1、2022-9-211第四章第四章 数列数列4.3.1 4.3.1 等比数列的概念（第一课时）等比数列的概念（第一课时）2022-9-212 1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：9，92，93，910；100，1002，1003，10010；5，52，53，510.情境引入你发现上述数列有什么规律？2022-9-213 2.庄子天下中提到：“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭.”用数学眼光来看，如果把“一尺之棰一尺之棰”的长度看成单位“1 1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰棰”的长度依次是？情境引入你发现上述数列有什么规律？2022-9-2143.在
2、营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20分钟就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是？情境引入你发现上述数列有什么规律？第第2 2项起项起,每每一一项是前项是前一一项的项的2 2倍倍2,4,8,16,32,64,52022-9-2154.某人存入银行 元，存期为5年，年利率为 ，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是：ar2345(1),(1),(1),(1),(1)ar arararar6你发现上述数列有什么规律？情境引入2022-9-216观察，并说出它们的共同特点.它们的共同特点是：从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.2
3、,4,8,16,32,64,2345(1),(1),(1),(1),(1)ar arararar652022-9-217探究1：类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？等差数列等差数列等比数列等比数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差差都等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列等差数列。这个常数叫做等差数列的公差公差，公差通常用字母 表示d2022-9-218等差数列等差数列等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差差都等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列等差数列。这个常数叫做等差数
4、列的公差公差，公差通常用字母d表示符号表示一般地，如果一个数列从第2项起，那么这个数列就叫做等等比比数列数列。每一项与它的前一项的比比都等于同一个常数常数，这个常数列就叫做等比数列的公比公比，公比通常用字母q表示q的取值范围是什么？2022-9-219以下数列是等比数列吗？如果是，请写出它的公比.（1）3,6,12,24,48,96,（2）0,2,0,2,0,2，（3）2，-4，8，-16,32，-64，（4）5,5,5,5,5,5，(1)解：设数列为an，因为 ，所以是等比数列，q=221=aann+2022-9-2110以下数列是等比数列吗？如果是，请写出它的公比.（1）3,6,12,24
5、,48,96,（2）0,2,0,2,0,2，（3）2，-4，8，-16,32，-64，（4）5,5,5,5,5,5，等比数列首项不能为0q可以是0吗？q不可以是0(2)解：设数列为bn，因为 无意义，所以不是等比数列。nn+bb12022-9-2111以下数列是等比数列吗？如果是，请写出它的公比.（1）3,6,12,24,48,96,（2）0,2,0,2,0,2，（3）2，-4，8，-16,32，-64，（4）5,5,5,5,5,5，q可以为负(3)解：设数列为cn，因为 ，所以是等比数列，q=-2.21-=ccnn+2022-9-2112以下数列是等比数列吗？如果是，请写出它的公比.（1）3
6、,6,12,24,48,96,（2）0,2,0,2,0,2，（3）2，-4，8，-16,32，-64，（4）5,5,5,5,5,5，(4)解：设数列为dn，因为 ，所以是等比数列，q=1.11=nn+dd非零常数列既是公差为0的等差数列也是公比为1的等比数列2022-9-2113等差数列等差数列等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差差都等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列等差数列。这个常数叫做等差数列的公差公差，公差通常用字母d表示符号表示一般地，如果一个数列从第2项起，那么这个数列就叫做等等比比数列数列。每一项与它的前一项的比比都等于同一个
7、常数常数，这个常数列就叫做等比数列的公比公比，公比通常用字母q表示公比q可正、可负、不可为零2022-9-2114比比等比数列等比数列公比公比1.等比数列：内容新授符号表示：符号表示：2022-9-21151.判断下列数列是否是等比数列如果是，写出它的公比课堂练习 (1)3，9，15，21，27，33；(4)1，1.1，1.21，1.331，1.4641；(3)，；131619112115118 (2)4，-8，16，-32，64,-128.1.1q 2q 2022-9-2116探究2：在等差数列中，我们学习了等差中项的概念，通过类比，我们在等比数列中有什么相应的概念？如何定义？等差等差中项中
8、项等比等比中项中项由三个数a，A，b组成等差数列，A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可知 .2a+bA=2022-9-21172.等比中项：如果三个数如果三个数 组成等比数列，那么组成等比数列，那么 叫做叫做a a和和b b的的 。等比中项等比中项即：即：内容新授2022-9-2118探究3 你能根据等比数列的定义推导它的通项公式通项公式吗？21aa q23211=()aa qa q qa q234311=()aa qa q qa q11(2)nnaa qn设等比数列的an的公比为q.根据等比数列的定义可得：an+1=an q.所以由此可得01-1111=aa qa q又 ，这就是说，
9、当n=1时上式也成立.不完全归纳法不完全归纳法所以，首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式qaa1-nn=12022-9-21193.等比数列的通项公式所以所以 ,累乘法累乘法由此可得由此可得 ，即，即3241231nnaaaaq q qqaaaa(1)n个等式2022-9-21203.等比数列的通项公式首项为a1，公比为q的等比数列的an的通项公式为：11nnaa q内容新授 等比数列等比数列an的通项公式中含有四个量：首项的通项公式中含有四个量：首项a1，公比，公比q（q0）,序号序号n及第及第n项项an，如果知道其中的任意三个量，那么就可以由通项，如果知道其中的任意三个量，那么就可以由
10、通项公式求出第四个量，称之为公式求出第四个量，称之为“知三求一知三求一”.2022-9-2121解法一：解法一：的两边分别除以的两边，得的两边分别除以的两边，得解得解得例题精讲两个两个q，需对，需对其分类讨论其分类讨论2022-9-2122解法二：解法二：所以所以例题精讲例题精讲2022-9-2123解：解：由题意，得由题意，得的两边分别除以的两边，得的两边分别除以的两边，得所以所以等比数列的任意一项等比数列的任意一项都可以由该数列的某都可以由该数列的某一项和公比表示一项和公比表示例题精讲例题精讲2022-9-2124比比等比数列等比数列公比公比2.等比中项：如果三个数如果三个数a,G,ba,G,b组成等比数列，那么组成等比数列，那么G G叫做叫做a a和和b b的的等比中项等比中项。1.等比数列：3.等比数列的通项公式即：即：课堂小结课堂小结推论2022-9-2125练习巩固练习巩固2022-9-2126课堂检测课堂检测2022-9-2127课堂检测课堂检测2022-9-2128作业布置作业布置探究：类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立相似的关系？
