1、4.2.1 等差数列的概念一、内容和内容解析1.内容等差数列的概念.2.内容解析数列是一种特殊的函数.在函数的研究中，我们了解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型.类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和求和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.教科书是通过对具体的等差数列例子的归纳概括来获得等差数列的定义的.结合以上的分析，确定本节课的教学重点：等差数列的定义，等差数列的通项公式.
2、教学难点：等差数列的定义，等差数列的通项公式.二、目标和目标解析1.目标(1) 理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断等差数列,体现了数学抽象、逻辑推理、数学建模的学科素养.(2) 掌握等差数列的通项公式，并且能够灵活应用.展现了数学运算的学科素养.(3) 理解并领会函数与数列关系，培养学生分析问题和解决问题的能力，体现数学逻辑推理的学科素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：通过本节课的学习，使得学生理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列.学生在了解等差数列的通项公式的推导过程及思想后，会求等差数列的公差及通项公式.在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研
3、究数列，培养学生的知识、方法迁移能力.三、教学问题诊断分析本节内容是结合具体内容的学习进修渗透的.是基于“数列是一种特殊的函数”，通过类比函数的研究路径来解答的，在学习了数列的一般概念后，与研究函数的思路类似，要对一些具有特殊变化规律的数列进行研究.本节的学习是从一类取值规律比较简单的数列开始的.本节五个例题，它们由简单到复杂，具有一定的层次性：例1、例2的目的是通过对等差数列的通项公式的简单应用，帮助学生理解公式所涉及的几个基本量之间的关系.要通过例题的教学，让学生形成利用等差数列的“基本量”建立代数关系式解决问题的思想方法.要注意综合运用所学的数学知识化解数学问题，从而解决本节课的教学重点
4、与难点.四、教学过程设计（一）知识的引入问题1：请看下面几个问题中的数列.1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为9,18,27,36,45,54,63,72,81.2. S,M,L,XL,XXL,XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是38,40,42,44,46,48.3. 测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度依次为25,24,23,22,21.4. 某人向银行贷款万元，贷款时间为年.如果个人贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还
5、本金元，每月支付给银行的利息依次为思考：在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律.例如，在指数函数的学习中，通过运算发现了两地旅游人数的变化规律.类似地，也能通过运算发现以上数列的取值规律吗？对于1，我们发现 换一种写法，就是如果用表示数列1，那么有这表明，数列1有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.师生活动：学生独立思考、讨论交流设计意图：引导学生思考、寻找一列数的规律性，同时认识到运算对于发现规律的作用.（二）知识的理解问题2：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用
6、字母表示.由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，叫做的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，.师生活动：学生独立思考、讨论交流设计意图：引导学生思考、推导等差数列的通项公式，等差中项等概念.探究：能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列的首项为，公差为根据等差数列的定义，可得所以 于是 归纳可得 .当时，上式为这就是说，上式当时也成立.因此，首项为为，公差为的等差数列的通项公式为思考：等差数列的通项公式，与我们熟悉的哪类函数有关？ 由于所以时，等差数列的第项是一次函数当时的函数值，即 如图，在平面直角坐标系中画出函数的图象，就得到一条斜率为，截距为的直线.在这
7、条直线上描出点，就得到了等差数列的图象.事实上，公差的等差数列的图象是点组成的集合，这些点均匀分布在直线上. 反之，任给一次函数，为常数，则构成一个等差数列，其首项为，公差为.（三）概念的巩固应用例1 (1) 已知等差数列的通项公式为求的公差和首项；(2) 求等差数列的第20项.分析：(1) 已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由即可求出公差；(2) 可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项.解：(1) 当时，由的通项公式可得 于是 ，把代入通项公式得所以，的公差为，首项为3.(2) 由已知条件，得，将首项及公差代入通项公式得：，将代入上式子，得.所以
8、，这个数列的第20项是.师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范设计意图：等差数列通项公式的应用，可以利用公式求出基本量或数列中的某一项.例2 是不是等差数列的项？如果是，是第几项？分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于的方程，再看是否能使这个方程有正整数解.解：由得到这个数列的通项公式为令解关于的方程，得 所以，是这个数列的项，是第100项.师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范设计意图：提升公式逆向使用的能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.练习：教科书第15页2,3；第17页练习1,3,4师生活动：学生做练习，教师根据学生练习情况给予反馈设计意图：通过练习巩固本节所学知识，发展学生的数学运算、逻辑推理的核心素养.（四）归纳总结、布置作业教师引导学生回顾本节知识，并回答以下问题：1. 等差数列的概念.2. 等差数列的通项公式.设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结.布置作业：课本18页练习题2,5五、目标检测设计1 已知在等差数列中求. 答案为：设计意图：考查学生对等差数列性质的掌握.2. 在7和21中插入3个数，使得5个数成等差数列. 答案为：设计意图：考查学生对等差数列的概念及通项公式的掌握.
