1、第五章 不可压缩 流体动力学基础第1页，共62页。当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量守恒定律。流体的当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量守恒定律。流体的这种性质称为连续性，用数学形式表达出来的就是连续性方程。这种性质称为连续性，用数学形式表达出来的就是连续性方程。首先推导在笛卡儿坐标系中微分形式的连续性方程。首先推导在笛卡儿坐标系中微分形式的连续性方程。如图如图7 71 1 微元六面体微元六面体第2页，共62页。设该微元六面体中心点设该微元六面体中心点O O（x,y,zx,y,z）上流体质点的速度）上流体质点的速度密度为密度为 ，于是和，于是和 轴垂直的两个平面上
2、的质量流量如图所示。轴垂直的两个平面上的质量流量如图所示。xvyvzv在在 方向上，方向上，时间通过时间通过EFGHEFGH面流入的流体质量为：面流入的流体质量为：x（a a）2xxdxvvdydzdtx时间通过时间通过ABCDABCD面流出的流体质量面流出的流体质量 ：（b b）2xxdxvvdydzdtx在在 时间内，自时间内，自垂直于垂直于x轴的两个面流出、流入的流体质量差为：轴的两个面流出、流入的流体质量差为：xxmvdxdydzdtx（c1c1）xdtdtdt第3页，共62页。同理可得同理可得 和和 方向方向 时间内，流出、流入的流体质量差为时间内，流出、流入的流体质量差为:yzyy
3、mvdxdydzdtyzzmvdxdydzdtz（c2c2）（c3c3）因此，因此，时间内，流出、流入整个六面体的流体质量时间内，流出、流入整个六面体的流体质量差差为为xyzxyzmmmvvvdxdydzdtxyz（c c）微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化为：微元六面体内由于密度随时间的变化而引起的质量的变化为：tmdxdydzdttdtdt第4页，共62页。由质量守恒条件：由质量守恒条件：0tvzvyvxzyx()0vt或或它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常流动。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常流动。在定常流动中，由于在定常流动中，由于0t0zyxvz
4、vyvx对于不可压缩流体（对于不可压缩流体（=常数）常数）0zvyvxvzyx0 v或或0 xyztmmmm第5页，共62页。在其它正交坐标系中流场中任一点的连续性方程和柱坐标系中的表示式为在其它正交坐标系中流场中任一点的连续性方程和柱坐标系中的表示式为 ：0)()(1)(1zrvzvrvrrrt对于不可压缩流体对于不可压缩流体 01rvzvvrrvrzr式中式中 为极径；为极径；为极角。为极角。r球坐标系中的表示式为球坐标系中的表示式为:)sin(sin1)(122vrrrvrtr0)(sin1vr0cot2sin11rvrvvrvrrvrr式中式中 为径矩；为径矩；为纬度；为纬度；为径度。
5、为径度。r第6页，共62页。【例】【例】0zvyvxvzyx044zvyxzyxzvz44),()(4yxfzyxvz0),(yxfzyxvz)(4vxyyxvx22zyvy220z0zvzzvxy0z0zv第7页，共62页。流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。因此，流体微团在运流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。因此，流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而且还会发生变形运动。一般情况下动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而且还会发生变形运动。一般情况下，流体微团的运动可以分解为移动，转动和变形运动。，流体微团的运动可以分解为移动，转动和变形运动。图
6、图7-2 7-2 流体微团运动速度分量流体微团运动速度分量 222zzvyyvxxvvxxxx 222zzvyyvxxvvxxxx 222zzvyyvxxvvxxxx 222zzvyyvxxvvxxxx 222zzvyyvxxvvxxxx 222zzvyyvxxvvxxxx 222zzvyyvxxvvxxxx 222zzvyyvxxvvxxxx 第8页，共62页。第9页，共62页。xDAyyBCx第10页，共62页。（1 1）平移运动：所有偏倒数为）平移运动：所有偏倒数为0 0，如图，如图7-47-4（a a）所示，所示，矩形矩形ABCDABCD各角点具有相同各角点具有相同的速度的速度 。导致
7、矩形。导致矩形ABCDABCD平移平移x x=t t,y y=t t,其其ABCDABCD的形状不的形状不变。变。（2 2）线变形运动：如图）线变形运动：如图7-47-4（b b）所示，线变形运动取决于速度分量在它所在所示，线变形运动取决于速度分量在它所在方向上的变化率（即线变形速率方向上的变化率（即线变形速率 和和 ），），导致矩形导致矩形ABCDABCD的变形量：的变形量：yxvv,xvyvxvxyvy图图7-4 7-4 流体微团的平面运动流体微团的平面运动 txxvxx22tyyvyy22第11页，共62页。（3 3）角变形运动和旋转运动：如图）角变形运动和旋转运动：如图7-47-4（c
8、 c）、（）、（d d）所示，当）所示，当 txvxtxxvyy)2(2tantyvytyyvxx)2(2tanxvyvyx当当矩形矩形ABCDABCD只发生角变形运动，如图只发生角变形运动，如图7-47-4（c c）所示。）所示。xvyvyx当当矩形矩形ABCDABCD只发生旋转运动，形状不变只发生旋转运动，形状不变在一般情况下在一般情况下 xvyvyx的同时，还会发生角变形运动。这两种运动由和所决定。的同时，还会发生角变形运动。这两种运动由和所决定。亦就是亦就是矩形矩形ABCDABCD在发生旋转运动在发生旋转运动图图7-4 7-4 流体微团的平面运动流体微团的平面运动 第12页，共62页。
9、于是沿于是沿z z轴流体微团的旋转角速度分量：轴流体微团的旋转角速度分量：1122yxzvvttxy同理，沿同理，沿x x，y y轴流体微团的旋转角速度分量分别为轴流体微团的旋转角速度分量分别为:zvyvyzx21xvzvzxy21第13页，共62页。流体微团的旋转角速度定义为流体微团的旋转角速度定义为:Vkjizyx21其中，流体微团的旋转角速度分量及模量为：其中，流体微团的旋转角速度分量及模量为：yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121222zyx 第14页，共62页。流体微团沿流体微团沿z z轴的角变形速度分量：轴的角变形速度分量：1122yxzvvttxy同理，可有流体微
10、团角变形速度分量及其模量为：同理，可有流体微团角变形速度分量及其模量为：yvxvxvzvzvyvxyzzxyyzx212121222zyx 前面在流体微团的分析中，已给出前面在流体微团的分析中，已给出O O点的速度，点的速度，与点与点O O相距微小矢径的点相距微小矢径的点A(A()的速度为的速度为 :zzyyxx,zzvyyvxxvvvzzvyyvxxvvvzzvyyvxxvvvzzzzAzyyyyAyxxxxAx第15页，共62页。如果在式（如果在式（7-107-10）的第一式右端加入两组等于零的项：）的第一式右端加入两组等于零的项：yxvyxvyy2121zxvzxvzz2121其值不变。
11、经过简单组合，可将该式写成其值不变。经过简单组合，可将该式写成 ：zxvzvyyvxvzxvzvyyvxvxxvvvzxxyzxxyxxAx)(21)(21)(21)(21同理，有：同理，有：yzvyvxxvzvyzvyvxxvzvzzvvvxyvxvzzvyvxyvxvzzvyvyyvvvyzzxyzzxzzAzxyyzxyyzyyAy)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21和和第16页，共62页。将式（将式（7-87-8），（），（7-97-9）代入以上三式，便可将式（）代入以上三式，便可将式（7-107-10）写成）写成 ：)()()()()()(xyyxzzvv
12、vzxxzyyvvvyzzyxxvvvyxxyzzAzxzzxyyAyzyyzxxAx 上式表明：各速度分量的第一项是平移速度分量，第二、三、四项分别是由线上式表明：各速度分量的第一项是平移速度分量，第二、三、四项分别是由线变形运动、角变形运动和旋转运动所引起的线速度分量。此关系也称为变形运动、角变形运动和旋转运动所引起的线速度分量。此关系也称为海姆霍兹海姆霍兹(Helmholtz)(Helmholtz)速度分解定理速度分解定理，该定理可简述为：，该定理可简述为：在某流场在某流场O O点邻近的任意点点邻近的任意点A A上的速度可以分成上的速度可以分成三个部分三个部分：分别为：分别为与与O O点
13、相同的点相同的平移速度平移速度（平移运动）；（平移运动）；绕绕O O点转动在点转动在A A点引起的速度点引起的速度（旋转运动）；（旋转运动）；由于变形（由于变形（包括线变形和角变形）在包括线变形和角变形）在A A点引起的速度点引起的速度（变形运动）。（变形运动）。第17页，共62页。根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：有旋流动和无旋根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：有旋流动和无旋流动。流动。数学条件：数学条件：当当 021V021V当当 无旋流动无旋流动 有旋流动有旋流动 通常以通常以 是否等于零是否等于零作为判别流动是否有旋或无旋的判别条件。作为判别流动
14、是否有旋或无旋的判别条件。V 在笛卡儿坐标系中：在笛卡儿坐标系中：kyvxvjxvzvizvyvVxyzxyz第18页，共62页。即当流场速度同时满足：即当流场速度同时满足：zvyvyzxvzvzxyvxvxy时流动无旋。时流动无旋。需要指出的是，需要指出的是，有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋转来决定，而有旋流动和无旋流动仅由流体微团本身是否发生旋转来决定，而与流体微团本身的运动轨迹无关。与流体微团本身的运动轨迹无关。如图如图7-57-5（a a），流体微团的运动为旋转的圆周运动，其微团自身不旋转，流场为），流体微团的运动为旋转的圆周运动，其微团自身不旋转，流场为无旋流动；图无旋流
15、动；图7-57-5（b b）流体微团的运动尽管为直线运动，但流体微团在运动过程中）流体微团的运动尽管为直线运动，但流体微团在运动过程中自身在旋转，所以，该流动为有旋流动。自身在旋转，所以，该流动为有旋流动。（a）（b）图图7-5 7-5 流体微团运动轨迹流体微团运动轨迹 第19页，共62页。【例例】某一流动速度场为某一流动速度场为 ，其中，其中 是不为零是不为零的常数，流线是平行于的常数，流线是平行于 轴的直线。试判别该流动是有旋流动还是轴的直线。试判别该流动是有旋流动还是无旋流动。无旋流动。【解】【解】由于由于 021zvyvyzx02121ayvxvxyz所以该流动是有旋运动。所以该流动是
16、有旋运动。ayvx0zyvvax021xvzvzxy第20页，共62页。涡量用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为：涡量用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为：V2涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为 ：zvyvyzxxvzvzxyyvxvxyz 在流场的全部或部分存在角速度的场，称为在流场的全部或部分存在角速度的场，称为涡量场涡量场。如同在速度场中引入了流线如同在速度场中引入了流线、流管、流束和流量一样。在涡量场中同样也引入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概、流管、流束和流量一样。在涡量场中同样也引入涡线、涡管、涡束和旋涡强
17、度的概念。念。第21页，共62页。1 1涡线涡线:涡线是在给定瞬时和涡量矢量相切的曲线。如图涡线是在给定瞬时和涡量矢量相切的曲线。如图7-77-7所示。所示。图图7-7 7-7 涡线涡线 图图7-8 7-8 涡管涡管根据涡通矢量与涡线相切的条件，涡线的微分方程为根据涡通矢量与涡线相切的条件，涡线的微分方程为:),(),(),(tzyxdztzyxdytzyxdxzyx2 2涡管、涡束：涡管、涡束：在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，在同一时刻过该曲线每一点在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，在同一时刻过该曲线每一点的涡线形成的管状曲面称作涡管。如图的涡线形成的管状曲面称作涡管。如图7-87-8
18、所示。所示。截面无限小的涡管称为微元涡管。涡截面无限小的涡管称为微元涡管。涡管中充满着的作旋转运动的流体称为涡束，微元涡管中的涡束称为微元涡束或涡丝。管中充满着的作旋转运动的流体称为涡束，微元涡管中的涡束称为微元涡束或涡丝。第22页，共62页。3 3旋旋涡强度（涡通量）涡强度（涡通量）在涡量场中取一微元面积在涡量场中取一微元面积dAdA，见图见图,其上流体微团的涡量为其上流体微团的涡量为 ，为为dAdA的外法线方向，定义的外法线方向，定义 2ndAdAnAddJn2)cos(2为任意微元面积为任意微元面积dAdA上的旋上的旋涡强度，也称涡通量。涡强度，也称涡通量。任意面积任意面积A A上的旋上
19、的旋涡强度为：涡强度为：dAdAJnAA2第23页，共62页。1 1速度环量速度环量:在流场的某封闭周线上，如图在流场的某封闭周线上，如图7-97-9（b b），），流体速度矢量沿周线的线积分流体速度矢量沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号，定义为速度环量，用符号 表示，即表示，即:)(dzvdyvdxvldvzyx 速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分的绕行方向有关。速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分的绕行方向有关。对非定常对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算。流动，速度环量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算
20、。图图7-9 7-9 微元有向线段微元有向线段 第24页，共62页。2 2斯托克斯（斯托克斯（StokesStokes）定理）定理:在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围曲面面积的旋涡强度，即线所包围曲面面积的旋涡强度，即:JdAAdldvnAA2 这一定理将旋涡强度与速度环量联系起来，给出了通过速度环量计算旋涡强度的这一定理将旋涡强度与速度环量联系起来，给出了通过速度环量计算旋涡强度的方法。方法。【例】【例】一二维涡量场，在一圆心在坐标原点、半径一二维涡量场，在一圆心在坐标原点、半径 的圆区域内，流体的圆区域内，流体的涡通量的
21、涡通量 。若流体微团在半径。若流体微团在半径 处的速度分量处的速度分量 为常数，它的为常数，它的值是多少？值是多少？mr1.0smJ/4.02rv【解】由斯托克斯定理得【解】由斯托克斯定理得 ：Jrvrdv202smrJv/21.024.02第25页，共62页。第26页，共62页。无旋条件是速度有势的充要条件。无旋必然有势，有势必须无旋。所以无无旋条件是速度有势的充要条件。无旋必然有势，有势必须无旋。所以无旋流场又称为旋流场又称为有势流场有势流场。速度势的存在与流体是否可压缩、流动是否定常无关。速度势的存在与流体是否可压缩、流动是否定常无关。在笛卡儿坐标系中：在笛卡儿坐标系中：2xvyy x
22、2yvxx y 验证是否满足：验证是否满足：0V xvxyvy即：即：0yxvvyx 第27页，共62页。第28页，共62页。式中式中 为拉普拉斯算子。满足拉普拉斯方程的为拉普拉斯算子。满足拉普拉斯方程的函数为调和函数，故速度势是函数为调和函数，故速度势是调和函数调和函数。2第29页，共62页。平面不可压缩流体平面不可压缩流体：等流函数线为流线等流函数线为流线；当 常数时，0dyvdxvdyydxxdxyxyvvyxdxdy 即：第30页，共62页。不论是理想流体还是粘性流体，不论是有旋的还是无旋的流动，只要是不可压缩流体的平面流动，就存在流函数。第31页，共62页。yxvxxyvy0yyxx
23、 三三 速度势函数和流函数的关系速度势函数和流函数的关系 第32页，共62页。第33页，共62页。第34页，共62页。流速的大小和方向沿流线不变的流动为流速的大小和方向沿流线不变的流动为均匀流均匀流；若流线平行且流速相等，则称；若流线平行且流速相等，则称均匀等速流均匀等速流。第35页，共62页。cossinsincosyvxvyvxvxvyvyvxv,90,0图图7-17-10 0 均匀等速流均匀等速流第36页，共62页。无限大平面上，流体从一点沿径向直线均匀地向外流出的流动，称为无限大平面上，流体从一点沿径向直线均匀地向外流出的流动，称为点源点源，这，这个点称为个点称为源点源点；如果流体沿径
24、向均匀的流向一点，称为；如果流体沿径向均匀的流向一点，称为点汇点汇，这个点称为，这个点称为汇点汇点。不论不论是点源还是点汇，流场中只有径向速度是点源还是点汇，流场中只有径向速度，即，即图图7-17-11 1 源流和汇流源流和汇流01rvrvvr第37页，共62页。第38页，共62页。图图7-17-12 2 点涡点涡第39页，共62页。第40页，共62页。第41页，共62页。势流叠加原理势流叠加原理不可压缩平面无旋流动:势函数方程为：流函数方程为：都是线性方程，线性方程的特点是解的可叠加性。这样，对于一个复杂的流动过程，我们就可以把它分解成若干个简单流动过程的叠加，而这些简单流动过程的解是已知的
25、，它们的解的叠加就是复杂流动过程的解。20022222yx20第42页，共62页。5.1不可压缩粘性流体的运动微分方程一、微元体的受力分析和运动微分方程的推导 在流场中取微小平行六面体微元，由于粘性的存在流场中取微小平行六面体微元，由于粘性的存在，每个面上任意点的表面力可以分解为法向应力和切在，每个面上任意点的表面力可以分解为法向应力和切向应力。向应力。第43页，共62页。作用在微元体上的表面力 第44页，共62页。把作用于控制体上x方向的力叠加起来，得到作用在微元体上的表面力在x方向的分量为：dxdydzzyxdzdxdyzdydxdzydxdydzxzxyxxzxyxx作用于微元体个面上的
26、x轴方向的表面力 第45页，共62页。作用于微元体个面上的Y、Z轴方向的表面力 同理，表面力在y方向的分量为：表面力在z方向的分量为：dxdydzxzyxyzyydxdydzyxzyzxzz第46页，共62页。作用在微元体上的质量力 用用fx，fy，fz表示单位质量流体上所受的质量力沿表示单位质量流体上所受的质量力沿x，y，z轴方向的轴方向的分量，则六面体流体微元在分量，则六面体流体微元在x方向的质量力为：方向的质量力为：xxFfdxdydz根据牛顿第二定律，可写出沿根据牛顿第二定律，可写出沿x方向的运动微分方程：方向的运动微分方程：yxxzxxDfdxdydzdxdydzdxdydzxyzD
27、txV这里：DDttxxxVVVV是流体微团的x方向的加速度。第47页，共62页。同理可得沿y、z轴方向的运动微分方程 于是有：这就是微分形式的运动方程。yxxxzxxyyzyxyyyzxzzzzDvfDtxyzDvfDtyzxDvfDtzxy第48页，共62页。二、本构方程本构方程是确立应力和应变率之间关系的方程式。斯托克斯通过将牛顿内摩擦定律推广到了粘性流体的任意流动中，建立了牛顿流体的本构方程：上式也称为广义牛顿摩擦定律 223223223yxx yy xxzx zz xyzz yy zxxyyzzvvxyvvzxvvyzvpvxvpvyvpvz 第49页，共62页。沿x方向的运动微分方
28、程可写为：22()()3yxxxxzxvDvvvvvfpvDtxxyyxzxz 222222222222222222222()232()()31()3yxxxxzxyxxxxxzxxxxxxvDvvvvvpfvDtxxxyx yzx zvDvvvvvvpfvDtxxyzxxyzDvvvvpfDtxxyzx ()v化简为：第50页，共62页。三、纳维斯托克斯方程（简称NS方程）于是有 上式称纳维斯托克斯（Naver-Stokes）方程，是粘性流体运动微分方程的又一种形式。2222222222222222221313yxxxxxzxyyyyyxzyzzzzzvD vvvvvvpfD txxyzxx
29、yzD vvvvvvvpfD tyxyzyxyzD vvvvpfD tzxyz13yxzvvvzxyz第51页，共62页。对于不可压流体，其连续方程为：对于不可压缩粘性流体，粘性体膨胀应力为零，其运动方程为：0zvyvxvzyx222222222222222222zvyvxvzpFDtDvzvyvxvypFDtDvzvyvxvxpFDtDvzzzzzyyyyyxxxxx第52页，共62页。并考虑到拉普拉斯算子：不可压缩粘性流体的运动方程还可写为：2222222zyx222xxxyyyzzzDvpfvDtxDvpfvDtyDvpfvDtz第53页，共62页。矢量形式为：如果质量力只有重力作用，用
30、 代表重力加速度，不可压缩粘性流体的运动方程的矢量形式为：gVg2p-DtDV2Df-pDt VV第54页，共62页。对理想流动，认为流体无粘性，这时运动方程简化为欧拉方程：或矢量形式：0 xxyyzzD vpfD txD vpfD tyD vpfD tzDpDt Vf第55页，共62页。当流体静止不动时，则运动方程简化为：0V000 xyzpfxpfypfz第56页，共62页。对不可压流体：方程个数：n4 （连续方程NS方程）未知数：m4 （V，p）所以方程组封闭。在流动解解出的基础上，再利用能量方程求解温度场。四、方程组的封闭性第57页，共62页。1 初始条件：给定初始时刻的流动状态参数及
31、温度场 （V，p，T，）2 边界条件：a 无穷远处条件：无穷远处的流场认为是未受扰动的均匀状态。b 固壁处：V流V固，T流T固 c 两种液体的分界面处条件：V1V2，T1T2，p1p2 d 液体与大气的分界面：p液Pa五、定解条件第58页，共62页。(1)=常数；常数；=常数常数(2)定常流动：定常流动：0t(3)充分发展流动充分发展流动:220 ,uuuu(y)xx(4)质量力为重力质量力为重力:0 xyffg 已知条件：已知条件：六、NS方程的求解例：两平行平板间的粘性流动第59页，共62页。基本方程：连续性方程与基本方程：连续性方程与N-S方程方程0yvxu0 0vyvxu)()(222
32、2yuxuxpfyuvxuutux)()(2222yvxvypfyvvxvutvygfypy22ddpuxy简化得：简化得：0000000000)(xfgyp由第二式由第二式第一式左边与第一式左边与y无关，右边与无关，右边与x无关，只能均为常数。无关，只能均为常数。第60页，共62页。1速度分布速度分布 y=0，u=0，C2=0 y=b，u=0，11 d2dpCbx 21 d2dpu(yby)x最大速度最大速度 2d8dmbpux 212dd1puyC yC2x积分得积分得边界条件：边界条件：22ddddu1pyx 常数常数取取p为截面平均压强为截面平均压强第61页，共62页。流量流量 32001 ddd2d12dbbpbpQudyybyyxx 平均速度平均速度2d212d3mQbpVubx 壁面切应力壁面切应力d2 dwbpx切应力分布切应力分布dd2pb(y)x第62页，共62页。
