1、流流 体体 力力 学学 退 出中国科学文化出版社第十章 边界层理论 边界层特性 边界层微分方程 平板层流边界层的微分方程解 边界层积分（动量）方程 平板层流边界层的积分方程解 平板紊流边界层计算 平板混合边界层计算 第一节第二节第三节第四节第五节退 出返 回第六节第七节退 出返 回第十章 边界层理论 第第1页页 实际流体具有粘性，其流动参量受粘性的影响。对于气体，其粘性主要是由于不同速度的相邻流体层间发生动量交换的结果。对于液体，粘性主要是由于流体分子间的内聚力和附着力引起的。因此，如果相邻流体微元间存在速度梯度，从而受分子附着力和内聚力或层间动量交换的作用，就会产生剪切力。剪切力的大小与速度
2、梯度有关，其比例系数即为流体的粘性系数或粘度。单位面积上的剪切力叫做剪切应力或称粘性力。速度梯度大时，粘性力也大，此时的流场称为粘性流场，可用纳维斯托克斯方程式求解；速度梯度很小时，粘性力可以忽略，此时的流场称为非粘性流场，可以按理想流体来处理，采用欧拉方程求解可使问题大大简化。无论是流体流过物体，还是物体在流体中运动，由于流体的附着作用，在物体表面总有一层与之直接接触的薄层流体附在其上，它与相邻的另一层流体之间存在着速度梯度，从而使两层流体之间产生粘性力。第一节 边界层特性 第一节 边界层特性 退 出第十章 边界层理论 第第2页页如图10.1所示，平面物体C在静止的流体中以速度w运动，与之接
3、触的流体薄层A在附着力的作用下，也将以速度w随物体运动。与之相邻的B层流体，也将在粘性作用下运动。但是由于惯性力的作用，B的速度 将低于A的速度w，两者之间存在速度差，也就出现粘性力。wCBAww图10.1 流体粘性对速度分布的影响w 同样，B上面的一层流体，也将被牵引而以更低的速度运动。最后出现上图所示的速度分布。可见，越靠近物体表面，速度梯度越大，粘性力也越大；远离物体表面，则速度梯度小，粘性力也小。返 回第一节 边界层特性 退 出返 回第十章 边界层理论 第第3页页 流体的粘性力是与速度梯度和粘度有关的。从整个流场来看，当流体的速度很大时，流体受粘性力的作用不大，由粘性而产生的能量损失也
4、相对较小，所以流体的惯性力与粘性力的比值（即雷诺数 ）才是全面描述粘性流体运动特征的指标。惯性力大时，值大，粘性力的作用就减小；惯性力小时，值小，粘性力作用就大。ReReRe 仅凭流体的粘度大小，并不能决定其流动的粘性作用。例如，空气和水均是实际流体，在流场中，除了与物体接触的极小部分外，大部分可以看成是非粘性流动。但是当流场中的物体或流道的尺寸很小、流速又很低时，则不能忽略空气和水的粘性力。不管流体的粘度大小、流场中速度的高低，靠近物体表面处，由于流速减缓，速度梯度很大，因而不能忽视粘性力的作用。流体沿静止物体流动时，紧靠物体表面处流体的流速大致与物体表面平行。直接接触物体表面的流速为零，而
5、离开物体表面沿外法线方向速度急剧增大，速度梯度则逐渐减小，如图10.2所示。紧靠物体表面的速度梯度很大的这层流体称为边界层。第一节 边界层特性 退 出返 回第十章 边界层理论 第第4页页 在边界层中，流体粘性力的作用不能忽略。对于实际流体，直接从纳维斯托克斯方程式对整个流场求解是很困难的。由于方程式的非线性和边界条件的复杂性，直到目前还不能用解析法来分析。普朗特通过对粘性力作用的分析，认为可以把整个流场分为两部分：一部分是直接临近物体表面的边界层区和经过边界层后靠近物体的尾迹区，在这部分流场中，粘性作用显著，属于粘性流，可按纳维斯托克斯方程式求解。图10.2 边界附近流体的速度分布 由于边界层
6、和尾迹区的尺寸很小，和物体的几何尺寸相比属于微量，因而可认为流动是平行于物体表面的，方程式就可得到简化；另一部分是边界层和尾迹以外的区域，在此区域中粘性力的作用很小，可以看成非粘性流，且不存在速度梯度，可以按理想流体的势流考虑。能量供应加强，而使边界层速度梯度增大，边界层逐渐减薄至 。进入直管段EF后，边界层又沿管长增厚，直至发展到管中心。因此在整个流道中边界层是逐步发展的。第一节 边界层特性 退 出返 回第十章 边界层理论 第第5页页一、边界层的形成流场中流动参量的变化、流道和绕流体形状的不同，都会影响边界层的形成和发展。下面举几个典型的例子来说明这一问题。（一）收缩管中的流动CD图10.3
7、 收缩管中的流动 CBADEF 图103所示为一收缩管中的流动。流体在进入收缩流道CD前的AB段内，边界层已有相当发展，具有一定厚度 ，进入收缩管道CD段后，流体加速而压力逐渐降低，由于主流速度逐渐增高，对边界层流体的CD第一节 边界层特性 退 出返 回第十章 边界层理论 第第6页页（二）绕过流线型机翼的流动 图10.4所示为均速流体绕过流线型机翼柱体的流动。边界层沿机翼表面发展并逐渐加厚，直到翼柱后部形成尾迹区。开始时尾迹区中速度梯度较大，一定距离后尾迹逐渐扩散，速度梯度减小，最终消失在主流区中。图10.5 渐扩管中的流动图10.4 绕过流线型机翼的流动尾迹区（三）渐扩管中的流动 图10.5
8、所示为渐扩管中的流动。由于流道截面逐渐增大，主流区中压力不断增高，流体便需要消耗动能来补充压力能，但是在边界层中由于粘性摩擦力的影响而损失的动能较主流区大，因此其动能不足以补充压力能的增高，且主流的增压减速运动，对边界层流体能量供应减弱，致使边界层中流体的流速最终降为零，甚至出现倒流（流速为负值）。第一节 边界层特性 退 出返 回第十章 边界层理论 第第7页页而受粘性影响较小的中心主流却仍以较高流速流动，不再贴近管道壁面。在主流与管壁之间，边界层被破坏，出现旋涡和倒流等不规则的流动。开始出现这种不规则的倒流而使边界层被破坏的区域称为边界层脱离点。因此在渐扩管形的流道中边界层有可能不是连续稳定发
9、展的。（四）绕过圆柱体的流动图10.6 绕过圆柱体的流动ABCD主流区 图10.6表示流体绕过圆柱体的流动。在来流接触柱体表面后的前一半柱面ABC区域，边界层逐渐形成并发展。此时流体沿柱面是增速降压流动，不会出现边界层脱离现象。进入后一半柱面ADC区域，流体作减速增压流动，边界层中因克服粘性摩擦而损失大量动能，无法补充足够的压力能来与主流压力平衡，边界层便开始脱离，形成旋涡状尾迹，并向下游发展，直到几倍圆柱直径的距离后消失。离开表面较远的区域，以及尾迹后的主流区则可视为非粘性流。第一节 边界层特性 退 出返 回第十章 边界层理论 第第8页页 由此可见，流体流过物体表面时，粘性流的边界层可能充分
10、发展，也可能出现脱离。因此不能认为除去靠近物体表面的区域外，都属于非粘性流区域。只有当 很高，且边界层不脱离时，物体表面以外的主流区才可认为是属于非粘性流，可按势流来处理，如处于均速流场中的机翼形物体的绕流或平板绕流等。必须指出，直管内的流动不能按非粘性流考虑，即不能按势流计算，因为流体均速流进直管时，在粘性力作用下，会逐渐出现速度梯度，靠近壁面处流速降低，形成一薄层边界层，随着流动的继续，粘性力的作用范围不断扩大，直至发展到整个截面，此时管道中心处流速最大，壁面处流速为零，速度梯度最大的区域仍在壁面附近，但是粘性力的作用范围最终达到了整个截面，这与平板绕流或曲面绕流的情况不同。Re第一节 边
11、界层特性 退 出返 回第十章 边界层理论 第第9页页二、层流边界层和紊流边界层 层流时，流体的流动主要受粘性力控制，流速场平行于流道壁面。紊流的流速则随时间和位置不断发生大小和方向的变化，其速度场是指平均流速的分布。严格说来，任何流场中的流速都在变动，当变动十分微小，接近于其时均值时，即属于层流。变动大时，即为紊流。由层流转入紊流的机理，可以认为与流场中的微小扰动和该扰动的扩大有关。两层流速不同的流体之间，由于速度差而出现微小旋涡。这些旋涡可以在粘性力作用下，由于存在减缓速度梯度的效应而衰减；也可以在惯性力作用下，由于存在维持速度梯度的效应而扩大。如果旋涡扰动逐渐衰减，流动就恢复为层流状态。如
12、果旋涡扰动逐渐扩大，就发展为紊流状态。在绕流流场中，边界层的流动同样也有由层流转入紊流的现象。如图10.7所示为处在均速主流流场中的流线型锐端平板。刚接触板端时，流速 是均匀的。进入平板后，由于粘性作用，在壁面处便出现一层极薄的边界层。W第一节 边界层特性 退 出返 回第十章 边界层理论 第第10页页因为边界层厚度 极小，扰动在其中不易发展，所以此时边界层中的流动是层流，称为层流边界层，受粘性力的控制。当流体沿平板继续流动，边界层逐渐增厚，扰动便会发展起来，边界层中的流动变成紊流，此时边界层厚度 增加很快，称为紊流边界层。边界层由层流向紊流转变时，不是突然发生的，中间有一过渡区，称作变流区。在
13、与板面直接接触的地方，还有一层极薄的层流底层（对光滑板尤其明显）。边界层由层流向紊流的转变，取决于雷诺数 的大小。对绕流流场，与主流流速 、流体运动粘度 和自板端向后流过的距离 有关，即ReReWxWxWxRe 图10.7 流体绕过流线型锐端平板层流区过渡区紊流区WxwwW层流底层（10.1）第一节 边界层特性 退 出返 回第十章 边界层理论 第第11页页是否由层流转入紊流取决于临界雷诺数 ，而主流的初始扰动程度、板面的几何形状、流场的压力梯度、壁面的粗糙度、流体的可压缩性（马赫数）、加热或冷却效果等都会影响临界雷诺数 。对于光滑表面没有压力梯度的绝热流动crRecrRe5103crcrWxR
14、e当主流扰动非常小时，可达到 。紊流时绕流物体在流场中的阻力比层流时大，故在设计时应尽量避免紊流。当主流速度一定时，只要使 ，就可避开紊流边界层。在边界层计算中，必须先确定 ，然后再对层流区和紊流区分别计算。crRe6103crxx crx对于层流边界层，根据粘性流的剪切应力公式 可以进行精确计算。虽然对于不同的几何形体，求解十分复杂，但它能够用解析法来计算。而对于紊流，由于没有具体的物理模型，所以无法进行定量计算，只能结合试验结果进行近似计算，以满足工程需要。至于变流区，情形更为复杂，在计算中往往近似地把它看成是层流和紊流的重叠区，或者全部按紊流来计算。ywxdd第一节 边界层特性 退 出返
15、 回第十章 边界层理论 第第12页页 不管是层流边界层或紊流边界层，在分析计算时，若 ，则可认为边界层厚度和物体的尺寸或流动距离 相比属于微量，从而对边界层的计算进行简化。边界层以外的主流区则按非粘性流考虑。410Rex三、边界层厚度在管内紊流和绕流情况下，流场中的速度变化主要发生在壁面附近。流速改变剧烈的区域，即为边界层。自壁面至流速不再改变处的距离称为边界层厚度，用 表示。边界层厚度以外叫主流区。严格说来，自壁面至流速完全不变的区域，距离很大，故一般将速度达到主流速度0.990.995倍的地方作为边界层厚度的上限。照此规定，边界层厚度极小，与物体尺寸相比可看成微量。但是这样的规定却不利于对
16、边界层进行解析计算，为此下面列出了三种较严格的规定边界层厚度的方法。第一节 边界层特性 退 出返 回第十章 边界层理论 第第13页页由此可见，在保证流量相等的前提下，边界层的存在犹如将没有粘性的主流区自固体壁面向外推移了 距离，或者说主流区被向外排挤了 距离。因此流量厚度又称排挤厚度或位移厚度。理想流体流过 厚度的流量为 ，实际情况下由于粘性而使速度减低从而减少的流量为1 dy12WyW-wwx13图10.8 边界层厚度o流量厚度的定义是：理想流体以主流速度 流过厚度 的流量等于实际流体由于粘性使流速减低时整个流场减小的流量。如图10.8所示，即面积（1+3）=面积（2+3）。W11111W（
17、一）流量厚度ywWd0ywWWd01yWwd101（10.2）于是能量厚度的定义是：理想流体以主流速度 流过厚度 的动能等于实际流体在整个流场中的动能减少量。动量厚度的定义是：理想流体以主流速度 流过厚度 的动量等于整个流场中实际流体的流量与速度减小量的乘积。第一节 边界层特性 退 出返 回第十章 边界层理论 第第14页页（二）动量厚度2W2ywWwWd022yWwWwd102即（10.3）（三）能量厚度3W3ywWwWd22222033yWwWwd12203即（10.4）第一节 边界层特性 退 出返 回第十章 边界层理论 第第15页页在已知 与 的关系后，即可通过式（10.2）、（10.3）
18、、（10.4）计算边界层流量厚度 、动量厚度 和能量厚度 。利用 、和 可以进行边界层的解析计算，并且可以根据 、和 的比值表示边界层中的速度分布。Wwy123123123退 出返 回第十章 边界层理论 第第1页页第二节 边界层微分方程 普朗特和冯卡门（Von Karman）分别提出边界层的微元体分析法和控制体分析法，建立了边界层的微分方程式和积分方程式。01122222222ywxwywxwypywwxwwywxwxpywwxwwyxyyyyyxxxxyxx（10.5）边界层中的流动属于粘性流，它符合纳维斯托克斯方程式。对于忽略了质量力的不可压缩流体稳定的二维绕流流动，其运动方程式和连续方程
19、式为 边界层计算主要解决的是边界层厚度沿界面的变化、流体压力分布和流动阻力的计算问题。下面首先讨论边界层微分方程式。退 出返 回第十章 边界层理论 第第2页页第二节 边界层微分方程 现利用边界层特性来讨论方程组中各项的数量级，从而简化方程组。以 表示主流速度、表示边界层厚度、表示绕流物体的长度（如平板长、翼弦）。并以 表示微量，用符号“”表示数量级相同。在流动方向上，的变化从零到 ，与 数量级相同；相应地 由 零到 ，具有 的数量级，即 ，由于边界层厚度很小，与绕流物体长度相比为微量，因此Wlxlxlyxly1l边界层中的速度 沿着厚度从零变化到 ，因此 ；的数量级可由连续性方程推导如下：xw
20、WxwWywlWywxwyxyw或Wwyl各项除以 ，注意到 ，则上式可写成退 出返 回第十章 边界层理论 第第3页页第二节 边界层微分方程 式（10.5）的第一个方程中各项及对应的数量级为 22221ywxwxpywwxwwxxxyxxlW2WwylW22lW2W当 较大时，有 ，则 1，趋于零。lW2WlRe Re1Re21ReRe21)(12ReRe11 1 1式（10.5）的第二个方程中各项的数量级为22221ywxwypywwxwwyyyyyx22?yyyyywlwwwlwW退 出返 回第十章 边界层理论 第第4页页第二节 边界层微分方程 各项除以 ，则上式可写成与第一个方程中各项的
21、数量级相比，上式各项均为微量，从而得到 。即边界层中的压力 在y方向是不变的，与边界层外的压力相等。事实上，由实验测出的物体表面压力分布与按理想势流计算出的压力分布十分接近。lW23?0ypp00122ywxwypywxpywwxwwyxxxyxx xWwywwyxyx,0,0（10.6）其边界条件为 由上述分析，得到简化后的不可压缩粘性流体二维稳定流动的层流边界层方程组退 出返 回第十章 边界层理论 第第5页页第二节 边界层微分方程 式中 表示 位置沿壁面的主流区的流速，即边界层外缘的流速。当 时，主流流速不变，为一常数，与 无关。边界层微分方程式是边界层计算的基本方程式。但是，由于它的非线
22、性，即使对于形状最简单的物体，求解也十分困难。因此目前只能对平板绕流层流边界层进行解析计算，对复杂物体的绕流和紊流边界层尚无法求解。xWx0 xp xWx退 出返 回第十章 边界层理论 第第1页页第三节 平板层流边界层的微分方程解 如图10.9所示，假定在稳定流动情况下，沿平板流动方向主流速度 不随 而变化，故不存在压力梯度，即 。式（10.6）变为图10.9 作用在边界层流体微元上的力dxyxdy o平板层流边界层的计算应从式（10.6）及其边界条件出发，先将运动方程和连续性方程归并、简化成常微分方程式，然后进行求解，得到边界层中速度分布规律及沿流动方向边界层厚度增长规律，最后确定出流动的剪
23、切应力和阻力系数。Wx0 xp022ywxwywywwxwwyxxxyxx（10.7）xwzxyydddddzxdd为了将其简化为一常微分方程式，在边界层中取一微元体进行分析，作用在微元体上的力只有粘性力和惯性力。退 出返 回第十章 边界层理论 第第2页页第三节 平板层流边界层的微分方程解 设边界层微元底面的粘性力为 ，顶面的粘性力为 ，则沿 方向粘性力的合力为 ，由于 ，故 。微元体的加速度zxddzxyydddxzyxyFdddywxzyxywFxddd22zwwywwxwwtwtwaxzxyxxxxxdd对稳定流动 ，从而得 ，因此惯性力 。在层流边界层中，粘性力与惯性力成比例，即 0t
24、wxxwwaxxxzyxxwwmaFxxxadddxwwywFFxxx22（10.8）假定边界层中的速度分布在任何截面上均相似，也就有 于是 WywxxWxwx222WywxxWxwwxx2退 出返 回第十章 边界层理论 第第3页页第三节 平板层流边界层的微分方程解 RexWxxWW122Rex1或（10.9）代入式（10.8），可得WwxyyWwx1 22xWyWwx（10.10）将（10.9）式代入上式可得xWy 2 f Wwfx2（10.11）式中 。令 为另一函数 的导数，则由上述边界层中速度分布的相似条件可知 是 的函数，即退 出返 回第十章 边界层理论 第第4页页第三节 平板层流边
25、界层的微分方程解 对层流边界层引入流函数 ，则有yx,ywxxwy，于是 fWWwyx2xWyy fxWxW2 fxW由此得则（10.12）利用流函数 ，并将各运动参量表示成 的函数，可将边界层微分方程简化为 的常微分方程。yx,退 出返 回第十章 边界层理论 第第5页页第三节 平板层流边界层的微分方程解 由于流线方程具有连续函数的特性，即 fxWywfxWxwxwfxWWywywffxWxfxWfxxWxwfWywxxxxxyx222221xyywyxxwyx22,（10.13）退 出返 回第十章 边界层理论 第第6页页第三节 平板层流边界层的微分方程解 也就是可见所取流线方程式满足不可压缩
26、流体的连续性方程。将式（10.13）代入式（10.6）中的纳维斯托克斯运动方程，整理后得到022xyyxywxwyx 02 fff（10.14）（b）00 xwy 000ffW00ywy 00210fffxW此式是一个三阶非线性常微分方程式，其边界条件是即即（a）即 Wwyx 1ffWwx（c）退 出返 回第十章 边界层理论 第第7页页第三节 平板层流边界层的微分方程解 利用上述边界条件，将边界层计算问题归结为求解常微分方程式（10.14），即求函数 。假定 是一个指数级数形式：f f 332210!3!2AAAAf其中 ，是待定系数。由上式可得函数 的各阶导数 、由函数 、及边界条件的式（a
27、）、（b）得到，；，0A1A2A3A f f f f f f 00 f00A 00 f01A将 、和 代入微分方程式（10.14），整理后可得 f f f 0!22!2!3!2254324323322AAAAAAAA0!5211!324!222258523632252243AAAAAAAAAA退 出返 回第十章 边界层理论 第第8页页第三节 平板层流边界层的微分方程解 可见 、等不为零，且均可用 表示。于是 变成下列03A04A22521AA06A07A22528411211AAAA2A5A8A11A2A f 114283252222!118375!8411!521!2AAAAf要满足式（10
28、.14），上式中各项都应为零，由此可确定各系数为，（10.15）形式：式中系数 可利用边界条件的式（c），即 时 来确定。勃拉修斯经过计算得到 。于是可通过数值计算得出 、等在不同 值下的数值。豪沃斯（Howarth）求得 08.8范围内上述各项的数值解，其部分结果列于表10.1中。表10.1表明：当 时，已趋近于1。根据式（10.13）的第一式可知，此时 ，即边界层外缘流速已等于主流速度，值（）已达到边界层规定厚度以上。2A 1f332.02A f f f f 8 f WwxyxWy退 出返 回第十章 边界层理论 第第9页页第三节 平板层流边界层的微分方程解 由表中也可以看出，当 值达到0.
29、99时，此时 ，或者 fWwx5Wxy5 据此可以确定绕流平板层流边界层的厚度 。边界层流量厚度Rex5 ddd1d1001yfWWWywWWx fWxfWxlimd10（10.16）由表可知：当 时，即可认为 相当于 ，此时 ，所以 ，即0.8 1f 279.6f 72.1fRexWx72.172.11（10.17）层流情况下贴近壁面处流体的剪切应力为由式（10.13）已知00ddyxyw fxWWywx 退 出返 回第十章 边界层理论 第第10页页第三节 平板层流边界层的微分方程解 00y 332.02 AfxWW332.00ReWxxWWWWCf664.0664.02332.02220b
30、LLLLAReWbxxWWbxbAD664.0d332.0dd0000（10.18）（10.19）当地阻力系数宽为 、长为 的平板的总阻力为由表10.1数据或根据勃拉修斯的计算，当 （即 ）时，所以LDReWLWLbWLbWWLbDC328.1328.12664.0222LReL（10.20）式中 为按板长 计算的雷诺数。试验表明上述层流边界层问题的精确解与实验结果十分吻合。所以总的阻力系数为退 出返 回第十章 边界层理论 第第1页页第四节 边界层积分（动量）方程 边界层微分方程式的解析计算十分繁杂，目前仅能求解平板绕流层流边界层问题。应用较为广泛的是边界层积分方程式，又称动量方程式。它是冯卡
31、门根据动量定理提出的。可以适用于层流边界层和紊流边界层，以及无压力梯度和有压力梯度的情况。如图10.10所示为边界层局部图，沿流动方向有压力梯度时，主流区的流速W（即边界层外缘的流速）是随 变化的，在无压力梯度时，W为常数。x取边界层中与 轴垂直的AB、CE两平行面，其宽度为单位宽度。方向距离为 ，BC为边界层边缘，AE为平板壁面，则ABCE为边界层中的微元控制体，因为在边界层中 ，故在AB、CE界面上压力为定值。xxxd0yp图10.10 边界层局部yxdxWABCDExo退 出返 回第十章 边界层理论 第第2页页于是控制体在 方向所受到的力有以下几项：x第四节 边界层积分（动量）方程 AB
32、pFABxCExxxxppFCExddxxxxpxxpxxppddddAExFAExd0BCxxplpFBCxdsind在 面上在 面上在 面上在 面上略去上述各项中的高阶微量，则沿 方向的总作用力为xxxpxxxpFxddd00ABywxd02（10.21）单位时间内流入控制体的动量为通过 面通过 面流入的流量应当等于流出 面的流量与流入 面的流量之差退 出返 回第十章 边界层理论 第第3页页第四节 边界层积分（动量）方程 BCCEABABABCEBCGGGGdywGxABd0 xywxxxGGxABABdddd0BCxywxWWGxBCdd0由于所以单位时间内通过 面流入的动量为CEyxx
33、wwywyxxwwxxxxxdd2ddd00220 xywxywxxddd0202xywtwtxxddd0单位时间内流出控制体的动量，也即通过 面流出的动量为控制体中的动量增加率为退 出返 回第十章 边界层理论 第第4页页第四节 边界层积分（动量）方程 xywxWywxxpxxdddd0020 xywtxywxywxxxddddd0020200200dddywtywxywxWxpxxx由动量守恒定理知，单位时间内流入控制体的动量与作用于控制面及控制体上外力之和等于单位时间内控制体内动量的增加,即得到（10.22）0dd0200ywxywxWxpxx0dWWpxWWxp上式即为冯卡门边界层动量积
34、分方程式。它适用于稳定或不稳定、可压缩或不可压缩流体的层流或紊流边界层。对于不可压缩流体的稳定流动，积分方程式变为（10.23）根据沿主流流线的伯努利方程，有或退 出返 回第十章 边界层理论 第第5页页第四节 边界层积分（动量）方程 yx000dddyWxWxpyxpyxp000dddywxWywWxywxWxxx00ddywxWyWwxxx000200ddddywxWyWwxywxyWxWxxx002ddywWxWywWwxxxx因为等式两边与 无关，只随 变化，所以式（10.23）第三项也可改写为则式（10.23）变换为121220 xWWWx（10.24）根据流量厚度 和动量厚度 的定义
35、，上式可变换为退 出返 回第十章 边界层理论 第第6页页第四节 边界层积分（动量）方程 该动量方程式适用于稳定、不可压缩流体具有压力梯度时的层流或紊流边界层。据此可以计算边界层的厚度和流动阻力。边界层积分方程式中的 可由主流区的势流方程式确定，剩下的未知量只有 、和 。因此除了动量方程式外，还需假定边界层内的速度分布 ，并把与速度分布有关的 和 联系起来，从而就可根据边界条件，对边界层进行求解。W0 xw yfwx0考虑速度分布的相似性，为 的函数，即流体绕过平板流动时，沿 方向无压力梯度，即 ，因此 ，退 出返 回第十章 边界层理论 第第1页页第五节 平板层流边界层的积分方程解 x0 xp0
36、 xWWxW220WwxyyfWwx（10.25）上述函数必须满足边界条件：（1），；（2），；（3），。现假定一速度分布为0y0 xwyWwxy0ywx2ycybaWwx0a2b1c22yyWwx由三个边界条件定出三个系数分别为 ，和 。因此速度分布函数成为（10.26）是常数。式（10.24）可写为退 出返 回第十章 边界层理论 第第2页页WyWywyyx2220200将式（10.26）代入层流条件下的剪应力关系式，得（10.27）第五节 平板层流边界层的积分方程解 2152d212d12202202yyyyyyWwWwxxxWWdd15222xReWxx48.530代入 的关系式，得（1
37、0.28）将式（10.27）、（10.28）代入（10.25），得到从而有（10.29）xRexx731.015223d21d102201yyyyWwx由（10.28）式得（10.30）根据流量厚度退 出返 回第十章 边界层理论 第第3页页第五节 平板层流边界层的积分方程解 xRexx826.1311bLxbxReWxbWxbDLxLLd48.52d2d0000LLReWbReWb730.048.54又可得（10.31）因此，宽度为 长度为 的平板上的总阻力为（10.32）xfReWWWWC730.014222220LLDReLbWReWbLbWDC46.1248.54222当地阻力系数平板总
38、阻力系数为（10.34）（10.33）退 出返 回第十章 边界层理论 第第4页页第五节 平板层流边界层的积分方程解 由积分方程式得出的计算结果与上一节微分方程解较为接近。若合理假设边界层中流速 的分布，则可以使误差更小。对于除绕流平板层流边界层以外的其它复杂情况，如曲面绕流和紊流边界层等，难以或根本不能应用微分方程法计算，积分方程法是目前唯一可以采用的解析计算方法。xw退 出返 回第十章 边界层理论 第第1页页第六节 平板紊流边界层计算 实际流动中，大量问题属于紊流边界层问题，而紊流问题显然比层流问题复杂。普朗特假设：沿平板的边界层流动与圆管中的流动没有显著差别。对充分发展的紊流来说，可以认为
39、圆管中的流动是一种边界层厚度达到管子半径的边界层流动，管中心速度相当于势流区速度 。实验证明，当 时，平板绕流边界层的速度分布与圆管中的流动速度分布几乎是一样的。W610WxRe一、速度分布函数对于中等雷诺数（）的流动，光滑圆管中速度分布的指数公式为：当圆管中的雷诺数 时，与 的七次方根成正比；而当雷诺数 后，就 与的八、九、十次方根成正比。510Re71*74.8ywwwx510Rexw*yw510Rexw*yw（10.35）假定平板紊流边界层的速度分布符合 规律，在边界层外缘即 处有 ，式（10.35）可写成退 出返 回第十章 边界层理论 第第2页页第六节 平板紊流边界层计算 71yWwx
40、71*74.8wwW0*w710074.8W41200225.0WW（10.36）将切应力速度 代入上式得变换上式得（10.37）71yWwx（10.38）由（10.35）和（10.36）两式得220Wx二、边界层厚度由冯卡门方程，对无压力梯度的边界层，有（10.39）退 出返 回第十章 边界层理论 第第3页页第六节 平板紊流边界层计算 071712412d1dd0225.0yyyxWWWxWdd72720457720225.04145CxW将式（10.37）、（10.38）代入（10.39），并考虑式（10.3）得到积分可得（10.40）严格说来，紊流边界层前为层流边界层，常数 应由层流向紊
41、流转变处的边界层厚度来确定（图10.11），但当 足够大时，层流边界层所占长度 与紊流边界层所占长度 相比是小量，故可近似认为紊流边界层从平板前缘开始，于是有 ，从而得。此时，式（10.40）经简单变换后可写成lL图10.11 边界层的发展yx 层流层流底层紊流o平板前端 式中 为积分常数。CCRetL00 x0CtLlLlt515137.037.0 xxReWxx（10.41）退 出返 回第十章 边界层理论 第第4页页第六节 平板紊流边界层计算 51071010463.08d1d1xxxReyyyWw715171517137.037.0 xyRexReyyWwxxx41512412037.0
42、0225.00225.0 xWReWWWx51251220577.00288.0 xxReWReW边界层流量厚度为（10.42）速度分布规律为（10.43）壁面切应力为（10.44）51200577.02xfReWC（10.45）当地阻力系数为宽度为 长度为 的平板上的总阻力为退 出返 回第十章 边界层理论 第第5页页第六节 平板紊流边界层计算 bLxbWxWxbDLLd20577.0d5102005122072.0LbLReW512072.02LDReLbWDC（10.46）平板总阻力系数为（10.47）退 出返 回第十章 边界层理论 第第1页页第七节 平板混合边界层计算 前面计算紊流边界层
43、时，认为紊流是充分发展的，紊流段的长度要比层流段大得多，因此沿整个平板都按紊流边界层处理。如果层流段与紊流段相比不能忽略，这时就需要对两者分别加以考虑，这时的边界层称为混合边界层。实际绕流中，大部分都是前端为层流、后部为紊流的混合边界层。混合边界层由层流向紊流转变的过渡区十分复杂，为简化起见，对平板混合边界层的计算，常作如下假设：图10.12 平板绕流混合边界层CA 层流紊流B（1）由层流边界层向紊流边界层的转变，在 点突然发生，该点称为转捩点，如图10.12所示。BcrxL（2）在计算紊流边界层的厚度、边界层中速度和切应力分布时，假定紊流边界层是从前缘 点开始的。A退 出返 回第十章 边界层
44、理论 第第2页页第七节 平板混合边界层计算 于是得到平板混合边界层的摩擦阻力为 层流边界层 段的摩擦阻力；认为全板长 上均为紊流边界层时的摩擦阻力；假定 段为紊流边界层时该段的摩擦阻力。ABtACtABlmDDDDABlDABACtDlABtDAB（10.48）式中转捩点 的位置 由实验确定，一般 处的雷诺数约为 。因而可得总阻力公式为Bcrxcrx51052328.12WWxbxDcrcrABl2072.0251WWLLbDACt2072.0251WWxbxDcrcrABt51512072.0072.0328.12crcrcrcrmWxxWLLWxxbWD（10.49），。5105xcrRe
45、LxReRecrLxcrLLmReReLbWD1670072.02512（10.50）由于 ，且 ，则总阻力可近似按下式计算退 出返 回第十章 边界层理论 第第3页页第七节 平板混合边界层计算 相应的总阻力系数为由于紊流区的流动相当复杂，实验得到的数据是相当分散的，上面的分析计算只能大致反映混合边界层内的流动状况。LLmDReReLbWDC1670072.021512（10.51）例题例题1 一船在河中以1m/s的速度航行。已知船底长 ，船宽 ，求船底摩擦阻力 及船克服该阻力所需的功率。水的运动粘度 ，密度 。m30Lm10bD/sm100.1263kg/m998解解：船底的雷诺数为可见有 ，因此可近似认为该边界层为混合边界层，即前段为层流边界层，后段为紊流边界层。由式（10.51），总阻力系数为76103100.1300.1WLReLLRecrRe002245.0000056.0002301.01670072.02.0LLDReReC退 出返 回第十章 边界层理论 第第4页页第七节 平板混合边界层计算 船底部受到的摩擦阻力为船克服该摩擦阻力所需的功率为N1.3361030199821002245.0222LbWCDDW1.33611.336 DWN
