次然后回到出发城市，并要求所走的路程最短。所走的路程最短。各个城市间的距离可以用代价矩阵来表示。各个城市间的距离可以用代价矩阵来表示。C=3 6 7 5 2 3 6 4 2 3 7 5 带权图的代价
13、矩阵带权图的代价矩阵假设从顶点i出发，令d(i,V)表示从顶点i出发经过V中各个顶点一次且仅一次，最后回到出发点i的最短路径长度，开始时，VVi，于是，TSP问题的动态规划函数为：d(i,V)=mincik+d(k,Vk)(kV)（式6.5）d(k,)=cki(ki)（式6.6）这是最后一个阶段的决策，而：这是最后一个阶段的决策，而：d(1,2,3)=minc12+d(2,3),c13+d(3,2)d(2,1,3)=minc21+d(1,3),c23+d(3,1)d(3,1,2)=minc31+d(1,2),c32+d(2,1)这一阶段的决策又依赖于下面的计算结果：这一阶段的决策又依赖于下面的
14、计算结果：d(1,2)=c12+d(2,)d(2,3)=c23+d(3,)d(3,2)=c32+d(2,)d(1,3)=c13+d(3,)d(2,1)=c21+d(1,)d(3,1)=c31+d(1,)从城市从城市0出发经城市出发经城市1、2、3然后回到城市然后回到城市0的最短路径长度是：的最短路径长度是：d(0,1,2,3)=minc01+d(1,2,3),c02+d(2,1,3),c03+d(3,1,2)而下式可以直接获得（括号中是该决策引起的状态转移）：而下式可以直接获得（括号中是该决策引起的状态转移）：d(1,)=c10=5(10)d(2,)=c20=6(20)d(3,)=c30=3(
15、30)再向前倒推，有：再向前倒推，有：d(1,2)=c12+d(2,)=2+6=8(12)d(1,3)=c13+d(3,)=3+3=6(13)d(2,3)=c23+d(3,)=2+3=5(23)d(2,1)=c21+d(1,)=4+5=9(21)d(3,1)=c31+d(1,)=7+5=12(31)d(3,2)=c32+d(2,)=5+6=11(32)再向前倒退，有：再向前倒退，有：d(1,2,3)=minc12+d(2,3),c13+d(3,2)=min2+5,3+11=7(12)d(2,1,3)=minc21+d(1,3),c23+d(3,1)=min4+6,2+12=10(21)d(3,
16、1,2)=minc31+d(1,2),c32+d(2,1)=min7+8,5+9=14(32)最后有：最后有：d(0,1,2,3)=minc01+d(1,2,3),c02+d(2,1,3),c03+d(3,1,2)=min3+7,6+10,7+14=10(01)所以，从顶点所以，从顶点0出发的出发的TSP问题的最短路径长度为问题的最短路径长度为10，路径是，路径是01230。算法6.1TSP问题 1for(i=1;in;i+)/初始化第0列 di0=ci0;2for(j=1;j2n-1-1;j+)for(i=1;iV(n-1,C)，表明第n个物品被装入背包，前n-1个物品被装入容量为C-wn的
17、背包中；否则，第n个物品没有被装入背包，前n-1个物品被装入容量为C的背包中。依此类推，直到确定第1个物品是否被装入背包中为止。由此，得到如下函数：),1(),(,1),1(),(0jiVjiVwjjjiVjiVxii（式6.13）设n个物品的重量存储在数组wn中，价值存储在数组vn中，背包容量为C，数组Vn+1C+1存放迭代结果，其中Vij表示前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值，数组xn存储装入背包的物品，动态规划法求解0/1背包问题的算法如下：算法6.30/1背包问题 int KnapSack(int n,int w,int v)for(i=0;i=n;i+)/初始化第0列 Vi
18、0=0;for(j=0;j=C;j+)/初始化第0行 V0j=0;for(i=1;i=n;i+)/计算第i行，进行第i次迭代 for(j=1;j=C;j+)if(j0;i-)if(VijVi-1j)xi=1;j=j-wi;else xi=0;return VnC;/返回背包取得的最大价值第第7章章 贪心法贪心法l掌握贪心法的设计思想l掌握贪心法在TSP问题中的应用l掌握贪心法在背包问题中的应用lP155：实验7贪心法的求解过程贪心法的求解过程 用贪心法求解问题应该考虑如下几个方面：（1）候选集合C：为了构造问题的解决方案，有一个候选集合C作为问题的可能解，即问题的最终解均取自于候选集合C。例如
19、，在付款问题中，各种面值的货币构成候选集合。（2）解集合S：随着贪心选择的进行，解集合S不断扩展，直到构成一个满足问题的完整解。例如，在付款问题中，已付出的货币构成解集合。（3）解决函数solution：检查解集合S是否构成问题的完整解。例如，在付款问题中，解决函数是已付出的货币金额恰好等于应付款。（4）选择函数select：即贪心策略，这是贪心法的关键，它指出哪个候选对象最有希望构成问题的解，选择函数通常和目标函数有关。例如，在付款问题中，贪心策略就是在候选集合中选择面值最大的货币。（5）可行函数feasible：检查解集合中加入一个候选对象是否可行，即解集合扩展后是否满足约束条件。例如，在
20、付款问题中，可行函数是每一步选择的货币和已付出的货币相加不超过应付款。贪心法的一般过程Greedy(C)/C是问题的输入集合即候选集合 S=;/初始解集合为空集 while(not solution(S)/集合S没有构成问题的一个解 x=select(C);/在候选集合C中做贪心选择 if feasible(S,x)/判断集合S中加入x后的解是否可行 S=S+x;C=C-x;return S;TSP问题问题 最近邻点最近邻点策略：从任意城市出发，每次在没策略：从任意城市出发，每次在没有到过的城市中选择最近的一个，直到经过有到过的城市中选择最近的一个，直到经过了所有的城市，最后回到出发城市。了所
21、有的城市，最后回到出发城市。(d)城市城市3城市城市5 (e)城市城市5城市城市2 (f)城市城市2城市城市1 最近邻点贪心策略求解最近邻点贪心策略求解TSP问题的过程问题的过程25221543225221543232522154327363215432233215432C=3 3 2 63 7 3 23 7 2 52 3 2 36 2 5 3 (a)5城市的代价矩阵城市的代价矩阵 (b)城市城市1城市城市4 (c)城市城市4城市城市3背包问题背包问题 给定给定n种物品和一个容量为种物品和一个容量为C的背包，物的背包，物品品i的重量是的重量是wi，其价值为，其价值为vi，背包问题是如何，背包问
22、题是如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大总价值最大?于是，背包问题归结为寻找一个满足约束条于是，背包问题归结为寻找一个满足约束条件式件式7.1，并使目标函数式，并使目标函数式7.2达到最大的解向量达到最大的解向量X=(x1,x2,xn)。设设xi表示物品表示物品i装入背包的情况，根据问题的要求，装入背包的情况，根据问题的要求，有如下约束条件和目标函数：有如下约束条件和目标函数：)1(101nixCxwiniii（式（式7.1）niiixv1max（式（式7.2）三种看似合理的贪心策略：（1）选择价值最大的物品，因为这可以尽可能快地增加背
23、包的总价值。但是，虽然每一步选择获得了背包价值的极大增长，但背包容量却可能消耗得太快，使得装入背包的物品个数减少，从而不能保证目标函数达到最大。（2）选择重量最轻的物品，因为这可以装入尽可能多的物品，从而增加背包的总价值。但是，虽然每一步选择使背包的容量消耗得慢了，但背包的价值却没能保证迅速增长，从而不能保证目标函数达到最大。（3）选择单位重量价值最大的物品，在背包价值增长和背包容量消耗两者之间寻找平衡。60 120 50 背包 180 190 200(a)三个物品及背包 (b)贪心策略1 (c)贪心策略2 (d)贪心策略3 50 30 10 20 20 3020/30 20 1010/20
24、30 10例如，有3个物品，其重量分别是20,30,10，价值分别为60,120,50，背包的容量为50，应用三种贪心策略装入背包的物品和获得的价值如图所示。第第8章章 回溯法回溯法l掌握回溯法的设计思想l针对某一特定实例，会写出动态搜索过程，并画出搜索空间树，从而找到最优解l0/1背包问题lTSP问题 对于任何一个问题，可能解的对于任何一个问题，可能解的表示方式表示方式和它相应的和它相应的解释解释隐隐含了解空间及其大小。含了解空间及其大小。例如，对于有例如，对于有n个物品的个物品的0/1背包问题，其可能解的表示方背包问题，其可能解的表示方式可以有以下两种：式可以有以下两种：（1）可能解由一个
25、不等长向量组成，当物品）可能解由一个不等长向量组成，当物品i(1in)装入背包装入背包时，解向量中包含分量时，解向量中包含分量i，否则，解向量中不包含分量，否则，解向量中不包含分量i，当，当n=3时，其解空间是：时，其解空间是：(),(1),(2),(3),(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3)（2）可能解由一个等长向量）可能解由一个等长向量x1,x2,xn组成，其中组成，其中xi=1(1in)表示物品表示物品i装入背包，装入背包，xi=0表示物品表示物品i没有装入背包，没有装入背包，当当n=3时，其解空间是：时，其解空间是：(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0
26、,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)为了用回溯法求解一个具有为了用回溯法求解一个具有n个输入的问题，个输入的问题，一般情况下，将其可能解表示为满足某个约束条件一般情况下，将其可能解表示为满足某个约束条件的等长向量的等长向量X=(x1,x2,xn)，其中分量，其中分量xi(1in)的的取值范围是某个有限集合取值范围是某个有限集合Si=ai1,ai2,airi，所有，所有可能的解向量构成了问题的可能的解向量构成了问题的解空间解空间。问题的解空间一般用问题的解空间一般用解空间树解空间树（Solution Space Trees,也称状态空间树）的方式组织，也称状态空
27、间树）的方式组织，树的根结点位于第树的根结点位于第1层，表示搜索的初始状态，层，表示搜索的初始状态，第第2层的结点表示对解向量的第一个分量做出层的结点表示对解向量的第一个分量做出选择后到达的状态，第选择后到达的状态，第1层到第层到第2层的边上标出层的边上标出对第一个分量选择的结果，依此类推，从树的对第一个分量选择的结果，依此类推，从树的根结点到叶子结点的路径就构成了解空间的一根结点到叶子结点的路径就构成了解空间的一个可能解。个可能解。对于对于n=3的的0/1背包问题，其解空间树如图背包问题，其解空间树如图8.2所示，所示，树中的树中的8个叶子结点分别代表该问题的个叶子结点分别代表该问题的8个可
28、能解。个可能解。对物品对物品1的选择的选择对物品对物品3的选择的选择对物品对物品2的选择的选择1111110000000112345781112141531069 对于n=4的TSP问题，其解空间树如图8.3所示，树中的24个叶子结点分别代表该问题的24个可能解，例如结点5代表一个可能解，路径为12341，长度为各边代价之和。243422343413142412123312134131312321214241434322434123124134图图8.3 n=4的的TSP问题的解空间树问题的解空间树5710121517212326283133 37 3942444749525457596264
29、469111416202225273032 36 3841434648515356586163381319242935404550556021834241123434解空间树的动态搜索解空间树的动态搜索 回溯法从根结点出发，按照深度优先策略遍历回溯法从根结点出发，按照深度优先策略遍历解空间树，搜索满足约束条件的解。在搜索至树中解空间树，搜索满足约束条件的解。在搜索至树中任一结点时，先判断该结点对应的部分解是否满足任一结点时，先判断该结点对应的部分解是否满足约束条件约束条件，或者是否超出，或者是否超出目标函数目标函数的界，也就是判的界，也就是判断该结点是否断该结点是否包含包含问题的（最优）解，如
30、果肯定不问题的（最优）解，如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的搜索，即所包含，则跳过对以该结点为根的子树的搜索，即所谓谓剪枝剪枝（PruningPruning）；否则，进入以该结点为根的）；否则，进入以该结点为根的子树，继续按照深度优先策略搜索。子树，继续按照深度优先策略搜索。例如，对于n=3的0/1背包问题，三个物品的重量为20,15,10，价值为20,30,25，背包容量为25，从图8.2所示的解空间树的根结点开始搜索，搜索过程如下：1不可行解不可行解价值价值=20价值价值=55 价值价值=30 价值价值=25价值价值=01111000000112811121415131069不可
31、行解不可行解 再如，对于n=4的TSP问题，其代价矩阵如图8.5所示，C=3 6 712 2 8 8 6 2 3 7 6 图图8.5 TSP问题的代价矩阵问题的代价矩阵2344221231341313123212142414322434123124134图图8.6 TSP问题的搜索空间问题的搜索空间5475441127464851 535838132429354045505560218342412341回溯法的求解过程回溯法的求解过程 由于问题的解向量由于问题的解向量X=(x1,x2,xn)中的每个分量中的每个分量xi(1in)都属于一个有限集合都属于一个有限集合Si=ai1,ai2,airi
32、，因此，因此，回溯法可以按某种顺序（例如字典序）依次考察笛卡儿回溯法可以按某种顺序（例如字典序）依次考察笛卡儿积积S1S2Sn中的元素。中的元素。初始时，令解向量初始时，令解向量X为空，然后，从根结点出发，选为空，然后，从根结点出发，选择择S1的第一个元素作为解向量的第一个元素作为解向量X的第一个分量，即的第一个分量，即x1=a11，如果如果X=(x1)是问题的部分解，则继续扩展解向量是问题的部分解，则继续扩展解向量X，选择，选择S2的第一个元素作为解向量的第一个元素作为解向量X的第的第2个分量，否则，选择个分量，否则，选择S1的下一个元素作为解向量的下一个元素作为解向量X的第一个分量，即的第
33、一个分量，即x1=a12。依此类推，一般情况下，如果依此类推，一般情况下，如果X=(x1,x2,xi)是问题的部是问题的部分解，则选择分解，则选择Si+1的第一个元素作为解向量的第一个元素作为解向量X的第的第i+1个分个分量时，有下面三种情况：量时，有下面三种情况：（1）如果）如果X=(x1,x2,xi1)是问题的最终解，则输出这个解。是问题的最终解，则输出这个解。如果问题只希望得到一个解，则结束搜索，否则继续搜索其如果问题只希望得到一个解，则结束搜索，否则继续搜索其他解；他解；（2）如果）如果X=(x1,x2,xi1)是问题的部分解，则继续构造解是问题的部分解，则继续构造解向量的下一个分量；
34、向量的下一个分量；（3）如果）如果X=(x1,x2,xi1)既不是问题的部分解也不是问题既不是问题的部分解也不是问题的最终解，则存在下面两种情况：的最终解，则存在下面两种情况：如果如果xi+1=ai1k不是集合不是集合Si1的最后一个元素，则令的最后一个元素，则令xi+1=ai1k1，即选择，即选择Si+1的下一个元素作为解向量的下一个元素作为解向量X的第的第i+1个分量；个分量；如果如果xi+1=ai1k是集合是集合Si1的最后一个元素，就回溯到的最后一个元素，就回溯到X=(x1,x2,xi)，选择，选择Si的下一个元素作为解向量的下一个元素作为解向量X的第的第i个分量，假个分量，假设设xi
35、=aik，如果，如果aik不是集合不是集合Si的最后一个元素，则令的最后一个元素，则令xi=aik1；否则，就继续回溯到否则，就继续回溯到X=(x1,x2,xi1)；回溯法的一般框架迭代形式1X=;2flag=false;3k=1;4while(k=1)4.1 当(Sk没有被穷举)循环执行下列操作 4.1.1 xk=Sk中的下一个元素;4.1.2 将xk加入X;4.1.3 if(X为最终解)flag=true;转步骤5;4.1.4 else if(X为部分解)k=k+1;转步骤4;4.2 重置Sk，使得下一个元素排在第1位;4.3 k=k-1;/回溯5if flag 输出解X;else 输出“
36、无解”;回溯算法的非递归迭代形式的一般框架如下：第第9章章 分支限界法分支限界法l掌握分支限界法的设计思想l针对某一特定实例，会写出动态搜索过程，并画出搜索空间树，从而找到最优解l0/1背包问题lTSP问题 分支限界法首先确定一个合理的限界函数，并根据限分支限界法首先确定一个合理的限界函数，并根据限界函数确定目标函数的界界函数确定目标函数的界down,up。然后，按照广度优先。然后，按照广度优先策略遍历问题的解空间树，在分支结点上，依次搜索该结策略遍历问题的解空间树，在分支结点上，依次搜索该结点的所有孩子结点，分别估算这些孩子结点的目标函数的点的所有孩子结点，分别估算这些孩子结点的目标函数的可
37、能取值，如果某孩子结点的目标函数可能取得的值超出可能取值，如果某孩子结点的目标函数可能取得的值超出目标函数的界，则将其丢弃，因为从这个结点生成的解不目标函数的界，则将其丢弃，因为从这个结点生成的解不会比目前已经得到的解更好；否则，将其加入待处理结点会比目前已经得到的解更好；否则，将其加入待处理结点表（以下简称表表（以下简称表PT）中。依次从表）中。依次从表PT中选取使目标函数的中选取使目标函数的值取得极值的结点成为当前扩展结点，重复上述过程，直值取得极值的结点成为当前扩展结点，重复上述过程，直到找到最优解。到找到最优解。解空间树的动态搜索（解空间树的动态搜索（2）随着这个遍历过程的不断深入，表
38、随着这个遍历过程的不断深入，表PT中所估算的目标函中所估算的目标函数的界越来越接近问题的最优解。当搜索到一个叶子结点时数的界越来越接近问题的最优解。当搜索到一个叶子结点时，如果该结点的目标函数值是表，如果该结点的目标函数值是表PT中的极值（对于最小化问中的极值（对于最小化问题，是极小值；对于最大化问题，是极大值），则该叶子结题，是极小值；对于最大化问题，是极大值），则该叶子结点对应的解就是问题的最优解；否则，根据这个叶子结点调点对应的解就是问题的最优解；否则，根据这个叶子结点调整目标函数的界（对于最小化问题，调整上界；对于最大化整目标函数的界（对于最小化问题，调整上界；对于最大化问题，调整下界
39、），依次考察表问题，调整下界），依次考察表PT中的结点，将超出目标函中的结点，将超出目标函数界的结点丢弃，然后从表数界的结点丢弃，然后从表PT中选取使目标函数取得极值的中选取使目标函数取得极值的结点继续进行扩展。结点继续进行扩展。例：例：0/1背包问题。假设有背包问题。假设有4个物品，其重量分别为个物品，其重量分别为(4,7,5,3)，价值分别为，价值分别为(40,42,25,12)，背包容量，背包容量W=10。首先，将给。首先，将给定物品按单位重量价值从大到小排序，结果如下：定物品按单位重量价值从大到小排序，结果如下：物品物品重量重量(w)价值价值(v)价值价值/重量重量(v/w)14401
40、0274263525543124 应用贪心法求得近似解为应用贪心法求得近似解为(1,0,0,0)，获得的价，获得的价值为值为40，这可以作为，这可以作为0/1背包问题的下界。背包问题的下界。如何求得如何求得0/1背包问题的一个合理的上界呢？考背包问题的一个合理的上界呢？考虑最好情况，背包中装入的全部是第虑最好情况，背包中装入的全部是第1个物品且可以个物品且可以将背包装满，则可以得到一个非常简单的上界的计将背包装满，则可以得到一个非常简单的上界的计算方法：算方法：ub=W(v1/w1)=1010=100。于是，得到。于是，得到了目标函数的界了目标函数的界40,100。限界函数为：限界函数为：)(
41、)(11iiwvwWvubw=0,v=0ub=100w=4,v=40ub=76w=0,v=0ub=60w=11无效解无效解w=4,v=40ub=70w=9,v=65ub=69w=4,v=40ub=64w=12无效解无效解w=9,v=65ub=65234567891分支限界法求解分支限界法求解0/1背包问题背包问题 分支限界法求解分支限界法求解0/1背包问题，其搜索空间如图背包问题，其搜索空间如图9.1所所示，具体的搜索过程如下：示，具体的搜索过程如下：（1）在根结点）在根结点1，没有将任何物品装入背包，因此，背包，没有将任何物品装入背包，因此，背包的重量和获得的价值均为的重量和获得的价值均为0
42、，根据限界函数计算结点，根据限界函数计算结点1的目的目标函数值为标函数值为1010=100；（2）在结点）在结点2，将物品，将物品1装入背包，因此，背包的重量为装入背包，因此，背包的重量为4，获得的价值为获得的价值为40，目标函数值为，目标函数值为40+(10-4)6=76，将结，将结点点2加入待处理结点表加入待处理结点表PT中；在结点中；在结点3，没有将物品，没有将物品1装入装入背包，因此，背包的重量和获得的价值仍为背包，因此，背包的重量和获得的价值仍为0，目标函数，目标函数值为值为10660，将结点，将结点3加入表加入表PT中；中；（3）在表）在表PT中选取目标函数值取得极大的结点中选取目
43、标函数值取得极大的结点2优先进优先进行搜索；行搜索；（4）在结点）在结点4，将物品，将物品2装入背包，因此，背包的重量为装入背包，因此，背包的重量为11，不满足约束条件，将结点，不满足约束条件，将结点4丢弃；在结点丢弃；在结点5，没有将，没有将物物品品2装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点2相相同，目标函数值为同，目标函数值为40+(10-4)5=70，将结点，将结点5加入表加入表PT中；中；（5）在表）在表PT中选取目标函数值取得极大的结点中选取目标函数值取得极大的结点5优先进行优先进行搜索；搜索；（6）在结点）在结点6，将物品，将物品3装
44、入背包，因此，背包的重量为装入背包，因此，背包的重量为9，获得的价值为获得的价值为65，目标函数值为，目标函数值为65+(10-9)4=69，将结，将结点点6加入表加入表PT中；在结点中；在结点7，没有将物品，没有将物品3装入背包，因此，装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点背包的重量和获得的价值与结点5相同，目标函数值为相同，目标函数值为40+(10-4)464，将结点，将结点6加入表加入表PT中；中；（7）在表）在表PT中选取目标函数值取得极大的结点中选取目标函数值取得极大的结点6优先进行优先进行搜索；搜索；（8）在结点）在结点8，将物品，将物品4装入背包，因此，背包的重量为装入背包
45、，因此，背包的重量为12，不满足约束条件，将结点，不满足约束条件，将结点8丢弃；在结点丢弃；在结点9，没有将物，没有将物品品4装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点装入背包，因此，背包的重量和获得的价值与结点6相相同，同，目标函数值为目标函数值为65；（9）由于结点）由于结点9是叶子结点，同时结点是叶子结点，同时结点9的目标函数值是表的目标函数值是表PT中的极大值，所以，结点中的极大值，所以，结点9对应的解即是问题的最优解，对应的解即是问题的最优解，搜索结束。搜索结束。分支限界法的设计思想分支限界法的设计思想 假设求解最大化问题，解向量为假设求解最大化问题，解向量为X=(x1,x2,xn
46、)，其，其中，中，xi的取值范围为某个有穷集合的取值范围为某个有穷集合Si，|Si|=ri（1in）。在）。在使用分支限界法搜索问题的解空间树时，首先根据限界函使用分支限界法搜索问题的解空间树时，首先根据限界函数估算目标函数的界数估算目标函数的界down,up，然后从根结点出发，扩展，然后从根结点出发，扩展根结点的根结点的r1个孩子结点，从而构成分量个孩子结点，从而构成分量x1的的r1种可能的取值种可能的取值方式。对这方式。对这r1个孩子结点分别估算可能取得的目标函数值个孩子结点分别估算可能取得的目标函数值bound(x1)，其含义是以该孩子结点为根的子树所可能取得，其含义是以该孩子结点为根的
47、子树所可能取得的目标函数值不大于的目标函数值不大于bound(x1)，也就是部分解应满足：，也就是部分解应满足：bound(x1)bound(x1,x2)bound(x1,x2,xk)bound(x1,x2,xn)若某孩子结点的目标函数值超出目标函数的界，则将该若某孩子结点的目标函数值超出目标函数的界，则将该孩子结点丢弃；否则，将该孩子结点保存在待处理结点表孩子结点丢弃；否则，将该孩子结点保存在待处理结点表PT中。从表中。从表PT中选取使目标函数取得极大值的结点作为下中选取使目标函数取得极大值的结点作为下一次扩展的根结点，重复上述过程，当到达一个叶子结点一次扩展的根结点，重复上述过程，当到达一
48、个叶子结点时，就得到了一个可行解时，就得到了一个可行解X=(x1,x2,xn)及其目标函数值及其目标函数值bound(x1,x2,xn)。如果如果bound(x1,x2,xn)是表是表PT中目标函数值最大的结点，中目标函数值最大的结点，则则bound(x1,x2,xn)就是所求问题的最大值，就是所求问题的最大值，(x1,x2,xn)就是问题的最优解；就是问题的最优解；如果如果bound(x1,x2,xn)不是表不是表PT中目标函数值最大的结中目标函数值最大的结点，说明还存在某个部分解对应的结点，其上界大于点，说明还存在某个部分解对应的结点，其上界大于bound(x1,x2,xn)。于是，用。于
49、是，用bound(x1,x2,xn)调整目标调整目标函数的下界，即令函数的下界，即令down=bound(x1,x2,xn)，并将表，并将表PT中中超出目标函数下界超出目标函数下界down的结点删除，然后选取目标函数值的结点删除，然后选取目标函数值取得极大值的结点作为下一次扩展的根结点，继续搜索，取得极大值的结点作为下一次扩展的根结点，继续搜索，直到某个叶子结点的目标函数值在表直到某个叶子结点的目标函数值在表PT中最大。中最大。分支限界法求解最大化问题的一般过程分支限界法求解最大化问题的一般过程分支限界法的一般过程分支限界法的一般过程1根据限界函数确定目标函数的界根据限界函数确定目标函数的界d
50、own,up；2将待处理结点表将待处理结点表PT初始化为空；初始化为空；3对根结点的每个孩子结点对根结点的每个孩子结点x执行下列操作执行下列操作 3.1 估算结点估算结点x的目标函数值的目标函数值value;3.2 若若(value=down)，则将结点，则将结点x加入表加入表PT中；中；4循环直到某个叶子结点的目标函数值在表循环直到某个叶子结点的目标函数值在表PT中最大中最大 4.1 i=表表PT中值最大的结点；中值最大的结点；4.2 对结点对结点i的每个孩子结点的每个孩子结点x执行下列操作执行下列操作 4.2.1 估算结点估算结点x的目标函数值的目标函数值value;4.2.2 若若(va
