1、 4.1数 列的概念（2）讲课人：邢启强2数列的定义数列的定义:(1)按一定次序排列的一列数叫做按一定次序排列的一列数叫做数列数列.(2)数列中的每一个数都叫做数列的数列中的每一个数都叫做数列的项项,(3)各项依次叫做这个数列的第各项依次叫做这个数列的第1项项(或首项或首项)常用符号常用符号a1表示表示,第第2项项,用符号用符号a2表示表示,第第n项项,(4)数列的一般形式可以写成数列的一般形式可以写成 ,321naaaa有时简记为有时简记为 na问问：下面二列数是否为同一数列？：下面二列数是否为同一数列？（1）1，2，3，4，5 （2）5，4，3，2，1结论结论：因其排列次序不同，故不是同一
2、数列。：因其排列次序不同，故不是同一数列。巩固复习巩固复习讲课人：邢启强3数列的分类数列的分类:(1)按项的多少来分按项的多少来分:无穷数列无穷数列有穷数列有穷数列(2)按项数之间大小关系来分按项数之间大小关系来分:常数列常数列摆动数列摆动数列递减数列递减数列递增数列递增数列巩固复习巩固复习讲课人：邢启强4一般表示法 a1 ,a2 ,a3 ,an ,其中 an 表示数列的第n项。有时我们把上面的数列简记为an.数列的三种表示方法数列的三种表示方法 解析表示法解析表示法通项公式通项公式表示.(3)数列的图象表示法是一群孤立的点是一群孤立的点 通项公式：通项公式：如果数列的第如果数列的第n项与项与
3、n之间的关系可以用一个公式之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。巩固复习巩固复习讲课人：邢启强51.不是每一个数列都能写出其通项公式不是每一个数列都能写出其通项公式2.数列的通项公式不唯一数列的通项公式不唯一 如如-1，1，-1，1，-1，.可写成可写成 和和nna)1(3.已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要。已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要。注意:数列的几何意义：有穷数列表示有限个孤立的点。无穷数列表示无限个孤立的点。sin()2nan4.实质：实质：从映射、函数的观点看，数列可
4、以看作是一个定义域为正整从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集数集 N*（或它的有限子集（或它的有限子集1，2，n）的函数，当自）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。应的函数解析式。巩固复习巩固复习讲课人：邢启强6例1.下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形，在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式。例题讲解例题讲解解：在图中，着色三角形的个数依次为1,3,9,27,即所求数列的前4项都是3的指数幂,指数为序号减1.因此，这
5、个数列的一个通项公式是 .13nna换个角度观察图中的4个图形，可以发现，a1=1,且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形，于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍。这样，例4中的数列的前4项满足 a1=1,a2=3 a1,a3=3a2,a4=3a3,由此猜测这个数列满足公式.当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算未寻找规律，如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察。11,13,2.nnnaan讲课人：邢启强7递推公式递推公式:如果已知数列的第如果已知数列的第1项项(或前
6、几项或前几项)和和递推公式，和和递推公式，就能就能求出数列的每一项。知识点评知识点评如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.例例2：已知数列的第：已知数列的第1项是项是1，以后的各项由公式，以后的各项由公式 给出给出,写出这个数列的前写出这个数列的前5项。项。111 nnaa例题讲解例题讲解讲课人：邢启强8 na例例3：已知数列：已知数列 中，中，试写出数列的前试写出数列的前4项项)3(3,2,12121 naaaaannn1,2,7,22例题讲解例题讲解 例例4、已知、已知（1）写出数列的前）写出数列的前5项；项；（2）由（）由（1）中
7、的前）中的前5项推测数列的通项公式并进行验证。项推测数列的通项公式并进行验证。1),2()1(111 annnaann1111(1)1nnaan nnn解：211112aa321123aa431134aa541145aa1111nnaann以上等式相加得以上等式相加得111naan 12nan得讲课人：邢启强92若若,2,121 aa3,12 naaannn又又1 nnnaab,求求 的前的前5项项.nb)3(23,2,12121 naaaaannn1.写出下面各数列的前写出下面各数列的前4项，根据前项，根据前4项写出项写出该数列的一个通项公式该数列的一个通项公式 巩固练习巩固练习讲课人：邢启
8、强10 在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一.我们把数列an从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列an的前n项和，记作Sn,即Sn=a1+a2+.+an.如果数列an的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.显然S1=a1,而Sn-1=a1+a2+an-1(n2),于是我们有学习新知学习新知11,1,2nnnS naSSn例：已知数列an的前几项和公式为Sn=n2+n,你能求出an的通项公式吗？解：因为a1=S1=2，an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)+(n-1)=2n(n2),并且当n=1时，a1=21=2依然
9、成立.所以an的通项公式是an=2n.讲课人：邢启强11巩固练习巩固练习已知数列an的前几项和公式为Sn=,an的通项公式为 .24(*)nnN【解析】数列an的前几项和公式为Sn=,当n=1时，a1=S1=1+4=5;当n2时，an=Sn-Sn-1=(n2+4)-(n-1)2+4=2n-1.又当n=1时，a1=51,5,121,2,*nnannnN24(*)nnN5,121,2,*nnannnN讲课人：邢启强12巩固练习巩固练习已知数列an的前几项和公式为2Sn=3an-3,则a4的值为().A.27 B.81 C.93 D.243B解：根据2Sn=3an-3,可得2Sn+1=3an+1-3,两式相减得2an+1=3an+1-3an,即an+1=3 an 当n=1时，2S1=3a1-3解得a1=3,则a4=3a3=32a2=33a1=81.讲课人：邢启强13讲课人：邢启强14讲课人：邢启强15讲课人：邢启强16小结：小结：1.通项公式与递推公式区别通项公式与递推公式区别
