1、新课程标准解读新课程标准解读核心素养核心素养1.理解等比数列前n项和公式的推导方法2会用等比数列的前n项和公式进行运算3掌握等比数列前n项和公式的有关性质4能够运用等比数列的前n项和解决有关实际问题1.逻辑推理、数学运算：等比数列前n项和公式的推导、应用2.数学建模：等比数列前n项和的实际应用复 习 回 顾1.等比数列an1an=qanan-1=q或an=a1qn-12.通项公式3.等比中项a，G，b成等比数列G2=ab或G=ab在等差数列在等差数列an中，存在很多的性质，如中，存在很多的性质，如(1)若mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)(2)若mn2p，则aman2ap.(3
2、)若l1，l2，l3，l4ln成等差数列，则al1，al2，al3，al4，aln也成等差数列那么如果该数列为等比数列，能否求出等比数列的相类似的性质呢？类 比 学 习1推广的等比数列的通项公式an是等比数列，首项为a1，公比为q，则an_，an_(m，nN*)an=a1qn-1an=amqn-man是等比数列，其中任意一项am，公比为q，就可写出数列的通项2等比数列项的运算性质等比数列项的运算性质在等比数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1ana2an1akank1.特别地，当mn2k(m，n，
3、kN*)时，amanak2.两项下标和相等则积相等如 a4a6a52.a4a8a62.如 a4a6a3a7=a2a8.3.由等比数列衍生的新数列由等比数列衍生的新数列(1)在等比数列an中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9a1(1+q+q2),a4(1+q+q2),a7(1+q+q2),(2)若an，bn是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么anbn与 也都是等比数列，公比分别为_和_pq(3)若an是等比数列，公比为q，则数列an(0)，an2都是等比数列，且公比分别是_(4)在an中,每隔k(kN*)项
4、取出一项,按原来顺序排列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.如在an中，a1 ，a4，a7，也是等比数列(5).当m，n，p(m，n，pN*)成等差数列时，am,an,ap 成等比数列.4.等比数列的单调性等比数列的单调性(1)1，2，4，8，16，6248101214161820O12345678910公比 q=2递增数列a10，q1 ,)(8141211248212345678910O12345678910递减数列a10，0q0a10q的范围的范围0q10q1an的的单调性单调性_递减数列常数列递增数列递增数列常数列递减数列题型一等比数列性质的应用例1已知an为等比数列(2)若a
5、n0，a2a42a3a5a4a625，求a3a5；an0，a3a55.(3)若an0，a5a69，求log3a1log3a2log3a10的值a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)log39510.因为数列an是递增的等比数列，a2a520，a1a69，所以a1a6a2a520，所以a1，a6是一元二次方程x29x200的两个根，且a1a6，解得a14，a65，设公比为q，因为a1a330，a2a410，解得a127，34n.当1n4时，an1；当n5时
6、，0an1.故a1a2an的最大值为a1a2a3a43321036729.题型二灵活设项求解等比数列 例2有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数法一：法一：设前三个数分别为a，aq(q0)，则第四个数为2aqa.()当q2时，a6，这四个数为3，6，12，18；法二：法二：设后三个数分别为ad，a，ad，则第一个数为()ad，a，ad.()()()故这四个数为3，6，12，18题型三由递推公式构造等比数列求通项 例3若数列an满足a11，an12an1，能否证明an1是一个等比数列？在an12an1两边都加1得 an11
7、2(an1)，显然数列an1是以a112为首项，以q2为公比的等比数列那么an13an5，又应如何构造出一个等比数列？你能求出an吗？an1t3(ant)将该式整理为an13an2t与an13an5对比可构造出等比数列an.例4已知Sn是数列an的前n项和，且Sn2ann4.(1)求a1的值；(2)若bnan1，试证明数列bn为等比数列(1)因为Sn2ann4，所以当n1时，S12a114，解得a13.(2)证明：因为Sn2ann4，所以当n2时，Sn12an1(n1)4，SnSn1(2ann4)(2an1n5)，即an2an11，所以an12(an11)，又bnan1，所以bn2bn1，且b
8、1a1120，所以数列bn是以b12为首项，2为公比的等比数列题型四等比数列的实际应用 例5.2017年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上一年递增25%，而乙林场木材存量每年比上一年递减20%.(1)哪一年两林场木材的总存量相等？(2)两林场木材的总量到2021年能否翻一番？(1)由题意可得16a(125%)n125a(120%)n1，解得n2，故到2019年两林场木材的总存量相等(2)令n5，则a5161)L纯酒精的容器里倒出1 L，然后加满水，再倒出1 L混合溶液后又用水加满，如此继续下去，第n次操作后溶液的浓度是多少？当a2时，至少倒几次后才能使酒精浓度低于10%?由题意知开始时溶液的浓度为1，设第n次操作后溶液的浓度为an，则第1次操作后溶液的浓度为第(n1)次操作后溶液的浓度为所以an是首项为即第n次操作后溶液的浓度是当a2时，解得n4.故至少应倒4次后才能使酒精浓度低于10%.
