新人教A版（2019）《高中数学》选择性必修第二册极值点偏移专题（全册8份打包）.rar

专题专题 01 极值点便宜的概念极值点便宜的概念一极值点偏移的含义一极值点偏移的含义众所周知，函数()f x满足定义域内任意自变量x都有()(2)f xfmx，则函数()f x关于直线xm对称；可以理解为函数()f x在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若()f x为单峰函数，则xm必为()f x的极值点.如二次函数()f x的顶点就是极值点0 x，若()f xc的两根的中点为122xx，则刚好有1202xxx，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数()f x的极值点为m，且函数()f x满足定义域内xm左侧的任意自变量x都有()(2)f xfmx或()(2)f xfmx，则函数()f x极值点m左右侧变化快慢不同.故单峰函数()f x定义域内任意不同的实数1x，2x满足12()()f xf x，则122xx与极值点m必有确定的大小关系：若122xxm，则称为极值点左偏；若122xxm，则称为极值点右偏.如函数()xxg xe的极值点01x 刚好在方程()g xc的两根中点122xx的左边，我们称之为极值点左偏.二极值点偏移问题的一般题设形式：二极值点偏移问题的一般题设形式：1.若函数()f x存在两个零点1x，2x且12xx，求证：1202xxx(0 x为函数()f x的极值点)；2.若函数()f x中存在1x，2x且12xx满足12()()f xf x，求证：1202xxx(0 x为函数()f x的极值点)；3.若函数()f x存在两个零点1x，2x且12xx，令1202xxx，求证：0()0fx；4.若函数()f x中存在1x，2x且12xx满足12()()f xf x，令1202xxx，求证：0()0fx.三问题初现，形神合聚三问题初现，形神合聚函数2()21xf xxxae 有两极值点1x，2x，且12xx.证明：124xx.【解析】令()()22xg xxxafe，则1x，2x是函数()g x两个零点.令()0g x，得2(1)xxae，令2(1)()xxh xe，则()()12h xh x=，24()xxh xe，可得()h x在区间(,2)单调递减，在区间(2,)单调递增，所以122xx，令()(2)(2)H xhxhx，的则22222()(2)(2)xxxxx eeH xhxhxee，当02x时，()0H x，()H x单调递减，有()(0)0H xH，所以(2)(2)hxhx，所以12222()()2(2)2(2)(4)h xh xhxhxhx，因为12x，242x，()h x在(,2)上单调递减所以124xx，即124xx.已知函数()lnf xx的图象1C与函数21()(0)2g xaxbx a的图象2C交于P，Q，PQ过的中点R作x轴的垂线分别交1C，2C于点M，N，问是否存在点R，使1C在M处的切线与2C在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.【分析】设11,P x y，22,Q xy，12xx，则1212,22xxyyR，点M，N的横坐标122MNxxxx，1x，2x是函数()()()F xf xg x的两个零点，原问题即探究122xxf，122xxg的大小关系，即121212222fxxxxxxFg的符号，实质也是探究()F x极值点是否偏移中点.四招式演练四招式演练的1.已知函数f(x)=xex(xR)（1）求函数f(x)的单调区间和极值；（2）若x(0，1)，求证：f(2x)f(x)；（3）若x1(0，1)，x2(1，+)，且f(x1)=f(x2)，求证：x1+x22.【答案】（1）在(,1)内是增函数，在(1,)内是减函数.极大值1e；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）求函数 f x的导数，求出极值点，判断导函数的符号，得到函数的单调区间和极值；（2）令 2g xf xfx利用导函数的符号，判断函数的单调性，然后证明结果；（3）由（2）得：112f xfx，得到212f xfx，利用函数的单调性，转化证明122xx即可.【详解】（1）fx=(1x)ex，令 0fx，则x=1当x变化时，fx，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，+)fx+0f(x)极大值f(x)在(，1)上是增函数，在(1，+)上是减函数f(x)在x=1 处取得极大值1e；（2）证明：令g(x)=f(x)f(2x)则g(x)=xex(2x)ex2g(x)=(x1)(e2x21)ex当01x时，220 x，从而2210 xe 0 xe又所以 0gx，从而函数 g x在0,1是增函数.ex0，g(x)0，g(x)在1，+)上是增函数又g（1）=00 x1 时，g(x)g（1）=0即当 0 x1 时，f(x)f(2x)（3）证明：101x，121x由（2）得：112f xfx 12f xf x212f xfx f x在(1,)内是减函数212xx，即122xx.【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于难题.2.已知函数 f（x）=2 x 11e2-x2+ef（12）x（）求 f（x）的单调区间；（）若存在 x1，x2（x1x2），使得 f（x1）+f（x2）=1，求证：x1+x22【答案】（）在 R 上单调递增；（）见解析【解析】【分析】（I）f（x）=e2（x-1）-2x+ef（12）令 x=12，则 f（12）=-1+ef（12），解得 f（12），进而得出函数 f（x）的单调性（II）由（I）可得：函数 f（x）=2 x 11e2-x2+x 在 R 上单调递增要证明：x1+x22x12-x2f（x1）f（2-x2），又 f（x1）+f（x2）=1，因此 f（x1）f（2-x2）1-f（x2）f（2-x2），即 f（x2）+f（2-x2）-10，f（1）=12-1+1=12，则 x11x2令 g（x）=f（2-x）+f（x）-1=2 1 x1e2+2 x 11e2-2x2+4x-2，x1，g（1）=0利用导数研究其单调性即可证明结论【详解】（I）f（x）=e2（x-1）-2x+ef（12）令 x=12，则 f（12）=1e-1+ef（12），解得 f（12）=1ef（x）=e2（x-1）-2x+1f（x）=2e2（x-1）-2=2（ex-1+1）（ex-1-1），1x 时0,()fxf x（）单调递增；1x 时0,()fxf x（）单调递减，x=1 时，函数 f（x）取得极小值即最小值，f（x）f（1）=0，函数 f（x）在 R 上单调递增（II）由（I）可得：函数 f（x）=2 x 11e2-x2+x 在 R 上单调递增要证明：x1+x22x12-x2f（x1）f（2-x2），又 f（x1）+f（x2）=1，因此 f（x1）f（2-x2）1-f（x2）f（2-x2），即 f（x2）+f（2-x2）-10，f（1）=11 12=12，则 x11x2令 g（x）=f（2-x）+f（x）-1=2 1 x1e2-（2-x）2+2-x+2 x 11e2-x2+x=2 1 x1e2+2 x 11e2-2x2+4x-2，x1，g（1）=0g（x）=-e2（1-x）+e2（x-1）-4x+4，g（x）=2e2（1-x）+2e2（x-1）-40，g（x）在（1，+）上单调递增g（x）g（1）=0，函数 g（x）在（1，+）上单调递增g（x）g（1）=0，因此结论 x1+x22 成立【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题3.已知函数 311sincos23xcosxsinxxf xexaxxx 在0,内有两个极值点 x1，x2（x1x2），其中 a 为常数.（1）求实数 a 的取值范围；（2）求证：x1+x22.【答案】（1）a1；（2）证明见解析.【解析】【分 析】（1）转 化 问 题 为 1sinxfxeaxxx有 两 个 变 号 零 点,设 sinxxx,利用导函数可得 x在0,上单调递增,则 00 x,即转化问题为1xyeax有两个变号零点,即12111200 xxeaxeax,则211112xxeeaxx,设 1xeg xx,则直线 y=a 与 yg x在 x（0,+）有两个交点,进而利用导函数求 g x的最值,即可求解；（2）由（1）,若 x1+x22,则 g（x2）g（2x1）,即 g（x1）g（2x1）,构造函数 F（x）=g（x）g（2x）,进而证明 x（0，1）时 F（x）0 即可.【详解】（1）因为 1sinxfxeaxxx,由题意知 x1，x2是导函数 fx的变号零点,令 sinxxx,则 1 cos0 xx,所以 x在0,上单调递增,又0,x,所以 00 x,所以 x1，x2是1xyeax的两个零点,即12111200 xxeaxeax,则211112xxeeaxx,又令 1xeg xx,则 g（x1）=g（x2）,从而只需直线 y=a 与函数 g（x）1xex的图象在 x（0,+）上有两个交点,由 121xxegxx可得当0,1x时,0gx；当1,x时,0gx,所以 g（x）在（0,1）递减,在（1,+）递增,从而 11ming xg,所以 a1.（2）证明:由（1）知,0 x11x2,若不等式 x1+x22 成立,则 g（x2）g（2x1）,即 g（x1）g（2x1）,令 F（x）=g（x）g（2x）,x（0，1）,则只需 F（x）0,而 11112122xxxexxeFxxexxxx,只需研究 12xh xxxe的符号,因为 111xh xex,120 xhxex,所以 110h xh ,所以 10h xh,则 0Fx,所以 10F xF,即 x1+x22 成立.【点睛】本题考查由极值点求参数范围,考查利用导函数处理双变量问题,考查运算能力与转化思想.4.已知函数23()366xf xxxex（1）求函数()f x的单调区间及极值；（2）若12xx满足12()()f xf x，求证：120 xx【答案】（1）函数()f x的单调递增区间：(0,)，函数()f x的单调递减区间：(,0)，极小值6，无极大值；（2）证明过程见详解.【解析】【分析】（1）先求出2()31)(xfxx e，再求出函数()f x的单调区间，根据单调性最后求出函数()f x在0 x 处取得极小值(0)6f，无极大值；（2）先判断1x，2x异号，接着设10 x，20 x，则10 x，再构建新函数()()()g xf xfx并求导判断()g x是R上的增函数，得到21()()f xfx，最后根据函数()f x在(0,)上单调递增证明120 xx.【详解】解：（1）因为23()366xf xxxex，所以222()3331()xxfxx exx e当0 x 时，()0fx；当0 x 时，()0fx；故函数()f x的单调递增区间：(0,)，函数()f x的单调递减区间：(,0)，所以函数()f x在0 x 处取得极小值(0)6f，无极大值.（2）因为12xx且12()()f xf x，由（1）可知1x，2x异号不妨设10 x，20 x，则10 x令23233663()()(6()6()()xxxxexxg xf xfxxex，则2()(23)xxgexxe，因为22xxxxeeee，所以()0g x 所以()g x在R上是增函数，因为10 x，则1()(0)0g xg，则11()()0f xfx，则11()()f xfx又12()()f xf x，所以21()()f xfx，又因为20 x，10 x，且函数()f x在(0,)上单调递增，所以21xx，则120 xx【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间和极值、利用导数判断函数的单调性、利用导数证明不等式，是中档题.5.已知函数2()(2)(1)xf xxea x有两个零点.（）求 a 的取值范围；（）设 x1，x2是()f x的两个零点，证明：122xx.【答案】（）(0,)；（）见解析【解析】【详解】试题分析：（）求导，根据导函数的符号来确定（主要要根据导函数零点来分类）；（）借助（）的结论来证明，由单调性可知122xx等价于12()(2)f xfx，即2(2)0fx设2()(2)xxg xxexe，则2()(1)()xxg xxee则当1x 时，()0g x，而(1)0g，故当1x 时，()0g x 从而22()(2)0g xfx，故122xx试题解析：（）()(1)2(1)(1)(2)xxfxxea xxea（）设0a，则()(2)xf xxe，()f x只有一个零点（）设0a，则当(,1)x 时，()0fx；当(1,)x时，()0fx 所以()f x在(,1)单调递减，在(1,)单调递增又(1)fe，(2)fa，取b满足0b 且ln2ab，则223()(2)(1)()022af bba ba bb，故()f x存在两个零点（）设0a，由()0fx 得1x 或ln(2)xa若2ea ，则ln(2)1a，故当(1,)x时，()0fx，因此()f x在(1,)单调递增又当1x时()0f x，所以()f x不存在两个零点若2ea ，则ln(2)1a，故当(1,ln(2)xa时，()0fx；当(ln(2),)xa时，()0fx 因此()f x在(1,ln(2)a单调递减，在(ln(2),)a单调递增又当1x时，()0f x，所以()f x不存在两个零点综上，a的取值范围为(0,)（）不妨设12xx，由（）知12(,1),(1,)xx，22(,1)x，()f x在(,1)单调递减，所以122xx等价于12()(2)f xfx，即2(2)0fx由于222222(2)(1)xfxx ea x，而22222()(2)(1)0 xf xxea x，所以222222(2)(2)xxfxx exe 设2()(2)xxg xxexe，则2()(1)()xxg xxee所以当1x 时，()0g x，而(1)0g，故当1x 时，()0g x 从而22()(2)0g xfx，故122xx【考点】导数及其应用【名师点睛】对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简.解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.视频6.已知函数 f（x）ex212axaR有两个极值点（1）求实数 a 的取值范围；（2）若函数 f（x）的两个极值点分别为 x1，x2，求证：x1+x22【答案】（1）（e，+）；（2）见解析【解析】【分析】（1）f（x）exax函数 f（x）ex212axaR有两个极值点f（x）exax0 有两个实数根x0 时不满足上述方程，方程化为：axex，令 g（x）xex，（x0）利用导数已经其单调性即可得出（2）由（1）可知：ae 时，函数 f（x）有两个极值点分别为1x，x2，不妨设1x2x，1x+2x22x21x1212212xxeexx，由1212xxeexx，因此即证明：112112xxeexx构造函数 h（x）22xxeexx，0 x1，2x1利用导数已经其单调性即可得出【详解】（1）解：f（x）exax函数 f（x）ex212axaR有两个极值点f（x）exax0 有两个实数根x0 时不满足上述方程，方程化为：axex，令 g（x）xex，（x0）g（x）21xexx，可得：x0 时，g（x）0，函数 g（x）单调递减；0 x1 时，g（x）0，函数 g（x）单调递减；x1 时，g（x）0，函数 g（x）单调递增g（1）=e,得到函数草图如图所示.ae 时，方程 f（x）exax0 有两个实数根实数 a 的取值范围是（e，+）（2）证明：由（1）可知：ae 时，函数 f（x）有两个极值点分别为 x1，x2，不妨设 x1x2证明：1x+2x22x21x1212212xxeexx，由1212xxeexx，因此即证明：112112xxeexx构造函数 h（x）22xxeexx，0 x1，2x1h（x）222212(2)xxxexexexx（x1）222(2)xxeexx，令函数 u（x）2xex，（0 x2）u（x）320 xexx可得函数 u（x）在（0，2）内单调递减，于是函数 v（x）222(2)xxeexx在（0，1）内单调递减v（x）v（1）0h（x）（x1）2220(2)xxeexx,h（x）在（0，1）内单调递减h（x）h（1）0,112112xxeexx因此1x+2x2 成立【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题7.已知函数()(2)xf xax e，2()(1)g xx.(1)若曲线()yg x的一条切线经过点(0,3)M，求这条切线的方程.(2)若关于x的方程()()f xg x有两个不相等的实数根12,x x求实数 a 的取值范围；证明：122xx.【答案】（1）230 xy或630 xy.（2）(0,)，证明见解析.【解析】【分析】（1）先设切线点斜式方程，再与二次函数联立方程组，利用判别式为零得斜率；（2）先求函数导数，分类讨论导函数零点，单调函数至多一个零点，所以函数不单调，再依次讨论对应单调区间上有零点满足的条件；构造函数2hxh x，1x，利用导数易得函数单调递增，即得结论.【详解】解:(1)解法一：设经过点0,3M的切线与曲线 yg x相切于点2,1Q tt，由 21g xx得 21gxx，所以该切线方程为2121yttxt，因为该切线经过0,3M，所以23121ttt，解得2t ，所以切线方程为230 xy或630 xy.解法二：由题意得曲线 yg x的切线的斜率一定存在，设所求的切线方程为3ykx，由 231ykxyx，得2240 xk x，因为切线与抛物线相切，所以22160k，解得2,6k，所以所求的切线方程为230 xy或630 xy.（2）由 f xg x，得 0g xf x.设 221xh xg xf xa xex，则 12112xxhxa xexxae，由题意得函数 h x恰好有两个零点.（i）当0a，则 21h xx，h x只有一个零点 1 （ii）当0a 时，由 0hx 得1x，由 0hx 得1x，即 h x在,1上为减函数，在1,上为增函数，而 10,21haeh，所以 h x在1,上有唯一零点，且该零点在1,2上.取0,b 且1ln2ba，则 21321022h bbbb b所以 h x在,1上有唯一零点，且该零点在,1b上，所以 0,ah x恰好有两个零点.（iii）当0a时，由 0hx 得1x 或2lnxa，若2ae，210 xhxxeee，所以 h x在1,上至多有一个零点.若2ae，则2ln1a，当1,x时，0hx，即 h x在1,上单调递减又 10hae，所以 h x在1,上至多有一个零点.当,1x 时，h x在2ln,1a上单调递增，在2,lna上为减函数，又222222ln2 ln2ln1ln210haaaa ，所以 h(x)在2,lna上无零点.若2ae，则2ln1a，又当1x 时，10h xhae，所以 h x不存在零点 h x在1,x上无零点故当21,lnxa时，0h x；当2ln,xa时，0hx 因此 f x在21,lna上单调递增，在2ln,a上单调递减又222222ln2 ln2ln1ln210haaaa 所以 h x在21,lna无零点，在ln2,a至多有一个零点 综上，a的取值范围为0,不妨设12xx，由知12,1,1,xx，22,1x，且0a，h x在,1单调递减，所以122xx等价于12()(2)h xhx，即220hx由于22222221xhxax ex，且22222210 xh xa xex，所以22222222xxhxax exe222222xxa x exe 设 22,1xxxxexex，则 21xxxxee，当1x 时，2,xxee ee，所以 0 x.而 10，故当1x 时，0 x从而2220hxax，故122xx【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数()()()h xf xg x.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.8.已知21()ln()2f xxax aR有两个零点(1)求 a 的取值范围(2)设12,x x是()f x的两个零点,求证：122xxa【答案】（1）(,)e；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求的函数的导数，根据函数有两个零点，分类讨论，即可求解实数a的取值范围；（2）不妨设12xx，由（1）知，构造函数()()()g xfaxfax，得到()g x，得到222()axg xxa，得到函数()g x的单调性和最值，即可得到证明.【详解】（1）20axafxxxxx，当0a时，0fx，此时 f x在0,单调递增，f x至多有一个零点.当0a 时，令 0fx，解得xa，当0,xa时，0fx，f x单调递减，当,xa，0fx，f x单调递增，故当xa时函数取最小值1 ln.2afaa当0ae时，1 ln0a，即0fa，所以 f x至多有一个零点.当ae时，1 ln0a，即1 ln0.2afaa因为 1102f，所以 f x在0,xa有一个零点；因为ln1aa，所以ln221aa，2222ln22210faaaaaaaa，由于2aa，所以 f x在,xa有一个零点.综上，a的取值范围是,e.（2）不妨设12xx，由（1）知，10,xa，2,xa.构造函数(0)g xfaxfaxxa，则 2lnln.g xaxaaxaax 2222.aaaxgxaxaaxxa 因为0 xa，所以 0gx，g x在0,a单调递减.所以当0,xa时，恒有 00g xg，即.faxfax 因为10,xa，所以10,axa于是 211112.f xf xfaaxfaaxfax又21,2,xaaxa，且 f x在,a 单调递增，所以212xax，即122.xxa【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，不等式的证明和不等式的恒成立问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题；(4)考查数形结合思想的应用.9.已知函数 f（x）xlnx12x2ax+1（1）设 g（x）f（x），求 g（x）的单调区间；（2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2，求证：x1+x22【答案】（1）g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+）；（2）见解析【解析】【分析】（1）先得到 g x解析式，然后对 g x求导，分别解 0g x 和 0g x，得到其单调增区间和单调减区间；（2）由题可知 x1，x2是 g（x）的两零点，要证 x1+x22，只需证 x22x11，只需证 g（2x1）g（x2）0，设 h（x）ln（2x）lnx+2x2，利用导数证明 h x在（0，1）上单调递减，从而证明 0h x，即 g（2x1）g（x2），从而证明 x1+x22.【详解】（1）f（x）xlnx12x2ax+1，g（x）f（x）lnxx+1a（x0），g（x）1xx令 g（x）0，则 x1，当 x1 时，g（x）0；当 0 x1 时，g（x）0，g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+）；（2）f（x）有两个极值点 x1，x2，x1，x2是 g（x）的两零点，则 g（x1）g（x2）0，不妨设 0 x11x2，由 g（x1）0 可得 alnx1x1+1，g（x）在（1，+）上是减函数，要证 x1+x22，只需证 x22x11，只需证 g（2x1）g（x2）0，g（2x1）ln（2x1）2+x1+1（lnx1x1+1）ln（2x1）lnx1+2x12，令 h（x）ln（2x）lnx+2x2（0 x1），则 22(1)02xhxx x，h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）h（1）0，g（2x1）0 成立，即 g（2x1）g（x2）x1+x22【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，构造函数证明极值点偏移问题，属于难题.10.已知函数 22xaxf xxxbe（1）若曲线y=f（x）在（0，f（0）处的切线方程为y=-x-1，求a，b的值；（2）当b=1，a0 时，证明：函数f（x）有两个零点x1，x2，且x1+x22【答案】（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1）求函数的导数，利用导数的几何意义，建立方程关系进行求解即可（2）求函数的导数，判断函数的单调性，由零点存在性定理，转化为证明 f（x2）f（2-x1）即可【详解】（1）f（0）=-b=-1，所以b=1又f（x）=2x-2+1xaxe，则f（0）=-2+a，所以-2+a=-1，得a=1（2）当b=1 时f（x）=x2-2x+xaxe-1，则f（x）=2x-2+1xaxe=（x-1）（2-xae）已知a0，所以 2-xae0，故f（x）=0 得x=1当x（-，1）时，f（x）0；当x（1，+）时，f（x）0所以函数f（x）在（-，1）上单调递减在（1，+）上单调递增又f（1）=-2+ae0，f（-1）=2-ae0，当-1a0 时，3a-3，2e3+3a2e3-30，所以f（3）=2+333323aeaee0；当a-1，-e3ae3ln（-e3a）lne3=31不妨没 ln（-e3a）=t3，则f（t）=t2-2t+3lne aate-1=t2-2t+3ate a-1=t2-（2+31e）t-1二次函数g（t）=t2-（2+31e）t-1 的对称轴为t=3122e3所以f（t）g（3）=9-6-33e-1=2-33e0，由零点存在性定理，函数f（x）存在两个零点x1，x2，设x11x2，由x1+x22，得x22-x11x1，由函数f（x）在（1，+）上单调递增，只需证f（x2）f（2-x1）即可又f（x1）=f（x2）=0，所以只需证f（x1）f（2-x1）即可f（x1）=x12-2x1+11xaxe-1，f（2-x1）=（2-x1）2-2（2-x1）+1122xaxe-1，只需证x12-2x1+11xaxe（2-x1）2-2（2-x1）+1122xaxe，化简得即证111122xxxxee，111122xxxxee=111121122xxxxx ex ee e设h（x）=xe2-x-（2-x）ex，则h（x）=（1-x）（e2-x-ex）当x（1，+）时，h（x）0；当x（-，1）时，h（x）0而h（1）=0，故当x1 时，h（x）0而112xxe e0 恒成立故f（x1）f（2-x1），即f（x2）f（2-x1），则x22-x1，即x1+x22，成立【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，以及导数的几何意义，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，难度较大11.已知 f（x）=x2+ax+sinx，x（0，1）（1）若 f（x）在定义域内单调递增，求 a 的取值范围；（2）当 a=2 时，记 f（x）得极小值为 f（x0），若 f（x1）=f（x2），求证：x1+x22x0【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【详解】试题分析：（1）函数 f（x）在定义域内单调递增，则导函数 f（x）0 恒成立，然后问题转化为函数的最值问题求解；（2）先利用导数研究函数 f（x）在区间（0，1）上的单调性、极值，判断 x0所在的区间，结合函数的单调性找到 x1，x2，x0之间的关系（1）解：依题意 f（x）0 恒成立，即令，g（x）在（0，1）上递减，且 g（0）0，g（1）0，g（x）在区间（0，1）上存在唯一零点 mg（x）在（0，m）上递增，在（m，1）上递减由，解得a 的取值范围是；（2）证明：当 a=2 时，f（x）=令（x）=f（x），x（0，1（x）=，显然（x）在（0，1）上递减，又（0）=20，（1）=2故存在唯一实数 n，使得（n）=0，（x）在（0，n）上递增，在（n，1）上递减而 f（0）=2+0，f（1）=0，f（n）0由 f（x0）=0 知 0 x0n1令 x1x2，f（x）在（0，x1）递减，在（x2，1）递增由 f（x1）=f（x2）得，0 x1x0 x21令 F（x）=f（x0+x）f（x0 x），则 F（x）=4x04+，又 F（x）在（0，1）上单调递减，F（x）F（0）=4x04+=2f（x0）=0，F（x）在（0，1）上单调递减，F（x）F（0）=0，f（x0+x）f（x0 x），f（x1）=f（x2）=fx0（x0 x2）fx0+（x0 x2）=f（2x0 x2），0 x21，02x0 x2x0，又0 x1x0，而 f（x）在（0，x0）上单调递减，x12x0 x2，即 x1+x22x0考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性 专题专题 02 极值点偏移问题判定定理极值点偏移问题判定定理一、极值点偏移的判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数()yf x，在区间(,)a b上只有一个极大（小）值点0 x，方程()0f x 的解分别为1x，2x，且12axxb，（1）若102()(2)f xfxx，则120()2xxx，即函数()yf x在区间12(,)x x上极（小）大值点0 x右（左）偏；（2）若102()(2)f xfxx，则120()2xxx，即函数()yf x在区间12(,)x x上极（小）大值点0 x右（左）偏.证明：（1）因为对于可导函数()yf x，在区间(,)a b上只有一个极大（小）值点0 x，则函数()f x的单调递增（减）区间为0(,)a x，单调递减（增）区间为0(,)x b，由于12axxb，有10 xx，且0202xxx，又102()(2)f xfxx，故102()2xxx，所以120()2xxx，即函数极（小）大值点0 x右（左）偏；（2）证明略.左快右慢（极值点左偏122xxm）左慢右快（极值点右偏122xxm）左快右慢（极值点左偏122xxm）左慢右快（极值点右偏122xxm）二、运用判定定理判定极值点偏移的方法二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1.方法概述：（1）求出函数()f x的极值点0 x；（2）构造一元差函数00()()()F xf xxf xx；（3）确定函数()F x的单调性；（4）结合(0)0F，判断()F x的符号，从而确定0()f xx、0()f xx的大小关系.口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.2.抽化模型答题模板：若已知函数()f x满足2()()1f xf x，0 x为函数()f x的极值点，求证：1202xxx.（1）讨论函数()f x的单调性并求出()f x的极值点；假设此处()f x在0(,)x上单调递减，在0(,)x 上单调递增.（2）构造00()()()F xf xxf xx；注：此处根据题意需要还可以构造成0()()()F xf xf 2xx的形式.（3）通过求导()F x讨论()F x的单调性，判断出()F x在某段区间上的正负，并得出0()f xx与0()f xx的大小关系；假设此处()F x在(0,)上单调递增，那么我们便可得出000()()()()0F xF xf xf x，从而得到：0 xx时，00()()f xxf xx.（4）不妨设102xxx，通过()f x的单调性，12()()f xf x，0()f xx与0()f xx的大小关系得出结论；接上述情况，由于0 xx时，00()()f xxf xx且102xxx，12()()f xf x，故1202002002()()()()(2)f xf xf xxxf xxxfxx，又因为10 xx，0202xxx且()f x在0(,)x上单调递减，从而得到1022xxx，从而1202xxx得证.（5）若要证明1202xxf，还需进一步讨论122xx与0 x的大小，得出122xx所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.此处只需继续证明：因为1202xxx，故1202xxx，由于()f x在0(,)x上单调递减，故1202xxf.【说明】（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求()f x的单调性、极值点，证明0()f xx与0()f xx（或()f x与0()f 2xx）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如1202xxx或1202xxf的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.三、对点详析，利器显锋芒三、对点详析，利器显锋芒1.已知函数()()xf xxexR.（）求函数()f x的单调区间与极值；（）若12xx，且12()()f xf x，证明：122xx.【答案】（1）()f x的单调增区间为(,1)，单调减区间为(1,)，函数()f x在1x 处取得极大值(1)f，且1(1)fe；（2）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，进而确定单调区间以及极值（2）为极值点偏移问题，先构造函数 2F xf xfx，0,1x，根 据 导 数 可 得 F x单 调 性，即 得 1122 fxf xf x，最后根据 f x单调性得122xx，即证得结论试题解析：（）由 1xfxx e，易得 f x的单调增区间为,1，单调减区间为1,，函数 f x在1x 处取得极大值 1f，且 11fe（）由 12f xf x，12xx，不妨设12xx，则必有1201xx，构造函数 11F xfxfx，0,1x，则 1 1Fxfxfx 2110 xxxee，所以 F x在0,1x上单调递增，00F xF，也即11fxfx对0,1x 恒成立.由1201xx，则110,1x，所以111fx 11211fxfx 12f xf x，即122fxf x，又因为12x，21,x，且 f x在1,上单调递减，所以122xx，即证122xx.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数()()()h xf xg x.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.2.函数434()3f xxx与直线13ya a 交于1,A x a、2,B x a两点.证明：122xx.【答案】证明见解析【解析】【分析】由已知函数()f x的单调减区间为(,1)，增区间为(1,)，依题意可设12xx，且11x，21x；然后构造函数()(1)(1)F xfxfx，利用导数证明：()0F x，从而可证122xx成立【详解】设12xx，函数434()3f xxx的单调递减区间为(,1)，单调递增区间为(1,)，有21x，设()(1)(1)F xfxfx，2()8 3210F xxx，故()F x单调递增区间为(,)，又(0)0F，所以当0 x 时，()(0)0F xF，即0 x 时，(1)(1)fxfx，1222112f xf xfxfx，又11x，221x，又函数434()3f xxx单调递减区间为(,1)，所以122xx，即122xx.【点睛】本题考查导数的极值点偏移问题，主要考查学生的转化与化归思想，属于难题3.已知函数2()lnf xxx，若12xx，且12()()f xf x，