1、1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x
2、0I，使得f(x0)M(3)对于任意的xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值【知识拓展】函数单调性的常用结论(1)对x1，x2D(x1x2)，0f(x)在D上是增函数，0)的增区间为(，和，)，减区间为，0)和(0，(3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数(4)函数f(g(x)的单调性与函数yf(u)和ug(x)的单调性的关系是“同增异减”【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)0时，由题意得2a1(a1)2，即a2；当a0)的单调增区间为_答案(0，)解析函数的
3、对称轴为x1，又x0，所以函数f(x)的单调增区间为(0，)4(教材改编)已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上是增函数，则实数a的取值范围为_答案(，1解析函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示由图象可知函数f(x)的单调递增区间是a，)，由1,2a，)，可得a1.5(教材改编)已知函数f(x)，x2,6，则f(x)的最大值为_，最小值为_答案2解析可判断函数f(x)在2,6上为减函数，所以f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6).题型一确定函数的单调性(区间)命题点1给出具体解析式的函数的单调性例1(1)函数f(x)log(x24)的单调递增
4、区间是()A(0，) B(，0)C(2，) D(，2)(2)yx22|x|3的单调递增区间为_答案(1)D(2)(，1，0,1解析(1)因为ylogt，t0在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数tx24的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(，2)(2)由题意知，当x0时，yx22x3(x1)24；当x0)，用定义法判断函数f(x)在(1,1)上的单调性解设1x1x21，则f(x1)f(x2)1x1x20，x1x210，(x1)(x1)0.又a0，f(x1)f(x2)0，函数f(x)在(1,1)上为减函数引申探究如何用导数法求解例2?解f(x)，a0，f(x)0在(
5、1,1)上恒成立，故函数f(x)在(1,1)上为减函数思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“”连接(1)已知函数f(x)，则该函数的单调递增区间为()A(，1 B3，)C(，1 D1，)(2)函数f(x)(3x2)ex的单调递增区间是()A(，0) B(0，)C(3,1) D(，3)和(1，)答案(1)B(2)C解析(1)设tx22x3，则t0，即x22x30，解得x1或x3.所以函数的定义域为(，13，)因为函数tx22x3的图象的对称轴为x1，所
6、以函数t在(，1上单调递减，在3，)上单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为3，)(2)f(x)2xexex(3x2)ex(x22x3)ex(x3)(x1)当3x0，所以函数y(3x2)ex的单调递增区间是(3,1)，故选C.题型二函数的最值例3(1)函数f(x)的最大值为_答案2解析当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x0恒成立，试求实数a的取值范围解当a时，f(x)x2，又x1，)，所以f(x)10，即f(x)在1，)上是增函数，所以f(x)minf(1)12.f(x)x2，x1，)()当a0时，f(x)在1，)内为增函数最小值为f(1)a3.
7、要使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30，所以3a0.()当00，a3，所以01)的最小值为_答案(1)1(2)8解析(1)易知函数yx在1，)上为增函数，x1时，ymin1.(本题也可用换元法求解)(2)方法一(基本不等式法)f(x)(x1)22 28，当且仅当x1，即x4时，f(x)min8.方法二(导数法)f(x)，令f(x)0，得x4或x2(舍去)当1x4时，f(x)4时，f(x)0，f(x)在(4，)上是递增的，所以f(x)在x4处取到极小值也是最小值，即f(x)minf(4)8.题型三函数单调性的应用命题点1比较大小例4已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x
8、2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，且在(1，)上是减函数，因为af()f()，且2ac.命题点2解函数不等式例5(2017珠海月考)定义在R上的奇函数yf(x)在(0，)上递增，且f()0，则满足f(logx)0的x的集合为_答案x|0x或10，得logx，或logx0，解得0x或1x BaCa0成立，那么a的取值范围是_答案(1)D(2)，2)解析(1)当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为x，因为f(x)在(，4)上
9、单调递增，所以a0，且4，解得a0.综合上述得a0.(2)由已知条件得f(x)为增函数，所以解得a2，所以a的取值范围是，2)思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；分段函数的单
10、调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值(1)(2016太原模拟)已知函数f(x)x(ex)，若f(x1)x2 Bx1x20Cx1x2 Dx0时，f(x)0，f(x)在0，)上为增函数，由f(x1)f(x2)，得f(|x1|)f(|x2|)，|x1|x2|，xx.(2)由于ylog3(x2)的定义域为(2，)，且为增函数，故函数ylog3(x2)在(3，)上是增函数又函数y2，因其在(3，)上是增函数，故4k0，得k0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)2.思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义应该构造出f(x
11、2)f(x1)并与0比较大小(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点要构造出f(M)f(N)的形式规范解答(1)证明设x1，x2R且x10，当x0时，f(x)1，f(x2x1)1.2分f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)1，4分f(x2)f(x1)f(x2x1)10f(x1)f(x2)，f(x)在R上为增函数6分(2)解m，nR，不妨设mn1，f(11)f(1)f(1)1f(2)2f(1)1，8分f(3)4f(21)4f(2)f(1)143f(1)24，f(1)2，f(a2a5)2f(1)，10分f(x)在R上为增函数，a2a513a2，即a(3
12、,2)12分解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)0且a10，即a1.4已知f(x)是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是()A(1，) B4,8)C(4,8) D(1,8)答案B解析由已知可得解得4a8.5(2016兰州模拟)已知函数f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x1)f()的x的取值范围是()A(，) B，)C(，) D，)答案D解析由已知，得即x.6定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1
13、 B1 C6 D12答案C解析由已知得，当2x1时，f(x)x2，当10且a1，设函数f(x)的最大值为1，则a的取值范围为_答案，1)解析f(x)在(，3上是增函数，则f(x)max1.f(x)在R上的最大值为1，0a1，且2loga31，解得a0，x0)(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)在，2上的值域是，2，求a的值(1)证明任取x1x20，则f(x1)f(x2)，x1x20，x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上是增函数(2)解由(1)可知，f(x)在，2上为增函数，f()2，f(2)2，解得a.12已知f(x
14、)是定义在(0，)上的减函数，且满足f(x)f(y)f(xy)(1)求证：f(x)f(y)f()；(2)若f(4)4，解不等式f(x)f()12.(1)证明由条件f(x)f(y)f(xy)可得f()f(y)f(y)f(x)，所以f(x)f(y)f()(2)解因为f(4)4，所以f(4)f(4)f(16)8，f(4)f(16)f(64)12.由(1)可得f(x)f()f(x(x12)，又f(x)是定义在(0，)上的减函数，x12，由f(x)f()12，即f(x(x12)f(64)，所以x(x12)64.所以x212x64(x16)(x4)0，得4x16，又x12，所以x(12,16故原不等式的解集为x|120，试确定a的取值范围解(1)由x20，得0，当a1时，x22xa0恒成立，定义域为(0，)；当a1时，定义域为x|x0且x1；当0a1时，定义域为x|0x1(2)设g(x)x2，当a(1,4)，x2，)时，g(x)10恒成立，所以g(x)x2在2，)上是增函数所以f(x)lg在2，)上是增函数所以f(x)lg在2，)上的最小值为f(2)lg.(3)对任意x2，)恒有f(x)0，即x21对x2，)恒成立所以a3xx2，令h(x)3xx2，而h(x)3xx22在2，)上是减函数，所以h(x)maxh(2)2，所以a2.
